Hasil Kali Transformasi

1 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i

VVG

VVF

:

:

HASIL KALI TRANSFORMASI

Definisi: Andaikan F dan G dua transformasi, dengan

Maka produk atau komposisi dari F dan G yang ditulis sebagai G o F didefinisikan sebagai

(G o F)(P) = G [F(P)], VP .

Teorema 5.1: Jika F : VV dan G : VV masing-masing suatu transformasi,

maka hasilkali H= G o F : VV adalah juga suatu transformasi.

Bukti :

i. Harus dibuktikan bahwa H= G o F : VV ada.

1) Jelas adalah seluruh bidang V


Jadi ada sehingga H = G o F : VV ada.

ii. Harus dibuktikan dua hal yaitu: 1) H surjektif, 2) H injektif.

1) Misal H(y) = (G o F)(y) = x

Akan dibuktikan H(y) = x surjektif.

Ambil sebarang x V.

Karena G suatu transformasi maka G surjektif artinya

x V z V G(z) = x.

Karena F suatu transformasi maka F surjektif artinya

pada z V y V z = F(y).

Jadi ada y V (G o F)(y) = H(y) = x.

Jadi H surjektif.

2) Ambil x, y dengan x y H(x) H(y)

Andaikan H(x) = H(y) maka (G o F)(x) = (G o F)(y)

Karena G injektif maka F(x) = F(y).

Karena F injektif maka x = y.

Ini suatu kontradiksi.

Jadi pengandaian salah, sehingga haruslah x y.

Jadi H injektif.

Berdasarkan i dan ii maka H= G o F : VV adalah suatu transformasi.

Catatan:


Hasil kali J = F o G : VV adalah juga suatu transformasi.

Bukti :

i. Harus dibuktikan bahwa J = F o G : VV ada.



Jadi ada sehingga J = F o G : VV ada.

ii. Harus dibuktikan dua hal yaitu: 1). J surjektif, 2). J injektif.

1) Misal J(y) = (F o G)(y) = x.

Akan dibuktikan J(y) = x surjektif.

Ambil sebarang x V.

Karena F suatu transformasi maka F surjektif artinya

x V z V F(z) = x.

Karena G suatu transformasi maka G surjektif artinya

pada z V y V z = G(y).

Jadi ada y V (F o G)(y) = J(y) = x.

Jadi J surjektif.

2) Ambil x, y dengan x y J(x) J(y).

Andaikan J(x) = J(y) maka (F o G)(x) = (F o G)(y)

Karena F injektif maka G(x) = G(y).

Karena G injektif maka x = y.

Ini suatu kontradiksi dengan x y.

Jadi pengandaian salah, sehingga haruslah x y.

Jadi J injektif.

Berdasarkan i dan ii maka J = F o G : VV adalah suatu transformasi.

Contoh:

Andaikan g sebuah garis dan T sebuah transformasi T : VV yang didefinisikan sebagai berikut.

1. Jika X g maka T(X) = X.

2. Jika X g maka T(X) adalah titik tengah ruas garis dari X ke g yang tegak lurus.

a. Buktikan T suatu transformasi.

1) Adb T surjektif

Kasus 1: Untuk X g

X = T(X) g

Gambar 1


Menurut definisi maka X’= X karena T(X) = X’ = X.

Jadi X’ V X V T(X) = X’ = X.

Kasus 2 : Untuk X g

Ambil sebarang titik X’ V.

Menurut teorema dasar geometri Euclides: ada satu garis yang tegak lurus pada garis tertentu melalui

titik di luar garis tersebut.

Dengan demikian, dapat dibuat sebuah segmen garis yang tegak lurus g melalui X’. Namai .

Menurut postulat geometri Euclides: sebuah segmen dapat diperpanjang sehingga sama dengan

segmen tertentu.

Jadi dapat dibuat perpanjangan segmen sepanjang segmen tersebut sehingga diperoleh titik X

dengan = .

Karena = dan V bidang euclides maka ada X tunggal dengan X’ Dengan X’ adalah

titik tengah dan X’ adalah satu-satunya titik tengah .

Ini berarti X adalah prapeta dari X’.

Jadi X’ V X V T(X) = X’.

Jadi T surjektif.

2) Adb T injektif

Ambil sembarang titik X, Y dengan X

X Y

jelas ruas garis ortogonal X ke g ruas garis ortogonal Y ke g

Ditunjukkan X Y

Andaikan .

Maka T(X) adalah titik tengah ruas garis ortogonal Y ke g dan X ke g.

T(Y) adalah titik tengah ruas garis ortogonal X ke g dan Y ke g.

Ruas garis ortogonal X ke g berpotongan ruas garis ortogonal Y ke g.

Jadi X = Y

X

X

’

g

Gambar 2


Kontradiksi dengan X Y.

Haruslah X Y .

Jadi T adalah injektif.

Dari 1) dan 2) didapat T adalah transformasi.

a. Apakah T suatu isometri?

Penyelidikan:

Ambil sebarang titik .

Kasus 1: dan dengan

Jelas T(P) = P’ = P Q = Q’ = T(Q).

Jadi P’Q’ = PQ.

Kasus 2: dan .

Jelas T(P) = P’ = P.

Jelas T(Q) = Q’ dengan Q’ adalah titik tengah ruas garis ortogonal dari Q ke Q’.

