Vektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi...

PendahuluanHasil kali titik

Hasil kali silangGaris dan bidang di ruang dimensi 3

Vektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3

Maulana Malik1 ([email protected])

1Departemen Matematika FMIPA UIKampus Depok UI, Depok 16424

2014/2015

1/21 [email protected] Vektor



Vektor di ruang berdimensi 2Vektor di ruang berdimensi 3

Diberikan vektor ~v = (v1, v2), ~w = (w1,w2) dan sembarangbilangan k .

1 ~v = ~w jika dan hanya jika v1 = w1 dan v2 = w2.2 ~v + ~w = (v1 + w1, v2 + w2).3 ~v − ~w = (v1 − w1, v2 − w2).4 k ~v = (k v1, k v2).

5 Norm dari ~v = (v1, v2), ||~v || =√v21 + v22 .

Catatan: hasil perhitungan dari norm vektor adalah suatubilangan positif .

Vektor nol, ~0 = (0, 0).

Diberikan titik P1(x1, y1) dan P2(x2, y2).

1−−−→P1P2 = (x2 − x1, y2 − y1).

2 d =√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 (perhatikan d = ||

−−−→P1P2||).




Vektor di ruang berdimensi 2Vektor di ruang berdimensi 3

Diberikan vektor ~v = (v1, v2, v3), ~w = (w1,w2,w3) dan sembarangbilangan k .

1 ~v = ~w jika dan hanya jika v1 = w1, v2 = w2 dan v3 = w3.2 ~v + ~w = (v1 + w1, v2 + w2, v3 + w3).3 ~v − ~w = (v1 − w1, v2 − w2, v3 − w3).4 k ~v = (k v1, k v2, k v3).

5 Norm dari ~v = (v1, v2, v3), ||~v || =√v21 + v22 + v23 .

Catatan: hasil perhitungan dari norm vektor adalah suatubilangan positif .

Vektor nol, ~0 = (0, 0, 0).

Diberikan titik P1(x1, y1, z1) dan P2(x2, y2, z2).

1−−−→P1P2 = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1).

2 d =√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2 (perhatikan

d = ||−−−→P1P2||).




Hasil kali titikProyeksiAplikasi

Hasil kali titik (dot product) antara vektor ~u dan ~v .

~u · ~v =

{||~u|| ||~v || cos θ jika ~u 6= ~0 dan ~v 6= ~0,

0 jika ~u = ~0 atau ~v = ~0,(1)

dengan θ adalah sudut antara kedua vektor tersebut.

Catatan:

1 Hasil perhitungan dari hasil kali titik adalah bilangan .

2 0 ≤ θ ≤ π.





Jika ~v = (v1, v2), ~w = (w1,w2), maka

~v · ~w = v1 w1 + v2 w2. (2)

Jika ~v = (v1, v2, v3), ~w = (w1,w2,w3), maka

~v · ~w = v1 w1 + v2 w2 + v3 w3. (3)





TheoremDiberikan vektor ~u dan ~v.

||~u|| =√~u · ~u (4)

TheoremMisalkan ~u dan ~v bukan vektor nol dan θ adalah sudut diantaranya.

1 ~u · ~v > 0 jika dan hanya jika θ adalah sudut lancip.

2 ~u · ~v < 0 jika dan hanya jika θ adalah sudut tumpul.

3 ~u · ~v = 0 jika dan hanya jika θ = π/2.





TheoremDiberikan vektor ~u, ~v dan ~w dan bilangan k, maka

1 ~u · ~v = ~v · ~u2 ~u · (~v + ~w) = ~u · ~v + ~u · ~w3 k(~u · ~v) = (k~u) · ~v = ~u · (k~v)4 ~u · ~u > 0 jika ~u 6= ~0

5 ~u · ~u = 0 jika ~u = ~0





TheoremDiberikan vektor ~u dan ~a. Jika ~u 6= ~0, maka

1 Komponen vektor ~u pada ~a

proy~a ~u =~u ·~a||~a||2

~a (5)

2 Komponen vektor ~u yang tegak lurus dengan ~a

~u − proy~a ~u = ~u −~u ·~a||~a||2

~a (6)





Jarak titik P(x0, y0) ke garis ax + by + c = 0

D =|a x0 + b y0 + c|√

a2 + b2. (7)




DefinisiSifat

Misalkan ~u = (u1, u2, u3) = u1~i + u2~j + u3 ~k dan~v = (v1, v2, v3) = v1~i + v2~j + v3 ~k .

