repository.ump.ac.idrepository.ump.ac.id/6193/3/BAB II_NURWIYATI_MTK'13.pdf · 5 BAB II KAJIAN...
Transcript of repository.ump.ac.idrepository.ump.ac.id/6193/3/BAB II_NURWIYATI_MTK'13.pdf · 5 BAB II KAJIAN...
5
BAB II
KAJIAN TEORI
A. Sistem Bilangan Real
Sistem bilangan real R adalah himpunan bilangan real yang disertai
dengan operasi penjumlahan dan perkalian sehingga memenuhi aksioma
tertentu (Martono, 1999). Sistem bilangan real dinotasikan dengan R . Untuk
lebih lanjut akan dimulai dengan mengangkat sifat dasar dari bilangan real.
Definisi II.A.1
Sistem bilangan real R adalah suatu sistem aljabar yang terhadap operasi
jumlahan (+) dan operasi perkalian ( . ) mempunyai sifat – sifat sebagai
berikut
1. R merupakan grup komutatif terhadap operasi jumlahan (+)
2. 0R merupakan grup komutatif terhadap operasi perkalian ( . )
3. Untuk setiap Rzyx ,, berlaku zxyxzyx ..).(
(Darmawijaya, 2006)
Definisi II.A.2
Harga mutlak Rx ditulis x dan didefinisikan sebagai berikut:
𝑥 = 𝑥, 𝑥 ≥ 0−𝑥, 𝑥 < 0
1. Untuk setiap bilangan real x berlaku
a. 0x
b. xx
5
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
6
c. xxx
d. 222xxx
2. Untuk setiap bilangan real x dan y berlaku
a. 22 yxyxyx
b. xyyx
3. Jika 0a , maka
a. 22 axaxaax
b. axax atau 22 axax
4. Ketaksamaan segitiga. Untuk setiap bilangan real x dan y berlaku
a. yxyx
b. yxyx
c. yxyx
d. yxyx
5. Untuk setiap bilangan real x dan y berlaku
a. yxxy
b. 0, yy
x
y
x
(Martono, 1999)
Contoh:
Jika 2x , buktikan 3
5
42
322
2
xx
xx
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
7
Penyelesaian:
Karena penyebut bentuk pecahannya definit positif dengan
3314222 xxx , maka
3
1
42
12
xx
.
Ini mengakibatkan
323
132
42
1
42
32 22
22
2
xxxx
xxxx
xx
Untuk 2x , ditentukan batas dari 322 xx .
413222 xxx
Dengan menggunakan sifat nilai mutlak dan pertaksamaan, diperoleh
2x
22 x
113 x
9102 x
54142
x
53245 2 xx
5322 xx
Dengan menggunakan hasil di atas,
3
55.
3
132
3
1
42
32 2
2
2
xx
xx
xx.█
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
8
B. Himpunan
Himpunan merupakan konsep dasar dari semua cabang matematika.
Setiap cabang matematika berkaitan erat dan termasuk di dalam (menjadi
bagian) teori himpunan. Pada bagian ini akan dibahas mengenai himpunan
terbatas, himpunan bilangan real, serta himpunan terbuka dan tertutup.
Himpunan adalah kumpulan obyek yang mempunyai syarat tertentu
dan jelas. Obyek – obyek dalam kumpulan itu dapat berupa benda konkrit
atau benda abstrak, seperti: bilangan, abjad, orang, sungai, negara. Obyek –
obyek ini disebut anggota atau elemen dari himpunan itu.
(Theresia, 1989)
Contoh:
a. Kumpulan orang kaya
Kumpulan ini bukan suatu himpunan. Tetapi kumpulan orang yang
kekayaannya melebihi satu trilyun rupiah adalah suatu himpunan.
b. Kumpulan negara – negara Asia Tenggara
Kumpulan ini merupakan suatu himpunan.
1. Himpunan Terbatas
Di bawah ini akan dibahas lebih lanjut mengenai definisi urutan,
himpunan terurut dan himpunan terbatas.
Definisi II.B.1.1
Diberikan himpunan S. Suatu urutan pada himpunan S adalah suatu
relasi, yang dinyatakan dengan <, dengan dua sifat berikut:
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
9
i. Jika Sx dan Sy maka satu dan hanya satu diantara tiga
pernyataan berikut yang benar
yx atau yx atau xy
ii. Jika yx, , Sz , dan jika yx dan zy , maka zx
(Soemantri, 2000)
Definisi II.B.1.2
Jika pada suatu himpunan S telah didefinisikan suatu urutan, maka S
dinamakan himpunan terurut.
(Soemantri, 2000)
Definisi II.B.1.3
a. Himpunan RA dan A dikatakan terbatas ke atas (upper
bound) jika ada bilangan nyata k sehingga berlaku ka , untuk
setiap Aa ; k disebut batas atas (upper bound) himpunan A.
b. Himpunan RA dan A dikatakan terbatas ke bawah (lower
bound) jika ada bilangan nyata l sehingga berlaku al , untuk
setiap Aa ; l disebut batas bawah (lower bound) himpunan A.
c. Himpunan RA dan A dikatakan terbatas (bounded) jika A
terbatas ke atas dan terbatas ke bawah.
(Darmawijaya, 2006)
Contoh:
RA dengan 8,7,5,4,3A
Apakah A terbatas?
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
10
Penyelesaian:
AxAxp 8,8 terbatas ke atas. 8 merupakan batas atas A.
AxAxq 3,3 terbatas ke bawah. 3 merupakan batas
bawah A.
A terbatas.
Definisi II.B.1.4
Jika S suatu himpunan terurut, dan SA . Himpunan A terbatas ke
atas dan terdapat suatu elemen Sp yang memenuhi sifat – sifat
berikut
a. p adalah suatu batas atas A
b. jika u < p maka u bukan batas atas A
maka elemen p ini disebut batas atas terkecil atau supremum
himpunan A dan diberikan notasi SupAp
(Soemantri, 2000)
Definisi II.B.1.5
Jika S suatu himpunan terurut, dan SA . Himpunan A terbatas ke
bawah dan terdapat suatu elemen Sq yang memenuhi sifat – sifat
berikut:
Gambar II.1 Anggota Himpunan A
3 4 5 7 8
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
11
a. q adalah suatu bawah atas A
b. jika v > q maka v bukan bawah atas A
maka elemen q ini disebut batas atas terkecil atau infimum himpunan
A dan diberikan notasi q = inf A.
Contoh:
9,8,5,2,1F
F terbatas ke atas, karena R9 sehingga 9, xFx . Batas atas F
tidak tunggal. 9, pRp merupakan batas atas F. Karena 9
merupakan batas atas paling kecil, maka 9 = Sup𝐹.
F juga terbatas ke bawah, karena R1 sehingga 1, xFx .
