Hasil Kali Titik

8/17/2019 Hasil Kali Titik

1/20

HASIL KALI TITIK; PROYEKSI

Pada bagian ini kita perkenalkan semacam perkalian

vektor di ruang-2 dan ruang-3. Sifat- sifat ilmu hitung

perkalian ini akan ditentukan dan beberapa penerapannya

akan diberikan.

Misalkanu dan v adalah dua vektor taknol di ruang-2

atau ruang-3, dan anggaplah vektor – vektor ini telahdilokasikan sehingga titik awalnya berimpit. Yang kita

artikan dengansudut di antara udan v, adalah sudutθ

yang ditentukan olehu dan v yang memenuhi 0≤ θ ≤ π

(Gambar 5).

Gambar 5.

Definisi

Jikau dan v adalah vektor-vektor di ruang-2 atau ruang-3

danθ adalah sudut di antarau dan v, makahasil kali titik

(dot product) atauhasil kali dalam Euclidis (Euclidean inner


2/20

product) u . v didefinisikan oleh

(2)

Contoh 5

Seperti yang diperlihatkan pada Gambar 6, maka sudut di

antara vektoru = (0, 0, 1) dan vektor v = (0, 2, 2) adalah

45°. Jadi,

Gambar 6

u . v=‖u‖.‖v‖cosθ=(√ 02+02+12 ) (√ 02+22+22 )(12 √ 2)=2

Untuk tujuan penghitungan, hal ini diperlukan untuk


3/20

mendapatkan rumus-rumus yang menetapkan hasil kali

titik dari dua vektor dalam suku-suku komponen vektor.

Kita ingin memperolehnya sebagaimana rumus untuk

vektor di ruang-3; penurunan vektor di ruang-2 dengan

demikian adalah serupa.

Misalkanu = (u1,u2, u3) dan v = (v1, v2, v3) adalah dua

vektor taknol. Jika, seperti pada Gambar 7,θ adalah

sudut di antara u dan v, maka hukum cosinus

menghasilkan

‖⃗ PQ‖2=‖u‖2+‖v‖2−2‖u‖‖v‖cosθ (3)

Gambar 7.


4/20

Karena PQ=v−u

, maka dapat kita tuliskan kembali

persamaan 3 sebagai

(4)

Jikau = (u1, u2) dan v= (v1, v2) adalah dua vektor di ruang

2, maka rumus yang bersesuaian adalah

u.v = u1 v1 + u2 v2 untuk Ruang 2

jikau dan vadalah vektor taknol, maka rumus (2) dapat

ditulis

cosθ= u . v

‖u‖‖v‖(5)

Contoh 6

Tinjaulah vektor-vektor

u=(2, -1, 1) dan

v = (1,1,2)


5/20

Carilahu . v dan tentukanlah sudutθ di antarau dan v.

Pemecahan

u • v =u1 v1 +u2 v2 +u3 v3 = (2)(1) + (- 1)(1) + (1)(2) = 3

Untuk vektor yang diberikan kita dapat

||u|| = || v|| = √ 6 sehingga dari persamaan (5)

cosθ= u . v

‖u‖‖v‖=

3

√ 6√ 6=1

2

Jadi,θ =60°.

Contoh 7

Carilah sudut di antara diagonal kubus dan salah satu

sisinya.

Pemecahan. Misalkan k adalah panjang sisi dan

perkenalkanlah sistem koordinat yang diperlihatkan pada

gambar 8


6/20

Gambar 8

Jika kita misalkan u1 =(k, 0, 0), u2 = (0,k, 0), dan u3 =

(0, 0,k), maka vektor d =(k, k, k) = u1 + u2 + u3

adalah diagonal kubus tersebut. Sudutθ di antarad dan

sisiu1, memenuhi

3k 2

√ ¿¿

(k ) ¿

cosθ= u1. d‖u1‖‖d‖= k

2

¿

Jadi,

θ=cos−1( 1√ 3 )≈5 4044 ' =54,730


7/20

Teorema berikutnya memperlihatkan bagaimana hasil

kali titik dapat digunakan untuk mendapatkan informasi

mengenai sudut di antara dua vektor; teorema tersebut

juga menghasilkan hubungan penting di antara norma

dan hasil kali titik.