~i = (1, 0, 0),~j = (0, 1, 0), ~k = (0, 0, 1).

Hasil kali silang (cross product) antara ~u dan ~v :

~u × ~v = det

~i ~j ~ku1 u2 u3v1 v2 v3

(8)

1 Hasil kali silang hanya untuk vektor di ruang dimensi 3.

2 Hasil dari hasil kali silang adalah vektor .




DefinisiSifat

1 Vektor ~u × ~v tegak lurus dengan ~u dan ~v .

2 Arah vektor ~u × ~v mengikuti Aturan Tangan Kanan.

3 ~i ×~j = ~k , ~j × ~k =~i , ~k ×~i =~j .4 ||~u × ~v || = ||~u|| ||~v || sin θ, yaitu luas jajar genjang yang

dibentuk oleh vektor ~u dan ~v .




DefinisiSifat

TheoremMisalkan ~u, ~v dan ~w adalah vektor di ruang dimensi 3.

1 ~u · (~u × ~v) = 0

2 ~v · (~u × ~v) = 0

3 ||~u × ~v ||2 = ||~u||2 ||~v ||2 − (~u · ~v)2

4 ~u × (~v × ~w) = (~u · ~w)~v − (~u · ~v)~w5 (~u × ~v)× ~w = (~u · ~w)~v − (~v · ~w)~u




DefinisiSifat

TheoremMisalkan ~u, ~v dan ~w adalah vektor di ruang dimensi 3, dan kadalah sembarang bilangan.

1 ~u × ~v = −(~v × ~u)2 ~u × (~v + ~w) = ~u × ~v + ~u × ~w

3 (~u + ~v)× ~w = ~u × ~w + ~v × ~w

4 k(~u × ~v) = (k ~u)× ~v = ~u × (k ~v)

5 ~u ×~0 = ~0× ~u = ~0

6 ~u × ~u = ~0




DefinisiSifat

Jika ~u = (u1, u2, u3), ~v = (v1, v2, v3) dan ~w = (w1,w2,w3), maka

~u · (~v × ~w) = det

u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3

(9)

disebut hasil kali tripel skalar (scalar triple product).Catatan:

1 Hasil ~u · (~v × ~w) adalah bilangan .

2 |~u · (~v × ~w)| : volume paralelepipedum yang dibentuk ~u, ~v , ~w .




DefinisiSifat

TheoremMisalkan ~u = (u1, u2, u3), ~v = (v1, v2, v3) dan ~w = (w1,w2,w3)mempunyai titik awal yang sama.Ketiga vektor tersebut terletak di bidang yang sama jika danhanya jika

~u · (~v × ~w) = det

u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3

= 0.




BidangGaris

Vektor normal : vektor tak-nol yang tegak lurus suatu bidang.

Persamaan bidang yang melalui titik P(x0, y0, z0) dan mempunyaivektor normal ~n = (a, b, c):

a (x − x0) + b (y − y0) + c (z − z0) = 0. (10)




BidangGaris

Titik P(x , y , z) pada bidang; vektor posisi ~r =−→OP = (x , y , z).

Titik P0(x0, y0, z0) pada bidang; vektor posisi

~r0 =−−→OP0 = (x0, y0, z0).

Persamaan bidang dalam bentuk vektor:

~n · (~r − ~r0) = 0. (11)




BidangGaris

Dua bidang sejajar?

Persamaan bidang yang melalui titik (5, 4, 3), (4, 3, 1) dan (1, 5,4)?




BidangGaris

Persamaan parametrik garis yang melalui titik P(x0, y0, z0) danmempunyai vektor arah ~v = (a, b, c):

x = x0 + a t,

y = y0 + b t,

z = z0 + c t.




BidangGaris

Titik P(x , y , z) pada garis l ; vektor posisi ~r =−→OP = (x , y , z).

Titik P0(x0, y0, z0) pada garis l ; vektor posisi

~r0 =−−→OP0 = (x0, y0, z0).

Persamaan garis dalam bentuk vektor:

~r = ~r0 + t ~v = 0, (12)

dengan −∞ < t <∞.




BidangGaris

Dua garis sejajar?Perpotongan garis dengan bidang?


Vektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi...

Documents

Transcript of Vektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi...