Gerak Jatuh Bebas + Gaya Gesekan Udara ?Label: GJB Pada pembahasan dan soal-soal Gerak Jatuh Bebas (GJB) di SMA (Kelas X) biasanya tidak pernah menyertakan gaya gesekan dalam perhitungannya, atau gaya gesekan diabaikan, padahal gaya gesekan itu pasti ada dan tidak bisa diabaikan begitu saja dalam Gerak Jatuh Bebas yang sebenarnya. Jadi pada postingan kali ini saya akan mencoba memasukkan faktor gaya gesekan udara pada GJB. Mengenai gaya gesekan udara, tentu sudah pernah disinggung ketika kita mempelajari Fluida Statis di kelas XI IPA Semester 2 di bagian yang terakhirnya, yaitu mengenai kekentalan fluida dan Hukum Stokes, yaitu : F = k.eta.v k adalah konstanta yang bergantung bentuk benda, jika benda berbentuk bola, maka k = 6.pi.r eta adalah koefisien viskositas, dalam hal ini adalah udara, yang secara normal nilainya 1,8 x 10^-5 kg/ms v adalah kecepatan benda Jadi dari rumus di atas kita memperoleh beberapa prinsip, yaitu : 1. Gesekan udara bergantung bentuk benda 2. Gesekan udara bergantung kekentalan udara saat itu (Nilainya tentu berbeda tergantung suhu, ketinggian, tekanan udara, dll.) 3. Gesekan udara bergantung pada kecepatan benda, semakin cepat benda bergerak, maka gaya gesekan akan semakin besar Ada satu gaya lagi yang mempengaruhi gerak GJB, yaitu gaya Archimedes (gaya angkat) oleh udara kepada benda. Melalui gabungan ketiga gaya ini (gaya berat - gaya archimedes gaya gesekan) kita bisa menurunkan rumus kecepatan terminal seperti yang ada di buku-buku Fisika SMA. Tetapi harap diperhatikan, jika fluidanya adalah udara, maka efek gaya Archimedes bisa diabaikan karena nilai gaya angkatnya terlalu kecil untuk kasus GJB, karena nilai massa jenis udara yang sangat kecil dibandingkan massa jenis benda. Nilai massa jenis udara secara rata-rata adalah 1,3 kg/m^3, bandingkan dengan massa jenis air misalnya yang bernilai 1000 kg.m^3. Jadi dalam kasus benda jatuh di udara secara GJB, efek gaya Archimedes bisa diabaikan. Persoalan kecepatan jatuh benda pada pembahasan di fluida statis SMA adalah dengan mencari kecepatan terminalnya, dan rumus turunannya sudah ada, tinggal dipakai saja. Tetapi jika kita ingin meninjau gerakan benda sebelum benda mencapai kecepatan terminalnya, maka kita akan bertemu dengan persoalan fisika dan matematika yang lebih rumit sedikit (sedikit???). Seperti semua permasalahan mekanika yang terkait dengan gerakan, para ahli fisika akan merasa puas jika sudah memperoleh persamaan kecepatan terhadap waktu dan persamaan posisi terhadap waktu. Sepertinya semua gerakan benda akan terjawab dan terramalkan jika dua persamaan dasar tersebut sudah diperoleh (kadang-kadang ditambahkan dengan persamaan percepatan). Inilah permasalahan yang akan kita otak-atik sedikit (sedikit???). Permasalahannya adalah kita harus dapat menentukan fungsi kecepatan terhadap waktu dan fungsi jarak terhadap waktu dari kasus GJB yang diperhitungkan gaya gesekannya. Tentu

