VECTOR DI BIDANG R2

DAN RUANG R3

1

Nurdinintya Athari(NDT)

VEKTOR DI BIDANG (R2) DAN DI RUANG (R3)Pokok Bahasan :

1. Notasi dan Operasi Vektor

2. Perkalian titik dan Proyeksi Ortogonal

3. Perkalian silang dan Aplikasinya

Beberapa Aplikasi :• Proses Grafika Komputer• Kuantisasi pada proses kompresi• Least Square pada Optimasi• Klasifikasi sinyal

Notasi dan Operasi

Vektor besaran yang mempunyai arah

Notasi vektor 321321

3

2

1

,,ˆˆˆ ccckcjcicccc

c

Panjang vektor adalah

3

2

1

ccc

c2

32

22

1 cccc

Vektor satuan Vektor dengan panjang atau norm

sama dengan satu

Operasi Vektor meliputi :

1. Penjumlahan antar vektor (pada ruang yang sama)

2. Perkalian vektor

(a) dengan skalar

(b) dengan vektor lain

• Hasil kali titik (Dot Product)

• Hasil kali silang (Cross Product)

Penjumlahan Vektor

u

v vu

u vu v

Misalkan dan adalah vektor-vektor yang berada di ruang yang sama, maka vektordidefinisikan :

u

u

u2

u2

Perkalian vektor dengan skalar

u uk

u

uu

Perkalian vektor dengan skalar k, didefinisikansebagai vektor yang panjangnya k kali panjang vektordengan arah

Jika k > 0 searah denganJika k < 0 berlawanan arah dengan

321 ,, aaaa 321 ,, bbbb

332211 ,,.1 babababa

332211 ,,.2 babababa

321 ,,.3 kakakaak

Secara analitis, kedua operasi pada vektor diatas

dapat dijelaskan sebagai berikut :

adalah vektor-vektor di ruang yang sama

dan

maka :

Misalkan

Perkalian antara dua vektor• Hasil kali titik (dot product)• Hasil kali silang (cross product)

Hasil kali titik merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang yang sama yang menghasilkan skalar

Hasil kali titik (dot product)

Hasil kali silang merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang R3 yang menghasilkan vektor

Hasil kali silang (Cross product)

Dot Product

Misalkan adalah vektor pada ruang yang samamaka hasil kali titik antara dua vektor :

dimana: panjang

: panjang

: sudut antara keduanya

cosbaba

,a b

a

b

a

b

Contoh :Tentukan hasil kali titik dari dua vektor dan Jawab :

karena tan = 1 atau = 450

= 4

ia ˆ2 jib ˆ2ˆ2

cosbaba

2182

Ingat Aturan Cosinus

a2 = b2 + c2 – 2 bc cos ac

b

a

b

a

b

a b

2 2 22 2 cosa b a b a b b a

b

Selanjutnya dapat ditulis

Ingat bahwa :

cosba

22221 abba

cos1. baba

222

21

2....2 naaaa

222

21

2....3 nbbbb

2222

211

2....4 nn abababab

nnnn

nn

abababaaabbb

2...22......

11

222

21

222

21

nnbabababa ...2211

Perhatikan setiap sukunya, diperoleh hubungan :

Contoh:Tentukan hasil kali titik dari vektor dan

= 2 (2) + 0 (2)= 4

Beberapa sifat hasil kali titik :1.2.3.

2211 bababa

nnbabababa ...2211

abba

cabacba Rkbkabakbak dimana,

ia ˆ2 jib ˆ2ˆ2

DOT PRODUCT

vuvu .cos

cos. vuvu Persamaan dapat dinyatakan sebagai :

Persamaan hasil kali titik (dot product) dapatdigunakan untuk menghitung sudut () diantaradua buah vektor

sudut lancip jika dan hanya jika u.v > 0 sudut tumpul jika dan hanya jika u.v < 0 = /2 jika dan hanya jika u.v = 0

OPERASI VEKTOR

2222

11, ababABBAd

2332

222

11. abababABBAd

22

21|||| uuu Misal u = (u1,u2), maka

Misal u = (u1,u2,u3), maka 23

22

21|||| uuuu

Misal A(a1, a2, a3) dan B(b1, b2, b3) adalah dua titik di R3. Maka, jarak antara titik A dan B adalah

Jarak antara dua buah titik (Vektor)Misal A(a1, a2) dan B(b1, b2) adalah dua titik di R2. Maka, jarak antara titik A dan B adalah

OPERASI VEKTOR

2 2 2. 2 1 3 1 4 1 14d A B

Contoh 1Misalkan u = (1,2,2), ||u||= ?