Jadi PQ P’Q’= PQ’.

PR! Kasus 3 : dan , dengan Q tidak segaris

Kasus 4 : dan . dengan

Berdasarkan kasus 1 dan kasus 2, diperoleh bahwa T bukan isometri.

b. Ambil transformasi kedua misalnya sebagai berikut: Ambil sebuah garis h g dan Mh adalah

refleksi pada garis h. Jadi hasilkali Mh[T(X)] = Y juga suatu transformasi sehingga Y = (Mh o

T)(X).

Apakah hasilkali ini isometri?

h

P=T(P) Q=T(Q) g

Gambar 3

Q

g

Q’=T(Q

)

P=T(P)

Gambar 4

X

X’=T(X) Y

X

X’=T(X)


Adb. (Mh o T)(X) = (T o Mh)(X)

Bukti:

Dari gambar 5, ambil garis g misalkan sebagai sumbu X suatu koordinat ortogonal dan garis h sebagai

sumbu Y. Titik potong h dan g sebagai titik asal.

Misalkan X = (x,y) maka T(X) = (x, 2

1 y) dan Mh[T(X)] = (-x,

2

1 y).

Jadi (Mh o T)(X) = Mh[T(X)] = (-x, 2

1 y).

Jelas (T o Mh) (X) = T[Mh(X)].

Sehingga apabila X = (x,y) maka Mh(X) = (-x, y) dan T[Mh(X)] = (-x, 2

1 y).

Jadi (T o Mh)(X) = T[Mh(X)] = (-x, 2

1 y).

Karena Mh[T(X)] = T[Mh(X)] maka (Mh o T)(X) = (T o Mh)(X) yang berlaku untuk setiap XV.

Jadi (Mh o T)(X) = (T o Mh)(X).

Jadi hasilkali ini isometri.

Bukti:

Ambil garis g dan garis h yang tidak tegak lurus pada g.

Mh(X) =(-x,y) X(x,y) y

x sb. X

O

sb. Y

X’=T(X) Y

Gambar 6

TETAPI SIFAT KOMUTATIF TIDAK SELALU BERLAKU


Jelas bahwa Mh[T(X)] T[Mh(X)].

Jadi (Mh o T)(X) (T o Mh)(X).

Berdasarkan hal di atas dapat dikatakan bahwa apabila S dan T transformasi maka S o T T o S.

Buktikan bahwa pada gambar 7, Mh[T(X)] T[Mh(X)].

Bukti:

Dari gambar 7, ambillah garis g sebagai sumbu X suatu sistem koordinat ortogonal dan garis h

sebagai grafik persamaan y = x . Titik potong h dan g kita ambil sebagai titik asal O.

Misalkan X = (x,y) maka T(x) = (x, 2

1 y) dan Mh[T(x)] = (

2

1 y, x).

Jadi (Mh o T)(X) = Mh[T(x)] = (2

1 y, x).

Jelas (T o Mh) (X) = T[Mh(X)].

Apabila X = (x,y) maka Mh(X) = (y, x) dan T[Mh(X)] = (y,2

1 x).

Oleh karena Mh[T(X)] T[Mh(X)] maka (Mh o T)(X) (T o Mh)(X) yang berlaku untuk setiap XV.

T[Mh(X)]

Mh(X) Mh[T(X)]

>

>

h

Gambar 7

g

X

X’=T(X)

X(x,y)

x

y

O

sb.

Y

Mh(X) Mh[T(X)]

>

>

y=x

Gambar 8

sb. X

X’=T(X)

T[Mh(X)]


Jadi Mh[T(X)] T[Mh(X)].

Hasil kali transformasi tidak hanya terbatas oleh dua transformasi. Andaikan T1, T2, T3 adalah

transformasi. Untuk menyelesaikan masalah tersebut kita dapat menyusun terlebih dahulu hasil kali T1 o T2

kemudian kalikan dengan T3. Hasilkali transformasinya dapat kita sebagai T3(T2T1).

Jadi andaikan P’ = T1(P), P” = T(P’), P”’ = T3(P”), maka

[T3(T2T1)](P) = T3[T2T1(P)]

= T3[T2{T1(P)}]

= T3[T2(P’)]

= T3(P’’)

= P’’’

Selain cara di atas kita juga dapat mengalikan sebagai berikut:

[(T3T2 )T1](P) = (T3T2 ) [T1(P)]

= (T3T2)(P’)

= T3 [T2(P)]

= T3(P’’)

= P”’

Jadi hasilkali transformasi bersifat asosiatif. Kita dapat mengatakan bahwa

T3(T2T1) = (T3T2)T1 = T3T2T1.

PEMBAHASAN SOAL

BAB V HASILKALI TRANSFORMASI

1). Diketahui : garis-garis g dan h dan titik-titik P,Q dan K.

Lukislah :

a). A = Mg[Mh(P)]

b). B = Mh[Mg(P)]

c). C = Mh[Mh(P)]

d). D = Mg[Mh(K)]

e). R sehingga Mh[Mg(R)] = Q

f). Apakah Mg Mh = MhMg?

