HANDOUT MATAKULIAH PROSES BERPIKIR ... - Utari...

HANDOUT MATAKULIAH

PROSES BERPIKIR MATEMATIK

Oleh:UTARI SUMARMO

HANDOUT MATAKULIAH

PROSES BERPIKIR MATEMATIK

Oleh:UTARI SUMARMO

9/5/2015 1

Tujuan Pendidikan Nasional:Mengembangkan potensi peserta didik agarmenjadi manusia yang:

beriman dan bertaqwa kepada Tuhan YMEberahlak mulia, sehat, berilmu, cakap,kreatif, mandiri dan menjadi warga negarayang demokratis serta bertanggung jawab

Visi Bidang Studi Matematika :Agar siswa memiliki kemampuan matematikmemadai, berfikir dan bersikap kritis, kreatifdan cermat, obyektif dan terbuka, menghargaikeindahan matematika, serta rasa ingin tahudan senang belajar matematika.9/5/2015

Tujuan Pendidikan Nasional:Mengembangkan potensi peserta didik agarmenjadi manusia yang:

beriman dan bertaqwa kepada Tuhan YMEberahlak mulia, sehat, berilmu, cakap,kreatif, mandiri dan menjadi warga negarayang demokratis serta bertanggung jawab

Visi Bidang Studi Matematika :Agar siswa memiliki kemampuan matematikmemadai, berfikir dan bersikap kritis, kreatifdan cermat, obyektif dan terbuka, menghargaikeindahan matematika, serta rasa ingin tahudan senang belajar matematika.

Tujuan pembelajaran matematika :a) Memahami konsep matematika,

keterkaitannya, mengaplikasikannya dalampemecahan masalah,

b) Menggunakan penalaran, membuatgeneralisasi, menyusun bukti,

c) Memecahkan masalah;d) Mengkomunikasikan gagasan melalui

simbol-simbol matematikae) Memiliki sikap menghargai kegunaan

matematika dalam kehidupan, sikap rasaingin tahu, perhatian, dan minat dalammempelajari matematika, serta sikap ulet danpercaya diri dalam pemecahan masalah

9/5/2015 3

Tujuan pembelajaran matematika :a) Memahami konsep matematika,

keterkaitannya, mengaplikasikannya dalampemecahan masalah,

b) Menggunakan penalaran, membuatgeneralisasi, menyusun bukti,

c) Memecahkan masalah;d) Mengkomunikasikan gagasan melalui

simbol-simbol matematikae) Memiliki sikap menghargai kegunaan

matematika dalam kehidupan, sikap rasaingin tahu, perhatian, dan minat dalammempelajari matematika, serta sikap ulet danpercaya diri dalam pemecahan masalah

HAKEKAT MATEMATIKA1. Kegiatan manusia, proses yang aktif,

dinamik, dan generatif2. Bahasa simbol yg efisien, teratur,

berkemampuan analisis kuantitatif3. Terstruktur dan sistimatis, deduktif, logis dan

aksiomatik, diawali dengan proses induktif:menyusun konjektur, model mat. analogi,generalisasi

4. Ilmu bantu5. Melatih berfikir kritis, obyektif dan terbuka

9/5/2015 4

HAKEKAT MATEMATIKA1. Kegiatan manusia, proses yang aktif,

dinamik, dan generatif2. Bahasa simbol yg efisien, teratur,

berkemampuan analisis kuantitatif3. Terstruktur dan sistimatis, deduktif, logis dan

aksiomatik, diawali dengan proses induktif:menyusun konjektur, model mat. analogi,generalisasi

4. Ilmu bantu5. Melatih berfikir kritis, obyektif dan terbuka

HAKEKAT MATEMATIKA

1. Kegiatan manusia, proses yang aktif, dinamik,generatif

Keterangan:Semua orang dalam hidupnya melaksanakankegiatan matematik mulai dari yang sangatsederhana (perhitungan sangat sederhanamisalnya, menjumlah, mengurangi, mengalikan,dan membagi ) sampai dengan yang sangatkompleks (yang dikerjakan matematikawan,misalnya pembuktian yang sangat rigor)

9/5/2015 5

HAKEKAT MATEMATIKA

1. Kegiatan manusia, proses yang aktif, dinamik,generatif

Keterangan:Semua orang dalam hidupnya melaksanakankegiatan matematik mulai dari yang sangatsederhana (perhitungan sangat sederhanamisalnya, menjumlah, mengurangi, mengalikan,dan membagi ) sampai dengan yang sangatkompleks (yang dikerjakan matematikawan,misalnya pembuktian yang sangat rigor)

2. Matematika sebagai bahasa simbol yg efisien,teratur, berkemampuan analisis kuantitatif

Contoh simbol: 0, 5, Σ , = , #, δ, ε, ≤, %, adalahlambang bilangan, lambang operasi (aljabar dan nonaljabar), dan lambang lainnya yg dapat menganalisissecara kuantitatif.Tiap simbol memiliki makna dan nama tertentu, misalnya3 + 4x dan 56,2 – 1/5 dalam matematika dinamakan“ekspresi”, bentuk x = 2 dan bentuk 3x + y < 50dinamakan “kalimat”

Kekuatan bahasa simbol matematik diungkapkan olehBaron: (Sumarmo, 1987) dari A Mathematician Apology:“A Mathematician, like a painter or a poet, is a maker ofpatterns. If his are more permanent than theirs, it isbecause they are made of ideas”.9/5/2015 6

2. Matematika sebagai bahasa simbol yg efisien,teratur, berkemampuan analisis kuantitatif

Contoh simbol: 0, 5, Σ , = , #, δ, ε, ≤, %, adalahlambang bilangan, lambang operasi (aljabar dan nonaljabar), dan lambang lainnya yg dapat menganalisissecara kuantitatif.Tiap simbol memiliki makna dan nama tertentu, misalnya3 + 4x dan 56,2 – 1/5 dalam matematika dinamakan“ekspresi”, bentuk x = 2 dan bentuk 3x + y < 50dinamakan “kalimat”

Kekuatan bahasa simbol matematik diungkapkan olehBaron: (Sumarmo, 1987) dari A Mathematician Apology:“A Mathematician, like a painter or a poet, is a maker ofpatterns. If his are more permanent than theirs, it isbecause they are made of ideas”.

3. Matematika sbg ilmu yg terstruktur dansistimatis, deduktif, logis dan aksiomatik, yangdiawali dengan proses induktif: analogi,generalisasi menyusun konjektur, dan modelmatematika

Matematika disusun dari konsep yg tidakterdefinisi (yg diterima keberadaannya tanpa hrsdibuktikan), dan berkembang menjadi konsep ygterdefinisi, prinsip, teorema/rumus/dalil danseterusnya yang dibuktikan kebenarannyasecara deduktif.

Dalam perkembangannya matematika memuatproses induksi untuk menemukan praduga yangkemudian kebenarannya dibuktikan secaradeduktif9/5/2015 7

3. Matematika sbg ilmu yg terstruktur dansistimatis, deduktif, logis dan aksiomatik, yangdiawali dengan proses induktif: analogi,generalisasi menyusun konjektur, dan modelmatematika

Matematika disusun dari konsep yg tidakterdefinisi (yg diterima keberadaannya tanpa hrsdibuktikan), dan berkembang menjadi konsep ygterdefinisi, prinsip, teorema/rumus/dalil danseterusnya yang dibuktikan kebenarannyasecara deduktif.

Dalam perkembangannya matematika memuatproses induksi untuk menemukan praduga yangkemudian kebenarannya dibuktikan secaradeduktif

4. Matematika sebagai Ilmu bantu.Melalui kekuatannya matematika dapatmembantu disiplin lain dalam perhitungan danmenyelesaikan masalahnya, membantumenganalisis secara kuantitatif, menyusunpraduga, dan menerapkan konsep/prinsipmatematika dalam disiplin lain dalam

5. Matematika melatih individu dapatmengembangkan kemampuan berfikirrasional (masuk akal), kritis, kreatif, obyektif,reflektif, dan terbuka.

9/5/2015 8

4. Matematika sebagai Ilmu bantu.Melalui kekuatannya matematika dapatmembantu disiplin lain dalam perhitungan danmenyelesaikan masalahnya, membantumenganalisis secara kuantitatif, menyusunpraduga, dan menerapkan konsep/prinsipmatematika dalam disiplin lain dalam

5. Matematika melatih individu dapatmengembangkan kemampuan berfikirrasional (masuk akal), kritis, kreatif, obyektif,reflektif, dan terbuka.

VISI MATEMATIKA

Masa kiniMemilikipemahaman konsepmat dan dptmenerapkannya dlmhidup sehari-hari

Masa DatangMampu bernalar

induktif, logis, kritis,sistimatis, cermat

Mampu menyusunkonjektur, model mat.analogi, generalisasi

Memiliki rasa percayadiri, rasa keindahan,sikap terbuka danobjektif9/5/2015 9

Masa kiniMemilikipemahaman konsepmat dan dptmenerapkannya dlmhidup sehari-hari

Masa DatangMampu bernalar

induktif, logis, kritis,sistimatis, cermat

Mampu menyusunkonjektur, model mat.analogi, generalisasi

Memiliki rasa percayadiri, rasa keindahan,sikap terbuka danobjektif

Tkt berfikirmatematik

Tkt rendah:pemahamankomputasionalperhitungan rutin

/algoritmik

9/5/2015 10

Tingkat tinggi: Pemahaman (yg relasional/fungsional) Pemecahan masalah matematik Komunikasi, Koneksi, Penalaran, Represen-

tasi matematik (yg relasional/fungsional) Berfikir kritis dan kreatif matematik

TAKSONOMI TUJUAN BELAJAR

1. TAKSONOMI BLOOM:a) Ingatan / Hafalan: menghafal fakta; mengingat kembali

konsep, rumus, prinsip mat sederhanab) Pemahaman: melaksanakan perhitungan sederhana

memahami hubungan konsep

c) Aplikasi: memilih rumus/prinsip/atura/konsep untukditerapkan secara langsung

d) Analisis: menguraikan hubungan/situasi yangkompleks atas komponen/konsep-konsep dasar.

e) Sintesis: menggabungkan/menyusun kembalikomponen/bagian menjadi struktur baru

f) Evaluasi: menerapkan konsep/rumus/prinsipmatematika untuk menilai suatu situasi matematik9/5/2015 11

TAKSONOMI TUJUAN BELAJAR

1. TAKSONOMI BLOOM:a) Ingatan / Hafalan: menghafal fakta; mengingat kembali

konsep, rumus, prinsip mat sederhanab) Pemahaman: melaksanakan perhitungan sederhana

memahami hubungan konsep

c) Aplikasi: memilih rumus/prinsip/atura/konsep untukditerapkan secara langsung

d) Analisis: menguraikan hubungan/situasi yangkompleks atas komponen/konsep-konsep dasar.

e) Sintesis: menggabungkan/menyusun kembalikomponen/bagian menjadi struktur baru

f) Evaluasi: menerapkan konsep/rumus/prinsipmatematika untuk menilai suatu situasi matematik

5. Jenjang Tujuan Belajar BerdasarkanTaksonomi Bloom

C6.Mengevaluasi

C5. Mensintesa

C4. MenganalisaC4. Menganalisa

C3. Menerapkan

C2. Memahami

C1. Mengingat, menghapal12

C. Jenis Hard Skill Matematik

1. Pemahaman matematik

2. Komunikasi matematik

3. Koneksi matematik

4. Pemecahan masalah matematik

5. Penalaran matematik

6. Berpikir kritis matematik

7. Berpikir kreatif matematik

C. Jenis Hard Skill Matematik

1. Pemahaman matematik

2. Komunikasi matematik

3. Koneksi matematik

4. Pemecahan masalah matematik

5. Penalaran matematik

6. Berpikir kritis matematik

7. Berpikir kreatif matematik

13

1. Indikator Pemahaman matematika. Pemahaman (rendah): mekanikal,

komputasional, instrumental, dan induktif:mengingat dan menerapkan rumus secararutin, perhitungan sederhana

b. Pemahaman (tinggi) rasional, fungsional,relasional, dan intuitif: mengkaitkan satukonsep/prinsip dengan konsep/prinsiplainnya, menyadari proses yangdikerjakannya, dan membuat perkiraanbenar

1. Indikator Pemahaman matematika. Pemahaman (rendah): mekanikal,

komputasional, instrumental, dan induktif:mengingat dan menerapkan rumus secararutin, perhitungan sederhana

b. Pemahaman (tinggi) rasional, fungsional,relasional, dan intuitif: mengkaitkan satukonsep/prinsip dengan konsep/prinsiplainnya, menyadari proses yangdikerjakannya, dan membuat perkiraanbenar

14

Contoh Butir Soal Pemahaman Matematik, C4 untuk siswaSD, dan C2 untuk siswa SMP, dan C1 untuk siswa SMA)

3) Urutkan bilangan di bawah ini dari yang terkecil keyang lebih besar.0,105 ; 0,13 ; 10,2%; 8% ; 0,90%

4) Satu set meja makan memuat empat kursi.Serombongan tamu berjumlah 62 orang. Berapa setmeja makan harus disediakan agar tiap tamu duduk dikursi masing-masing? Jelaskan

5) Sebuah kotak berukuran 15,2 cm X 12,5 cm x 20 cm.Ada sejumlah kubus kecil dengan panjang rusuknya 1cm. Berapa banyak kubus kecil yang dapat dimuat?Jelaskan. Andaikan kotak diisi penuh dengan pasir,volume pasir sama dengan jumlah volume kubus kecil.Benarkah pernyataan tersebut. Jelaskan.