saja caranya bukan memodifikasi rumus GJB yang biasa dipakai di SMA, tetapi harus kembali kepada rumus sumber gerakan benda, rumus apakah itu? Ya anda benar! Haruslah kembali kepada perumusan Hukum Newton II. Wooowww.... Mari kita tinjau benda berbentuk bola yang bergerak jatuh bebas di udara dengan asumsi dasar v(0) = 0 dan x(0) = 0. Karena nilai-nilai yang lain berupa nilai yang tetap (mis: kekentalan udara dan jari-jari bola), maka kita bisa menuliskan gaya gesekan udara adalah : f = k.v Jadi, melalui diagram gaya benda jatuh bebas, kita bisa membuka hukum Newton 2 sbb : Sigma F = m.a W - f = m.a m.g - k.v = m.a Nah, disini kita bertemu dengan persamaan yang mengandung v dan a, persamaan ini sulit untuk dikerjakan, karena itu kita akan kembali kepada perumusan a = dv/dt, jadi : Sigma F = m.dv/dt m.g - k.v = m.dv/dt dv/(m.g - k.v) = dt/m Walah... ketemu persamaan diferensial nih, so, siapkan senjata-senjata kalkulus kita, serbuuuu.... bom aja pake integral ....., jeleggeeeerrr....., maka persamaannya akan menjadi : - 1/k ln (m.g - k.v) = 1/m .t + C ln (m.g - k.v) = - k/m . t + C m.g - k.v = e^(- k/m . t + C) k.v = m.g - C.e^(-k/m . t) v(t) = m.g/k - C.e^(-k/m . t) Karena kasusnya adalah GJB, so... v(0) = 0, jadi tinggal tembak aja persamaan terakhir tersebut dengan keadaan awalnya, maka matilah beberapa variabel sehingga yang masih hidup dan menjadi sandera kita hanyalah : C = m.g/k Sandera yang masih hidup ini jangan ditahan terlalu lama, kembalikan lagi dong ke yang empunya, maka : v(t) = m.g/k - m.g./k.e^(-k/m . t)

v(t) = mg/k . (1 - e^(-k/m . t)) Than we found the equation of velocity through the time. Tuntas deh misi yang pertama, hehehe... Misi kedua adalah : Menemukan persamaan jarak (x) terhadap waktu (t) yang tersembunyi dengan ketat! Dengan meninjau lokasi musuh, ternyata diperoleh hal yang sangat standar saja, yaitu : v(t) = dx/dt dx/dt = mg/k . (1 - e^(-k/m . t)) Tinggal gunakan strategi yang sama, yaitu bom pake integral dan tembak keadaan awalnya, temukan sandera dan kembalikan ke yang empunya, maka bisa diperoleh (Kerjakan sebagai latihan ya...) : x(t) = (m.g/k).t - (m^2.g/k^2).(1 - e^(-k/m . t)) Mission is Completed!!! Kalau kita mau menguji kebenaran persamaan yang kita peroleh, maka interogasilah persamaan v(t) dengan cara lain, yaitu dengan deret dari e^-x : e^(-x) = 1 - x + (x^2)/2! - (x^3)/3! + (x^4)/4! - ... Jadi : e^(-kt/m) = 1 - (kt/m) + (k^2.t^2 / m^2)/2! - (k^3.t^3 / m^3)/3! + (k^4.t^4 / m^4)/4! - ... Masukkan nilai ini ke persamaan kecepatan yang sudah susah payah kita peroleh : v(t) = mg/k . (1 - (1 - (kt/m) + (k^2.t^2 / m^2)/2! - (k^3.t^3 / m^3)/3! + (k^4.t^4 / m^4)/4! ...)) Ambil k = 0, artinya tidak ada gaya gesekan udara, so we get : v(t) = g.t Kembali deh ke persamaan GJB SMA yang tanpa gaya gesekan udara. Kemudian kita interogasi persamaan x(t) dengan deret yang sama dan ambil k = 0, maka diperoleh : x(t) = 1/2.g.t^2 Kembali deh ke persamaan GJB SMA yang tanpa gaya gesekan udara. That's mean... we are in the right way. Jadi, dua persamaan sakti untuk GJB + gaya gesek udara adalah :

v(t) = mg/k . (1 - e^(-k/m . t))