Teorema 2

Misalkanu dan vadalah vektor di ruang 2 dan ruang 3

a. v.v = || v||2 yakni || v|| = ( v.v)1/2

b.jikau dan v adalah vektor-vektor tak nol dan θ

adalah sudut diantara kedua vektor tersebut, maka

θ lancip jika dan hanya jikau.v> 0

θ tumpul jika dan hanya jikau.v< 0

θ =π/2 jika dan hanya jikau.v = 0

Bukti

karena sudutθ di atara v dan v adalah 0, maka diperoleh

v.v = || v|| || v|| cosθ = || v||2 cos 0 = || v||2


8/20

b.Karena ||u|| > 0, || v||> 0, danu • v = ||u||||

v||cosθ, makau • v mempunyai tanda sama seperti

cosθ. Karenaθ memenuhi 0


9/20

lah0, karenanya kita dapat menyatakan tanpa kecuali

bahwa baik vektor u maupun vakan ortogonal jika dan

hanya jikau • v =0.Untuk menetapkan bahwau dan v

adalah vektor ortogonal maka kita dapat menuliskanu ⊥

v.

Contoh 9

Tunjukkanlah bahwa di ruang-2 vektorn taknol =(a, b)

tegaklurus terhadap garisax +by + c =0.

Penyelesaian.

MisalkanP1 (x1,y1) danP2 (x2, y2) adalah titik nyata pada

sebuah garis, sehingga dengan demikian

ax1 +by1 + c = 0

ax2 +by2 +c = 0 (6)

Karena vektor P

1 P

2= x

2− x

1, y

2− y

1 digerakkan sepanjang

garis itu, maka kita hanya ingin menunjukkan bahwan

dan P

1 P

2 adalah tegaklurus. Namun pada pengurangan

persamaan dalam (6) kita peroleh

a(x2 – x1) +b(y2 - y1) = 0

yang dapat dinyatakan dalam bentuk


10/20

(a,b).(x2 – x1, y2 – y1) = 0

atau

n • P1 P2 = 0

sehingga dengan demikiann dan P

1 P

2 akan tegaklurus.

Teorema berikut akan menyenaraikan sebagian besar

sifat penting dari hasil kali titik tersebut. Hasil kali titik ini

akan bermanfaat dalam penghitungan yang mencakup

vektor-vektor.

Teorema 3. Jikau, v dan wadalah vektor-vektor di ruang

2 dan ruang 3 dan k adalah skalar, maka

(a) u • v = v • u

(b) u • ( v+ w) =u • v +u • w

(c)k(u • v) =(ku)• v =u • (k v)

(d) v • v > 0 jika v≠ 0dan v • v = 0 jika v = 0

Bukti. Kita akan membuktikan (c) untuk vektor di ruang-3

dan membiarkan bukti selebihnya sebagai latihan bagi

anda Misalkan u = (u1,u2, u3) dan v = (v1(,v2, v3); maka


11/20

k(u • v) = k(u1 v1 +u2 v2+u3 v3)

=(ku1)vl +(ku2)v2 +(ku3)v3

= (ku) • v

Demikian juga,

k(u • v) =u • (k v)

Dalam banyak penerapan hal ini cukup menarik

untuk” menguraikan ’ vektoru ke dalam jumlah dua

suku, yang satu sejajar dengan vektor a taknol sedangkan

yang lain tegak lurus terhadap a. Jika u dan a

ditempatkan sedemikian rupa maka titik awalnya akan

menempati titik Q, kita dapat menguraikan vektor u

sebagai berikut (Gambar 9) : Turunkanlah garis

tegaklurus dari atas u ke garis yang melalui a, dan

bentuklah vektor w1 dariQke alas garis yang tegaklurus

tersebut. Bentuk selanjutnya akan berbeda

w2 = u – w1


12/20

Gambar 9

Sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 9, vektor sejajar

dengana, vektor w2 tegaklurus dengan a, dan

w1 + w2 = w2 + (u — w1) = u

Vektor w1 tersebut kita namakan proyeksi ortogonal u

pada a atau kadang-kadang kita namakan komponen

vektor u sepanjang a.Hal ini kita nyatakan dengan

proyau

(7)

Vektor w2 kita namakankomponen vektor u yang ortogonal

terhadap a. Karena w2 = u - w2

maka vektor ini dapat kita tulis dalam notasi (7) sebagai

w2 = u - proya u

Teorema berikut memberikan rumus untuk menghitung

vektor proyau danu -proyau.