Contoh Butir Soal Pemahaman Matematik, C4 untuk siswaSD, dan C2 untuk siswa SMP, dan C1 untuk siswa SMA)

3) Urutkan bilangan di bawah ini dari yang terkecil keyang lebih besar.0,105 ; 0,13 ; 10,2%; 8% ; 0,90%

4) Satu set meja makan memuat empat kursi.Serombongan tamu berjumlah 62 orang. Berapa setmeja makan harus disediakan agar tiap tamu duduk dikursi masing-masing? Jelaskan

5) Sebuah kotak berukuran 15,2 cm X 12,5 cm x 20 cm.Ada sejumlah kubus kecil dengan panjang rusuknya 1cm. Berapa banyak kubus kecil yang dapat dimuat?Jelaskan. Andaikan kotak diisi penuh dengan pasir,volume pasir sama dengan jumlah volume kubus kecil.Benarkah pernyataan tersebut. Jelaskan.

Contoh Butir Soal Pemahaman Matematik, relasional,tingkat tinggi C4 untuk siswa SD, dan pemahamanmekanikal C2 untuk siswa SMP, dan C1 untuk siswaSMA)

1) Gambarlah persegi ABCD dengan panjang sisinya 8cm. Titik-titik P, Q, R, dan S masing-masing titiktengah AB, BC, CD, dan DA. Tuliskan nama bangunPQRS dan jelaskan. Berapa luasnya

2) Pagar depan rumah akan dipasang tiang tembokyang berjarak 2 meter. Diketahui panjang pagar 20meter dan tiang tembok di pasang di awal pagar.Ada berapa tiang yang akan dipasang? Bagaimanacara menghitungnya?

Contoh Butir Soal Pemahaman Matematik, relasional,tingkat tinggi C4 untuk siswa SD, dan pemahamanmekanikal C2 untuk siswa SMP, dan C1 untuk siswaSMA)

1) Gambarlah persegi ABCD dengan panjang sisinya 8cm. Titik-titik P, Q, R, dan S masing-masing titiktengah AB, BC, CD, dan DA. Tuliskan nama bangunPQRS dan jelaskan. Berapa luasnya

2) Pagar depan rumah akan dipasang tiang tembokyang berjarak 2 meter. Diketahui panjang pagar 20meter dan tiang tembok di pasang di awal pagar.Ada berapa tiang yang akan dipasang? Bagaimanacara menghitungnya?

16

3) Contoh pemahaman matematik tk rendah (C1untuk siswa SMP)

Tuliskan bentuk bidang diagonal ACGH padakubus ABCD.EFGH dan hitung luasnya jikapanjang sisinya 8 cm.

4) Contoh pemahaman tingkat rendah C3 untuksiswa SMA, dan tingkat tinggi C4 untuk siswaSMP.

Lantai sebuah kamar berukuran 3 m x 5 m akandipasang ubin berukuran 30 cm x 20 cm. Satudus berisi 40 ubin. Berapa dus paling sedikitharus disediakan? Bagaimana caramengihitungnya?

3) Contoh pemahaman matematik tk rendah (C1untuk siswa SMP)

Tuliskan bentuk bidang diagonal ACGH padakubus ABCD.EFGH dan hitung luasnya jikapanjang sisinya 8 cm.

4) Contoh pemahaman tingkat rendah C3 untuksiswa SMA, dan tingkat tinggi C4 untuk siswaSMP.

Lantai sebuah kamar berukuran 3 m x 5 m akandipasang ubin berukuran 30 cm x 20 cm. Satudus berisi 40 ubin. Berapa dus paling sedikitharus disediakan? Bagaimana caramengihitungnya?

17

2. Indikator Komunikasi Matematika) Menyatakan situasi ke dlm model

matematika (gambar, tabel, diagram, relasi/ekspresi matematika)

b) Menyatakan/menjelaskan modelmatematika (gambar, tabel, diagram,ekspresi/relasi matematika) dlm bahasabiasa

c) Menjelaskan/bertanya tentang matematika(a, b, c pedoman utk membuat butir tes)

d) Mendengarkan, berdiskusi, menulis mat.e) Membaca presentasi matematika(a, b, c, d, dan e, untuk latihan selamapembelajaran)

2. Indikator Komunikasi Matematika) Menyatakan situasi ke dlm model

matematika (gambar, tabel, diagram, relasi/ekspresi matematika)

b) Menyatakan/menjelaskan modelmatematika (gambar, tabel, diagram,ekspresi/relasi matematika) dlm bahasabiasa

c) Menjelaskan/bertanya tentang matematika(a, b, c pedoman utk membuat butir tes)

d) Mendengarkan, berdiskusi, menulis mat.e) Membaca presentasi matematika(a, b, c, d, dan e, untuk latihan selamapembelajaran) 18

1) Contoh Butir soal Komunikasi MatematikTingkat Tinggi atau C5 untuk Siswa SD

Pak Ali mempunyai kebun berbentuk persegipanjang dengan ukuran lebar 8 m danpanjangnya 10 m. Seperempat bagian kebunditanami kol, seperenam bagian kebunditanami cabe dan sisanya ditanami jagung.a) Gambarlah sketsa kebun pak Ali

seluruhnya dan bagian kebun yangditanami kol, cabe, dan jagung.

b) Hitung luas kebun seluruhnya dan luaskebun kol, kebun cabe, dan kebun jagung.

1) Contoh Butir soal Komunikasi MatematikTingkat Tinggi atau C5 untuk Siswa SD

Pak Ali mempunyai kebun berbentuk persegipanjang dengan ukuran lebar 8 m danpanjangnya 10 m. Seperempat bagian kebunditanami kol, seperenam bagian kebunditanami cabe dan sisanya ditanami jagung.a) Gambarlah sketsa kebun pak Ali

seluruhnya dan bagian kebun yangditanami kol, cabe, dan jagung.

b) Hitung luas kebun seluruhnya dan luaskebun kol, kebun cabe, dan kebun jagung.

19

2) Contoh Butir soal Komunikasi MatematikTingkat Rendah atau C3 untuk Siswa SD

Isi kotak kosong dengan gambar yang sesuailalu hubungkan dengan bilangan yang sesuai

a) + = 9

b) - = 7

c) - = 11

d) + = 5

2) Contoh Butir soal Komunikasi MatematikTingkat Rendah atau C3 untuk Siswa SD

Isi kotak kosong dengan gambar yang sesuailalu hubungkan dengan bilangan yang sesuai

a) + = 9

b) - = 7

c) - = 11

d) + = 5

20

3) Contoh Butir soal Komunikasi Matematik TingkatTinggi C5 untuk Siswa SMP

ABCD adalah trapesium dengan sisi-sisi sejajarAB = 14 cm, CD = 8 cm, dan sisi-sisi tidak sejajarAD = 8 cm, BC = 12 cm. Sebuah garis EF dibuat sejajarAB sehingga keliling dua trapesium yang terbentuk sama.a) Ilustrasikan situasi di atas dalam bentuk gambar

sehingga mudah dipahami.b) Susun kalimat matematika untuk menghitung

panjang garis AE dan selesaikan.

21

3) Contoh Butir soal Komunikasi Matematik TingkatTinggi C5 untuk Siswa SMP

ABCD adalah trapesium dengan sisi-sisi sejajarAB = 14 cm, CD = 8 cm, dan sisi-sisi tidak sejajarAD = 8 cm, BC = 12 cm. Sebuah garis EF dibuat sejajarAB sehingga keliling dua trapesium yang terbentuk sama.a) Ilustrasikan situasi di atas dalam bentuk gambar



3) Contoh Butir soal Komunikasi Matematik TingkatTinggi C5 untuk Siswa SMP (Abdurahman, 2014)

ABCD adalah trapesium dengan sisi-sisi sejajar AB =14 cm, CD = 8 cm, dan sisi-sisi tidak sejajar AD = 8cm, BG = 12 cm. Sebuah garis EF dibuat sejajar ABsehingga keliling dua trapesium yang terbentuk sama.a) Ilustrasikan situasi di atas dalam bentuk gambar



22

3) Contoh Butir soal Komunikasi Matematik TingkatTinggi C5 untuk Siswa SMP (Abdurahman, 2014)

ABCD adalah trapesium dengan sisi-sisi sejajar AB =14 cm, CD = 8 cm, dan sisi-sisi tidak sejajar AD = 8cm, BG = 12 cm. Sebuah garis EF dibuat sejajar ABsehingga keliling dua trapesium yang terbentuk sama.a) Ilustrasikan situasi di atas dalam bentuk gambar



4) Contoh Butir soal Komunikasi Matematik TingkatTinggi, C4 untuk Siswa SMA (Isnaeni, 2014)

Diketahui bidang α dan β yang saling tegak lurus danberpotongan sepanjang garis m. Garis n terletak padabidang β dan sejajar garis m. Titik P dan Q terletakpada m.a) Gambarlah jarak antara garis n dan garis PQ.b) Misalkan bidang γ tegak lurus garis n. Jelaskan

kedudukan antara bidang γ dan α, antara bidang γdan β, serta kedudukan antara garis perpotonganbidang γ dan β dengan garis n.

23

4) Contoh Butir soal Komunikasi Matematik TingkatTinggi, C4 untuk Siswa SMA (Isnaeni, 2014)

Diketahui bidang α dan β yang saling tegak lurus danberpotongan sepanjang garis m. Garis n terletak padabidang β dan sejajar garis m. Titik P dan Q terletakpada m.a) Gambarlah jarak antara garis n dan garis PQ.b) Misalkan bidang γ tegak lurus garis n. Jelaskan

kedudukan antara bidang γ dan α, antara bidang γdan β, serta kedudukan antara garis perpotonganbidang γ dan β dengan garis n.

3. Indikator Koneksi Matematis

a) Mencari hubungan berbagai representasikonsep dan prosedur matematika

b) Mencari hubungan satu prosedur keprosedur lain dalam representasi yangekuivalen

c) Memahami representasi ekuivalen konsepyang sama

d) Menerapkan hubungan antar topik Mat.dan dengan topik BS lain

e) Menggunakan matematika dlm BS lain/kehidupan sehari-hari

3. Indikator Koneksi Matematis

a) Mencari hubungan berbagai representasikonsep dan prosedur matematika

b) Mencari hubungan satu prosedur keprosedur lain dalam representasi yangekuivalen

c) Memahami representasi ekuivalen konsepyang sama

d) Menerapkan hubungan antar topik Mat.dan dengan topik BS lain

e) Menggunakan matematika dlm BS lain/kehidupan sehari-hari

24

1) Contoh Butir Soal Koneksi MatematikTingkat Tinggi atau Jenjang C5 untukSiswa SD, dan C3 untuk siswa SMP

Urutkan bilangan-bilangan ini dari yang kecilke yang lebih besar. Beri penjelasan caramenyelesaikan soal ini.