Batas batas F juga tidak tunggal. 1, qRq merupakan batas bawah
F. Karena –1 merupakan batas bawah paling besar, maka −1 = Inf𝐹.
2. Himpunan Bilangan Real
Himpunan bilangan real yang memenuhi suatu pertaksamaan tertentu
dikenal sebagai selang (interval) hingga dan selang tak hingga. Selang
hingga adalah himpunan bagian dari R yang terbatas di atas dan di
bawah, sedangkan selang tak hingga tidak terbatas di atas atau tidak
terbatas di bawah. Di bawah ini diberikan definisi selang sebagai
himpunan titik dan gambarnya pada garis bilangan.
a. bxaRxba :),( disebut selang terbuka
b. bxaRxba :],[ disebut selang tertutup
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
12
c. bxaRxba :],( disebut selang tertutup di kanan atau
selang terbuka di kiri.
d. bxaRxba :),[ disebut selang tertutup di kiri atau selang
terbuka di kanan.
Untuk selang tak hingga diperlukan lambang dan , yang memenuhi
relasi urutan x untuk setiap bilangan real x. Berdasarkan ini
lambang digunakan untuk sesuatu yang lebih kecil dari setiap bilangan
real (membesar tanpa batas) dan lambang digunakan untuk sesuatu
yang lebih kecil dari setiap bilangan real (mengecil tanpa batas).
a. }:{),( axRxa disebut selang terbuka
b. }:{),[ axRxa disebut selang tertutup di kiri atau terbuka di
kanan
c. }:{),( bxRxb disebut selang terbuka
d. }:{],( bxRxb disebut selang tertutup di kanan atau di
terbuka di kiri
e. R ),(
(Martono, 1999)
3. Himpunan Terbuka dan Tertutup
Di bawah ini akan diberikan definisi ruang metrik, persekitaran, titik
limit, titik interior, himpunan terbuka dan himpunan tertutup.
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
13
Definisi II.B.3.1
Ruang metrik dX , adalah himpunan tak kosong X yang elemen –
elemennya disebut titik yang diperlengkapi dengan fungsi bernilai
real d yang didefinisikan pada XX sedemikian sehingga untuk
setiap x, y dan z di dalam X, dipenuhi:
a. 0, yxd ;
b. 0, yxd , jika dan hanya jika yx ;
c. xydyxd ,, ;
d. yzdzxdyxd ,,, .
Fungsi d yang memenuhi keempat sifat di atas dinamakan jarak atau
metrik pada X.
Definisi II.B.3.2
Diberikan dX , ruang metrik. Jika Xp dan 0r , maka
himpunan rpxdXxpNr ,: disebut persekitaran
(neighborhood) titik p dengan jari – jari r.
Definisi II.B.3.3
Diberikan dX , ruang metrik, himpunan XA dan titik Xp .
a. p disebut titik limit (limit point, cluster point) himpunan A jika
untuk setiap bilangan 0r berlaku pApNr .
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
14
b. p disebut titik dalam (interior point) himpunan A jika ada
bilangan 0r sehingga ApN r .
(Soemantri, 2000)
Definisi II.B.3.4
Diberikan ruang metrik dX , .
a. Himpunan XA merupakan himpunan terbuka jika setiap
anggota A merupakan titik dalam A.
b. Himpunan XA merupakan himpunan tertutup jika A memuat
semua titik limitnya.
(Soemantri, 2000)
C. Fungsi
Sebuah fungsi f adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan
tiap obyek x dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah
nilai f (x) dari himpunan kedua. Pada bagian ini dibicarakan mengenai fungsi
komposisi, fungsi aljabar, fungsi transenden dan fungsi terbatas.
(Varberg, dkk, 1993)
Definisi II.C
Diberikan RBA , fungsi BAf : adalah suatu aturan yang
mengaitkan setiap unsur Ax dengan tepat satu unsur By . Unsur y
yang berkaitan dengan unsur x ini diberi lambang )(xfy yang
terdefinisi pada himpunan A. Dalam hal ini x dinamakan peubah bebas,
dan y yang nilainya bergantung dari x dinamakan peubah tak bebas.
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
15
Terdapat suatu fungsi Axxfy ),( , maka daerah asal fungsi f adalah
himpunan A, ditulis fDA , dan daerah nilai fungsi f adalah himpunan
}:)({ ff DAxxfR . Unsur Bxf )( dinamakan nilai fungsi f di x.
Jika diketahui hanya )(xfy , maka daerah asal dan daerah nilai fungsi
f adalah })(:{ RxfRxD f dan }:)({ ff DAxxfR
1. Fungsi Komposisi
Definisi II.C.1.1
Fungsi komposisi dari g dan f (f dilanjutkan g), ditulis fg adalah
suatu fungsi yang daerah asalnya himpunan bagian dari fD dan
aturannya ditentukan oleh ))(())(( xfgxfg . Daerah asal dan
daerah nilai fungsi fg adalah })(:{ gffg DxfDxD dan
}),(:{ fgfg RttgyRyR
R R
fD
fR
x )(xf
Gambar II.2 Diagram Panah Fungsi
xfy
R R
fR fD
)(xf
x
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
16
(Martono,1999)
2. Fungsi Aljabar
Fungsi aljabar merupakan fungsi yang diperoleh dari berhingga operasi
aljabar atas fungsi konstan ky dan fungsi kesatuan xy . Operasi
aljabar yang dilakukan terhadap kedua fungsi tersebut adalah
penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, pemangkatan dan
penarikan akar ke-n, n = 2,3,....
(Martono, 1999)
Fungsi linear, fungsi kuadrat, fungsi pecahan linear atau kuadrat, dan
fungsi trigonometri semuanya merupakan fungsi aljabar.
3. Fungsi Transenden
Fungsi transenden merupakan fungsi yang tidak dapat dinyatakan sebagai
sejumlah berhingga operasi aljabar atas fungsi konstan y = k dan fungsi
kesatuan y = x.
(Martono,1999)
R R
fD
x
)(xf
R
f g
f g fR gD
gR
))(( xfg
fg fgD
fgR
gf DR
Gambar II.3 Diagram Panah fungsi
fg
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
17
Fungsi transenden terdiri dari fungsi – fungsi berikut:
a. Fungsi eksponensial, didefinisikan oleh xay , untuk 0a dan
1a , Rx .
Jika a = e, maka xey fungsi tersebut yang disebut sebagai fungsi
eksponen natural.
b. Fungsi logaritma, dinyatakan oleh 1,log aaxxy ya & x > 0.
Jika a = e, maka xyxy e lnlog fungsi tersebut yang disebut
sebagai fungsi logaritma natural.
c. Fungsi trigonometri
1) xxfy sin)(
2) xxfy cos)(
3) xxfy tan)(
4) xxfy cot)(
5) xxfy csc)(
6) xxfy sec)(
d. Fungsi invers trigonometri
1) 22
,sinsin 1 xxyyx
2) 2
0,coscos 1 xxyyx
3) 22
,tantan 1 xxyyx
4) 2
&0,secsec 1 xxxyyx
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
18
e. Fungsi Hiperbolik
1) 2
sinhxx ee
x
2) 2
coshxx ee
x
3) x
xx
cosh
sinhtanh
4) x
xx
sinh
coshcoth
5) 𝑠𝑒𝑐ℎxcosh
1
6) csch 𝑥xsinh
1
(Varberg, dkk, 2010)
4. Fungsi Terbatas
Definisi II.C.4.1
Fungsi f dikatakan terbatas jika terdapat M > 0 sehingga Mxf )(
untuk setiap fDx
(Martono, 1999)
Definisi II.C.4.2
Fungsi f dikatakan tidak terbatas jika untuk sebarang M > 0 terdapat
fDx sehingga Mxf )( .
