Aplikasi Integral Tak Tentu Dalam Bidang Ekonomi

Pada umumnya aplikasi di sini berkaitan dengan mencari fungsi-fungsi ekonomiyang

merupakan fungsi primitif (fungsi asal) dari fungsi marginalnya. Mencari fungsi biaya

total dari fungsi biaya marginal, fungsi penerimaan total dari fungsi penerimaan marginal,

fungsi konsumsi dari fungsi konsumsi marginal, fungsi tabungan dari fungsi tabungan

marginal serta fungsi kapital dari fungsi investasi.

Fungsi Biaya Total (C)

Fungsi biaya total merupakan integral dari biaya marginalnya, dan sebaliknya

biaya marginal merupakan turunan pertama dari fungsi biaya total.

Fungsi Penerimaan Total (R)

Fungsi penerimaan total merupakan integral dari penerimaan marginalnya, dan

sebaliknya penerimaan marginal merupakan turunan pertama dari fungsi penerimaan

total.

Fungsi Konsumsi (C)

Fungsi konsumsi merupakan integral dari konsumsi marginalnya (MPC), dan

sebaliknya konsumsi merupakan turunan pertama dari fungsi konsumsi.

Fungsi Tabungan (S)

Fungsi tabungan merupakan integral dari tabungan marginalnya (MPS), dan

sebaliknya tabungan marginal merupakan turunan pertama dari fungsi tabungan.

C=∫ MC dq

R=∫ MC dq

C=∫ MPC dy

S=∫ MPS dy

Fungsi Model (K)

Fungsi (pembentukan) modal atau fungsi (pembentukan) kapital merupakan

integral dari (aliran) investasi bersih (I) dan sebaliknya investasi bersih merupakan

turunan pertama dari fungsi kapital.

Agar lebih jelas bagaimana fungsi asal dapat di dapat melalui integrasi fungsi

marginalnya, di bawah ini diberikan beberapa contoh. Untuk dapat membedakan

konsumsi (C), biaya total (C) dengan tetapan/konstanta integrasi (C), khusus dalam

integrasi biaya marginal dan konsumsi marginal, maka tetapan integrasi di simbolkan

dengan K.

10.1. Penerapan Ekonomi Integral Tak Tentu

Integral tak tentu dapat diterapkan untuk mancari persamaan fungsi total dari suatu

variable ekonomi jika fungsi marginalnya diketahui.

Fungsi marginal merupakan turunan dari fungsi total, maka proses sebaliknyaFungsi marginal merupakan turunan dari fungsi total, maka proses sebaliknya

merupakan proses integrasi (integral).merupakan proses integrasi (integral).

A.A. FUNGSI BIAYAFUNGSI BIAYA

Biaya total Biaya total

Biaya Marginal Biaya Marginal

biaya total adalah integral dari biaya marginal biaya total adalah integral dari biaya marginal

Contoh : Contoh :

Biaya Marginal suatu perusahaan adalahBiaya Marginal suatu perusahaan adalah

Kt=∫ I(t) dt

Hitung persamaan biaya total dan biaya rata-ratanya ?Hitung persamaan biaya total dan biaya rata-ratanya ?

Jawab : Biaya total Jawab : Biaya total

Biaya Rata-rata Biaya Rata-rata

Dimana Dimana = = besarnya biaya tetapbesarnya biaya tetap ( fix cost ) ( fix cost )

B.B. FUNGSI PENERIMAANFUNGSI PENERIMAAN

Penerimaan Total Penerimaan Total

Penerimaan Marginal Penerimaan Marginal

Maka Maka Penerimaan total Penerimaan total

Contoh :Contoh : Carilah persamaan total dan penerimaan rata-rata dari suatu perusahaan jika Carilah persamaan total dan penerimaan rata-rata dari suatu perusahaan jika

penerimaan marginalnya penerimaan marginalnya

Jawab :Jawab : penerimaan total penerimaan total

Penerimaan rata-rata Penerimaan rata-rata

Dalam persamaan penerimaan, Dalam persamaan penerimaan, sebab penerimaan tidak ada jika tidak ada barang sebab penerimaan tidak ada jika tidak ada barang

yang dihasilkan / dijual.yang dihasilkan / dijual.

10.2. Integral Tertentu

Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable bebasnya

memiliki batas-batas tertentu.

Integral tertentu digunakan untuk menghitung luas area suatu fungsi.Integral tertentu digunakan untuk menghitung luas area suatu fungsi.

Dalam integral tak tentu Dalam integral tak tentu

Maka dalam integral tertentu untuk Maka dalam integral tertentu untuk dan dan ; ; < <

Dimana Dimana àà = batas bawah integrasi= batas bawah integrasi

= batas atas integrasi= batas atas integrasi

Kaidah-Kaidah Integrasi TertentuKaidah-Kaidah Integrasi Tertentu

(1).(1).

(2).(2).

(3).(3).

(4).(4).

(5).(5).

(6).(6).

Latihan : 4 ; 6 ; 7 ; 11 Latihan : 4 ; 6 ; 7 ; 11

10.3. Penerapan Ekonomi Integral Tertentu

A.A. SURPLUS KONSUMENSURPLUS KONSUMEN

Surplus konsumen adalah keuntungan lebih yang dinikmati oleh konsumen tertentu, pada Surplus konsumen adalah keuntungan lebih yang dinikmati oleh konsumen tertentu, pada

tingkat harga pasar suatu barang.tingkat harga pasar suatu barang.