x(t) = (m.g/k).t - (m^2.g/k^2).(1 - e^(-k/m . t))Ingatlah bahwa persamaan tersebut hanya untuk benda berbentuk bola saja dengan nilai k = 6.pi.r.eta Sekarang mari kita mencari kecepatan terminal benda. Kembali ke persamaan awal dari Hukum Newton, syarat kecepatan terminal (vT) adalah kecepatan konstan sehingga berlaku Hukum newton I, yaitu : Sigma F = 0 W-f=0 m.g - k.vT = 0 vT = m.g/k Kapankah benda mencapai kecepatan terminalnya? Masukkan nilai vT ini ke dalam persamaan kecepatan yang sudah kita peroleh dengan susah payah tersebut : vT = mg/k . (1 - e^(-k/m . t)) mg/k = mg/k . (1 - e^(-k/m . t)) 1 - e^(-k/m . t) = 1 e^(-k/m . t) = 0 t memperoleh hasil tak berhingga (artinya x juga tak berhingga) Lho? Artinya benda tidak akan pernah mencapai kecepatan terminalnya, paling hanya mendekati saja ??? Hehehe, coba pikirkan sendiri jawabannya mengapa demikian.... Let's practise... Benda dengan berat 8 newton dijatuhkan dari suatu ketinggian tertentu, yang berawal dari keadaan diam. Jika kecepatan benda jatuh itu v dan percepatan gravitasi Bumi g = 10 m/s^2 dan gaya gesekan udara adalah -2v. Carilah : a. Persamaan kecepatan dan persamaan posisi benda b. Kecepatan terminal benda c. Kecepatan dan jarak benda setelah 1 detik d. Kecepatan dan jarak benda setelah 2 detik e. Kecepatan dan jarak benda setelah 3 detik f. Kecepatan dan jarak benda setelah 4 detik g. Kecepatan dan jarak benda setelah 5 detik

h. Selisih jarak x(2) - x(1) lalu x(3) - x(2), lalu x(4) - x(3) dan x(5) - x(4) i. KESIMPULAN : kapankah kecepatan bisa dianggap GLB? JAWAB : a. v(t) = 4(1 - e^(-2,5t)) x(t) = 4t - 1,6(1 - e^(-2,5t)) b. Kecepatan terminal vT = mg/k = 4 m/s c. v(1) = 3,672 m/s ; x(1) = 2,5313 m d. v(2) = 3,973 m/s ; x(2) = 6,41078 m e. v(3) = 3,99778766 m/s ; x(3) = 10,40088 m f. v(4) = 3,9998184002 m/s ; x(4) = 14,4000726 m g. v(5) = 3,999985093 m/s ; x(5) = 18,40000596 m h. x(2) - x(1) = 3,87944 m x(3) - x(2) = 3,990104 m x(4) - x(3) = 3,9991877 m x(5) - x(4) = 3,9999333 m Jadi kecepatan semakin mendekati GLB i. KESIMPULAN : Kecepatan bisa dianggap GLB tergantung ketelitian yang mau diambil. jika kita memakai ketelitian dua angka belakang koma, maka pada sekitar detik kedua dan ketiga kecepatan sudah bisa dianggap GLB. Well... dengan memasukkan gaya gesekan maka terjadi hal-hal yang sedikit menarik ya... (sedikit???) Diposkan oleh Mariano Nathanael Reaksi: 14 komentar:

1. AnonimDec 20, 2011 02:06 AM fiska angel pool ngeluuuu

Balas

2. DeviDec 21, 2011 03:39 PM makasih atas pencerahannya.. > mau minta tolong .. sya ada tugas fisika mengenai Gerak jatuh bebas di udara dari keadaan diam, saya kurang mengerti ... Tolong bantu ya .. soal: kecepatan terminal. Hambatan udara pada gerak jatuh bebas benda bergantung pada banyak faktor , seperti misalnya ukuran dan bentuk benda, kerapatan dan temperatur udara, dan kecepatan gerak benda di udara. sebagai pendekatan, sering di gunakan anggapan bahwa gaya hambat fR sebanding dengan kecepatan tetapi arahnya berlawanan, fR=-kv dengtan k adalah konstanta yang hargannya dalam suatu kasus ditentukan oleh faktor-faktor selain dari kecepatan. sekarang tinjaulah sebuah benda yang jatuh bebas di udara dari keadaan diam. a. tunjukanlah bahwa hukum newton edua memberikan : mg-kv=ma atau mg-k.dy/dt= m.d^2y/dt^2 b. perlihatkanlah bahwa benda tidak dipercepat lagi ketika kecepatanya mencapai VT=mg/k , yang disebut sebagai kecepatan terminal. c. dengan mensubsitusikan pernyataan berikut kedalam persamaan gerak bagian (a) buktikanlah bahwa kebergantungan kecepatan terhadap waktu adalah V=VT(1-e^-kt/m) dan buatlah grafik V terhadap T . d. buatlah sketsa kualitatif kurva y terhadap t dan a terhadap t untuk gerak ini. perhatikan bahwa percepatan mula-mula adalah g dan percepatan akhir sama dengan nol. > Tolong penjelasanya ??????? MAKASIH ... Balas