Penyelesaian:

a)

Q

P

A = Mg[Mh(P)]


g

g

g

Q

P

h

K = D= Mg[Mh(K)]

Mh(Q)

Q = Mh[Mg(R)]

b)

c)

d)

e)

B = Mh[Mg(P)]

P

Mg(P)

h

P = Mh[Mh(P)]

Mh(P)

h

g

P

h

g

R


f) Tidak, sebab terlihat pada nomor (a) dan (b), diperoleh Mg[Mh(P)] Mh[Mg(P)]. Selain itu, sifat

komutatif tidak berlaku secara umum pada hasilkali transformasi. Pembuktian dapat dilihat di

materi.

2). Diketahui : T dan S isometri

Selidiki :

a). TS sebuah isometri

b). TS = ST

c). Jika g sebuah garis maka g’ = (TS)(g) juga sebuah garis.

d). Jika g // h dan g’ = (TS)(g), h’ = (TS)(h) maka g’ // h’

Penyelesaian :

a). T dan S adalah isometri-isometri sehingga T dan S adalah suatu transformasi

Berdasarkan teorema “Jika F : V V dan G : V V masing-masing suatu transformasi, maka

hasil kali H = G F : V V adalah juga suatu transformasi”, maka TS juga transformasi.

Adb. TS isometri.

Ambil sebarang titik A, BV.

Jelas S(A) = A’, S(B) = B’.

Karena S isometri maka AB = A’B’.

Jelas T(A’) = A”, T(B’) = B”.

Karena T suatu isometri maka A’B’ = A”B”.

Diperoleh AB = A’B’ = A”B”.

Jelas TS(A) = T[S(A)] = T(A’) = A” dan

TS(B) = T[S(B)] = T(B’) = B”.

Karena AB = A”B” maka TS sebuah isometri.

Jadi TS adalah suatu isometri.

b). Adb TS = ST

Didefinisikan T(P) = P’ dan T(Q) = Q’.

Misalkan |PQ| = |P’Q’| |PQ| = |T(P) S(Q)|.

TS(P) = P’ dan ST(P) = P’.

Karena TS(P) = ST(P) = P’ maka TS = ST = 1.

Jadi TS = ST.


c). Apabila g sebuah garis maka g’ = TS(g) juga sebuah garis.

Telah diketahui bahwa TS sebuah isometri.

Berdasarkan teorema “sebuah isometri memetakan garis menjadi garis”.

Maka g’ = TS(g) adalah sebuah garis.

Jadi pernyataan “jika g sebuah garis maka g’ = TS(g) juga sebuah garis” benar.

d). Apabila g // h dan g’ = TS(g), h’ = TS(h) maka g’// h’.

Karena TS sebuah isometri, berdasarkan teorema “sebuah isometri mengawetkan kesejajaran dua

garis” sehingga diperoleh g’// h’ dengan g’ = TS(g), h’ = TS(h), g // h .

Jadi pernyataan “Apabila g // h dan g’ = TS(g), h’ = TS(h) maka g’// h’” benar.

3). Diketahui : garis-garis g dan h, A g, B h, C h

Lukislah :

a). Mg[Mh(ABC)]

b). Mh[Mg(ABC)]

c). K sehingga Mg[Mh(K)] = K

d). R sehingga Mh[Mg(R)] = D

Penyelesaian:

a).

Mh(A) = A’

Mh(B) = B (karena B h )

Mh(C) = C’

Mg(A’) = A”

Mg(B’) = B”

Mg(C’) = C”

g

h

A

C B

A’

C’

C”

A”

B”


Jadi, Mg[Mh(ABC)] = A”B”C”.

b).

Mg(A) = A’ = A (karena A g )

Mg(B) = B’

Mg(C) = C’

Mh(A’) = A”

Mh(B’) = B”

Mh(C’) = C”

Jadi, Mh[Mg(ABC)] = A”B”C”.

c). Akan dilukis K sehingga Mg[Mh(K)] = K.

Mg[Mh(K)] = K (MgMh)(K) = K.

Hasil kali persamaan (MgMh)(K) = K hanya akan terjadi pada titik potong antara garis g dan garis

h. Oleh karena itu K adalah titik potong garis g dan garis h.

d). Akan dilukiskan titik R sehingga Mh[Mg(R)] = D.

Karena D h maka D’ = Mh(D) = D.

Diperoleh Mg(R) = D.

Jadi, R adalah prapeta D oleh Mg

g

h

K

g

h

A = A’

C B

A”

C”

C’

B”

B’

g

h

R

D


4). Diketahui : garis-garis g, h, k dengan g // k

Lukislah :

a). g’ = Mh[Mg(g)]

b). g’ = Mg[Mh(g)]

c). k’ = Mg[Mh(k)]

Penyelesaian:

a) g’= Mh[Mg(g)]

Ambil dua titik sebarang anggota garis g, misal titik P dan Q serta namai titik perpotongan garis g

dan h di R . Setelah mendapatkan pencerminan P di P’, R di R dan Q di Q’, hubungkan titik P’, R,

dan Q’ menjadi suatu garis yaitu garis g’.

b) g’= Mg[Mh(g)]

Ambil dua titik sebarang anggota garis g, misal titik P dan Q.

g’

Q

R

Q’

P

P’ h g

k

g

’ Q’’

P’’

Q

R

Q’

P

P’ h g

k


c) k’= Mg[Mh(k)]

Ambil dua titik sebarang anggota garis g, misal titik A dan B. namai titik perpotongan garis h dan k

di C.