39221|||| 222 u

Jawab :

Contoh 2Hitunglah jarak antara titik A(1, 1, 1) dan B(2, 3, 4)

Jawab :

1 aw proy u

1 2

1 1

2

, ( u pada )a

a

u w wkarena w proj u w proyeksi amaka w u proj u

u

a

2w

1 2

2 1

22

2

22

1

1 2

.....................( )...........( )

..........................( 0)

,a

a

u w wu ka w w kau a ka w a a

u a k a w au ak w aa

Karena w proj u kau amaka w proj u aa

2

2

2

......( )

............( 0)

cos .......( cos )

a

a

a

a

u aproj u aa

u aproj u a ku k ua

u aproj u a

a

proj u u u a u a

PROYEKSI ORTOGONAL

24

3w

431

v

Contoh

Carilah proyeksi ortogonal vektor

relatif pada vektor

2

2 2 2

Proy

2 14 3

13 4

31 3 ( 4) 4

12 ( 12) ( 12) 3

264

1 126 3 3

264 4

vw vw vv

Jawab :

LATIHAN1. Misalkan a = (k,k,1) dan b = (k,3,-4). Carilah nilai k

a. Jika sudut antara a dan b runcing

b. Jika sudut antara a dan b tumpul

c. Jika sudut antara a dan b ortogonal

2. Carilah proyeksi ortogonal vektor a relatif pada vektor b

. (6 , 2 ), (3, 9 )

. (5, 6 ), (2, 1)

. (1, 0, 0 ), (4, 3, 8). (3, 2, 6 ), (1, 2, 7 )

a a bb a bc a bd a b

CROSS PRODUCTDefinisi

Cross product (hasil kali silang) merupakan hasil kali antara duavektor di ruang (R3) yang menghasilkan vektor yang tegak lurusterhadap kedua vektor yang dikalikan tersebut.

Misalkan a =(a1,a2,a3) dan b = (b1,b2,b3) adalah vektor di R3, makacross product a x b adalah vektor yang didefinisikan

1 2 3

1 2 3

2 3 1 3 1 2

2 3 1 3 1 2

2 3 1 3 1 2

2 3 1 3 1 2

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆ

, ,

i j ka b a a a

b b b

a a a a a ai j k

b b b b b b

a a a a a ab b b b b b

CROSS PRODUCT

(1) ( )(2) ( ) ( ) ( )(3) ( ) ( ) ( )

( ) ( )(5) 0 0 0(6) 0

(4)

a b c a b a ca b c a c b c

k a b k

a b b a

a aa a

a b a kb

Sifat dari Cross Product Jika a, b, and c adalah vektor di ruang R3 dan k skalar, maka

Hubungan antara Cross Product dan Dot Product( a x b ortogonal terhadap a)

( a x b ortogonal terhadap b)

(Identitas Lagrange)2 2 2 2

(1) ( ) 0(2) ( ) 0

(3) ( )

a a bb a b

a b a b a b

CROSS PRODUCT

, sinMaka a xb a b

22 22a b a b a b

222 cosa b a b

2 22 2 2cosa b a b

22 21 cosa b

22 2sina b

Contoh :Carilahdimana

Jawab :

vuw

1 2 3

1 2 3

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ

1 2 23 0 1

ˆˆ ˆ2.1 0( 2) 3( 2) 1.1 1.0 3.2ˆˆ ˆ2 7 6

i j k i j kw u u u

v v v

i j k

i j k

1,2, 2 , (3, 0, 1)u v

CROSS PRODUCTInterpretasi Geometri

Apakah ini?

b

a

||a|| sin

||b||

Luas Jajargenjang/Parallelogram

Luas Segitiga

sina b a b

sina b a b

1 1sin2 2

a b a b

Contoh:Misalkan koordinat titik A, B, dan C sbb :

A = (1, –1, –2)B = (4, 1, 0)C = (2, 3, 3)

Gunakan cross product untuk mencari luas segitigaABC dan luas parallelogram ABCD!

Jawab :• A sebagai acuan

• Luas segitiga ABC

• Luas parallelogram

B – A 4,1, 0 – 1, – 1, – 2 (3, 2 , 2 )

– A 2, 3, 3 – 1, – 1, – 2 1, 4 , 5

A B

A C C

A

C

Bˆˆ ˆ

ˆˆ ˆ3 2 2 2 13 101 4 5

i j kAB AC i j k

1 14 169 100 2732 2

4 169 100 273

• B sebagai acuan

1, 1, 2 – 4,1,0 3, 2, 2

2,3,3 – 4,1,0 2,2,3

BA a b

BC c b

ˆˆ ˆˆˆ ˆ3 2 2 2 13 10

2 2 3

i j kBA BC i k j

1 1 14 169 100 2732 2 2

BA xBC

Luas segitiga ABC

Luas parallelogram 4 169 100 273

B

C

A

LATIHAN1. Tentukan cos sudut yang terbentuk oleh pasangan vektor berikut :

a. dan b. dan

2. Tentukan proyeksi ortogonal vektor a terhadap vektor b dan tentukan panjang vektor proyeksi tersebut:

a. dan b. dan

3. DiketahuiCari :

21

u

8

6v

73

1u

22

8v

12

a

23

b

31

2a

221

b

(3,4), (5, 1), (7,1)u v w . (7 ) . ( )

. ( ) . ( )

a u v w b u v w

c u v w d u v w

4. Tentukan dua buah vektor satuan di bidang yang

tegak lurus terhadap vektor

5. Tentukan vektor yang tegak lurus terhadap vektor

dan

6. Tentukan luas segitiga yang mempunyai titik sudut P (2,0,–3), Q (1,4,5), dan R (7,2,9) dan tentukan luasparalellogram!

2

3u

137

u

402

v