lts 1

III Sistem LTI Waktu Diskrit

Sistem LTI

Operasi Konvolusi

Watak sistem LTI

Stabilitas sistem LTI

Kausalitas sistem LTI

lts 2

Sistem LTI

Linear Time Invariant

Linear Tak-ubah-Waktu

Linear Shift Invariant ( LS I )

III.1 Sistem LTI

Sistem LTI adalah sistem yang memiliki sifat super-

posisi (sifat linear) dan sifat ketak-ubahan waktu.

Secara matematis sistem LTI mudah dianalisis dan

dimanipulasi , sehingga memungkinkan

pengembangan berbagai algoritma pengolahan

isyarat digital berbasiskan sistem LTI .

lts 3

Sistem LTI dicirikan oleh respons impuls-nya :

Sistem

LTI

h[n]

d[n] h[n]

-2 -1 0 1 2 3 4 n n

Respons Impuls h[n] adalah runtun output yang dihasilkan oleh

sebuah sistem LTI ketika pada inputnya diberikan

runtun unit impuls d[n].

-2 -1 0 1 2 3 4

lts 4

Sifat ketak-ubahan-waktu :

Sistem

LTI

h[n]

d[n]h[n]

-2 -1 0 1 2 3 4 n n

-2 -1 0 1 2 3 4

Sistem

LTI

h[n]

d[n-k] h[n-k]

-2 -1 0 1 2 3 4 n n

-2 -1 0 1 2 3 4

k k

Pergeseran runtun impuls sebesar k cuplikan akan mengakibatkan

pergeseran runtun respons-impuls sebesar k cuplikan.

lts 5

Sifat superposisi (linear) :

Sifat superposisi sistem LTI dapat dimanfaatkan untuk menyeder-

hanakan perhitungan output sistem ketika runtun input sembarang

diberikan.

Langkah langkah perhitungan output sistem LTI :

1. Dekomposisikan runtun input sembarang x[n] menjadi runtun-

runtun impuls tergeser k dan terskala x[k] d[n-k] .

k adalah integer didalam range - sampai dengan +

2. Dengan satu runtun impuls tergeser k dan terskala sebagai input,

hitung runtun output y[n]k = x[k] h[n – k].

Kerjakan langkah 2 sampai seluruh runtun impuls tergeser dan

terskala diberikan

3. Jumlahkan seluruh hasil perhitungan output pada langkah 2

8 8

lts 6

x[n]

n-2 -1 0 1 2 3 4

n

n

n

n

Runtun x[n] sembarang :

x[n] =

x[n]k = ...

x[-1]

x[0]

x[1]x[2]

k = -1

k = 0

k = 1

k = 2

1. Dekomposisi runtun x[n]

=

+

+

+

x[n]kSk = - 8

8

x[n] -1

x[n]0

x[n]1

x[n]2

x[n]0 +

x[n]-1 +

x[n]1 +

x[n]2 + ...

lts 7

2. Perhitungan output

h[n]x[k] d[n – k] x[k] h[n – k]

k input x[n]k output y[n]k

: : :

- 2 x[-2] d[n + 2] x[-2] h[n + 2]

- 1 x[-1] d[n + 1] x[-1] h[n + 1]

0 x[0] d[n] x[0] h[n]

1 x[1] d[n - 1] x[1] h[n - 1]

2 x[2] d[n - 2] x[2] h[n - 2]

: : :

x[n] y[n]+ +

Sk = - 8

8

y[n] = x[k] h[n-k]

konstante

sifat tak-ubah waktu

Sifat linear (superposisi)

Untuk input

x[n] = x[k] d[n-k] ,Sk = - 8

8

maka output

lts 8

-1 0 1 2 3

h[n]

-1 0 1 2 3

d[n]

n n

h[n]

x[n]

-1 0 1 2 3n

h[n]

y[n]

-1 0 1 2 3n

?