5). Diketahui : dua garis g dan h yang berpotongan

Lukislah :

a). k sehingga Mg[Mh(k)] = g

b). m sehingga Mh[Mg(m)] = g

c). n sehingga Mh[Mg(n)] membagi sama besar sudut lancip antara g dan h

Penyelesaian:

a) k sehingga Mg[Mh(k)] = g

Mg[Mh(k)] berarti k dicerminkan terlebih dulu terhadap garis h kemudian hasilnya dicerminkan

terhadap garis g. Karena hasil pencerminan terhadap garis g adalah g maka (Mh(k)) = g.

k’

A’’

B’’

B’

A’

B

C

A

h g

k

g

h

k


b) m sehingga Mh[Mg(m)] = g

Mh[Mg(m)] berarti m dicerminkan terhadap garis g terlebih dulu kemudian hasilnya dicerminkan

terhadap garis h.

Misalkan Mg(m) = i.

Karena hasil pencerminan terhadap garis h adalah g berarti Mh[Mg(m)] = Mh(i) = g.

Karena hasil pencerminan Mg(m) = i maka g merupakan sumbu antara i dan m.

c) n sehingga Mh[Mg(n)] membagi sama besar sudut lancip antara g dan h.

Misalkan Mh[Mg(n)] = l sehingga l membagi sama besar sudut lancip antara g dan h, serta Mg(n) = k.

Karena hasil pencerminan terhadap garis h adalah l berarti Mh[Mg(n)] = Mh(k) = l.

Karena hasil pencerminan Mg(n) =k maka g merupakan sumbu antara k dan m.

6). Diketahui : padanan S dan T sebagai berikut

Daerah asal S adalah g, S(X) adalah titik tengah AX

Daerah asal T adalah daerah di luar lingkaran l dan T(X) = lBX

m i

g

h

n

k

h

g

l


Ditanyakan :

a). TS(P)

b). Daerah asal dan daerah nilai TS

c). R sehingga (TS)(R) = Q dengan Q l

d). Apakah ST ada? Jika ya, tentukan daerah asal dan daerah nilainya

Penyelesaian:

a). Ambil P g sehingga S(P) pertengahan AP .

TS(P) = T[S(P)].

TS(P) perpotongan lingkaran l dengan BS(P) .

b). Karena TS(X) = T[S(X)] berarti daerah asal T adalah S, sementara daerah asal S adalah g. Jadi,

daerah asal TS di g.

Daerah nilai S adalah S(X) yaitu pertengahan AX . Daerah nilai T(X) adalah lBX , dan untuk

TS(X) maka ll BS(X)

Jadi, daerah nilai TS adalah pada lingkaran l.

c). R sehingga (TS)(R) = Q dengan Q l

d). Ambil sebarang titik P

Maka T(P) di l karena daerah hasil T di l.

S[T(P)] tidak ada karena T(P) ,l sementara daerah asal S di g.

Jadi, ST tidak ada.

B

TS(P)

A

P g

S(P)

l

B Q

A

R g

S(R)

l


7). Diketahui : garis g adalah sumbu X sebuah sumbu ortogonal dan xyyxh , .

Ditanyakan :

a). Persamaan garis Mh[Mg(g)]

b). P” = Mh[Mg(P)] dengan P = (0,3)

c). Q” = Mg[Mh(Q)] dengan Q = (3,-1)

d). R” = Mg[Mh(R)] dengan R = (x, y)

e). Besarnya ROR” apabila O titik asal

Penyelesaian:

a). Mh[Mg(g)] = Mh(g)

= Mh Rxx ,0,

Ingat! misalkan diketahui titik A (a, b), maka penerminan A terhadap garis y = x adalah A’ (b, a).

Jadi Mh[Mg(g)] = Rxx ,,0 .

Jadi, diperoleh Mh[Mg(g)] adalah sumbu-Y sebuah sistem sumbu ortogonal.

Jadi persamaan garis Mh[Mg(g)] adalah x = 0.

b). Akan ditentukan P” = Mh[Mg(P)] dengan P = (0,3)

Mh[Mg(P)] = Mh[Mg(0,3)]

= Mh[(0,-3)]

= (-3,0)

Jadi P” = (-3,0).

c). Akan ditentukan Q” = Mg[Mh(Q)] dengan Q = (3,-1)

Mh(Q) = Mh(3,-1)

= (-1,3)

Diperoleh Q” = Mg[Mh(Q)]

= Mg(-1,3)

= (-1,-3)

Jadi Q” = (-1,-3).

d). Akan ditentukan R” = Mg[Mh(R)] dengan R = (x, y)

R” = Mg[Mh(R)]

= Mg[Mh(x, y)]

= Mg(y, x)

= (y,-x)

Jadi R” = (y,-x).

e). m(ROR”) = ...?

Cara 1

O(0,0)

R(x,y)

α)

R”(y,-x)


Misalkan m(ROR”) = α

270 αatau90 α

0 αcos

0 αcos2

αcos222

αcos2

αcosOR"OR2OR"ORRR"

22

2222222222

2222222222

222

yx

yxxyyxxxyyyxyx

xyyxxyyxxyyx

Jadi, m(ROR”) = 90

Cara 2

Menentukan besar ROR” dengan O adalah titik asal R(x, y) dan R’’(y, -x).

R dicerminkan dulu terhadap garis g = sumbu X, dilanjutkan dicerminkan terhadap garis h.