Surplus konsumen Surplus konsumen

Besarnya surplus konsumen Besarnya surplus konsumen

Jika fungsi perminataan Jika fungsi perminataan ; maka :; maka :

Besarnya surplus konsumen Besarnya surplus konsumen

Contoh : Contoh :

00

PePe

PPSurplus Konsumen (Cs)Surplus Konsumen (Cs)

QQQeQe

Fungsi permintaan Fungsi permintaan , berapakah surplus konsumen jika harga pasar, berapakah surplus konsumen jika harga pasar

Jawab:Jawab:

àà

Jika Jika

Maka surplus konsumen :Maka surplus konsumen :

00 QQ

EE

PP

B.B. SURPLUS PRODUSENSURPLUS PRODUSEN

Adalah keuntungan lebih yang dinikmati produsen tertentu pada tingkat harga pasar dari Adalah keuntungan lebih yang dinikmati produsen tertentu pada tingkat harga pasar dari

barang yang ditawarkan.barang yang ditawarkan.

Surplus produsen Surplus produsen adalah adalah

Besarnya Besarnya surplus produsensurplus produsen

Jika fungsi penawaran Jika fungsi penawaran

Jika fungsi penawaran berbentuk Jika fungsi penawaran berbentuk

Maka surplus produsen Maka surplus produsen

Contoh :Contoh :

Fungsi penawaran Fungsi penawaran . .

00 QeQe QQ

PePe

PPFungsiFungsi

penawaranpenawaran

SurplusSurplus produsenprodusen

Berapakah surplus produsen, jika tingkat harga keseimbangan pasar Berapakah surplus produsen, jika tingkat harga keseimbangan pasar ??

Jawab :Jawab :

JikaJika

Aplikasi dalam keteknikan

Integral tentu digunakan untuk menentukan luas daerah dan volume benda putar.

a. Luas Daerah

Luas Daerah Antara Kurva dan Sumbu – Sumbu Koordinat

Untuk menentukan luas daerah di antara kurva dengan sumbu – sumbu koordinat,

ada beberapa kemungkinan, yaitu:

00 QQ

SurplusSurplus PodusenPodusen

PP

1. Jika (Kurvanya di atas sumbu x)

y

y=f(x)

0 a b x

2. Jika (Kurvanya di atas sumbu x)

y

0 a b x

y=f(x)

3. Jika dan (Kurvanya sebagian di bawah sumbu x dan

sebagian lainnya di atas sumbu x)

y

y=f(x)

0 a c b x

4. Jika (Kurvanya di sebelah kanan sumbu y)

y

d

c x=g(y)

0 x

5. Jika (Kurvanya di sebelah kanan sumbu y)

y

d

x=g(y) c

x 0

6. Jika dan (Kurvanya sebagian di sebelah kiri sumbu y dan

sebagian lainnya di sebelah kanan sumbu y)

y

d x=g(y)

e

c

0 x

Contoh:

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva , sumbu

dan !

Jawab:

satuan luas

Luas Daerah Antara Dua Kurva

Untuk menghitung luas daerah antara dua kurva, luas daerah yang dibatasi oleh

kurva dan pada interval [a, b] dengan adalah

1. Luas daerah antara dua kurva di atas sumbu x

y

y=f(x)

y=g(x)

0 a b x

2. Luas daerah antara dua kurva di bawah sumbu x

y

0 a b x

y=f(x)

Contoh:

Tentukan luas daerah antara kurva dan !

Jawab:

Þ

Þ

Þ

y

-2 1

0 x

b. Volume Benda Putar

Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu x

Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva , garis – garis x = a, x = b

dan sumbu x yang diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600 adalah:

y = f(x)

0 a b x

Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu y

Sama seperti menghitung volume benda putar mengelilingi sumbu x, volume

benda putar yang dibatasi oleh kurva , garis – garis y = c, y = d dan

sumbu y yang diputar mengelilingi sumbu y sejauh 3600 adalah:

Volume Benda Putar Antara Dua Kurva

1. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva

dan dalam interval diputar mengelilingi

sumbu x sejauh 3600 adalah:

y

y=f(x)

y=g(x)

0 a b x

2. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva

dan dalam interval diputar mengelilingi

sumbu y sejauh 3600 adalah:

y

a

y=g(x)

x=f(x)

b

0 a b x

Berikut adalah contoh penggunaan integral tentu dalan perhitungan volume benda

putar, yaitu:

Daerah yang dibatasi oleh kurva , , dan sumbu y diputar

mengelilingi sumbu x sejauh 3600. Berapakah volume benda putar yang terjadi?

Jawab:

Maka:

DAFTAR PUSTAKA

Budnick,S. Frank . applied matemathics for business, economics, and the sosial science. Ed ke -4, Singapore : Mcraw – Hill, 1993. Bab 19

Chiang,C . alpha fundamental methods of mathematical economics. Ed. Ke -3, new york : Mc Graw – Hill , 1984. Bab 13

Dowling, Edward T. matemathical for economists. Singapore : McGraw – Hill , 1980. Bab 17