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
19
Contoh:
a. Fungsi xxf sin)( terbatas karena 1sin)( xxf untuk setiap
fDx .
b. Fungsi x
xf1
)( tidak terbatas pada selang ),0( karena untuk
sebarang 0M , terdapat 02
10
Mx
sehingga
MMM
fxf
2
2
1)( 0 .
D. Limit
Di bawah ini akan dijelaskan lebih lanjut mengenai limit fungsi di R,
2R dan nR .
1. Limit Fungsi di R
Definisi II.D.1.1
Diberikan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c,
kecuali mungkin di c sendiri. Limit fungsi f di c adalah L (ditulis
Lxfcx
)(lim atau Lxf )( bila cx ) jika 0
Lxfcx )(00 .
(Martono, 1999)
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
20
Definisi II.D.1.2
Diberikan fungsi f terdefinisi pada selang (c,b), limit kanan fungsi f
di c adalah L ( Lxfcx
)(lim atau Lxf )( bila cx ) jika
0 Lxfcx )(00 .
Jika fungsi f terdefinisi pada selang (a,c), limit kanan fungsi f di c
adalah L ( Lxfcx
)(lim atau Lxf )( bila cx ) jika 0
Lxfxc )(00 .
(Martono, 1999)
Contoh:
Diberikan fungsi 𝑓 𝑥 =
1,
2
12
2
x
xx
x
1,52
31
x
x
x
Tentukan jika ada
a. )(lim1
xfx
b. )(lim1
xfx
c. )(lim1
xfx
Penyelesaian
a. )(lim1
xfx
=3
2
52
31lim
1
x
x
x
b. )(lim1
xfx
=3
2
2
1lim
2
2
1
xx
x
x
c. )(lim1
xfx
= )(lim1
xfx
, maka )(lim1
xfx
ada
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
21
Sifat – sifat Limit Fungsi
a. Ketunggalan limit
Jika Lxfcx
)(lim dan Mxfcx
)(lim , maka L = M
b. Operasi aljabar pada limit
Jika Lxfcx
)(lim dan Mxgcx
)(lim , maka
a) MLxgxfcx
))()((lim = )(lim xfcx
+ )(lim xgcx
b) MLxgxfcx
))()((lim = )(lim xfcx
- )(lim xgcx
c) LMxgxfcx
))()((lim = ))(lim( xfcx
))(lim( xgcx
d) 0)(lim,)(lim
)(lim
)(
)(lim
xgM
xg
xf
M
L
xg
xf
cx
cx
cx
cx
c. Limit fungsi sederhana
a) kkkcx
,lim
konstanta,
b) cxcx
lim ,
c) qpqpcqpxcx
,:)(lim
konstanta,
d) ,lim 22 cxcx
e) cxcx
11lim
f) cxcx
lim
(Martono, 1999)
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
22
2. Limit Fungsi di 2R
Fungsi f adalah fungsi dua variabel dengan domain D maka dapat
dikatakan bahwa limit dari Lyxf ),( dan ditulis
Lyxfbayx
,lim,,
jika untuk setiap 0 terdapat 0 sedemikian sehingga
Lyxf , bilamana Dyx , dan bayx ,,0 dengan
22,, byaxbayx
(Varberg, dkk, 2003)
3. Limit Fungsi di nR
Definisi yang diungkapkan untuk limit fungsi di R dan di 2R tersebut
sedemikian sehingga dapat diperluas untuk fungsi tiga peubah atau lebih.
Secara umum, jika nxxxxfz ,...,,, 321 adalah fungsi n-variabel
dengan domain D maka dapat dikatakan bahwa limit dari
Lxxxxf n ,...,,, 321 dan ditulis
Lxxxf nxxxxxx nn
),...,,(lim 21,...,,,...,, ''
2'121
,
jika untuk 0,0 sedemikian sehingga
Lxxxxf n,...,,, 321 bilamana Dxxxx n ,...,,, 321 dan
''
3
'
2
'
121 ,..,,,,...,,0 nn xxxxxxx
(Varberg, dkk, 2003)
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
23
E. Kekontinuan
Bila suatu fungsi terdefinisi pada selang terbuka yang memuat suatu
titik, kekontinuan fungsinya di titik itu dapat didefinisikan dengan limit
fungsi. Di bawah ini akan dipaparkan kekontinuan di R, 2R dan nR .
1. Kekontinuan di R
Definisi II.E.1.1
Fungsi f terdefinisi pada satu interval terbuka yang memuat c.
Dikatakan bahwa f kontinu di c jika )()(lim cfxfcx
. Jadi fungsi f
dikatakan kontinu disuatu titik c jika dan hanya jika:
a. )(lim xfcx
ada
b. )(cf ada (yakni, c berada dalam daerah asal f ), dan
c. )()(lim cfxfcx
(Varberg, dkk, 2010)
Definisi II.E.1.2
Fungsi f adalah kontinu kanan pada a jika )()(lim afxfax
dan
kontinu kiri pada b jika )()(lim bfxfax
. Fungsi f kontinu pada
sebuah interval terbuka jika f kontinu pada setiap titik pada interval
tersebut. Serta kontinu pada sebuah interval tertutup [a,b] jika
kontinu pada (a,b), kontinu kanan pada a, dan kontinu kiri pada b.
(Varberg, dkk, 2010)
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
24
2. Kekontinuan di 2R
Definisi II.E.2.1
Fungsi ),( yxf dikatakan kontinu dititik 2,),( RDDba jika
),(),(lim
,,bafyxf
bayx
. Fungsi f dikatakan kontinu pada domain
D jika f kontinu di setiap titik (a,b) dalam D.
(Varberg, dkk, 2003)
Definisi II.E.2.2
Fungsi ),( yxf dikatakan kontinu pada suatu himpunan S, jika
),( yxf kontinu di setiap titik pada himpunan S.
(Varberg, dkk, 2003)
3. Kekontinuan di nR
Fungsi nxxxxfz ,...,,, 321 , kontinu di titik ,,...,, ''
2
'
1 Dxxx n
nRD
jika
''
2
'
121,...,,,...,,
,...,,),...,,(lim''
2'121
nnxxxxxx
xxxfxxxfnn
. Fungsi f dikatakan
kontinu pada domain D jika f kontinu di setiap titik ''
2
'
1 ,...,, nxxx dalam
D.
(Varberg, dkk, 2003)
B
A
S
Gambar II.4 Himpunan S
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
25
F. Turunan
Pada bagian kali ini akan dibahas lebih lanjut mengenai turunan di R,
turunan di nR .
1. Turunan di R
Definisi II.F.1.1
Jika fungsi f terdefinisi pada suatu selang terbuka I yang memuat
titik c, maka f dikatakan mempunyai turunan dititik c apabila limit
cx
cfxf
cx
)()(lim ada, dan dalam hal ini nilai limit tersebut disebut
turunan dari f di titik c. Jadi, untuk fungsi f yang mempunyai
turunan di c dituliskan cx
cfxfcf
cx
)()(lim)(' . Dengan mengganti
x dengan c + h, di peroleh h
cfhcfcf
h
)()(lim)('
0
.