Persamaan garis yang melalui O dan R adalah

xx

yy

x

x

y

y

R

R

RR

0

0

0

0

Persamaan garis yang melalui O dan R’’ adalah

xx

yy

x

x

y

y

R

R

RR ''

''

'''' 0

0

0

0

Karena xyR '' dan yxR '' maka diperoleh ''OROR .

Jadi ROR” = 90.

8). Diketahui : dua garis g dan h yang berbeda berpotongan di P

Buktikan : Mg[Mh(A)] = P jika dan hanya jika A = P

Bukti :

Garis g dan h berpotongan di titik P, maka P g dan P h

Diketahui Mg[Mh(A)] = P ..........(i)

Akan dibuktikan jika Mg[Mh(A)] = P maka A = P

Karena P ,g menurut definisi pencerminan,

Mg(P) = P ..........(ii)

Dari (i) dan (ii) diperoleh

Mg[Mh(A)] = P = Mg(P)Mh(A) = P ..........(iii)

Karena P ,h menurut definisi pencerminan,

Mh(P) = P ..........(iv)


Dari (iii) dan (iv) diperoleh

Mh(A) = P = Mh(P)A = P

Jadi, jika Mg[Mh(A)] = P maka A = P (terbukti)

Diketahui A = P

Akan dibuktikan jika A = P maka Mg[Mh(A)] = P

Karena A = P dan P ,h menurut definisi pencerminan,

Mh(A) = Mh(P) = P

Karena P ,g menurut definisi pencerminan,

Mg(P) = P = Mg[Mh(A)] sehingga Mg[Mh(A)] = P

Jadi, jika A = P maka Mg[Mh(A)] = P (terbukti)

Dari dan diperoleh :

Jika dua garis g dan h yang berbeda berpotongan di P, maka

Mg[Mh(A)] = P jika dan hanya jika A = P (terbukti).

9). Diketahui : andaikan g sumbu X dan h = xyyx ,

S adalah padanan yang didefinisikan sebagai berikut :

Jika P g maka S(P) = P, jika P g maka S(P) adalah titik tengah ruas garis tegak lurus dari P pada g

Ditanyakan :

a). Buktikan S suatu transformasi!

b). Jika P = (x,y) sebuah titik sembarang, tentukan koordinat-koordinat titik S[Mg(P)]!

c). Selidiki apakah S Mg = Mg S?

d). Selidiki apakah S Mh = Mh S?

Penyelesaian:

a). Akan dibuktikan S suatu transformasi.

S : V V

Akan dibuktikan S bijektif.

(i). Akan dibuktikan S surjektif.

(1). Untuk P g .

Ambil sebarang PV.

Jelas prapeta P = P sebab S(P) = P.

(2). Untuk P g .

Oleh karena V bidang euclide maka terdapat dengan tunggal P. dengan P PT dimana

T g dan PT g.


Sehingga PX = XT.

Karena PX = XT maka X merupakan titik tengah PT .

Jadi, X adalah titik tengah ruas garis tegak lurus dari P pada g atau X = S(P), karena X =

S(P) maka P prapeta dari X.

Dari (1) dan (2) diperoleh S surjektif.

(ii). Akan dibuktikan S injektif.

Ambil sebarang P, QV dengan P Q.

(1). Untuk P, Q g .

Jelas S(P) = P dan S(Q) = Q.

Karena P Q maka S(P) S(Q).

(2). Untuk P g dan Q g .

Jelas S(P) = P dan S(Q) = X, dimana X titik tengah ruas garis tegak lurus dari Q pada g,

maka X g .

Karena P g dan X g maka P X atau S(P) S(Q).

(3). Untuk P, Q g .

Jelas S(P) = Y, dimana Y titik tengah ruas garis tegak lurus dari P pada g dan S(Q) = X

titik tengah ruas garis tegak lurus dari Q pada g.

Andaikan S(P) = S(Q) atau Y = X.

Karena Y titik tengah ruas garis tegak lurus dari P pada g, misalkan ruas garis tersebut

dinamakan PT dimana T g .

Maka Y PT dan PY = YT

Karena X = Y maka X PT dan PX = XT ..........(*)

Karena S(Q) = X maka X titik tengah ruas garis tegak lurus dari Q pada g, maka X UQ

dan QX = XU ..........(**)

Dari (*) dan (**) diperoleh PT dan UQ berimpit.

Karena T g dan U g maka T = U dan P = Q, hal ini kontradiksi dengan P Q.

b). Diketahui P = (x, y).

(i). Untuk P g .

Mg(P) = P maka S[Mg(P)] = P.

(ii). Untuk P g .

Mg(P) = (x,-y).

S[Mg(P)] = )2

1,( yx .

c). Akan diselidiki apakah S Mg = Mg S.


Ambil sebarang P = (x, y).

(i). Untuk P g .

[S(P)]M(P)][M S P (P)M [S(P)]M maka PS(P)

P S(P) (P)][M S maka P (P)Mgg

gg

gg

(ii). Untuk P g .

[S(P)]M(P)][M S

)2

1,(M [S(P)]M maka )

2

1,(S(P)

)2

1,( S(P) (P)][M S maka ),( (P)M

gg

gg

gg

yxyx

yxyx

Berdasarkan (i) dan (ii) diperoleh [S(P)]M(P)][M S gg atau S Mg = Mg S.

d). Akan diselidiki apakah S Mh = Mh S.