0,120 ; ¼ ; 1/8 ; 0,245 ; 20% ; 0,090;

350/00 ; 6/7 ; 8/9

1) Contoh Butir Soal Koneksi MatematikTingkat Tinggi atau Jenjang C5 untukSiswa SD, dan C3 untuk siswa SMP

Urutkan bilangan-bilangan ini dari yang kecilke yang lebih besar. Beri penjelasan caramenyelesaikan soal ini.

0,120 ; ¼ ; 1/8 ; 0,245 ; 20% ; 0,090;

350/00 ; 6/7 ; 8/9

25

2) Contoh Butir Soal Koneksi Matematik TingkatTinggi C5 untuk Siswa SMP (Rahmat, 2014)

Diketahui suatu persegi dengan panjang sisinya a cmKemudian persegi serupa diletakkan berimpit dikanan persegi semula. Proses tersebut dilanjutkandengan persegi ketiga dan seterusnya sampai persegike-na) Gambarlah situasi tersebutb) Susun model matematika untuk menyatakan

keliling dan luas bangun yang terbentuk darigabungan: 2 persegi, 3 persegi, 4 persegi dan npersegi!

c) Tuliskan konsep yang termuat dalam persoalan diatas!

26

2) Contoh Butir Soal Koneksi Matematik TingkatTinggi C5 untuk Siswa SMP (Rahmat, 2014)

Diketahui suatu persegi dengan panjang sisinya a cmKemudian persegi serupa diletakkan berimpit dikanan persegi semula. Proses tersebut dilanjutkandengan persegi ketiga dan seterusnya sampai persegike-na) Gambarlah situasi tersebutb) Susun model matematika untuk menyatakan

keliling dan luas bangun yang terbentuk darigabungan: 2 persegi, 3 persegi, 4 persegi dan npersegi!

c) Tuliskan konsep yang termuat dalam persoalan diatas!

3) Contoh Butir Soal Koneksi Matematik TingkatTinggi, C5 untuk Siswa SMP (Umar, 2014)

Gambar di bawah ini adalah pengubinan denganmenggunakan keramik berbentuk segitiga sama sisidengan sisinya 1 satuan.

a) Berapa banyak keramik yang diperlukan untukmembentuk segitiga dengan panjang sisi 5 satuan?

b) Tuliskan hubungan antara panjang sisi segitigadengan banyaknya keramik yang dibutuhkan padabutir pertanyaan a).

c) Tuliskan konsep matematika yang digunakan danjelaskan cara memperolehnya

27

3) Contoh Butir Soal Koneksi Matematik TingkatTinggi, C5 untuk Siswa SMP (Umar, 2014)

Gambar di bawah ini adalah pengubinan denganmenggunakan keramik berbentuk segitiga sama sisidengan sisinya 1 satuan.

a) Berapa banyak keramik yang diperlukan untukmembentuk segitiga dengan panjang sisi 5 satuan?

b) Tuliskan hubungan antara panjang sisi segitigadengan banyaknya keramik yang dibutuhkan padabutir pertanyaan a).

c) Tuliskan konsep matematika yang digunakan danjelaskan cara memperolehnya

4. Pemecahan masalah sebagai hard skill matematikyang memiliki indikator:

a) Mengidentifikasi kecukupan data untukmemecahkan masalah

b) Membuat model matematik dari suatu masalah danmenyelesaikannya.

c) Memilih dan menerapkan strategi untukmenyelesaikan masalah matematika dan atau di luarmatematika

d) Menjelaskan atau menginterpretasikan hasil sesuaipermasalahan asal, serta memeriksa kebenaranhasil atau jawaban

4. Pemecahan masalah sebagai hard skill matematikyang memiliki indikator:

a) Mengidentifikasi kecukupan data untukmemecahkan masalah

b) Membuat model matematik dari suatu masalah danmenyelesaikannya.

c) Memilih dan menerapkan strategi untukmenyelesaikan masalah matematika dan atau di luarmatematika

d) Menjelaskan atau menginterpretasikan hasil sesuaipermasalahan asal, serta memeriksa kebenaranhasil atau jawaban

28

1) Contoh Butir Tes Pemecahan MasalahMatematik Tingkat Tinggi atau C5 untukSiswa SD Kelas 6

Lantai di ruang kelas 6 berbentuk persegipanjang berukuran 9,5 m x 8 m akan dipasangkeramik berukuran 30 cm x 30 cm. Satu duskeramik berisi 20 keping dan harganyaRp.40.000,00. Hitunglah biaya yangdiperlukan untuk membeli keramik untukmenutupi lantai tersebut! Jelaskan caramenghitungnya!

1) Contoh Butir Tes Pemecahan MasalahMatematik Tingkat Tinggi atau C5 untukSiswa SD Kelas 6

Lantai di ruang kelas 6 berbentuk persegipanjang berukuran 9,5 m x 8 m akan dipasangkeramik berukuran 30 cm x 30 cm. Satu duskeramik berisi 20 keping dan harganyaRp.40.000,00. Hitunglah biaya yangdiperlukan untuk membeli keramik untukmenutupi lantai tersebut! Jelaskan caramenghitungnya!

29

2) Contoh Butir Tes Pemecahan Masalah MatematikTingkat Tinggi C6 untuk siswa SMP (Rahmat, 2014)

Diketahui bentuk atap sebuah rumah terdiri atas sepasangtrapesium sama kaki dan sepasang segitiga sama kaki.Panjang sisi sejajar atap yang berbentuk trapesium adalah5 m dan 3 m dan panjang alas atap yang berbentuksegitiga adalah 7 m. Kedua jenis bangun atap mempunyaitinggi yang sama yaitu 4 m.a) Buatlah sketsa atap rumah di atas.b) Atap akan ditutup dengan genting berbentuk persegi

panjang berukuran 30 cm x 45 cm Tentukan banyakgenteng minimum yang harus disediakan untukmenutup seluruh atap.

c) Andaikan harga 1 buah genteng Rp1.500,00, hitunglahbiaya untuk membeli genteng yang diperlukan.

2) Contoh Butir Tes Pemecahan Masalah MatematikTingkat Tinggi C6 untuk siswa SMP (Rahmat, 2014)

Diketahui bentuk atap sebuah rumah terdiri atas sepasangtrapesium sama kaki dan sepasang segitiga sama kaki.Panjang sisi sejajar atap yang berbentuk trapesium adalah5 m dan 3 m dan panjang alas atap yang berbentuksegitiga adalah 7 m. Kedua jenis bangun atap mempunyaitinggi yang sama yaitu 4 m.a) Buatlah sketsa atap rumah di atas.b) Atap akan ditutup dengan genting berbentuk persegi

panjang berukuran 30 cm x 45 cm Tentukan banyakgenteng minimum yang harus disediakan untukmenutup seluruh atap.

c) Andaikan harga 1 buah genteng Rp1.500,00, hitunglahbiaya untuk membeli genteng yang diperlukan.

30

3) Contoh Butir Tes Pemecahan Masalah MatematikTingkat Tinggi atau C5 untuk Siswa SMA (Isnaeni,2014) 60 cm

20 cm 80 cm

30 cm

Sebuah bejana berbentuk seperti pada gambar.Permukaan bejana berbentuk persegi panjang (denganukuran dalam cm). Hitunglah nilai kosinus sudut antaratepi bejana yang miring terhadap alas bejana disertaidengan penjelasan !

3) Contoh Butir Tes Pemecahan Masalah MatematikTingkat Tinggi atau C5 untuk Siswa SMA (Isnaeni,2014) 60 cm

20 cm 80 cm

30 cm

Sebuah bejana berbentuk seperti pada gambar.Permukaan bejana berbentuk persegi panjang (denganukuran dalam cm). Hitunglah nilai kosinus sudut antaratepi bejana yang miring terhadap alas bejana disertaidengan penjelasan !

31

4) Contoh Butir Tes Pemecahan Masalah MatematikTingkat Tinggi atau C5 untuk siswa SMA (Yonandi,2010)

Suatu SMA akan membentuk Tim untuk mengikutisuatu kontes kepemimpinan antar SMA di suatu kota.Terdaftar ada 4 siswa kelas-10, 5 siswa kelas-11, dan 6siswa kelas-12 untuk berkompetisi. Tim terdiri dariseorang ketua, seorang wakil ketua, dan seorangsekretaris. Tingkat kelas ketua lebih tinggi dari tingkatkelas wakil ketua, dan tingkat kelas wakil ketua lebihtinggi dari tingkat kelas sekretaris. Berapa banyak timyang dapat disusun? Jawablah pertanyaan tersebutdengan cara yang berbeda dan bandingkan hasilnya.

4) Contoh Butir Tes Pemecahan Masalah MatematikTingkat Tinggi atau C5 untuk siswa SMA (Yonandi,2010)

Suatu SMA akan membentuk Tim untuk mengikutisuatu kontes kepemimpinan antar SMA di suatu kota.Terdaftar ada 4 siswa kelas-10, 5 siswa kelas-11, dan 6siswa kelas-12 untuk berkompetisi. Tim terdiri dariseorang ketua, seorang wakil ketua, dan seorangsekretaris. Tingkat kelas ketua lebih tinggi dari tingkatkelas wakil ketua, dan tingkat kelas wakil ketua lebihtinggi dari tingkat kelas sekretaris. Berapa banyak timyang dapat disusun? Jawablah pertanyaan tersebutdengan cara yang berbeda dan bandingkan hasilnya.

32

5. Penalaran Matematik1) Penalaran induktif:Transduktif: menarik kesimpulan dari satu kasus atau

sifat khusus yang satu diterapkan pada yang kasuskhusus lainnya.

Analogi: penarikan kesimpulan berdasarkan keserupaandata atau proses

Generalisasi: penarikan kesimpulan umum berdasarkansejumlah data yang teramati

Memperkirakan jawaban, solusi atau kecenderungan:interpolasi dan ekstrapolasi

Memberi penjelasan terhadap model, fakta, sifat,hubungan, atau pola yang ada

Menggunakan pola hubungan untuk menganalisis situasi,dan menyusun konjektur

5. Penalaran Matematik1) Penalaran induktif:Transduktif: menarik kesimpulan dari satu kasus atau

sifat khusus yang satu diterapkan pada yang kasuskhusus lainnya.

Analogi: penarikan kesimpulan berdasarkan keserupaandata atau proses

Generalisasi: penarikan kesimpulan umum berdasarkansejumlah data yang teramati

Memperkirakan jawaban, solusi atau kecenderungan:interpolasi dan ekstrapolasi

Memberi penjelasan terhadap model, fakta, sifat,hubungan, atau pola yang ada

Menggunakan pola hubungan untuk menganalisis situasi,dan menyusun konjektur

33

5.1. Penalaran Induktifa) Transduktif; Analogi; Generalisasi

Penalaran ini didasarkan atas pengamatan terhadapdata yang terbatas. Oleh karena itu kebenarankesimpulannya bersifat probabilitik dapat benar, salahatau mungkin kurang tepat.

Contoh 1: butir tes transduktifa) Segitiga ABC siku-siku di A berlaku BC2 = AB2 + AC2

Segitiga PQR siku-siku di P. Jadi QR2 = PQ2 + PR2

(Transduktif yg Benar)

b) 15 bilangan ganjil dapat dibagi 37 bilangan ganjil jadi dapat dibagi 3 (Transduktif ygSalah)

9/5/2015 34

5.1. Penalaran Induktifa) Transduktif; Analogi; Generalisasi

Penalaran ini didasarkan atas pengamatan terhadapdata yang terbatas. Oleh karena itu kebenarankesimpulannya bersifat probabilitik dapat benar, salahatau mungkin kurang tepat.

Contoh 1: butir tes transduktifa) Segitiga ABC siku-siku di A berlaku BC2 = AB2 + AC2

Segitiga PQR siku-siku di P. Jadi QR2 = PQ2 + PR2

(Transduktif yg Benar)

b) 15 bilangan ganjil dapat dibagi 37 bilangan ganjil jadi dapat dibagi 3 (Transduktif ygSalah)

1) Contoh Butir Soal Penalaran AnalogiMatematik, C3 untuk siswa SMP

C

serupa denganD O B

APerbandingan luas juring AOB Perbandingan luas .......dengan luas daerah lingkaran buah persegi panjang

kecil dengan luaspersegi panjangseluruhnya.

Jelaskan jawabanmu.