3. Mariano NathanaelDec 21, 2011 05:54 PM Untuk jawaban no. a penurunannya sudah ada pada tulisan di atas : Sigma F = m.a W - f = m.a m.g - k.v = m.a m.g - k. dy/dt = m. d^2y/dt^2

(Karena v=dy/dt dan a=d^2y/dt^2) Untuk jawaban b juga ada pada tulisan di atas : Sekarang mari kita mencari kecepatan terminal benda. Kembali ke persamaan awal dari Hukum Newton, syarat kecepatan terminal (vT) adalah kecepatan konstan (a=0) sehingga berlaku Hukum Newton I, yaitu : Sigma F = 0 W-f=0 m.g - k.vT = 0 vT = m.g/k Untuk jawaban c juga ada di tulisan di atas : Sigma F = m.dv/dt m.g - k.v = m.dv/dt dv/(m.g - k.v) = dt/m Walah... ketemu persamaan diferensial nih, so, siapkan senjata-senjata kalkulus kita, serbuuuu.... bom aja pake integral ....., jeleggeeeerrr....., maka persamaannya akan menjadi : - 1/k ln (m.g - k.v) = 1/m .t + C ln (m.g - k.v) = - k/m . t + C m.g - k.v = e^(- k/m . t + C) k.v = m.g - C.e^(-k/m . t) v(t) = m.g/k - C.e^(-k/m . t) Karena kasusnya adalah GJB, so... v(0) = 0, jadi tinggal tembak aja persamaan terakhir tersebut dengan keadaan awalnya, maka matilah beberapa variabel sehingga yang masih hidup dan menjadi sandera kita hanyalah : C = m.g/k Sandera yang masih hidup ini jangan ditahan terlalu lama, kembalikan lagi dong ke yang empunya, maka : v(t) = m.g/k - m.g./k.e^(-k/m . t) v(t) = mg/k . (1 - e^(-k/m . t)) v(t) = VT . (1 - e^(-k/m . t)) Untuk grafiknya diluar kemampuan box komentar ini untuk menggambarnya, coba pakai beberapa software untuk membuat grafik tersebut, kira-kira gambar grafiknya dari titik nol naik ke atas dan asimtotnya di VT Untuk soal no. d juga diluar kemampuan box komentar ini untuk menggambarnya, tapi persamaannya adalah : y(t) = (m.g/k).t - (m^2.g/k^2).(1 - e^(-k/m . t)) dan a(t) = g.e^(-k/m.t) Kalo masih ada yang belum dimengerti kita bisa diskusi lagi Balas

4. deviDec 22, 2011 07:35 AM

masih bingung yang grafik V terhadap t (bagian c) .. bentuknya biasa tah , kya grafik GLBB ... ( sumbu x itu t , sumbu y itu V ) dan yang untuk sketsa,, kualitatif kurva y terhadap t dan a terhadap t (bagian d).. maksudnya gmana ?? kan udah ada persamaaanya.. trus di apain lagi ... satu lagi mau tanya : kalo ada balok yang terdapat pda bidang miring (segitiga), dimana masa pasak segitiga itu M, dan masa balok m. Andaikan tidak ada gayayang diberikan pada M dan kedua permukannya licin, ceritakanlah gerak yang terjadi .?? jawab : kan kalo permukannya itu licin otomatis ga punya gaya gesekkan .. maka akan bergerak dengan lancar.. tetapi si M tidak memberikan gaya , kan sama aja bahwa sigma f = 0 sesuai dengan HK.I newton.. bahawa jika benda tersebut tidak memiliki gaya (sigma f= 0) , maka benda tersebut akan bersifat lembam.. dimana akan mempertahankan kedudukanya .. jika benda itu diam, maka akan tetap diam, tetapi jika benda itu bergerak maka akan bergerak dengna kecepatan konstan .. .. > Apakah benda tersebut bergerak melawan HK.Newton I , karena benda tersebut tidak mendapatkan gaya, tetapi kedua permukaanya licin.. > maka benda akan bergerak dengan kecepatan yg tinggi karena tidk terdapat gya gesek sebagai penghambat (licin)... menurut Bapak bener ga .. ?? Balas