1

0,75

0,50

0,25

Diketahui : Runtun tanggapan impuls h[n] sebuah sistem

Pertanyaan : Bagaimana runtun output sistem tsb bila diberikan

runtun input x[n] sbb

lts 9

-1 0 1 2 3 -1 0 1 2 3n n

-1 0 1 2 3n

-1 0 1 2 3n

k = 0 x[0] d[0]

x[1] d[n – 1]

-1 0 1 2 3n

-1 0 1 2 3n

x[2] d[n – 2]

k = 1

k = 2

x[0] h[n- 0]

x[1] h[n–1]

x[2] h[n–2]

Dekomposisi x[n]k = x[n] d[n – k] y[n]k = x[n] h[n-k]

1

x[1]x[1]

x[2] x[2]

1

lts 10

-1 0 1 2 3n

-1 0 1 2 3 4 5 6n

-1 0 1 2 3n

y[n]

-1 0 1 2 3 4 5 6n

k = 3 x[3] d[n – 3]

x[n]

x[3] h[n–3]

+ +

Sk = - 8

8

= x[k] h[n-k]y[n]

x[3] x[3]

lts 11

III.2 Operasi Konvolusi

Operasi perhitungan output sistem LTI dengan cara diatas

disebut operasi konvolusi jumlah.

Sk = - 8

8

= x[k] h[n-k]y[n]

Sk = - 8

8

= x[k] h[n-k]

y[n] = x[k] * h[n]

simbol operasi konvolusi

lts 12

h[n]x[n] y[n]

x[n]h[n] y[n]

Sifat sifat Konvolusi

Komutatif .

Urutan runtun dalam konvolusi tidak berpengaruh

[ ] [ ] [ ] [ ]knhnxnhnxk

-=*

-=

[ ] [ ] [ ] [ ]nxnhknxnhk

*=-=

-=

lts 13

h1[n]

x[n] y[n]

h2[n]

+

h1[n]+ h2[n]x[n] y[n]

Distributif

[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ]nhnxnhnxnhnhnx 2121 *+*=+*

struktur paralel

lts 14

h2[n]x[n] h1[n] y[n] =

h1[n]*h2[n]x[n] y[n]

x[n] * h2[n]

x[n] * h2[n] * h1[n]

struktur cascade

h1[n]x[n] h2[n] y[n] =x[n] * h1[n]

x[n] * h1[n] * h2[n]

h1[n]*h2[n]Bila = d[n] , maka h1[n] adalah inverse dari h2[n]

lts 15

h1[n]x[n] h2[n] x[n]

x[n]terdistorsi

kanal

h1[n] * h2[n] = d[n]

Pemulihan isyarat terdistorsi pada output kanal

transmisi

sistem inverse

h2[n] = d[n] – d[n-1] buktikan !

lts 16

h1[n] = d[n] + 0,5 d[n-1]

h2[n] = 0,5 d[n] - 0,25 d[n-1]

h3[n] = 2 d[n]

h4[n] = - 2 (0,5)n U[n]

h1[n]

h3[n]

h4[n]

h1[n]

+

+x[n]y[n]

h[n]

?x[n] y[n]

lts 17

Contoh :

1. Konvolusi dua runtun yang sama, {x[n]} , dengan durasi N = 6

x [n-k]

n = 0

n = -1

n = - 2

k

k

k

k

0

0

0

0

y[n] = x[n] * x[n]

= x[k] x[n - k]Sk = - 8

8

x[k]

x[-k]

x[ -1 - k]

x[ -2 -k]

lts 18

n = - 7 y[7] = 0

n = - 1 y[-1] = 0

n = 0 y[0] = 1

n = 1 y[1] = 2

n = 5 y[5] = 6

n = 10 y[10] = 1

n = 11 y[11] = 0

n > 11 y[n] = 0

k

k

k

k

k

k

k

k

x[k]x[n-k]

lts 19

y[n]

y[n] = x[n] * h[n]

lts 20

Contoh 2 : Konvolusi dua runtun { x[n] } = { . . . , 0, 1, 2, 3, 0, . . . }

dan { h[n] } = { . . . , 0, 2, 1, 0, 5, 0, . . . }

x[n-k]

n = 0

n = -2

n = 2

lts 21

lts 22

x[n] h[n]

y[n] ?

lts 23

III.3 Kriteria Stabilitas sistem LTI

Sistem LTI disebut stabil jika dan hanya jika

Bukti :