1) Contoh Butir Soal Penalaran AnalogiMatematik, C3 untuk siswa SMP

C

serupa denganD O B

APerbandingan luas juring AOB Perbandingan luas .......dengan luas daerah lingkaran buah persegi panjang

kecil dengan luaspersegi panjangseluruhnya.

Jelaskan jawabanmu.

2) Contoh Butir Soal Analogi tk rendah, C3 utksiswa SMA

Pada kubus ABCD.EFGH disamping ini, kedudukan garisBE dengan garis CH,

serupa dengan:Kedudukan antara garis dengan persamaan2x – 3y = 5 dan garis dengan persamaan

a) 3x - 2y = -5b) 3y = 2x + 10c) 2x = 3y + 5d) 2x + 3y = 10

Jelasan keserupaan konsep dalam soal di atas.

2) Contoh Butir Soal Analogi tk rendah, C3 utksiswa SMA

Pada kubus ABCD.EFGH disamping ini, kedudukan garisBE dengan garis CH,

serupa dengan:Kedudukan antara garis dengan persamaan2x – 3y = 5 dan garis dengan persamaan

a) 3x - 2y = -5b) 3y = 2x + 10c) 2x = 3y + 5d) 2x + 3y = 10

Jelasan keserupaan konsep dalam soal di atas.36

3) Contoh Butir Tes Analogi Permutasi MatematikTingkat Tinggi atau C6 untuk Siswa SMA (Budiyanto,2014)

Perhatikan kasus di bawah ini dengan cermat. Manakah dari empatkasus berikut yang serupa dengan banyaknya cara menyusunbilangan ratusan yang berbeda dari angka 1, 2, 3, 4, dan 5. Tulislahkonsep matematika yang termuat pada tiap kasus dan sertapenjelasan anda.a) Menyusun pasangan dobel putra dari 5 orang pemain

bulutangkis putrab) Memilih 3 orang dari 5 orang calon untuk menduduki jabatan

ketua, sekretaris, dan pengelola keuangan suatu organisasi.c) Menyusun tim kontes matematika yang terdiri dari 3 orang yang

dipilih dari 5 orang calon.d) Memilih juara pertama, juara 2, dan juara 3 dari 5 orang finalis

suatu kontes kecantikan.


3) Contoh Butir Tes Analogi Permutasi MatematikTingkat Tinggi atau C6 untuk Siswa SMA (Budiyanto,2014)

Perhatikan kasus di bawah ini dengan cermat. Manakah dari empatkasus berikut yang serupa dengan banyaknya cara menyusunbilangan ratusan yang berbeda dari angka 1, 2, 3, 4, dan 5. Tulislahkonsep matematika yang termuat pada tiap kasus dan sertapenjelasan anda.a) Menyusun pasangan dobel putra dari 5 orang pemain

bulutangkis putrab) Memilih 3 orang dari 5 orang calon untuk menduduki jabatan

ketua, sekretaris, dan pengelola keuangan suatu organisasi.c) Menyusun tim kontes matematika yang terdiri dari 3 orang yang

dipilih dari 5 orang calon.d) Memilih juara pertama, juara 2, dan juara 3 dari 5 orang finalis

suatu kontes kecantikan.


37

c) Menyusun tim kontes matematika yang terdiri dari 3orang yang dipilih dari 5 orang calon.

d) Memilih juara pertama, juara 2, dan juara 3 dari 5orang finalis suatu kontes kecantikan.


c) Menyusun tim kontes matematika yang terdiri dari 3orang yang dipilih dari 5 orang calon.

d) Memilih juara pertama, juara 2, dan juara 3 dari 5orang finalis suatu kontes kecantikan.


38

4) Contoh Butir soal generalisasiDiberikan lingkaran besarberdiameter 2R. Di dalamlingkaran dibuat dua lingkarankecil yang bersinggungandi luar dan menyinggung didalam lingkaran besar.Berapakah jumlah kelililingdua lingkaran kecil itu ?Kemudian dibuat tiga lingkaranseperti di atas. Berapa jumlahkeliling tiga lingkaran itu?Kalau proses tersebut dilaku-kan sampai n kali, berapajumlah keliling n buah lingkarantersebut? ........................ (C6)

4) Contoh Butir soal generalisasiDiberikan lingkaran besarberdiameter 2R. Di dalamlingkaran dibuat dua lingkarankecil yang bersinggungandi luar dan menyinggung didalam lingkaran besar.Berapakah jumlah kelililingdua lingkaran kecil itu ?Kemudian dibuat tiga lingkaranseperti di atas. Berapa jumlahkeliling tiga lingkaran itu?Kalau proses tersebut dilaku-kan sampai n kali, berapajumlah keliling n buah lingkarantersebut? ........................ (C6)

39

5) Contoh Butir soal generalisasi :

Perhatikan gambar di bawah ini

Dari gambar di atas diketahui panjang A1 B1 = 10cm. Tentukan jumlah panjang garis A1B1 + A2B2 +A3B3 + A4B4 + A5B5 + ... Konsep apa yangdigunakan untuk menyelesaikan persoalantersebut? Berikan penjelasan.

5) Contoh Butir soal generalisasi :


Dari gambar di atas diketahui panjang A1 B1 = 10cm. Tentukan jumlah panjang garis A1B1 + A2B2 +A3B3 + A4B4 + A5B5 + ... Konsep apa yangdigunakan untuk menyelesaikan persoalantersebut? Berikan penjelasan.

060

40

b) Penalaran induktif: Memperkirakan kecenderungan,intrapolasi, ekstrapolasi

Contoh1. Perhatikan diagram produksi barang A dibawah ini.

100

70

40

Bulan ke 1 2 3 4 5 6 7

Berdasarkan diagram di atas, perkirakan produksi padabulan ke-3 dan bulan ke 7. Sertakan penjelasan.Apakah kurva persamaan mendekati fungsi linier,kuadrat atau pangkat tiga? Jelaskan (C5)

b) Penalaran induktif: Memperkirakan kecenderungan,intrapolasi, ekstrapolasi

Contoh1. Perhatikan diagram produksi barang A dibawah ini.

100

70

40

Bulan ke 1 2 3 4 5 6 7

Berdasarkan diagram di atas, perkirakan produksi padabulan ke-3 dan bulan ke 7. Sertakan penjelasan.Apakah kurva persamaan mendekati fungsi linier,kuadrat atau pangkat tiga? Jelaskan (C5)

41

Penalaran induktif: Memperkirakan kecenderungan,hubungan korelasional, intrapolasi, ekstrapolasi

2) Contoh Soal Memperkirakan dataDalam suatu penelitian diperoleh data seperti pada tabeldi bawah ini.

Berdasarkan data pada tabel di atas, perkirakanlah tesmana yang lebih sukar. Jelaskan. (C5)

Kon. matKom. mat

Tg Sd Rd Tot

Penalaran induktif: Memperkirakan kecenderungan,hubungan korelasional, intrapolasi, ekstrapolasi

2) Contoh Soal Memperkirakan dataDalam suatu penelitian diperoleh data seperti pada tabeldi bawah ini.

Berdasarkan data pada tabel di atas, perkirakanlah tesmana yang lebih sukar. Jelaskan. (C5)

Kon. matKom. mat

Tg 9 15 0 24

Sd 5 43 10 56

Rd 0 0 0 0

Tot 14 56 10 80

42

5) Menarik kesimpulan, perkiraan, interpretasiberdasarkan berdasarkan kombinasi

Contoh 3.Suatu panitia terdiri dari seorang ketua,seorang wakil ketua, dan seorang sekretaris.Terdapat 6 calon laki-laki dan 5 calonperempuan . Panitia tersebut tidak boleh laki-laki semua atau perempuan semua. Manakahyang lebih besar peluangnya untuk terpilih,dua laki-laki dan satu perempuan atau duaperempuan dan satu laki-laki. Jelaskan



6) Menyusun analisa dan sintesa bbrp kasus.

Contoh 4:Diberikan data temuan suatu penelitian sepertipada Tabel 1 . Berdasarkan data pada tabeltersebut, jawablah tugas-tugas berikut disertaidengan penjelasan.a) Susun kesimpulan umum dari temuan studi

di atasb) Adakah temuan dari studi itu yang berbeda

dengan temuan lainnya?c) Ditinjau dari kualitasnya, apakah temuan

penelitian tsb sudah memuaskan?d) Coba berikan pendapat anda terhadap

temuan- temuan di atas!9/5/2015 44






temuan- temuan di atas!

Temuan Suatu Studi

KAMKelas E-learning

Kelas Blendedlearning

Kelas Konvensional

PMH KNK PM PMH KNK PM PMH KNK PM

Kemamptg

87,1 87,5 90,6 84,4 85,6 90,5 85,9 83,7 84,4

SD 10,2 4,5 5,9 9,9 6,4 5,8 7,7 7,5 4,4

Kemampsd

75,0 73,3 77,7 72,7 70,7 74,4 70,6 72,7 72,0

SD 11,5 8,8 8,9 8,7 8,8 15,2 10,1 10,8 8,9

x

xKemampsd SD 11,5 8,8 8,9 8,7 8,8 15,2 10,1 10,8 8,9

Kemamprd

64,4 57,6 57,6 69,5 62,9 56,2 63,5 57,1 61,4

SD 10,3 9,6 11,9 11,4 13,1 9,0 8,0 11,8 9,9

Total75.5 72.9 75.6 75.3 72.8 73.8 73.0 71.3 72.6

SD 13.8 14.1 15.9 11.6 13.2 17.4 12.5 14.5 12.1

UkuranSampel 70 70 70 70 70 70 70 70 70

Skor ideal : 100

x

x

2. Penalaran deduktif:

a) Melaksanakan perhitungan mat berdasarkanaturan yang disepakati

b) Penalaran logis: penalaran proporsional,penalaran kombinatorial, penalaran probaliti,dan penalaran proposisional (mengikutiaturan inferensi)

c) Menyusun argumen valid dan memeriksavaliditas argumen

d) Membuktikan secara langsung/tak langsungdan induksi matematis

2. Penalaran deduktif:

a) Melaksanakan perhitungan mat berdasarkanaturan yang disepakati

b) Penalaran logis: penalaran proporsional,penalaran kombinatorial, penalaran probaliti,dan penalaran proposisional (mengikutiaturan inferensi)

c) Menyusun argumen valid dan memeriksavaliditas argumen

d) Membuktikan secara langsung/tak langsungdan induksi matematis 46

1) Contoh soal melaksanakan perhitungan matematikaberdasarkan aturan atau rumus yang berlaku, C5untuk Siswa SD

Perhatikan gambar di bawah ini. Diketahui lingkaranberpusat di O berjari-jari 7 cm. Hitungkeliling daerah ABOCD.

2) Contoh soal melaksanakan perhitungan matematikaberdasarkan aturan atau rumus yang berlaku, C5untuk Siswa SMP

Tentukan persamaan garis yang melalui titik P(2,4) dantegak lurus garis yang melalui A(-1,6) dan B (4, 8)

D

A O C

47


Perhatikan gambar di bawah ini. Diketahui lingkaranberpusat di O berjari-jari 7 cm. Hitungkeliling daerah ABOCD.


Tentukan persamaan garis yang melalui titik P(2,4) dantegak lurus garis yang melalui A(-1,6) dan B (4, 8)

B


Perhatikan gambar di bawah ini. Diketahui lingkaranberpusat di O berjari-jari 7 cm. Hitung luasdaerah dalam lingkaran di luar daerahABOCD. Gunakan π = 22/7


Diketahui titik A(-1,6) dan titik B (4, 8). Tentukankoordinat titik C agar terbentuk segitiga sama sisi ABC

D

A O C

48


Perhatikan gambar di bawah ini. Diketahui lingkaranberpusat di O berjari-jari 7 cm. Hitung luasdaerah dalam lingkaran di luar daerahABOCD. Gunakan π = 22/7


Diketahui titik A(-1,6) dan titik B (4, 8). Tentukankoordinat titik C agar terbentuk segitiga sama sisi ABC

B

5) Contoh Butir Soal Penalaran Logis Matematik:Melaksanakan Perhitungan berdasarkan AturanTertentu, Tingkat Tinggi atau C6 untuk Siswa SMA

Tentukan ekstrim dan jenisnya fungsi f di bawah ini.