(Martono, 1999)
Definisi II.F.1.2
Jika fungsi f terdefinisi pada selang (a,c]. Turunan kiri dari fungsi f
di titik c, ditulis f’(c) didefinisikan sebagai cx
cfxfcf
cx
)()(lim)('
atau h
cfhcfcf
h
)()(lim)(
0
'
(Martono, 1999)
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
26
Definisi II.F.1.3
Jika fungsi f terdefinisi pada selang [c,b). Turunan kanan dari fungsi
f di titik c, ditulis )(' cf dan didefinisikan sebagai
cx
cfxfcf
cx
)()(lim)(' atau
h
cfhcfcf
h
)()(lim)(
0
'
(Martono, 1999)
Definisi II.F.1.4
Jika fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c, maka
fungsi f terdiferensialkan di )()( '' cfcfc
(Martono, 1999)
Contoh:
Jika 𝑓 𝑥 = 2,
2
42
x
x
x
2,23 xx
, tentukan nilai 2'f (jika ada)!
Penyelesaian:
)2(
)2(
)2(44
lim2
)22.3(2
4
lim2
)2()(lim
2
2
2
22
x
x
xx
x
x
x
x
fxf
xxx
1)2(
)2(lim
)2(
844lim
2
2
22
2
2
x
x
x
xx
xx
3)2(
63lim
2
)22.3()23(lim
2
)2()(lim
222
x
x
x
x
x
fxf
xxx
Karena 2
)2()(lim
2
)2()(lim
22
x
fxf
x
fxf
xx maka
2
)2()(lim
2
x
fxf
x
dengan kata lain 2'f tidak ada.
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
27
Teorema II.F.1.5
Jika xf ' ada maka f kontinu di c.
Bukti:
Jika cf ' ada berarti cx
cfxfcf
cx
)()(lim)('
ada, maka
cxcfcfxfcxcx
lim).(')()(lim
)()(lim cfxfcx
Karena fcfxfcx
)()(lim kontinu di c.█
a. Aturan pencarian turunan
Jika )(xfy , turunan f dapat dinyatakan dengan tiga notasi (notasi
Leibniz) yaitu )(' xf atau )(xfDx atau dx
dy.
1) kxf )( , dengan k konstanta 0)(' xf
2) 1)(')( xfxxf
3) 1)(')( nn nxxfxxf
4) k suatu konstanta dan f fungsi yang terdeferensialkan, maka
xfkxkf '.'
f dan g adalah fungsi yang terdiferensialkan
5) xgxfxgf '''
6) xgxfxgf '''
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
28
7) xfxgxgxfxgf '''.
8) )(
)(')()()(')('
2 xg
xgxfxgxfx
g
f
(Varberg, dkk, 2000)
b. Turunan fungsi trigonometri
Di bawah ini diberikan turunan pertama untuk fungsi trigonometri.
1) xxfxxf cos)('sin)(
2) xxfxxf sin)('cos)(
3) xxfxxf 2sec)('tan)(
4) xxfxxf 2csc)('cot)(
5) xxxfxxf tansec)('sec)(
6) xxxfxxf cotcsc)('csc)(
(Martono,1999)
c. Turunan fungsi invers
Definisi II.F.1.c
Jika fungsi f kontinu dan satu – satu pada selang fDI dengan
aturan Ixxfy ),( dan inversnya adalah fRyyfx ),(1.
Jika fungsi f terdiferensialkan pada I dengan 0)(' xf pada I,
maka fungsi 1f juga terdiferensialkan pada fR dan aturan
turunannya ditentukan oleh )('
1))'(( 1
xfyf atau
dy
dxdx
dy 1
(Martono, 1999)
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
29
d. Turunan fungsi komposisi
Definisi II.F.1.d
Jika ufy dan xgu . Jika g terdiferensiasikan di x dan f
terdiferensiasikan di xgu , maka fungsi komposisi gf
yang didefinisikan oleh ))(())(( xgfxgf , adalah
terdiferensiasikan di x dan )('))((')()'( xgxgfxgf atau
dx
du
du
dy
dx
dy .
(Varberg, dkk, 2000)
e. Turunan fungsi logaritma
1) Turunan fungsi logaritma alami dapat dituliskan sebagai berikut:
xxfxxf
1)('ln)(
2) Turunan fungsi logaritma dapat dituliskan sebagai berikut:
axxfxxf a
ln
1.
1)('log)(
f. Turunan fungsi eksponensial
1) Turunan fungsi eksponen alami dapat dituliskan sebagai berikut:
xx exfexf )(')(
2) Turunan fungsi eksponen dapat dituliskan sebagai berikut:
1,ln)(')( aaaxfaxf xx
(Varberg, dkk, 2000)
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
30
g. Turunan tingkat tinggi
Operasi diferensiasi mengambil sebuah fungsi f dan menghasilkan
sebuah fungsi baru 'f . Jika 'f didiferensiasi menghasilkan fungsi
''f (f dua aksen) dan disebut turunan kedua dari f. Dan boleh
didiferensiasi yang menghasilkan '''f yang disebut turunan ketiga
dari f. Turunan keempat dinyatakan dengan )4(f , turunan kelima
dinyatakan )5(f dan seterusnya.
(Varberg, dkk, 2000)
Contoh:
8742)( 23 xxxxf , maka
786)(' 2 xxxf
812)('' xxf
12)(''' xf
0)4( f
Karena turunan fungsi nol adalah nol, maka turunan keempat dan
semua turunan tingkat yang lebih tinggi (higher-order derivative)
dari f akan nol.
2. Turunan di nR
Sebuah fungsi bernilai real dengan dua peubah real (real valued function
of two variables) yaitu fungsi f (Gambar II.5) yang menghubungkan
setiap pasangan berurut yx, pada suatu himpunan D dalam suatu
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
31
bidang dengan sebuah bilangan real (unik) dari yxf , . Himpunan D
disebut daerah asal (domain) suatu fungsi. Jika tidak dinyatakan secara
spesifik, D dapat dinyatakan sebagai daerah asal alami (natural domain),
yaitu himpunan seluruh titik yx, pada suatu bidang dimana fungsi
tersebut masuk akal dan menghasilkan nilai bilangan real. Daerah hasil
(range) dari sebuah fungsi adalah himpunan dari nilai – nilainya. Jika
yxfz , , maka x dan y disebut sebagai peubah bebas (independent
variable) dan z sebagai peubah tak bebas (dependent variable). Seluruh
hal diatas berlaku untuk fungsi – fungsi bernilai real dengan tiga peubah
real (atau bahkan n peubah real).