Bila x[n] bounded , dimana | x[n]| < Lx untuk < n < ,

maka

| y[n] | = | S h[k] x[n – k] | < S | h[k] | | x[n-k] | < Lx S | h[k] | k= k= k=

y[n] adalah runtun bounded , | y[n] | < , jika dan hanya jika

Untuk sistem LTI yang runtun tanggapan impulsnya memenuhi

syarat diatas, bila pada inputnya diberikan runtun { x[n]} yang

bounded maka pada outputnya akan dihasilkan runtun { y[n]} yang

bounded8

8-

88-

88-

8

8- 8

lts 24

III.4 Kriteria Kausalitas Sistem LTI

Sistem kausal adalah sistem yang outputnya saat ini ( y[n] ),

tergantung pada harga input saat ini ( x[n] ) dan harga harga

input sebelumnya ( x[n-1], x[n-2], . . . )

Sistem LTI disebut kausal jika dan hanya jika runtun tanggapan

impulsnya,

Bukti : Untuk sistem kausal,

Dengan demikian

(terbukti)

h[n] = 0 untuk n < 0

Sk = -

8

8

y[n] = h[k] x[n-k] = Sk = 0

8h[k] x[n-k]

syarat kausalitas sistem adalah

y[n] = fungsi x[n-k] untuk k positif

Sk = -

8

8h[k] x[n-k] = 0,

h[n] = 0 untuk n < 0atau

lts 25

Soal latihan : Bagaimana kausalitas dan stabilitas sistem LTI

yang runtun tanggapan unit impulsnya sbb

Syarat Kausalitas : h[n] = 0 untuk n < 0 (?)

Syarat Stabilitas :

S | h[k] | < (?)

k=- 8

8

8

an , n > 0

h[n] = an u[n] =

0 , n < 0

lts 26

h[n] = 0 untuk n < 0 , jadi sistem tsb kausal

, bila | a | < 1

S | h[k] | = S | a |k=

k=- k=0 , bila | a | > 1

8 8

8

8

1

1 - |a|

1

1 - |a| S | a |k

=

k=0

8

untuk | a | < 1 ,

Dari deret geometris,

maka sistem akan stabil bila |a | < 1

an , n > 0

h[n] = an u[n] =

0 , n < 0

lts 27

III.4 Persamaan difference linear dengan koefisien tetap

salah satu sub-kelompok sistem LTI adalah sistem sistem yang

input x[n] dan output y[n] nya memenuhi persamaan difference

linear derajat N dengan koefisien konstan,

N M

S ak y[n-k] = S bk x[n-k]k=0 k=0

ak dan bk : koefisien koefisien konstan

lts 28

Z-1

Z-1

Z-1

b0

b1

b2

bM

+

Z-1

Z-1

Z-1

-a1

-a2

-aN

+x[n] y[n]

Bagian Non-rekursifBagian Rekursif

lts 29

Contoh : Akumulator

Akumulator memenuhi persama-

an difference linier dengan koe-

fisien konstan sistem LTI !

+

z-1

x[n] y[n]

y[n-1]

y[n] = x[k]Sk = -

n

8

y[n] - y[n-1] = x[k] - x[k]Sk = -

n

8 Sk = -

n-1

8

x[k] - x[k]Sk = -

n-1

8

Sk = -

n-18

= x[n] +

y[n] - y[n-1] = x[n]

y[n] = x[n] + y[n-1]

lts 30

1. Nyatakan respons impuls h[n] untuk sistem dengan persamaan

difference

y[n] = b0 x[n] + b1 x[n-1] + b2 x[n-2] + b3 x[n-3]

2. Hitung output sistem, bila diketahui

1 untuk n > -3 (1/3)n untuk n > 3

h[n] = x[n] =

3n untuk n < -3 3n untuk n < 3

lts 31

3. Gambarkan runtun output sistem bila runtun tanggapan

impuls sistem dan runtun input yang diberikan adalah sbb.

3

1

-2

-1

0

21

3

4n

x[n]

0 1

2

3

1

2

-1

n

h[n]