Teorema 4

Jikau dana adalah vektor di ruang-2 atau di ruang-3 dan


13/20

jikaa ≠ 0 maka

proya u=u . a

‖a‖2 a(komponen vektor u sepanjang a)

u− proy au=u−u . a

‖a‖2 a(komponen vektor u yang ortogonal dengana)

Bukti. Misalkan w1 = proya u dan w2 =u - proya u. Karena

w1 sejajar dengana, maka kita harus mengalikan skalar a,

sehingga kita dapat menuliskan dalam bentuk w1 =ka.

Jadi

u = w1 + w2 = ka + w2

(8)

Dengan mengambil hasil kali titik dari kedua sisi (8)

dengana maupun dengan menggunakan Teorema 2(a) dan

3 akan menghasilkan

u . a=( k a+w2 ). a=k ‖a‖2

+w2. a (9)

Namun w2 •a = 0 karena w2 tegaklurus padaa; sehingga

(3.10) menghasilkan

k = u . a

‖a‖2


14/20

Karena proya u = w1 =ka, kita peroleh

pro y a u= u . a

‖a‖2 a

Contoh 10

Misalkanu = (2, -1, 3) dana = (4, -1, 2). Carilah komponen

vektoru sepanjang a dan komponen vektor u yang

ortogonal kea.

Pemecahan.

u •a = (2)(4) + (-1)(-1) + (3)(2) = 15

−1¿2+22=21

‖a‖2=42+¿

Jadi, komponen vektoru sepanjanga adalah

pro ya u=u . a

‖a‖2 a=15

21(4,−1,2 )=( 207 , 57 , 107 )

dan komponen vektoru yang ortogonal dengana adalah

u− pro yau=(2,−1,3 )−(207 ,5

7,10

7 )=(−67

,−2

7,11

7 )Sebagai pemeriksaan, Anda mungkin ingin menguraikan

bahwa vektoru - proyau dana adalah tegaklurus dengan


15/20

menunjukkan bahwa hasil kali titiknya adalah nol.

Sebuah rumus untuk panjang komponen vektoru

sepanjanga dapat kita peroleh dengan menuliskan

‖ pro ya u‖=‖u . a‖a‖2 a‖

¿|u .a‖a‖2|‖a‖[karena u . a

‖a‖2 adalah sebuah skalar]

¿|u . a|

‖a‖2 ‖a‖[karena‖a‖2>0 ]

yang menghasilkan

‖ pro ya u‖=|u . a|‖a‖

(10)

Jikaθ menyatakan sudut diantaraudana,maka

u . a=‖u‖‖a‖cosθ

sehingga dengan demikian (10) dapat juga kita tuliskan

sebagai

‖ pro ya u‖=‖u‖|cosθ|(11)

(Buktikan). Sebuah interpretasi geometrik dari hasil ini


16/20

kita berikan dalam Gambar 10.

Sebagai contoh, kita ingin menggunakan metode

vektor untuk memperoleh rumus untuk jarak dari sebuah

titik pada bidang tersebut terhadap sebuah garis.

Gambar. 10

Contoh 11

Carilah rumus untuk jarakD diantara titikP0(x0, y0) dan

garisax + by +c = 0.

Pemecahan. MisalkanQ{x1, y1) adalah sebarang titik pada

garis dan posisi vektor

n = (a, b)

sehingga dengan demikian titik awalnya terletak diQ.

Dengan menggunakan kebajikan Contoh 9, vektorn


17/20

akan tegaklurus terhadap garis tersebut (Gambar 3.24).

Sebagaimana ditunjukkan dalam gambar tersebut, jarak D

akan sama dengan panjang proyeksi ortogonal Q P0

padan, jadi, dari (10), kita peroleh

D=‖ pro y n⃗Q P0‖=|⃗Q P0. n|‖n‖

Tetapi

Q P0=( x0− x1 , y0− y1)

⃗Q P0

. n=a ( x0− x1 )+b( y0− y1)

‖n‖=√ a2+b2

Sehingga demikian

D=|a ( x0− x1 )+b ( y0− y1)|

√ a2+b2(12)

Karena titik Q(x1, y1) terletak pada garis tersebut, maka

koordinatnya akan memenuhi persamaan garis, sehinggaax1+ by1 + c = 0

c = -ax1 – by1

dengan menyulihkan persamaan (mensubsitusikan)

ekspresi dalam persamaan (11)


18/20

a x0+b y

0+c

D= |¿|

√ a2+b2 (13)

gambar 11

D=|(3 ) (1 )+4 (−2)−6|

√ 32

+42

=|−11|

√ 25=

11

5


19/20


20/20

Hasil Kali Titik

Documents

Transcript of Hasil Kali Titik