5 x3jikax-

3 x3-jika6

62xf(x)

3 x

5 x3jikax-

3 x3-jika6

62xf(x)

3 x

6) Contoh Butir Soal Penalaran Logis Matematik:Melaksanakan Perhitungan berdasarkan AturanTertentu, Tingkat Tinggi atau C5 dan C6 untukSiswa SMA

Selesaikan soal berikut dan sertakan teoremaatau sifat yang mendasari tiap langkahpengerjaannya

6) Tentukan dari y = sin2 (2 x3) ......... (C5)

7) Hitung ........ (C6)

6) Contoh Butir Soal Penalaran Logis Matematik:Melaksanakan Perhitungan berdasarkan AturanTertentu, Tingkat Tinggi atau C5 dan C6 untukSiswa SMA

Selesaikan soal berikut dan sertakan teoremaatau sifat yang mendasari tiap langkahpengerjaannya

6) Tentukan dari y = sin2 (2 x3) ......... (C5)

7) Hitung ........ (C6)

3

3

dx

yd

3x

1 xcos-2xsinlim

2

2

0x

8) Contoh menarik kesimpulan berdasarkan proporsiyang sesuai

Ani membuat tiga liter sirup dari dua kg gula. Kemudian,Tuti dari tiga kg gula membuat lima liter sirup. Sirupsiapa yang lebih manis? Jelaskan. (C4 utk siswa SD danC2 untuk siswa SMP)


Diketahui garis l Ξ y = ½ x + 3, garis m Ξ 6x + by + c = 0garis n Ξ 2x + qy + r = 0i) Berapa b dan c agar m ekuivalen dengan l , jelaskan.ii) Berapa q dan r agar n tidak memotong l, jelaskan.(C4 utk siswa SMP dan C2 untuk siswa SMA)9/5/2015


Ani membuat tiga liter sirup dari dua kg gula. Kemudian,Tuti dari tiga kg gula membuat lima liter sirup. Sirupsiapa yang lebih manis? Jelaskan. (C4 utk siswa SD danC2 untuk siswa SMP)


Diketahui garis l Ξ y = ½ x + 3, garis m Ξ 6x + by + c = 0garis n Ξ 2x + qy + r = 0i) Berapa b dan c agar m ekuivalen dengan l , jelaskan.ii) Berapa q dan r agar n tidak memotong l, jelaskan.(C4 utk siswa SMP dan C2 untuk siswa SMA)

10) Contoh butir tes menyimpulkan berdasarkankombinasi beberapa variabel, C5untuk siswa SMA

Warung Bu Harja menyediakan 4 macam sayur, 3macam lauk kering, dan 3 macam buah-buahan.Kupon A dapat ditukarkan dengan satu macamsayur, satu macam lauk kering dan satu macambuah dari tiap kelompok makanan dan buah.Kupon B dapat ditukarkan dengan dua macamsayur, satu macam lauk kering dan satu macambuah. Paket manakah yang memberi lebihbanyak pilihan? Jelaskan.

9/5/2015 52

10) Contoh butir tes menyimpulkan berdasarkankombinasi beberapa variabel, C5untuk siswa SMA

Warung Bu Harja menyediakan 4 macam sayur, 3macam lauk kering, dan 3 macam buah-buahan.Kupon A dapat ditukarkan dengan satu macamsayur, satu macam lauk kering dan satu macambuah dari tiap kelompok makanan dan buah.Kupon B dapat ditukarkan dengan dua macamsayur, satu macam lauk kering dan satu macambuah. Paket manakah yang memberi lebihbanyak pilihan? Jelaskan.

11) Contoh Butir Soal Menarik Kesimpulan, berdasarkanPeluang, Tingkat Tinggi C6 untuk Siswa SMA

Di satu SMA akan dibentuk panitia yang terdiri 1 orangketua, 1 orang wakil ketua, 1 orang sekretaris dan 3orang anggota. Ada 6 orang siswa laki-laki dan 4 orangsiswa perempuan akan berpartisipasi dalam kepanitiaantersebut. Tiap siswa berpeluang sama untuk mendudukisalah satu jabatan di atas.a) Siswa perempuan atau siswa laki-laki yang berpeluang

lebih besar untuk menjadi ketua? Tuliskan aturan ataurumus yang digunakan.

b) Sudah terpilih ketua dan wakil ketua siswa laki-laki,dan sekretaris siswa perempuan. Akan dipilih sekaligus tiga anggota. Manakah yang peluangnya lebihbesar, ketiganya siswa perempuan atau dua laki-lakidan satu perempuan. Tuliskan konsep yang digunakan.

9/5/2015 53

11) Contoh Butir Soal Menarik Kesimpulan, berdasarkanPeluang, Tingkat Tinggi C6 untuk Siswa SMA

Di satu SMA akan dibentuk panitia yang terdiri 1 orangketua, 1 orang wakil ketua, 1 orang sekretaris dan 3orang anggota. Ada 6 orang siswa laki-laki dan 4 orangsiswa perempuan akan berpartisipasi dalam kepanitiaantersebut. Tiap siswa berpeluang sama untuk mendudukisalah satu jabatan di atas.a) Siswa perempuan atau siswa laki-laki yang berpeluang

lebih besar untuk menjadi ketua? Tuliskan aturan ataurumus yang digunakan.

b) Sudah terpilih ketua dan wakil ketua siswa laki-laki,dan sekretaris siswa perempuan. Akan dipilih sekaligus tiga anggota. Manakah yang peluangnya lebihbesar, ketiganya siswa perempuan atau dua laki-lakidan satu perempuan. Tuliskan konsep yang digunakan.

1) Kesimpulan Berdasarkan Aturan Inferensia. Pernyataan (proposisi) :• Satu kalimat afirmatif yang mempunyai nilai

kebenaran benar saja atau salah saja dantidak keduanya secara bersama-sama.

• Contoh:a) f adalah fungsi genap: proposisi bernilai benarb) Tidak benar f adalah fungsi genap : proposisi

bernilai salahc) Apakah f fungsi genap? (kalimat tanya):

bukan proposisi karena tidak mempunyainilai kebenaran

d) Selesaikan soal di bawah ini! (kalimatperintah) : bukan proposisi karena tidak

mempunyai nilai kebenaran

1) Kesimpulan Berdasarkan Aturan Inferensia. Pernyataan (proposisi) :• Satu kalimat afirmatif yang mempunyai nilai

kebenaran benar saja atau salah saja dantidak keduanya secara bersama-sama.

• Contoh:a) f adalah fungsi genap: proposisi bernilai benarb) Tidak benar f adalah fungsi genap : proposisi

bernilai salahc) Apakah f fungsi genap? (kalimat tanya):

bukan proposisi karena tidak mempunyainilai kebenaran

d) Selesaikan soal di bawah ini! (kalimatperintah) : bukan proposisi karena tidak

mempunyai nilai kebenaran

b. Jenis Pernyataan (proposisi) dan simbolnya:• Proposisi tunggal: mempunyai satu subyek

dan satu predikat• Proposisi majemuk: Beberapa proposisi

tunggal yang dihubungkan dengan katahubung (disebut pula predikat)

• Tiap satu proposisi tunggal diberi simboldengan huruf kecil (misalnya: p, q, r, dst)

• Kata hubung dan simbolnyalawan (negasi): ; ~dan (konjungsi) : ˄ ; & ;atau (disjungsi) : ˅jika …. maka (implikasi) :jika dan hanya jika (bi-implikasi):

b. Jenis Pernyataan (proposisi) dan simbolnya:• Proposisi tunggal: mempunyai satu subyek

dan satu predikat• Proposisi majemuk: Beberapa proposisi

tunggal yang dihubungkan dengan katahubung (disebut pula predikat)

• Tiap satu proposisi tunggal diberi simboldengan huruf kecil (misalnya: p, q, r, dst)

• Kata hubung dan simbolnyalawan (negasi): ; ~dan (konjungsi) : ˄ ; & ;atau (disjungsi) : ˅jika …. maka (implikasi) :jika dan hanya jika (bi-implikasi):

c. Tabel Kebenaran

p q ~ p p ˄ q p ˅ q p q p q

B B S B B B B

B S S S B S S

S B B S B B S

S S B S S B B

No Aturan inferensi Simbol1) Ad isi p

qJadi p ˄ q

2) Simplifikasi p ˄ q p ˄ qJadi p Jadi q

3) p ˅ q p ˅ q~ p ~ q

Jadi q Jadi p

p ˅ q p ˅ q~ p ~ q

Jadi q Jadi p4) Modes Ponen (MP)

Modes Tolen (MT)p q p qp ~ q

Jadi q (MP) Jadi p (MT)5) Bi-implikasi p q p q

p ~ qJadi q Jadi ~ p

No Aturan inferensi Simbol6) Silogisme p q

q r Jadi p r7) Negasi ganda ~ (~ p) ≡ p

8) Negasi konjungsi ~ (p ˄ q ) ≡ (~ p ˅ ~ q)

9) Negasi disjungsi ~ (p ˅ q ) ≡ (~ p ˄ ~ q)10) Distribusi p ˄ (q ˄ r) ≡ (p ˄ q ) ˄ (p ˄ r)

11) Distribusi p ˅ (q ˄ r) ≡ (p ˅ q ) ˄ (p ˅ r)

12) Kesamaanimplikasi

p q ≡ p ˅ ~ q

Contoh 4: Buatlah tabel kebenaran dari (p v q) v (q r)

p q r p ˅ q q r (p v q) v (q r)

B B B B B BB B S B S BB S B B B BB S S B B BS B B B B BS B B B B BS B S B S BS S B S B BS S S S B B

Nilai kebenaran kolom terakhir selalu benar untuk nilaikebenaran apapun dari komponennya (p, q, dan r).Proposisi (p v q) v (q r) dinamakan tautologi

Contoh 4: Buatlah tabel kebenaran dari (p ˄ q) ˄ (q ~ r)

B B B S B S SB B S B B B BB S B S S B SB S S B S B SS B B S S S S

p q r ~ r p ˄ q q ~ r (p ˄ q) ˄ (q ~ r)

Nilai kebenaran kolom terakhir ada yang benar adayang salah untuk nilai kebenaran dari komponennya (p,q, dan r).

S B B S S S SS B S B S B SS S B S S B SS S S B S B S

p q r ~ r p ˄ ~ r(1)

q → ~ r(2)

~ (q → ~ r)(3)

(1) (3)

B B B S S S B SB B S B B B S S

B S B S S S S SB S S B B S S S

B

Contoh 5: Buatlah tabel kebenaran dari (p ˄ ~ r) ↔ ~ (q → r)

Nilai kebenaran proposisi majemuk (p ˄ ~ r) ↔ ~ (q → r)selalu bernilai salah (S) apapun nilai kebenaran kompProposisi majemuk seperti itu dinamakan kontradiksi.

B S S B B S SS B B S S S B SS B S B S B S SS S B S S S S SS S S B S S B S

Contoh 13:Nyatakan proposisi berikut dalam bentuk simbola) f adalah fungsi naikb) f bukan fungsi naikc) f fungsi naik dan f positif dalam selang (0,6)d) f fungsi naik atau g fungsi genape) Jika m adalah gradien garis singgung

terhadap f maka m = f’(x)f) Jika dan hanya jika f fungsi naik maka

gradien garis singgungnya positif

Contoh 13:Nyatakan proposisi berikut dalam bentuk simbola) f adalah fungsi naikb) f bukan fungsi naikc) f fungsi naik dan f positif dalam selang (0,6)d) f fungsi naik atau g fungsi genape) Jika m adalah gradien garis singgung

terhadap f maka m = f’(x)f) Jika dan hanya jika f fungsi naik maka

gradien garis singgungnya positif

Penyelesaian:a) f adalah fungsi naik : pb) f bukan fungsi naik : ~ pc) f fungsi naik dan f positif dalam selang(0,6)

f adalah fungsi naik : pf positif dalam selang (0,6) : qJadi p ˄ q

d) f fungsi naik atau g fungsi genapf adalah fungsi naik : pg fungsi genap : rJadi (p ˅ r)

Penyelesaian:a) f adalah fungsi naik : pb) f bukan fungsi naik : ~ pc) f fungsi naik dan f positif dalam selang(0,6)

f adalah fungsi naik : pf positif dalam selang (0,6) : qJadi p ˄ q

d) f fungsi naik atau g fungsi genapf adalah fungsi naik : pg fungsi genap : rJadi (p ˅ r)

Penyelesaian:e) Jika m adalah gradien garis singgung

terhadap f maka m = f’(x)m gradien garis singgung terhadap f : sm = f’(x) : tJadi (s t)

f) Jika dan hanya jika f fungsi naik makagradien garis singgungnya positiff fungsi naik : pGradien garis singgungnya positif: uJadi (p u)

Penyelesaian:e) Jika m adalah gradien garis singgung

terhadap f maka m = f’(x)m gradien garis singgung terhadap f : sm = f’(x) : tJadi (s t)

f) Jika dan hanya jika f fungsi naik makagradien garis singgungnya positiff fungsi naik : pGradien garis singgungnya positif: uJadi (p u)

Contoh 14Tentukan kesimpulan dari serangkaian proposisi dibawah ini.