Ambil sebarang P = (x, y).

(i). Untuk P g .

(P)][M S[S(P)]M

),0( [S(P)]M maka )0,(S(P)

)2

1,0( (P)][M S maka ),0( (P)M

hh

h

hh

xx

xx

(ii). Untuk P g .

(P)][M S[S(P)]M

),2

1( [S(P)]M maka )

2

1,(S(P)

)2

1,( (P)][M S maka ),( (P)M

hh

h

hh

xyyx

xyxy

Berdasarkan (i) dan (ii) diperoleh (P)][M S[S(P)]M hh atau S Mh Mh S.

10). Diketahui : g = 0, yyx dan h = xyyx ,

S transfomasi (yang didefinisikan seperti nomor 9)

A = (2,-8) dan P = (x, y)

Tentukan koordinat-koordinat titik-titik berikut :

a). Mh Mg S(A) d). Mh S Mg(P)

b). Mg S Mh(A) e). S2 Mh(P)

c). S Mh S(A) f). S M2

g(P)

Penyelesaian:

a). A = (2, -8)

A’ = S(A)


Sesuai definisi S (jika P g maka S(P) adalah titik tengah ruas garis tegak lurus dari P pada g)

maka A’ adalah titik tengah garis yang melalui A dan g.

A’ = )4,2()2

)8(0,

2

22(

.

Jadi, S(A) = (2,-4).

A” = MgS(A) = Mg(2,-4)

Sesuai definisi pencerminan, maka garis g adalah garis sumbu titik (2, -4) dan A”. Misal:

A” = (a, b), maka:

4,2)22

,2

1()0,2()2

4,

2

2()0,2(

ba

baba

Jadi, A” = MgS(A) = Mg(2,4) = (4,2)

Selanjutnya A” (4,2) dicerminkan terhadap garis h = xyyx , diperoleh A’” (2,4).

Jadi koordinat titik Mh Mg S(A) adalah A’” (2,4).

b). Diketahui A(2,-8) dicerminkan terhadap garis h = xyyx , .

diperoleh A’ (-8,2)

Selanjutnya A’ ditransformasikan terhadap S. Karena A’ g , maka hasil transformasinya

merupakan titik tengah garis yang melalui A’ dan g.

Titik potong garis yang melalui A’ dan g adalah P(-8,0).

Diperoleh titik A’(-8,2) dan P(-8,0).

Jelas x1 = -8 dan y1 = 2, x2 = -8 dan y2 = 0 sehingga jarak antara A’ dan P adalah

Diperoleh = y = 2.

Jadi hasil transformasi A’ terhadap S adalah A” (x, y) = A” (-8, .2) = A” (-8,1).

Kemudian A” (-8,1) dicerminkan terhadap garis g = 0, yyx diperoleh A’” (-8,-1).

Jadi koordinat titik Mg S Mh(A) adalah A’” (-8,-1).

c). Diketahui A(2,-8) ditransformasikan terhadap S. Karena A g , maka hasil transformasinya

merupakan titik tengah garis yang melalui A dan g.


Titik potong garis yang melalui A dan g adalah P(2,0).

Diperoleh titik A(2,-8) dan P(2,0).

Jelas x1 = 2 dan y1 = -8, x2 = 2 dan y2 = 0 sehingga jarak antara A dan P adalah

Diperoleh = y = 8.

Jadi hasil transformasi A terhadap S adalah A’ (x, y) = A’ (2, .8) = A’ (2,4).

Selanjutnya A’(2,4) dicerminkan terhadap garis h = xyyx , diperoleh A”(4,2).

Kemudian A”(4,2) ditransformasikan terhadap S. Karena A” g , maka hasil transformasinya

merupakan titik tengah garis yang melalui A” dan g.

Titik potong garis yang melalui A” dan g adalah P(4,0).

Diperoleh titik A”(4,2) dan P(4,0).

Jelas x1 = 4 dan y1 = 2, x2 = 4 dan y2 = 0 sehingga jarak antara A” dan P adalah

Diperoleh = y = 2.

Jadi hasil transformasi A” terhadap S adalah A”’ (x, y) = A’” (4, .2) = A’” (4,1).

Jadi koordinat titik S Mh S(A) adalah A’” (4,1).

d). Diketahui titik P (x, y).

Titik P (x, y) dicerminkan terhadap garis g = 0, yyx diperoleh P’ (x, -y).

Selanjutnya P’(x, -y) ditransformasikan terhadap S.

(i) Untuk P’ g .

Diperoleh P’’(x, -y) = P’(x, -y).

Kemudian P’’(x, -y) dicerminkan terhadap garis h = xyyx , diperoleh P”’(-y, x).

Jadi koordinat titik Mh S Mg(P) adalah P”’(- y, x).


(ii) Untuk P’ g ,.

Jelas hasil transformasinya merupakan titik tengah garis yang melalui P’ dan g.

Titik potong garis yang melalui P’ dan g adalah Q (x, 0).

Diperoleh titik P’(x, -y) dan Q (x, 0).

Jelas x1 = x dan y1 = -y, x2 = x dan y2 = 0 sehingga jarak antara P’ dan Q adalah

Diperoleh = y.

Jadi hasil transformasi P’ terhadap S adalah P” (x, y).