(Varberg, dkk, 2003)
Definisi II.F.2.1
Jika f adalah fungsi dengan dua peubah x dan y. Jika y dijaga agar
tetap konstan, misal 0yy maka ),( 0yxf adalah fungsi dengan
(x,y) f (x,y) (x,y)
f
Daerah asal Daerah hasil
Gambar II.5 Fungsi f
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
32
peubah tunggal x. Turunannya di 0xx disebut turunan parsial f
terhadap x di ),( 00 yx dan dinyatakan sebagai ),( 00 yxf . Jadi,
x
yxfyxxfyxf
xx
),(),(lim),( 0000
000
Begitu juga turunan parsial f terhadap y di ),( 00 yx dinyatakan
dengan ),( 00 yxf y dan dirumuskan dengan:
y
yxfyxxfyxf
yx
),(),(lim),( 0000
000
Untuk menentukan ),( yxf x dan ),( yxf y dengan menggunakan
aturan – aturan standar turunan, dan mensubstitusikan 0xx dan
0yy .
(Varberg, dkk, 2003)
Secara umum, jika f adalah suatu fungsi n peubah yaitu nxxx ,...,, 21 . Jika
nxx ,...,2 dibuat konstan, misalnya ''
22 ,...,,..., nn xxxx , maka
''
21 ,...,, nxxxf menjadi fungsi satu peubah 1x . Turunannya di '
11 xx
disebut turunan parsial f terhadap 1x di ''
2
'
1 ,...,, nxxx dan dinyatakan
sebagai ''
2
'
1 ,...,,1 nx xxxf atau
1
21 ,...,,
x
xxxf n
. Jadi,
1
''
2
'
1
''
21
'
1
0
''
2
'
1
,...,,,...,,lim,...,,
11 x
xxxfxxxxfxxxf nn
xnx
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
33
Demikian pula, turunan parsial f terhadap 2x di ''
2
'
1 ,...,, nxxx dan
dinyatakan sebagai ''
2
'
1 ,...,,2 nx xxxf atau
2
21 ,...,,
x
xxxf n
dan dituliskan
sebagai
2
''
2
'
1
'
2
'
2
'
1
0
''
2
'
1
,...,,,...,,lim,...,,
22 x
xxxfxxxxfxxxf nn
xnx
Turunan parsial terhadap nxxx ,...,, 43 didefinisikan dengan cara yang
sama. Jadi, untuk turunan parsial f terhadap nx di ''
2
'
1 ,...,, nxxx dan
dinyatakan sebagai ''
2
'
1 ,...,, nx xxxfn
atau
n
n
x
xxxf
,...,, 21 . Dan
dituliskan sebagai
n
nnn
xnx
x
xxxfxxxxfxxxf
nn
''
2
'
1
''
2
'
1
0
''
2
'
1
,...,,,...,,lim,...,,
Contoh:
Jika )sin( 22 xyxz tentukan x
z
dan
y
z
Penyelesaian:
2222 sinsin xx
xyxyx
xx
z
xxyxy
xxyx 2.sincos 2222
2222 sin.2.cos xyxyxyx
2222 sin.2cos xyxxyyx
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
34
2322 cos22.cos xyyxxyxyxy
z
Turunan parsial dari suatu fungsi x dan y, secara umum adalah
sebuah fungsi lain dari dua peubah yang sama tersebut, maka turunan
tersebut dapat didiferensialkan secara parsial terhadap x atau y,
menghasilkan empat buah turunan parsial kedua (second partial
derivative) dari f.
2
2
x
f
x
f
xf xx
xy
f
x
f
yff yxxy
2
)(
2
2
y
f
y
f
yf yy
yx
f
y
f
xff xyyx
2
)(
(Varberg, dkk, 2003)
Contoh:
Tentukan empat turunan parsial kedua dari
23sin),( yxy
xxeyxf y
Penyelesaian:
223cos1
),( yxy
x
yeyxf y
x
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
35
23
22cos),( yx
y
x
y
xxeyxf y
y
2
26sin
1),( xy
y
x
yyxf xx
3
34
2
2cos2
sin),( xy
x
y
x
y
x
y
xxeyxf y
yy
yxy
x
yy
x
y
xeyxf y
xy
2
236cos
1sin),(
yxy
x
yy
x
y
xeyxf y
yx
2
236cos
1sin),(
Turunan – turunan parsial ketiga atau lebih dapat didefinisikan
secara analogis, dan notasi penulisannya juga serupa. Jika f adalah fungsi
dengan dua peubah x dan y, maka turunan parsial ketiga f diperoleh
dengan mendiferensiasikan f secara parsial, pertama terhadap x dan
kemudian dua kali terhadap y, yang dapat dinyatakan dengan
xyyfxy
f
xy
f
yx
f
yy
2
32
(Varberg, dkk, 2003)
G. Integral
Konsep integral tak tentu diperkenalkan sebagai kebalikan operasi
pendiferensialan, yaitu sebagai bentuk yang paling umum dari anti – turunan.
Integral tentu diperkenalkan sebagai limit jumlah Riemann sebagai
generalisasi dari proses perhitungan luas daerah tertutup pada bidang datar.
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
36
Keterkaitan antara dua integral ini dikenal sebagai Teorema Dasar Kalkulus
yang salah satunya adalah turunan dari bentuk integral tertentu dengan
peubah di limit atasnya. Di bawah ini akan dijelaskan lebih lanjut mengenai
integral tak tentu dan integral tentu.
1. Integral Tak Tentu
Definisi II.G.1.1
F suatu anti turunan dari f pada selang I jika xfxF '' untuk
semua x dalam I.
(Varberg, dkk, 1993)
Teorema II.G.1.2
Jika f dan g dua fungsi sedemikian sehingga xgxf '' untuk
Ix ( I selang ), maka suatu konstanta c sehingga
cxgxf , untuk Ix .
Bukti:
Ambil fungsi h yang didefinisikan pada selang I dengan definisi
Ixxgxfxh ),()()(
maka Ixxgxfxh ),(')(')('
karena )(')(' xgxf untuk Ix berakibat
0)(')(')(')(')(' xgxgxgxfxh
Jadi, Ixxh ,0)('
Karena 0)(' xh maka konstanta c sehingga Ixcxh ,)('
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
37
cxgxf )()(
Ixcxgxf ,)()( .█
Teorema II.G.1.3
Jika f merupakan anti turunan khusus dari f pada selang I maka
setiap anti turunan dari f pada I diberikan oleh cxF dengan c
sembarang konstanta.
Bukti:
Ambil G sembarang anti turunan dari f pada I maka
IxxfxG ),(' ......... (1)
Karena F merupakan anti turunan khusus dari f pada I maka
IxxfxF ),(' ......... (2)
dari (1) dan (2) diperoleh:
IxxFxG ),(''
Menurut teorema 7.a.2 terdapat konstanta c sedemikian sehingga
.cxFxG
Karena G sembarang, berarti setiap anti turunan f diberikan oleh
.cxF
Jadi, cxFdxxf dengan xfxF ' atau
dxxfxFd .█
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
38
Teorema II.G.1.4
Jika n adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka
cr
xdxx
nn
1
1
Bukti:
Misal: nxxf dan 1
1
n
xxF
n
diperoleh cxFdxxf
dibuktikan cxFdxxf
maka akan ditunjukkan
)()1(
1
11))((
)())((
1
xfnxn
xn
dx
cn
xd
dx
cxFd
xfdx
cxFd
nn
n
berarti cxFdxxf )()( atau cn
xdxx
nn
1
1
untuk n = 0 diperoleh cxcx
dxxdxxn
10
100
jadi, cxdx .█
Untuk integral pada fungsi trigonometri adalah sebagai berikut:
a. cxxdx cossin
b. cxxdx sincos
c. cxxdx tansec2
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
39
d. cxxdx cotcsc2
e. cxxdxx sectansec
f. cxxdxx csccotcsc
Teorema II.G.1.5
Jika fungsi f dan g mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan
misalkan k suatu konstanta, maka:
a. dxxfkdxxkf )()(
b. dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
Bukti:
f dan g mempunyai anti turunan.