Jika dan hanya jika f fungsi ganjil makaf(-x) = - f(x). Diketahui f(-3) ≠ f(3)

Penyelesaianf fungsi ganjil : p ; f(-x) = - f(x) : qf(-3) = - f(3) : r ; f(-3) ≠ f(3) : ~ rp qq r

Jadi p rNamun ~ r . Jadi ~pTidak benar f fungsi ganjil

Contoh 14Tentukan kesimpulan dari serangkaian proposisi dibawah ini.

Jika dan hanya jika f fungsi ganjil makaf(-x) = - f(x). Diketahui f(-3) ≠ f(3)

Penyelesaianf fungsi ganjil : p ; f(-x) = - f(x) : qf(-3) = - f(3) : r ; f(-3) ≠ f(3) : ~ rp qq r

Jadi p rNamun ~ r . Jadi ~pTidak benar f fungsi ganjil

Contoh 15x adalah bilangan ganjil. (x + y) bilangan ganjilBuktikan y bilangan genap.Penyelesaian:Andaikan y bilangan ganjil (p)x adalah bilangan ganjil (q)x + y bilangan genap (r)(p ˄ q ) r~ r

Jadi ~ (p ˄ q ) ≡ (~ p ˅ ~ q). Diketahui q, jadi ~ pJadi tidak benar y bilangan ganjil. Ini berarti yadalah bilangan genap (terbukti)

Contoh 15x adalah bilangan ganjil. (x + y) bilangan ganjilBuktikan y bilangan genap.Penyelesaian:Andaikan y bilangan ganjil (p)x adalah bilangan ganjil (q)x + y bilangan genap (r)(p ˄ q ) r~ r

Jadi ~ (p ˄ q ) ≡ (~ p ˅ ~ q). Diketahui q, jadi ~ pJadi tidak benar y bilangan ganjil. Ini berarti yadalah bilangan genap (terbukti)

16) Contoh Soal Mengikuti Aturan Inferensi, TingkatTinggi atau C4 untuk Siswa SMA

Nyatakan premis berikut dalam bentuk simbol.Kemudian tariklah kesimpulannya dan sertakan aturanyang digunakan.

Jika fungsi f = f (x) terdeferensialkan di titik c maka fkontinu di titik c. Diketahui f diskontinu di titik c

17) Contoh Soal Pembuktian Langsung Tingkat Tinggiatau C5 untuk Siswa SMA

Misalkan x > 3 dan y < 2. Buktikan bahwa x2 – 2y > 5.

9/5/2015 67

16) Contoh Soal Mengikuti Aturan Inferensi, TingkatTinggi atau C4 untuk Siswa SMA

Nyatakan premis berikut dalam bentuk simbol.Kemudian tariklah kesimpulannya dan sertakan aturanyang digunakan.

Jika fungsi f = f (x) terdeferensialkan di titik c maka fkontinu di titik c. Diketahui f diskontinu di titik c


Misalkan x > 3 dan y < 2. Buktikan bahwa x2 – 2y > 5.






temuan- temuan di atas!9/5/2015 69






temuan- temuan di atas!

Temuan Suatu Studi

KAMKelas E-learning

Kelas Blendedlearning

Kelas Konvensional

PMH KNK PM PMH KNK PM PMH KNK PM

Kemamptg

87,1 87,5 90,6 84,4 85,6 90,5 85,9 83,7 84,4

SD 10,2 4,5 5,9 9,9 6,4 5,8 7,7 7,5 4,4

Kemampsd

75,0 73,3 77,7 72,7 70,7 74,4 70,6 72,7 72,0

SD 11,5 8,8 8,9 8,7 8,8 15,2 10,1 10,8 8,9

x

xKemampsd SD 11,5 8,8 8,9 8,7 8,8 15,2 10,1 10,8 8,9

Kemamprd

64,4 57,6 57,6 69,5 62,9 56,2 63,5 57,1 61,4

SD 10,3 9,6 11,9 11,4 13,1 9,0 8,0 11,8 9,9

Total75.5 72.9 75.6 75.3 72.8 73.8 73.0 71.3 72.6

SD 13.8 14.1 15.9 11.6 13.2 17.4 12.5 14.5 12.1

UkuranSampel 70 70 70 70 70 70 70 70 70

Skor ideal : 100

x

x

3) Membuktikan secara langsung, secara taklangsung,dan dengan induksi matematik

Contoh 9: Butir tes pembuktian taklangsungDiketahui x bilangan ganjil dan x+y bilangan ganjil.Buktikan bahwa y bilangan genap.

Bukti:Misalkan y bilangan ganjil, y = 2k + 1 (dg k bilanganasli). Diketahui x bilangan ganjil, x = 2m + 1 (dg mbilangan asli).x + y = (2m + 1) + (2k + 1)

= 2 (m + k) + 2= 2 (m + k + 1), berarti (x + y) bilangan genap

Padahal diketahui (x + y) bilangan ganjil, jadi tidakbenar pemisalan y bilangan ganjil. Jadi y bilangangenap9/5/2015 71

3) Membuktikan secara langsung, secara taklangsung,dan dengan induksi matematik

Contoh 9: Butir tes pembuktian taklangsungDiketahui x bilangan ganjil dan x+y bilangan ganjil.Buktikan bahwa y bilangan genap.

Bukti:Misalkan y bilangan ganjil, y = 2k + 1 (dg k bilanganasli). Diketahui x bilangan ganjil, x = 2m + 1 (dg mbilangan asli).x + y = (2m + 1) + (2k + 1)

= 2 (m + k) + 2= 2 (m + k + 1), berarti (x + y) bilangan genap

Padahal diketahui (x + y) bilangan ganjil, jadi tidakbenar pemisalan y bilangan ganjil. Jadi y bilangangenap

18) Contoh Soal Pembuktian Tak Langsung TingkatTinggi atau C6 untuk Siswa SMA

Diketahui x bilangan genap. Buktikan bahwa

x2 – 6x + 5 adalah bilangan ganjil.


Dalam suatu segitiga ABC, buktikan bahwa:

sin A + sin B + sin C = 4 cos cos cos

9/5/2015 72

18) Contoh Soal Pembuktian Tak Langsung TingkatTinggi atau C6 untuk Siswa SMA

Diketahui x bilangan genap. Buktikan bahwa

x2 – 6x + 5 adalah bilangan ganjil.


Dalam suatu segitiga ABC, buktikan bahwa:

sin A + sin B + sin C = 4 cos cos cos2A

2B

2C

Pembuktian dg Induksi MatematikPada dasarnya dalam proses pembuktian dg induksi

matematik, kita tidak membuktikan kebenaranproposisi ybs namun menetapkan implikasinya.

Prosedur dalam pembuktian dg induksi matematikadalah sebagai berikut:

a. Periksa kebenaran proposisi untuk satubilangan asli tertentu (misal 1 atau yg lainnya)

b. Dimisalkan berlaku untuk bilangan asli kc. Diperiksa apakah proposisi berlaku untuk bilangan

asli k+1. Bila berlaku maka proposisi tadi benaruntuk semua biangan asli n. Bila tidak makaproposisi tdi tidak benar.

9/5/2015 73

Pembuktian dg Induksi MatematikPada dasarnya dalam proses pembuktian dg induksi

matematik, kita tidak membuktikan kebenaranproposisi ybs namun menetapkan implikasinya.

Prosedur dalam pembuktian dg induksi matematikadalah sebagai berikut:

a. Periksa kebenaran proposisi untuk satubilangan asli tertentu (misal 1 atau yg lainnya)

b. Dimisalkan berlaku untuk bilangan asli kc. Diperiksa apakah proposisi berlaku untuk bilangan

asli k+1. Bila berlaku maka proposisi tadi benaruntuk semua biangan asli n. Bila tidak makaproposisi tdi tidak benar.

Contoh 10: Periksa proposisi di bawah ini dg induksimatematik 1 + 2 + 3 + . . . + n = (3n - 1)

Penyelesaian:a. Periksa untuk n = 1

1 + 2 + 3 + . . . + n = (3n - 1)

1 = (2) = 1 ............ Benarb. Periksa untuk n = 2

1 + 2 = (6 - 1) = 5 (pernyataan ini tidak benar)

Jadi proposisi 1 + 2 + 3 + . . . + n = (3n - 1)

Tidak benar

2

n

2

n

2

1

2

2

9/5/2015 74

Contoh 10: Periksa proposisi di bawah ini dg induksimatematik 1 + 2 + 3 + . . . + n = (3n - 1)


1 + 2 + 3 + . . . + n = (3n - 1)

1 = (2) = 1 ............ Benarb. Periksa untuk n = 2

1 + 2 = (6 - 1) = 5 (pernyataan ini tidak benar)

Jadi proposisi 1 + 2 + 3 + . . . + n = (3n - 1)

Tidak benar

2

2

2

n

Contoh 11: Buktikan proposisi di bawah ini dg induksimatematik 11n+2 + 122n+1 dapat dibagi 133


113 + 123 = 3059 dan ini dapat dibagi 133b. Andai benar untuk bil asli k, jadi

11k+2 + 122k+1 dapat dibagi 133c. Akan diperiksa untuk (k+1)

11k+1+2 + 122(k+1) +1 =11k+3 + 122k+3 = 11. 11k+2 + 122.122k+1

= 11. 11k+2 + 11. 122k+1 + 133.122k+1

= 11 (11k+2 + 122k+1) + 133.122k+1

= 11. p. 133 + 133. 122k+1

Ruas kanan adalah kelipatan 133.Jadi bentuk 11k+3 + 122k+3 dapat dibagi 133

9/5/2015 75

Contoh 11: Buktikan proposisi di bawah ini dg induksimatematik 11n+2 + 122n+1 dapat dibagi 133


113 + 123 = 3059 dan ini dapat dibagi 133b. Andai benar untuk bil asli k, jadi

11k+2 + 122k+1 dapat dibagi 133c. Akan diperiksa untuk (k+1)

11k+1+2 + 122(k+1) +1 =11k+3 + 122k+3 = 11. 11k+2 + 122.122k+1

= 11. 11k+2 + 11. 122k+1 + 133.122k+1

= 11 (11k+2 + 122k+1) + 133.122k+1

= 11. p. 133 + 133. 122k+1

Ruas kanan adalah kelipatan 133.Jadi bentuk 11k+3 + 122k+3 dapat dibagi 133

Soal LatihanBuktikan dengan induksi matematik1. Untuk tiap bilangan bulat positif positif n

dan bilangan real x > -1,(1 + x)n ≥ 1 + n

2n2. Σ = (n + )2

i=1

3. 2n-1(3n +4n) > 7n

4. Periksa dengan induksi matematik1 + 2 + 3 + . . . + n = 1/

2 n (3n - 1)

5. Tiap bilangan bulat terdiri dari 3n angkaidentik habis dibagi 3

41

2i

9/5/2015 76

Soal LatihanBuktikan dengan induksi matematik1. Untuk tiap bilangan bulat positif positif n

dan bilangan real x > -1,(1 + x)n ≥ 1 + n

2n2. Σ = (n + )2

i=1

3. 2n-1(3n +4n) > 7n

4. Periksa dengan induksi matematik1 + 2 + 3 + . . . + n = 1/

2 n (3n - 1)

5. Tiap bilangan bulat terdiri dari 3n angkaidentik habis dibagi 3

41

2i

7. Indikator Berpikir Kritis Matematik

a) Memusatkan pada satu pertanyaan, masalah,tema

b) Memeriksa kebenaran argumen, pernyataandan proses solusi

c) Bertanya dan menjawab disertai alasand) Mengamati dengan kriteria , mengidentifikasi

asumsi , memahami dengan baik,mengidentifikasi data relevan dan tidak relevan

e) Mendeduksi dan menginduksif) Membuat pertimbangan, menilai secara

menyeluruhg) Mencari alternatif

7. Indikator Berpikir Kritis Matematik

a) Memusatkan pada satu pertanyaan, masalah,tema

b) Memeriksa kebenaran argumen, pernyataandan proses solusi

c) Bertanya dan menjawab disertai alasand) Mengamati dengan kriteria , mengidentifikasi

asumsi , memahami dengan baik,mengidentifikasi data relevan dan tidak relevan

e) Mendeduksi dan menginduksif) Membuat pertimbangan, menilai secara

menyeluruhg) Mencari alternatif

77

1) Contoh Butir Tes Berpikir Kritis Matematik TingkatTinggi atau C4 untuk Siswa SD

Di sebuah kebun berbentuk persegi panjang terdapat 10batang pohon pisang dan 12 batang pohon mangga.Hitunglah luas kebun dan jelaskan cara menghitungnya.