Kemudian P”(x, y) dicerminkan terhadap garis h = xyyx , diperoleh P”’( y, x).

Jadi koordinat titik Mh S Mg(P) adalah P”’( y, x).

e). Diketahui P(x, y).

Titik P(x, y) dicerminkan terhadap garis h = xyyx , diperoleh P’(y, x).

Selanjutnya P’(y, x) ditransformasikan terhadap S. Jelas hasil transformasinya merupakan titik

tengah garis yang melalui P’ dan g.

Titik potong garis yang melalui P’ dan g adalah Q (y, 0).

Diperoleh titik P’(y, x) dan Q (y, 0).

Jelas x1 = y dan y1 = x, x2 = y dan y2 = 0 sehingga jarak antara P’ dan Q adalah

Diperoleh = x.

Jadi hasil transformasi P’ terhadap S adalah P” (y, x).

Kemudian P” (y, x) ditransformasikan terhadap S. Jelas hasil transformasinya merupakan titik

tengah garis yang melalui P” dan g.

Titik potong garis yang melalui P” dan g adalah Q (y, 0).


Diperoleh titik P” (y, x) dan Q (y, 0).

Jelas x1 = y dan y1 = x, x2 = y dan y2 = 0 sehingga jarak antara P’ dan Q adalah

Diperoleh .

Jadi hasil transformasi P” terhadap S adalah P”’ (y, x).

Jadi koordinat titik S2 Mh(P) adalah P”’ (y, x).

f). Diketahui titik P(x, y).

Titik P(x, y) dicerminkan terhadap garis g = 0, yyx diperoleh P’(x, -y).

Selanjutnya P’(x, -y) dicerminkan terhadap garis g = 0, yyx diperoleh P’’(x, y).

Kemudian P’’(x, y) ditransformasikan terhadap S.

(i) Untuk P’’ g .

Diperoleh P’’’(x, y) = P’’(x, y).

Jadi koordinat titik S M2

g(P) adalah P’’’(x, y).

(ii) Untuk P’’ g ,.

Jelas hasil transformasinya merupakan titik tengah garis yang melalui P’’ dan g.

Titik potong garis yang melalui P’’ dan g adalah Q (x, 0).

Diperoleh titik P’’(x, y) dan Q (x, 0).

Jelas x1 = x dan y1 = y, x2 = x dan y2 = 0 sehingga jarak antara P’ dan Q adalah

Diperoleh = y.

Jadi hasil transformasi P’’ terhadap S adalah P”’ (x, y).


Jadi koordinat titik S M2

g(P)adalah P”’ (x, y).

11). Diketahui : andaikan g dan h dua garis yang tegak lurus

A, B, C adalah tiga buah titik, sehingga Mg(A) = B dan Mh(A) = C

Ditanyakan : tentukan titik-titik

a). M3

g(A) c). MhMgMhMhMg(A)

b). MhMgMh(A) d). M2

gM3

h(A)

Penyelesaian:

Misalkan seperti gambar berikut:

a). M3

g(A) = (MgMgMg)(A) c). MhMgMhMhMg(A)

= (MgMg)[Mg(A)] = (MhMgM2

h)[Mg(A)]

= (MgMg)(B) = (MhMgM2

h)(B)

= Mg[Mg(A)] = (MhMg)[M2h(B)]

= Mg(A) = (MhMg)(B)

= B = Mh[Mg(B)]

= Mh(A)

= C

b). (MhMgMh)(A)= (MhMg)[Mh(A)] d). M2

gM3

h(A) = (M2

gMh)[M2

h (A)]

= (MhMg)(C) = (M2

gMh)(A)

= Mh[Mg(C)] = M2

g[Mh(A)]

= Mh(D) = M2

g(C)

= B = C

12). Diketahui : dua garis, g // h, titik-titik P dan Q, P g dan P h

Ditanyakan :

a). Lukislah P” = MgMh(P) dan Q” = MgMh(Q)!

b). Berbentuk apakah segiempat PP”QQ”?

c). Buktikan pendapat anda!

Penyelesaian:

a).

B(x,y) A(-x,y)

C(-x,-y) D(x,-y)

g

h

g h

Q

Q’ = Mh(Q) MgMh(Q) = Q”


b). Segiempat PP”Q”Q berbentuk jajargenjang

c). g // h, P” = MgMh(P), dan Q” = MgMh(Q)

Jadi, Q"P" = MgMh( PQ )

Karena pencerminan suatu isometri, maka Q"P" // PQ dan Q"P" = PQ , dengan demikian

segiempat PP”Q”Q suatu jajargenjang (berdasarkan teorema “segiempat yang memiliki sepasang

sisi yang sejajar dan sama panjang adalah jajargenjang”).

13). Diketahui : g = ,3, yyx h = ,1, yyx dan k sebuah garis yang melalui A = (1,4) dan B = (-

1,-2)

Tentukanlah :

a). Persamaan k’ = MgMh(k)

b). Luas segiempat AA”BB” apabila A” = MgMh(A) dan B” = MgMh(B)

c). Koordinat P” = MgMh(P), P” = MgMh(P) apabila P = (x, y)

d). Nilai dalam persamaan garis α, yyxh apabila ,2, xyxg A = (5,1), dan A” =

MhMg(A) = (-3,1)

Penyelesaian:

a). k’ = MgMh(k)

Karena A(1,4) k dan B(-1,-2) k , sehingga A”=MgMh(A) k dan B”=MgMh(B) k .