cxF )( anti turunan dari f, jadi cxFdxxf )()( ,
)()( xfcxFd
cxG )( anti turunan dari g, jadi cxGdxxg )()( ,
)()( xgcxGd
a. dxxfkdxxkf )()(
dx
kcxkFd
dx
cxFkd
0)(' xkF
dxxfxFdxkf ),(
Dengan kata lain dxxfkcxFkdxxkf )()(
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
40
b. dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
dx
cxGxFd
dx
cxGdcxFd 2
xGxF ')('
xgxf )(
Dengan kata lain,
dxxgdxxfcxGcxFdxxgxf )()()( .█
Teorema II.G.1.6
Diberikan g fungsi yang dapat didiferensialkan dan daerah hasil
(nilai) dari g adalah selang I. Jika f fungsi yang didefinisikan pada I
dan F anti turunan dari f pada I, maka
cxgFdxxgxgf '
Bukti:
Karena F anti turunan dari f pada selang I maka xgfxgF '
dibuktikan xgxgfcxgFdx
d'.
xgxgFcxgFdx
d'.'
xgxgf '.
Dengan kata lain cxgFdxxgxgf ' .█
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
41
Teorema II.G.1.7
Jika g suatu fungsi yang dapat terdiferensiasi dan f suatu bilangan
rasional yang bukan -1, maka
cr
xgdxxgxg
rr
1
)('
1
.
Bukti:
Jika u = g (x) adalah fungsi yang dapat didiferensiasi dan r suatu
bilangan rasional 1r maka,
uDur
uD x
rr
x .1
1
atau
xgxgr
xgD
rr
x '.1
1
.█
2. Integral Tentu
Jika f didefinisikan pada interval tertutup [a,b]. Fungsi ini bisa
bernilai positif atau negatif pada interval tersebut dan bahkan tidak perlu
kontinu. Misalkan suatu partisi P membagi interval [a,b] menjadi n
interval bagian (tidak perlu sama panjang) dengan menggunakan titik –
titik bxxxxxa nn 1210 ... dan misalkan 1 iii xxx .
Pada setiap bagian interval ii xx 1 , dengan mengambil sebuah titik
sebarang titik ix (mungkin saja titik ujung) yang disebut sebagai titik
sampel untuk interval bagian ke-i.
(Varberg, dkk, 2010)
P disebut norma (norm) P, menyatakan panjang interval-bagian yang
terpanjang dari partisi P. Misal f suatu fungsi yang didefinisikan pada
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
42
interval tertutup [a,b]. Jika
n
i
iiP
xxf1
0lim ada, dikatakan f
terintegrasikan pada [a,b]. Suatu jumlah Riemann ditafsirkan sebagai
sebuah jumlah aljabar dari luas-luas.
Kemudian b
a
dxxf )( disebut integral tentu (atau integral Riemann) f dari
a ke b, kemudian diberikan oleh
n
i
iiP
b
a
xxfdxxf1
0lim)( .
Teorema II.G.2.1
Jika f kontinu (karenanya terintegrasikan) pada [a,b] dan diberikan
F adalah sebarang anti – turunan dari f pada [a,b], maka,
x
a
aFbFdxxf )()()(
654321
6
1
AAAAAAxxfi
ii
Gambar II.6 Jumlah Riemann
y = f(x)
x
y
1x
2x 4x
3x
5x
6x
0xa 5x 6xb
4x
3x 2x
1x
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
43
Bukti:
Karena fungsi F dan G kontinu pada interval tertutup [a,b],
didapatkan F(a) = G(a) + c dan F(b) = G(b) + c. Jadi F(x) = G(x) + c
pada interval tertutup [a,b].
Karena
b
a
dttfaG 0)()( , maka cccaGaF 0)()( .
Karena itu,
b
a
dttfbGccbGaFbF )()()()()( .█
a. Integral lipat dua atas persegi panjang
Jika R adalah sebuah persegi panjang dengan sisi – sisi sejajar
dengan sumbu koordinat },:),{( dycbxayxR . Bentuk
partisi P dari R dalam pengertian membentuk garis – garis sejajar
dengan sumbu x dan sumbu y (Gambar II.7).
Gambar II.7 Daerah dycbxayxR ,:,
kk yx ,
c d
a
b
x
y
z
kR
R
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
44
Pembuatan partisi ini membagi R menjadi persegi panjang yang
lebih kecil sebanyak n, kemudian menotasikannya dengan kR , k =
1,2,3,...,n. Misalkan kx dan ky adalah panjang sisi – sisi kR dan
misalkan kkk yxA adalah luasnya. Pada kR ambil sebuah titik
contoh kk yx , dan bentuk jumlah Riemann
n
k
kkk Ayxf1
),( yang
berhubungan (jika 0),( yxf ) dengan jumlah volume n kotak
(Gambar II.8).
Dengan membuat partisi tersebut semakin kecil sedemikian rupa
sehingga seluruh kR juga mengecil, akan menuntun ke konsep yang
dikehendaki. Dengan ketentuan tambahan bahwa aturan partisi P,
dilambangkan dengan P adalah diagonal terpanjang dari sub
persegi panjang dalam partisi tersebut.
(Varberg, dkk, 2003)
Gambar II.8 Permukaan z = f (x,y)
),( yxfz
Volume =
kkk Ayxf ),(
c d
a
b
x
y
z
kR
R
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
45
Definisi II.G.2.a
Jika f adalah fungsi dengan dua peubah yang didefinisikan pada
sebuah persegi panjang tertutup R. Jika
n
k
kkkP
Ayxf1
0,lim
ada, maka dikatakan bahwa f dapat terintegralkan di R.
Disamping itu, R
dAyxf ),( disebut integral lipat-dua (double
integral) dari f atas R, yang dapat dinyatakan dengan
n
k
kkkP
R
AyxfdAyxf1
0,lim),(
(Varberg, dkk, 2003)
Sifat – sifat integral lipat dua
Jika f (x,y) dan g (x,y) kontinu dan Rk maka
1) Integral lipat dua bersifat linear, yaitu
i. RR
dAyxfkdAyxkf ),(),(
ii. RRR
dAyxgdAyxfdAyxgyxf ),(),(),(),(
2) Integral lipat dua bersifat aditif (penjumlahan) pada persegi
panjang yang saling tumpang-tindih hanya pada sebuah ruas
garis.
21
),(),(),(RRR
dAyxfdAyxfdAyxf
3) Sifat perbandingan berlaku. Jika ),(),( yxgyxf untuk seluruh
(x,y) di R, maka
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
46
RR
dAyxgdAyxf ),(),(
(Varberg,dkk, 2003)
b. Integral lipat dua atas daerah bukan persegi panjang
Definisi II.G.2.b
Suatu himpunan S yang tertutup dan terbatas pada bidang. S
dikelilingi dengan persegi panjang R dengan sisi – sisi sejajar
sumbu – sumbu koordinatnya (Gambar II.9 & Gambar II.10).