Andi mempunyai tabungan sebanyak Rp. 100.000,00 danTuti mempunyai tabungan sebanyak Rp 150.000,00.Tabungan Andi diambil setengahnya untuk membeli bukumatematika. Tuti mengambil sepertiga tabungannya untukmembeli buku IPA. Uang Andi untuk membeli bukumatematika lebih banyak dari uang Tuti untuk membeli bukuIPA. Benarkah pernyataan di atas? Jelaskan.


Di sebuah kebun berbentuk persegi panjang terdapat 10batang pohon pisang dan 12 batang pohon mangga.Hitunglah luas kebun dan jelaskan cara menghitungnya.


Andi mempunyai tabungan sebanyak Rp. 100.000,00 danTuti mempunyai tabungan sebanyak Rp 150.000,00.Tabungan Andi diambil setengahnya untuk membeli bukumatematika. Tuti mengambil sepertiga tabungannya untukmembeli buku IPA. Uang Andi untuk membeli bukumatematika lebih banyak dari uang Tuti untuk membeli bukuIPA. Benarkah pernyataan di atas? Jelaskan.

78

3) Contoh Butir Tes Berfikir Kritis Matematik TingkatTinggi atau C5 untuk siswa SD

Perhatikan gambar disebelah kiri. Tiap petak kecilmempunyai luas yang sama.Apakah daerah yangberwarna biru pada gambardi sebelah kiri menunjukkan(1/5 + 1/3 ) bagian dari luaspetak besar. Jelaskanalasanmu.

79

Perhatikan gambar disebelah kiri. Tiap petak kecilmempunyai luas yang sama.Apakah daerah yangberwarna biru pada gambardi sebelah kiri menunjukkan(1/5 + 1/3 ) bagian dari luaspetak besar. Jelaskanalasanmu.

4) Contoh Butir Tes Berpikir Kritis Matematik TingkatTinggi atau C5 untuk Siswa SMP (Rohaeti, 2008)

Diketahui empat buah persamaan garis berikut:

(1) x + 2y + 3 = 0

(2) 3x + 2y + 5 = 0

(3) x + 2y - 3 = 0

(3) 2x + y + 5 = 0

Manakah garis yang mempunyai kemiringan paling

tajam! Berikan alasannya!

4) Contoh Butir Tes Berpikir Kritis Matematik TingkatTinggi atau C5 untuk Siswa SMP (Rohaeti, 2008)

Diketahui empat buah persamaan garis berikut:

(1) x + 2y + 3 = 0

(2) 3x + 2y + 5 = 0

(3) x + 2y - 3 = 0

(3) 2x + y + 5 = 0

Manakah garis yang mempunyai kemiringan paling

tajam! Berikan alasannya!

80

Contoh : Butir tes berpikir kritis matematik siswaSMA (Sumarmo dkk, 2012)

Dari pemantauan terhadap 105 anak berusia 8 –10 tahun yang minum sejenis obat penurun panasditemukan 3 anak menderita alergi dan suhutubuh anak lainnya menjadi normal.

a) Sebagian besar anak usia 8 –10 tahuncenderung aman dari alergi setelah minumobat tersebut. Periksa kebenaran pernyataantersebut, dan tuliskan alasanmu.

9/5/2015 81


Dari pemantauan terhadap 105 anak berusia 8 –10 tahun yang minum sejenis obat penurun panasditemukan 3 anak menderita alergi dan suhutubuh anak lainnya menjadi normal.

a) Sebagian besar anak usia 8 –10 tahuncenderung aman dari alergi setelah minumobat tersebut. Periksa kebenaran pernyataantersebut, dan tuliskan alasanmu.


.b) Anak usia 8 – 10 tahun tidak dianjurkan minum

obat tersebut ketika tubuh mereka panas.Cocokkah anjuran tersebut? Berikanalasanmu. (Membuat pertimbangan)

c) Obat tersebut kurang efektif menurunkanpanas anak di atas 10 tahun. Benarkahkesimpulan tersebut? Mengapa?

9/5/2015 82


.b) Anak usia 8 – 10 tahun tidak dianjurkan minum

obat tersebut ketika tubuh mereka panas.Cocokkah anjuran tersebut? Berikanalasanmu. (Membuat pertimbangan)

c) Obat tersebut kurang efektif menurunkanpanas anak di atas 10 tahun. Benarkahkesimpulan tersebut? Mengapa?

8. Kemampuan berpikir kreatif matematika) Kelancaran (fluency) :

Memberikan banyak jawaban

b) Kelenturan (fleksibility):Menghasilkan beragam cara penyelesaian

c) Keaslian (Originality):Mengungkapkan cara yang tidak biasa/baku;

d) Elaborasi (elaboration) :Memperinci detil-detil dari suatu objek /situasi

8. Kemampuan berpikir kreatif matematika) Kelancaran (fluency) :

Memberikan banyak jawaban

b) Kelenturan (fleksibility):Menghasilkan beragam cara penyelesaian

c) Keaslian (Originality):Mengungkapkan cara yang tidak biasa/baku;

d) Elaborasi (elaboration) :Memperinci detil-detil dari suatu objek /situasi

Contoh Butir Tes Berfikir Kreatif Matematik Tingkat Tinggiatau C5 untuk siswa SD

1) Ibu menimbang terigu sebanyak 1,85 kg. Tersedia anaktimbangan dengan ukuran berat: 2 kg; 1 kg; ½ kg; 200 gr,100 gr; dan 50 gr. Tuliskan beberapa cara penimbanganyang dapat dilakukan.

2) Tersedia papan berpaku sepertipada gambar. Denganmenggunakan sebuah karetgelang, buatlah beberapabangun geometri yang tidaksama bentuknya tetapi kira-kiramempunyai luas yang sama.

Jelaskan jawabanmu


1) Ibu menimbang terigu sebanyak 1,85 kg. Tersedia anaktimbangan dengan ukuran berat: 2 kg; 1 kg; ½ kg; 200 gr,100 gr; dan 50 gr. Tuliskan beberapa cara penimbanganyang dapat dilakukan.

2) Tersedia papan berpaku sepertipada gambar. Denganmenggunakan sebuah karetgelang, buatlah beberapabangun geometri yang tidaksama bentuknya tetapi kira-kiramempunyai luas yang sama.

Jelaskan jawabanmu84


3)

Gb 1 Gb.2 Gb 3 dan seterusnya

Petak-petak kecil di atas adalah persegi dengan sisi 1 cm.Hitunglah keliling pada Gambar 2, dan Gambar 3. Jikaproses diteruskan, hitunglah keliling Gambar 5.Bagaimana cara menghitungnya?

Sekarang buatlah pola gambar yang lain. Kemudian buatpertanyaan pada pola yang kamu buat dan selesaikanlah


3)

Gb 1 Gb.2 Gb 3 dan seterusnya

Petak-petak kecil di atas adalah persegi dengan sisi 1 cm.Hitunglah keliling pada Gambar 2, dan Gambar 3. Jikaproses diteruskan, hitunglah keliling Gambar 5.Bagaimana cara menghitungnya?

Sekarang buatlah pola gambar yang lain. Kemudian buatpertanyaan pada pola yang kamu buat dan selesaikanlah

85

3) Contoh Butir Tes Berpikir Kreatif, C5 untuk siswaSMP


Berdasarkan pola yang ada, hitung banyaknya batangkorek api pada pola ke-100.Kemudian buatlah susunan batang korek api denganpola yang lain dan hitung banyaknya batang korek apipada pola tertentu yang baru kamu susun

3) Contoh Butir Tes Berpikir Kreatif, C5 untuk siswaSMP


Berdasarkan pola yang ada, hitung banyaknya batangkorek api pada pola ke-100.Kemudian buatlah susunan batang korek api denganpola yang lain dan hitung banyaknya batang korek apipada pola tertentu yang baru kamu susun

86

4) Contoh Butir Tes Berfikir Kreatif MatematikTingkat Tinggi atau C5 untuk siswa SMP(Gunawan, 2014)

Rasio panjang dan lebar suau persegipanjangadalah 3 : 2. Jika panjangnya dikurangi 3 danlebarnya ditambah 2 maka persegipanjangtersebut menjadi persegi. Tulislah beberapapertanyaan dari data tersebut dan kemudianselesaikan.

4) Contoh Butir Tes Berfikir Kreatif MatematikTingkat Tinggi atau C5 untuk siswa SMP(Gunawan, 2014)

Rasio panjang dan lebar suau persegipanjangadalah 3 : 2. Jika panjangnya dikurangi 3 danlebarnya ditambah 2 maka persegipanjangtersebut menjadi persegi. Tulislah beberapapertanyaan dari data tersebut dan kemudianselesaikan.

87

5) Contoh Butir Tes Berfikir Kreatif Matematik TingkatTinggi atau C6 untuk siswa SMA (Budiyanto, 2014)

Dalam sebuah kotak terdapat 12 bola merah dan 8 bolaputih yang identik. Diambil 2 buah bola secra acak sekaligus. Manakah yang mempunyai peluang lebih besar dariperistiwa bola yang terambil:

Keduanya berwarna merah, keduanya berwarna putih, atausatu bola merah dan satu bola putih. Bagaimana caramenghitungnya? Konsep apa yang digunakan?Tuliskan beberapa pertanyaan yang berhubungan dengankombinasi k unsur dari n unsur dari informasi di atas.

5) Contoh Butir Tes Berfikir Kreatif Matematik TingkatTinggi atau C6 untuk siswa SMA (Budiyanto, 2014)

Dalam sebuah kotak terdapat 12 bola merah dan 8 bolaputih yang identik. Diambil 2 buah bola secra acak sekaligus. Manakah yang mempunyai peluang lebih besar dariperistiwa bola yang terambil:

Keduanya berwarna merah, keduanya berwarna putih, atausatu bola merah dan satu bola putih. Bagaimana caramenghitungnya? Konsep apa yang digunakan?Tuliskan beberapa pertanyaan yang berhubungan dengankombinasi k unsur dari n unsur dari informasi di atas.

88

6) Contoh Butir Tes Berfikir Kreatif Matematik TingkatTinggi atau C6 untuk siswa SMA (Sumarmo, dkk, 2012)

Dalam suatu segitiga PQR, diketahui sin P= 0,5 dancos Q = 0, 6a) Uraikan beberapa cara untuk menghitung nilai cos R.

Kemudian selesaikanlah dengan memilih salah satucara yang kamu sukai.

b) Cukupkah data untuk menghitung luas daerah segitigaPQR? Kalau cukup, selesaikanlah. Kalau tidak cukup,lengkapi data agar luas segitiga PQR dapat dihitung!

6) Contoh Butir Tes Berfikir Kreatif Matematik TingkatTinggi atau C6 untuk siswa SMA (Sumarmo, dkk, 2012)

Dalam suatu segitiga PQR, diketahui sin P= 0,5 dancos Q = 0, 6a) Uraikan beberapa cara untuk menghitung nilai cos R.

Kemudian selesaikanlah dengan memilih salah satucara yang kamu sukai.

b) Cukupkah data untuk menghitung luas daerah segitigaPQR? Kalau cukup, selesaikanlah. Kalau tidak cukup,lengkapi data agar luas segitiga PQR dapat dihitung!