Diperoleh A” = MgMh(A) = Mg[Mh(1,4)] = Mg (1,-6) = (1,12), dan

B” = MgMh(B) = Mg[Mh(-1,-2)] = Mg (-1,0) = (-1,6).

Misal A” = ),( 11 yx dan B” = ),( 22 yx sehingga x1 = 1 dan y1 = 12, x2 = -1 dan y2 = 6

Persamaan garis k’:

11

1

126

12

12

1

12

1

xy

xx

xx

yy

yy


93

3312

)1(312

2

1

6

12

xy

xy

xy

xy

Jadi, persamaan garis 93:' xyk

b). Dari gambar dapat dilihat bahwa AA”B”B membentuk bangun jajargenjang dengan alas(a) = 2 dan

tinggi(t) = 8.

Diperoleh luas jajargenjang = a x t = 2 x 8 = 16

Jadi, luas AA”B”B = 16 satuan luas.

c). Diketahui titik P ),( yx .

Pencerminan titik P terhadap garis h = ,1, yyx Mh(P) = P’ )','( yx

Karena garis h = ,1, yyx merupakan sumbu PP’, sehingga -1 merupakan titik tengah dari y

dan y’:

2'2'12

'

yyyy

yy dan xx '

Jadi, koordinat titik P’(x, -y – 2).

Pencerminan titik P’ terhadap garis g = ,3, yyx Mg[Mh(P)] = P” )","( yx

A”(1,12)

A(1,4)

B(-1,-2)

B”(-1,6)

4

6

12

1

-2

-1


Karena garis g = ,3, yyx merupakan sumbu P’P”, sehingga 3 merupakan titik tengah dari y’

dan y”:

8")2(6"'6"6"'32

"'

yyyyyyyy

yy

Dan xxx '"

Jadi, koordinat titik P”(x, y + 8).

d). α, yyxh , ,2, xyxg A = (5,1), dan A” = MhMg(A) = (-3,1), berapa ?

Pencerminan titik A terhadap garis 2, xyxg : Mg(A) = A’ )','( yx

Karena garis 2, xyxg merupakan sumbu AA’ (dari definisi pencerminan), sehingga x = 2

merupakan titik tengah 5 dan x’ sedangkan y’ = 1 (tetap).

1'4'522

'5

xx

x

Jadi, A’ = Mg(5,1) = (-1,1)

Pencerminan titik A’ terhadap garis α, yyxh : A” = Mh(A’) = Mh(-1,1) = (-3,1)

Karena garis α, yyxh merupakan sumbu A’A” (dari definisi pencerminan), sehingga x =

merupakan titik tengah -1 dan -3 sedangkan y” = y = 1.

2αα2

)3(1

Jadi, 2α .

Jadi, persamaan garis 2, yyxh

14). Diketahui : dua garis, g h, Q ,hg dan sebuah titik P ,g dan P h

Ditanyakan :

a). Lukislah A = MgMh(P)

b). Selidiki apakah Q titik tengah ?AP

c). Lukislah B = MhMg(P)

Penyelesaian:

a). A = MgMh(P)

A Mh(P)=P’

P

Q

g

h R

S


b). Misalkan Mh(P) = P’

Maka PP' memotong h di titik R dan AP' memotong g di titik S.

Karena P’ adalah pencerminan dari P maka PR = RP’ dan PP' h.

Karena A adalah pencerminan dari P’ maka P’S = SA dan AP' g.

Karena PP' h dan g h maka PP'// g sehingga RP’ = QS.

Karena AP' g dan g h maka AP' // h sehingga P’S = RQ.

Perhatikan PRQ dan QSA

PR = RP’ dan RP’ = QS maka PR = QS

m(PRQ) = m(QSA) = 90

RQ = P’S dan P’S = SA maka RQ = SA

Jadi berlaku aturan S Sd S.

Berdasarkan sistem aksioma kekongruenan maka PRQ QSA.

Akibatnya PQ = QA.

Karena PQ = QA dan PQ PA dan QA PA maka Q tengah-tengah PA .

Jadi, titik Q pada pertengahan PA .

c). B = MhMg(P)

15). Diketahui : h adalah sumbu-X dan g sumbu-Y sebuah sistem sumbu ortogonal

A = (4,-3) dan P = (x,y)

Tentukanlah :

a). Koordinat-koordinat MhMg(A) dan MgMh(A)

b). Koordinat-koordinat MhMg(P)

c). Apakah MhMg dan MgMh?

Penyelesaian:

P Mg(P)

B g

h


a). MhMg(A) = Mh[Mg(A)]

= Mh[Mg(4,-3)]

= Mh(-4,-3)

= (-4,3)

MgMh(A) = Mg[Mh(A)]

= Mg[Mh(4,-3)]

= Mg(4,3)

= (-4,3)

b). MhMg(P) = Mh[Mg(x, y)]

= Mh(-x, y)

= (-x,-y)

c). MgMh(P) = Mg[Mh(x, y)]

= Mg(x,-y)

= (-x, -y)

Ternyata MhMg(P) = (-x,-y) = MgMh(P).

Jadi, MhMg(P) = MgMh(P).

Hasil Kali Transformasi

Documents

Transcript of Hasil Kali Transformasi