Andaikan yxf , didefinisikan (atau didefinisikan ulang)
0, yxf pada bagian R diluar S (Gambar II.11). f dapat
terintegralkan di S jika f dapat diintegralkan pada R dan
dituliskan dengan RS
dAyxfdAyxf ),(),( .
(Varberg, dkk, 2003)
S
R
Gambar II.10
Kurva S Dikelilingi Persegi
Panjang R
S
Gambar II.9 Kurva S tertutup
S
z = f (x,y)
f (x,y) = 0
Gambar II.11 Kurva S : z = f (x,y)
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
47
c. Perhitungan Integral lipat dua atas persegi panjang
Himpunan dengan batas – batas melengkung bisa menjadi
sangat rumit. Untuk tujuan yang akan dicapai, akan cukup memadai
jika menggunakan himpunan sederhana-x dan himpunan sederhana-y
(dan gabungan terhingga dari himpunan – himpunan tersebut).
Sebuah himpunan S dikatakan sederhana y jika himpunan tersebut
sederhana pada arah y, artinya bahwa sebuah garis pada arah ini
memotong S dalam selang tunggal (atau titik atau tidak sama sekali).
Jadi, sebuah himpunan S disebut sederhana-y (y-simple) (Gambar
II.12) jika terdapat fungsi 1 dan fungsi 2 pada [a,b] sedemikian
rupa sehingga
bxaxyxyxS ,:, 21
Suatu himpunan S dikatakan sederhana-x (x-simple) (Gambar II.13)
jika terdapat fungsi 1 dan fungsi 2 pada [c,d] sedemikian rupa
sehingga
dycxxyyxS ,:, 21
y
0 x
Gambar II.13 Kurva Sederhana-x
yx 1
d
c
yx 2
S
S
y
0 x
Gambar II.12 Kurva Sederhana-y
xy 2
xy 1
a b
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
48
Jika akan menghitung integral lipat-dua dari fungsi f (x,y) atas
sebuah himpunan sederhana-y S. Lingkupi S di dalam sebuah persegi
panjang R (Gambar II.14) dan menbuat f (x,y) = 0 diluar S.
b
a
d
cRS
dxdyyxfdAyxfdAyxf ,),(),(
b
a
x
x
dxdyyxf2
1
,
Pada pengintegralan sebelah dalam, x dipertahankan tetap. Jadi
pengintegralan dilakukan disepanjang garis vertikal tebal pada
Gambar II.14 Pengintegralan ini menghasilkan luas A(x) dari suatu
penampang melintang (cross section). Akhirnya, A(x) diintegralkan
dari a ke b.
Jika himpunan S adalah sederhana-x (Gambar II.13), maka dengan
cara yang sama akan menghasilkan rumus
d
c
x
xS
dxdyyxfdAyxf2
1
,),(
S
y
0 x
Gambar II.14 Kurva S sebagai Persegi Panjang
xy 2
xy 1
a b
R
d
c
x
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
49
Jika himpunan S bukan sederhana-x maupun sederhana-y (Gambar
II.15), maka biasanya himpunan tersebut dapat dilihat sebagai
sebuah gabungan dari bagian – bagian yang mempunyai salah satu
dari sifat – sifat lainnya. Dicontohkan lingkaran pada Gambar II.16
tidak sederhana-y 1S dan 2S . Integral – integral dari bagian – bagian
lingkaran ini dapat ihitung dan kemudian dijumlahkan untuk
memperoleh integral atas S.
(Varberg, dkk, 2003)
d. Integral lipat dua dalam koordinat kutub
Kurva – kurva tertentu pada suatu bidang, seperti lingkaran,
kardiodid, dan mawar lebih mudah dijelaskan dengan menggunakan
y
0 x
Gambar II.15 Kurva Bukan Sederhana-x atau Sederhana-y
S
1S
2S
Gambar II.16 Gabungan Dua
Himpunan Sederhana-y 1S dan 2S
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
50
koordinat Cartesius (koordinat siku – siku). Sehingga dapat
diharapkan bahwa integral lipat dua atas daerah yang tertutup oleh
kurva-kurva seperti itu akan mudah dihitung dengan menggunakan
koordinat kutub.
Misalkan R mempunyai bentuk seperti yang digambarkan pada
Gambar II.17, yang disebut dengan persegi panjang kutub (polar
rectangle). Misal yxfz , menentukan sebuah permukaan atas R
dan andaikan f kontinu dan tak negatif. Maka volume V benda
padat di bawah permukaan ini dan di atas R (Gambar II.18) dapat
dinyatakan dengan
R
dAyxfV ),( .......... (1)
Di dalam koordinat kutub, persegi panjang kutub R mempunyai
bentuk ,:, brarR . Untuk menghitung
volumenya yaitu menggunakan koordinat kutub.
R
br
ar
0 Sumbu Kutub
Gambar II.17 Persegi Panjang Kutub
R x
y
z
,),( rFyxfz
Gambar II.18 ,),( rFyxfz
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
51
R dibagi – bagi menjadi partisi – partisi yang lebih kecil
berbentuk persegi panjang kutub nRRR ,....,, 21 dengan menggunakan
kisi kutub (polar grid), dan misalkan kr dan k menyatakan
dimensi potongan kR
(Gambar II.19). Luas )( kRA dinyatakan
dengan kkkk rrRA )( dimana kr adalah jari –jari rata – rata kR .
Jadi kkkk
n
k
k rrrFV
),(1
.
Saat menggunakan limit sebagai aturan pembagian partisi yang
mendekati nol, maka akan memperoleh volume yang sebenarnya.
Limit ini adalah sebuah integral lipat dua.
rdrdrrfdrdrFVRR
)sin,cos(),( ......... (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh
rdrdrrfdAyxfRR
)sin,cos(),(
Persamaan diatas diturunkan dengan asumsi bahwa f tak negatif,
tetapi berlaku untuk fungsi – fungsi yang sangat umum, khususnya
fungsi – fungsi kontinu dengan tanda sebarang.
(Varberg, dkk, 2003)
R
kr
kR
0
k
Gambar II.19 Partisi R dalam Persegi Panjang Kutub
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
52
H. Integral Kurzweil-Henstock
Pendefinisian integral Kurzweil – Henstock diawali dengan pendefinisian
partisi - fine.
Definisi II.H.1
Diberikan Rba,: . Sebuah partisi vu,, pada ba, disebut
fine jika
u
merupakan indikasi bahwa adalah partisi - fine.
(Yee, 2000)
Teorema II.H.2 (Causin’s Lemma)
Jika Rba,: dan bdca maka terdapat partisi fine pada
dc,
Bukti:
Andaikan tidak ada partisi - fine pada dc, dengan badc ,, .
Diambil titik tengah dc, yaitu
2
,dc, maka
2,
dcc dan
d
dc,
2
juga tidak mempunyai partisi - fine.