89

7) Contoh Butir Tes Berfikir Kreatif Matematik TingkatTinggi atau C6 untuk siswa SMA

Satu kelas terdiri dari 24 siswa perempuan dan 16siswa laki-laki. Guru akan menyusun pasangan siswauntuk mengerjakan tugas kelompok.a) Pasangan manakah yang mempunyai peluang paling

besar di antara: keduanya siswa perempuan,keduanya laki-laki, dan satu siswa perempuan dansatu siswa laki-laki. Bagaimana caramenghitungnya? Konsep apa yang digunakan?

b) Ajukan pertanyaan lain yang berhubungan dengankombinasi k unsur dari n unsur dan kemudianselesaikan.

90

7) Contoh Butir Tes Berfikir Kreatif Matematik TingkatTinggi atau C6 untuk siswa SMA

Satu kelas terdiri dari 24 siswa perempuan dan 16siswa laki-laki. Guru akan menyusun pasangan siswauntuk mengerjakan tugas kelompok.a) Pasangan manakah yang mempunyai peluang paling

besar di antara: keduanya siswa perempuan,keduanya laki-laki, dan satu siswa perempuan dansatu siswa laki-laki. Bagaimana caramenghitungnya? Konsep apa yang digunakan?

b) Ajukan pertanyaan lain yang berhubungan dengankombinasi k unsur dari n unsur dan kemudianselesaikan.

8. Contoh Butir tes berpikir kreatif siswa SMP,(Rochaeti, 2008)

Gambarlah 3 buah titik A, B, dan C yang tidak segarisdalam sebuah diagram kartesius. Kemudiantentukan sebuah titik D sehingga ABCD merupakansebuah jajaran genjang! Jelaskan cara memperolehtitik D tersebut!

Contoh 9: Butir tes berfikir kreatif matematik (aspekfleksibilitas) untuk mahasiswa (Nurlaelah, 2010)

Berikan contoh group G dan sub-group original Hsehingga G issomorphic dengan H. Kemudiantunjukkan bahwa jawaban anda sesuai denganpersyaratan yang diperlukan.9/5/2015 91

8. Contoh Butir tes berpikir kreatif siswa SMP,(Rochaeti, 2008)

Gambarlah 3 buah titik A, B, dan C yang tidak segarisdalam sebuah diagram kartesius. Kemudiantentukan sebuah titik D sehingga ABCD merupakansebuah jajaran genjang! Jelaskan cara memperolehtitik D tersebut!

Contoh 9: Butir tes berfikir kreatif matematik (aspekfleksibilitas) untuk mahasiswa (Nurlaelah, 2010)

Berikan contoh group G dan sub-group original Hsehingga G issomorphic dengan H. Kemudiantunjukkan bahwa jawaban anda sesuai denganpersyaratan yang diperlukan.

Contoh 10: Butir tes berfikir kreatif matematiksiswa SMA (Wardani, 2009)

Adik mempunyai beberapa kartu berbentukpersegi dan segitiga. Kartu persegi memuat satugambar ayam dan empat gambar burung, dankartu segitiga memuat dua gambar ayam dansatu gambar burung. Berapa banyakkartu persegi dan segitiga yang harusdisediakanagar termuat 25 gambar ayam dan 51 gambarburung ?a). Buatlah model matematika untuk menghitung

banyaknya kartu persegi dan kartu segitigayang harus disediakan.

9/5/2015 92

Contoh 10: Butir tes berfikir kreatif matematiksiswa SMA (Wardani, 2009)

Adik mempunyai beberapa kartu berbentukpersegi dan segitiga. Kartu persegi memuat satugambar ayam dan empat gambar burung, dankartu segitiga memuat dua gambar ayam dansatu gambar burung. Berapa banyakkartu persegi dan segitiga yang harusdisediakanagar termuat 25 gambar ayam dan 51 gambarburung ?a). Buatlah model matematika untuk menghitung

banyaknya kartu persegi dan kartu segitigayang harus disediakan.

Contoh 10 b: Butir tes berfikir kreatif matematiksiswa SMA (Tamsil 2015)(keaslian):

Gunakan konsep atau prosedur yang menurutanda efektif untuk menentukan nilai k daripersamaan

Contoh butir tes kreatif matematik (kelancaran):Selesaikan bentuk dengan beberapa cara!

2 0 1 5

2 0 1 2

2 0 1 4 2 0 1 3 9 0k x x d x

93

Contoh 10 b: Butir tes berfikir kreatif matematiksiswa SMA (Tamsil 2015)(keaslian):

Gunakan konsep atau prosedur yang menurutanda efektif untuk menentukan nilai k daripersamaan

Contoh butir tes kreatif matematik (kelancaran):Selesaikan bentuk dengan beberapa cara!

2 0 1 5

2 0 1 2

2 0 1 4 2 0 1 3 9 0k x x d x

2s i n 3 x d x

Contoh butir tes penalaran matematik (generalisasi)Bernard, 2015

Diketahui panjang kayu yang disediakan adalah 2 meterakan dibentuk segitiga dari yang terbesar sampai yangterkecil dimana tinggi segitiga tersebut terbuat dari kayu,perhatikan gambar di bawah ini!

600

Jika diketahui bahwa L1 = 1 meter tentukan nilai dari L4 !Berapa jumlah panjang kayu diperlukan jika disusunsampai tak terhingga

94

Contoh butir tes penalaran matematik (generalisasi)Bernard, 2015

Diketahui panjang kayu yang disediakan adalah 2 meterakan dibentuk segitiga dari yang terbesar sampai yangterkecil dimana tinggi segitiga tersebut terbuat dari kayu,perhatikan gambar di bawah ini!

600

Jika diketahui bahwa L1 = 1 meter tentukan nilai dari L4 !Berapa jumlah panjang kayu diperlukan jika disusunsampai tak terhingga

30 0

Contoh Butir tes komunikasi (menyusun modelmatematik dan menyelesaikannya, Qodariyah,2015)

Produser rekaman membuat acara promo album,dengan tawaran sebagai berikut. Jika membeli 1 CDmaka pembeli tidak mendapat kupon; Jika membeli2 CD pembelai akan mendapat 2 kupon; dan jikamembeli 3 Cdmendapat maka pembeli memperoleh 4kupon hadiah.a. Untuk memudahkan pembagian kupon hadiah

kepada pembeli produser harus membuat aturanatau model matematika. Tentukan aturan ataumodel matematika tersebut

b. Andi membeli 12 CD, berapa kupon hadiah yangditerima Andi?9/5/2015 95

Contoh Butir tes komunikasi (menyusun modelmatematik dan menyelesaikannya, Qodariyah,2015)

Produser rekaman membuat acara promo album,dengan tawaran sebagai berikut. Jika membeli 1 CDmaka pembeli tidak mendapat kupon; Jika membeli2 CD pembelai akan mendapat 2 kupon; dan jikamembeli 3 Cdmendapat maka pembeli memperoleh 4kupon hadiah.a. Untuk memudahkan pembagian kupon hadiah

kepada pembeli produser harus membuat aturanatau model matematika. Tentukan aturan ataumodel matematika tersebut

b. Andi membeli 12 CD, berapa kupon hadiah yangditerima Andi?

Contoh butir tes penalaran matematik (memberipenjelasan terhadap kecukupan unsur untukmenyelesaikan masalah (Mulyana, 2015)

Ari menggambar jaring-jaring sebuah tabung diatas kertas. Ukuran kertas gambarnya adalah 20cm x 15 cm. Tabung yang digambar berjari-jari 2cm dan tingginya 10 cm. Dari ukuran kertas yangdiketahui cukupkah untuk membuat tabung yangdiinginkan? Jelaskan!

9/5/2015 96

Contoh butir tes penalaran matematik (memberipenjelasan terhadap kecukupan unsur untukmenyelesaikan masalah (Mulyana, 2015)

Ari menggambar jaring-jaring sebuah tabung diatas kertas. Ukuran kertas gambarnya adalah 20cm x 15 cm. Tabung yang digambar berjari-jari 2cm dan tingginya 10 cm. Dari ukuran kertas yangdiketahui cukupkah untuk membuat tabung yangdiinginkan? Jelaskan!

Beberapa Kesulitan Siswa• Cenderung menyalin solusi dari guru• Kurang menguasai konsep dasar• Kemampuan dasar matematik dan kemampuan

berpikir kritis dan kreatif matematik siswadalam pre-tes sangat rendah.

• Sulit: membuat model matematika, menuliskanalgoritma penyelesaian masalah,menginterpretasi solusi sesuai masalah awal,dan mencari alternatif solusi lainnya;menerapkan representasi grafik/tabel danmembuat representasi teks tertulis

9/5/2015 97

Beberapa Kesulitan Siswa• Cenderung menyalin solusi dari guru• Kurang menguasai konsep dasar• Kemampuan dasar matematik dan kemampuan

berpikir kritis dan kreatif matematik siswadalam pre-tes sangat rendah.

• Sulit: membuat model matematika, menuliskanalgoritma penyelesaian masalah,menginterpretasi solusi sesuai masalah awal,dan mencari alternatif solusi lainnya;menerapkan representasi grafik/tabel danmembuat representasi teks tertulis

Beberapa pendapat siswa yang keliru(Schoenfeld, 1992)

a. Masalah matematika mempunyai satu danhanya satu jawab yang benar

b. Hanya ada satu cara penyelesaian soalyang benar yaitu yang ditunjukkan guru dikelas.

c. Siswa biasa tidak dapat memahamimatematika, mereka hanya dapatmenghapal dan mengaplikasikannya secaramekanik tanpa pemahaman.

9/5/2015 98


a. Masalah matematika mempunyai satu danhanya satu jawab yang benar

b. Hanya ada satu cara penyelesaian soalyang benar yaitu yang ditunjukkan guru dikelas.

c. Siswa biasa tidak dapat memahamimatematika, mereka hanya dapatmenghapal dan mengaplikasikannya secaramekanik tanpa pemahaman.


d. Matematika adalah kegiatan yangtersendiri, dan dilakukan oleh individu yangterisolasi.

e. Siswa yang paham matematika yangdipelajarinya akan dpt menyelesaikan soalapapun dalam waktu yang sangat singkat

f. Matematika yg dipelajari di sekolah tidakberkaitan dengan dunia nyata

g. Bukti formal tidak relevan dengan prosesdiskoveri atau penemuan

9/5/2015 99


d. Matematika adalah kegiatan yangtersendiri, dan dilakukan oleh individu yangterisolasi.

e. Siswa yang paham matematika yangdipelajarinya akan dpt menyelesaikan soalapapun dalam waktu yang sangat singkat

f. Matematika yg dipelajari di sekolah tidakberkaitan dengan dunia nyata

g. Bukti formal tidak relevan dengan prosesdiskoveri atau penemuan

Kelemahan Guru:• Lebih banyak memberi tahu dan kurang

memberi kesempatan siswa mengeksplorkurang melibatkan siswa belajar aktif, kurangmenekankan pada pemahaman

• Berpikir kritis bukan tujuan utama, kurangmenguasai karakteristik berpikir kritis danpembelajaran yang inovatif

• Pembelajaran kurang menarik/membosankan• Kurang mengkaitkan pengetahuan awal siswa• Sulit menyusun bahan ajar dan soal latihan dg

pembelajaran baru dan penyajiannya terutamadengan menggunakan ICTKurang fasilitas komputer dan kurang waktu

9/5/2015 100

Kelemahan Guru:• Lebih banyak memberi tahu dan kurang

memberi kesempatan siswa mengeksplorkurang melibatkan siswa belajar aktif, kurangmenekankan pada pemahaman

• Berpikir kritis bukan tujuan utama, kurangmenguasai karakteristik berpikir kritis danpembelajaran yang inovatif

• Pembelajaran kurang menarik/membosankan• Kurang mengkaitkan pengetahuan awal siswa• Sulit menyusun bahan ajar dan soal latihan dg

pembelajaran baru dan penyajiannya terutamadengan menggunakan ICTKurang fasilitas komputer dan kurang waktu

HANDOUT MATAKULIAH PROSES BERPIKIR ... - Utari...

Documents

Transcript of HANDOUT MATAKULIAH PROSES BERPIKIR ... - Utari...