Hampiran numerik fungsi (Interpolasi dan Regressi) Pertemuan 6
description
Transcript of Hampiran numerik fungsi (Interpolasi dan Regressi) Pertemuan 6
1
Hampiran numerik fungsi Hampiran numerik fungsi (Interpolasi dan Regressi)(Interpolasi dan Regressi)
Pertemuan 6
Matakuliah : K0342 / Metode Numerik I
Tahun : 2006
TIK: Mahasiswa dapat membandingkan kelebihan/kekurangan berbagai metoda untuk menghampiri suatu fungsi
2
PERTEMUAN - PERTEMUAN - 66
Hampiran numerik fungsi Hampiran numerik fungsi (Interpolasi dan Regressi)(Interpolasi dan Regressi)
TIK: Mahasiswa dapat membandingkan kelebihan/kekurangan berbagai metoda untuk menghampiri suatu fungsi
3
http://www.chem.uoa.gr/applets/AppletPoly/Appl_Poly2.html
4
Curva Fitting
• Interpolasi Linier. Untuk mencari interpolasi antara dua titik xi dan xi+1
dibuat sebuah garis lurus di antara kedua titik tersebut seperti pada gambar berikut
5
y= f(x), dapat dicari dengan rumus yaitu dari persamaan garis
Sebagai contoh , pandang data sederhana berikut ini
Dari data ini dapat dikembangkan fungsi :
6
• Bentuk 3 polinomial f(x) a0, a1 dan a2 tidak diketahui
7
Dengan menggunakan matrik didapat
Dapat juga dilakakukan dengan eliminasi Gauss sehingga diperoleh
8
9
Lagrange InterpolationInterpolasi ini digunakan untuk mencari dependen variable y = f(x) pada intermediate value diantara x yang diberikan
Dibentuk fungsi dimana
merupakan polinomial Lagrange
10
Bentuk umum dari Polinomial Lagrange adalah
11
Untuk data di atas diperoleh dengan polinomial lagrange
12
13
14
15
16
17
Contoh : Nyatakan y sebagai fungsi dari x dari data-data berikut ini
18
19
Polynomial Newton
• p(x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)(x – x1) + a3(x – x0)(x – x1)(x – x2) + … + an-1(x – x0)(x – x1)(x – x2) … (x – xn-2)
• Suku dengan faktor x – xi sama dengan nol untuk x = xi
– Use this and rule that p(xi) = yi to find ai
• a0 = y0, a1 = (y1 – y0) / (x1 – x0) • y2 = a0 + a1(x2 – x0) + a2(x2 – x0)(x2 – x1)
– Solve for a2 using results for a0 and a1
20
• y2 = a0 + a1(x2 – x0) + a2(x2 – x0)(x2 – x1)
))((
)(
))((
)(
1202
0201
0102
1202
021022 xxxx
xxxx
yyyy
xxxx
xxaaya
• Data determine coefficients
• Develop scheme known as divided difference table to compute ak
Polynomial Newton
21
Tabel Divided Difference
x0 y0 a0
a1
x1 y1 a2
x2 y2 a3
x3 y3
01
010 xx
yyF
12
121 xx
yyF
23
232 xx
yyF
02
010 xx
FFS
13
121 xx
FFS
03
010 xx
SST
22
Contoh Divided Difference
0 0 a0
a1
10 10 a2
20 40 a3
30 100
1010
0100
F
31020
10401
F
62030
401002
F
1.020
130
S
15.1030
361
S
600
1
030
15.2.0
T
23
Contoh Divided Difference
• Divided difference table gives a0 = 0, a1 = 1, a2 = .1, and a3 = 1/600
• Polynomial p(x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)(x – x1) + a3(x – x0)(x – x1)(x – x2) = 0 + 1(x – 0) + 0.1(x – 0)(x – 10) + (1/600)(x – 0)(x – 10)(x – 20) = x + 0.1x(x – 10) + (1/600)x(x – 10)(x – 20)
• Check p(30) = 30 + .1(30)(20) + (1/600) (30)(20)(10) = 30 + 60 + 10 = 100 (correct)
24
Constant Step Size
• Divided differences work for equal or unequal step size in x
• If x = h is a constant we have simpler results
– Fk = Dyk/h = (yk+1 – yk)/h– Sk = D2yk/h2 = (yk+2 – 2yk-1 + yk)/h2
– Tk = D3yk/h3 = (yk+3 – 3yk+2 + 3yk+1 – yk)/h3
– Dnyk is called the nth forward difference– Can also define backwards and central differences
25
Cubic Spline Interpolation
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0 1 2 3 4 5 6
x values
y va
lues Known f'
Natural
No Knot
Data
26
Newton Interpolating Polynomial
-1
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4 5 6
X Values
Y V
alues
Polynomial
Data
27
Double click dibawah ini untuk mencari polinomial Newton (NDD)
sls Newton's Divided Difference.mht
28