Ambil setengah dari interval dc, yang tidak mempunyai partisi – partisi
- fine sebut 11,dc . Selanjutnya, ambil setengah dari interval 11,dc
u v
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
53
yang tidak mempunyai partisi - fine. Proses dilanjutkan sampai
diperoleh interval bersarang nn dc , dengan 02 n
nn cdcd .
Pastilah terdapat titik C yang berada pada interval nn dc , untuk setiap n.
Karena 0c , maka terdapat suatu bilangan N sedemikian hingga
untuk Nn berlaku ccd nn , Pertidaksamaan tersebut
menunjukkan bahwa nn dvCuC 11 maka
merupakan partisi - fine nn dc , . Padahal diketahui bahwa nn dc ,
tidak mempunyai partisi - fine sehingga kontradiksi.█
Teorema II.H.3
Jika Rba ,:1 dan Rba ,:2 merupakan 2 fungsi bernilai
positif, Rba ,: dengan 21 ,min untuk setiap
ba, , maka partisi - fine juga merupakan partisi - i fine dengan
i=1,2.
Bukti:
Ambil partisi - fine pada ba, , maka berlaku:
vu
Karena 21 ,min maka
i dan i
Sehingga berlaku
ii vu
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
54
Berakibat
ii vu
Sehingga merupakan partisi - i fine atau merupakan partisi - fine.█
Definisi II.H.4
Fungsi Rbaf ,: dikatakan terintegral Kurzweil – Henstock pada
ba, jika terdapat bilangan I sehingga untuk setiap bilangan 0
terdapat fungsi Rba ,: sehingga untuk setiap partisi - fine
vu,, pada ba, berlaku
If , dengan uvff
(Yee, 2000)
Teorema II.H.5 (Teorema Kekonvergenan Monoton)
Diberikan
i. Barisan xf k adalah monoton untuk hampir semua
nRJx .
ii. Fungsi kf adalah terintegral Kurzweil-Henstock dan barisan
J
kf adalah terbatas, dengan kata lain untuk beberapa K
semua Nk .
iii. ff kk
lim terbatas
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
55
Maka f terintegral Kurzweil-Henstock pada J dan
J
kk
J
ff lim ... (1)
Bukti:
Diasumsikan bahwa kf adalah barisan naik, 0kf dan f . Barisan
B
A
kf merupakan barisan monoton dan terbatas. Limit kanan dari (1) ada,
dan dinotasikan dengan L. Diberikan , dapat diperoleh N dimana
3
Lf
J
N
kemudian diperoleh Nxk untuk xkk ,
xfxfxxf k 3
1 (2)
dari Lemma Henstock ada ukuran n pada nR dimana
k
K
kiik
i
fKxf2.3
(3)
dimana partisi bagian riKx ii ,...,1;, merupakan -fine. Dan
didefinisikan
xxx exk untuk Jx
diberikan merupakan partisi dari J. Akan dibuktikan
.
LKxf ii (4)
jumlahan Riemann dari f ke L, selanjutnya
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
56
iixk Kxfi
(5)
i
i
K
xkf (6)
dari sebelumnya
3
iixkiiiixk KxfKxfKxfii
(7)
dan
J
N
K
N
K
xk Lfff
ii
i 3 (8)
oleh N , ixk terbesar diperoleh
J
N
K
N
K
xk Lfff
ii
i (9)
selanjutnya diestimasikan perbedaan diantara (5) dan (6), dengan kata lain
i
ii
K
xkiixk fKxf (10)
ixk tidak begitu berbeda, diberikan kiii ,...,, 21 merupakan beda i, dimana
kxk i . Dari (10) suku dengan kesamaan kxk i dari (3)
k
k
j K
xkijijk
ij
ifKxf
2.31
akibatnya
32.31
k
K
xkiixk
i
iifKxf (11)
dari (7), (8) dan (9)
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
57
3
2
3LfKxfKxf
i
ii
K
xkiixkii
Dengan kata lain
LfKxfKxf
i
ii
K
xkiixkii3
23
█
I. Himpunan Terukur
Terdapat dua ukuran di dalam suatu himpunan yaitu ukuran luar dan ukuran
dalam. Definisi dari kedua ukuran tersebut sebagai berikut.
1. Ukuran luar
Definisi II.I.1
Diberikan himpunan RE . Ukuran luar E diberi notasi E*
yang didefinisikan sebagai berikut: OEOE :inf{* dan O
himpunan terbuka}
2. Ukuran dalam
Definisi II.I.2
Diberikan himpunan RE . Ukuran dalam E diberi notasi E*
yang didefinisikan sebagai berikut: KEKE :sup{* dan K
himpunan tertutup}
Dari definisi di atas jelas bahwa EE *
* untuk himpunan E
dan jika BA maka EE *
* .
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
58
3. Himpunan Terukur
Di bawah ini akan diberikan definisi dari himpunan yang terukur.
Definisi II.I.3
Suatu himpunan RE dikatakan terukur jika ukuran luar sama
dengan ukuran dalam atau EE *
*
(Royden, 1968)
J. Fungsi Terukur
Sebelum dibahas lebih lanjut mengenai fungsi terukur, terlebih dahulu akan
dibahas mengenai definisi fungsi hampir dimana – mana.
Definisi II.J.1
Suatu fungsi dikatakan mempunyai sifat P pada E hampir dimana – mana
jika fungsi tersebut bersifat P hampir dimana – mana kecuali untuk
himpunan EA dan 0A .
Contoh:
Suatu fungsi REf : dan REg : adalah hampir dimana – mana
pada E jika dan hanya jika xgxf untuk AEx dengan
0A dan xgxf untuk EA dengan 0A .
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
59
Definisi II.J.2
Suatu fungsi REf : adalah terukur jika E adalah himpunan terukur
dan untuk setiap Rr , himpunan rxfEx | adalah terukur.
(Gordon, 1994)
Teorema II.J.3
Diberikan E himpunan terukur dan jika REf : kontinu hampir
dimana – mana pada E, maka f terukur.
Bukti:
Diberikan B himpunan diskontinu pada E. Jika 0B , semua subset B
adalah terukur. Misalkan Rr dan diperoleh
rxfBxrxfBExrxfEx ||| . Maka akan
dibuktikan bahwa himpunan rxfBBxC | adalah terukur.
Jika f kontinu pada setiap titik pada C, untuk Cx terdapat 0x
sedemikian sehingga rtf dimana zxzEzt : . Misalkan
Cx
xxzzU
: , maka U himpunan terukur dan berakibat
BEUC adalah terukur.█
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
60
K. Teorema Tonelli
J didefinisikan sebagai interval pada nR dengan BAJ , A adalah interval
pada lR dan B adalah interval pada mR , mln .
Teorema II.K.1 ( Teorema Tonelli )
1. f terukur pada J
2. ada fungsi g sedemikian sehingga gf pada J dan
A B
dxdyyxgA ,1 ,
B A
dydxyxgA ,2
f terintegral Kurzweil-Henstock pada J.
Untuk fg , berakibat:
Akibat II.K.2
Jika f terukur,
A B
dxdyyxfA ,1 ,
B A
dydxyxfA ,2
Akibat II.K.3
Jika f terukur dan non-negatif, maka
B AA BJ
dydxyxfdxdyyxff ,,
Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013