5. DeviDec 22, 2011 07:39 AM Maaf Bapak banyak tanya ... soalnya tugas yg diberikan belum semuanya diterangkan oleh pembimbing ... Jadi banyak ga ngertinya ... Tapi Makasih Bapak .. ^_^ Balas

6. Andi DermawanFeb 2, 2012 10:47 AM ya ampun... saya pusing bacanya... pak, kalo boleh tanya nih,

saya pengen bikin simulasi VB gerak bandul yang mendekati aslinya, kan bandul ga mungkin terus menerus bergerak sepanjang waktu tanpa berhenti, pada suatu saat kan pasti berhenti juga.. nah, saya sudah bikin dengan rumus (t) = cos sqr(g/R)t (bahasa VB) R=panjang tali. nah, dari rumus ini (t) nya kan bisa dijadikan referensi untuk posisi cartesiannya, dg rumus x=R sin y=R cos tapi dengan rumus diatas bandulnya ga mau berhenti, pastinya ada hal lain yang mempengaruhi agar pada satu waktu bandulnya berhenti. kalo boleh nanya nih pak, tolong pencerahannya tentang faktor yang mempengaruhi dong.. Balas Balasan

1. Mariano NathanaelFeb 2, 2012 10:27 PM Persamaan yang anda masukkan itu adalah persamaan gerakan yang disebut dengan Gerakan Harmonik Sederhana (GHS) dengan sifat utama adalah gerakan osilasi yang tidak pernah berhenti. Sedangkan dalam kenyataan sehari-hari tidak ada gerakan osilasi yang tidak berhenti karena pasti ada faktor gaya gesekan yang menghambat. Jadi kalau mau kenyataan yang riel, gunakanlah persamaan gerakan harmonik teredam (GHT). GHS diperoleh dari menyelesaikan Hk. kedua Newton yang berbentuk sigma F = m.da/dt = -kx (dengan a adalah percepatan, k adlah konstanta pegas danj x adalah posisi), demikian juga GHT tetapi dengan ada satu faktor gesekan, hukum Newton 2 nya menjadi sigma F = m.da/dt = -kx -cv, dengan c adalah konstanta gesek dan v adalah kecepatan benda. Solusi persamaan ini ada tiga macam, yaitu GHT kuat (overdamped), GHT kritis (critical damped) dan GHT Lemah (under damped). Saya rasa yang anda inginkan adalah GHT lemah yaitu yang syaratnya c^2 - 4mk < 0. Saya tidak ngerti bahasa VB, tapi saran saya mendingan pake metode numerik untuk memecahkan persamaan tersebut dalam program VB dan jangan lupa memasukkan syarat GHT lemah. Tapi kalo gak ngerti metode numerik pake aja solusinya yang udah jadi untuk GHT lemah, yaitu : x = e^-(gamma . t).A.cos(w.t - phi), dengan gamma = c/2m, w=akar(w0^2 - gamma^2), w0=akar(k/m) dan phi adalah sudut awal, ambil aja phi=0). Hehe, smoga gak pusing ya... Balas

7. Andi DermawanFeb 3, 2012 02:08 AM Maaf pak, kalo soal fisika yang kayak gini saya agak lelet, jadi saya tanya lagi ya pak... e itu bilangan natural itu ta pak? saya pernah diajarin, tapi saya lupa.. hehehe... saya akan coba dan hasilnya akan saya post di blog... kalo sudah selesai saya bisa minta tolong untuk merevisi ga pak? kan mungkin saja saya salah menangkap maksud bapak... soalnya saya agak lelet pak... trimakasih atas bantuannya... Balas Balasan

1. Mariano NathanaelFeb 3, 2012 03:50 AM Ya benar, e itu bilangan natural. Dinantikan di blognya...

2. Andi DermawanFeb 4, 2012 08:57 AM pak, maaf kalo saya merepotkan, saya mau tanya tentang bilangan natural, saya sudah coba bongkar buku catatan saya dan mencari tentang itu, tapi ga ketemu... kalo ga salah bilangan natural itu ada nilainya ya? saya lupa, kalo ada berapa nilainya pak? dan juga pada bandul kan tali yang diberi beban, nah berarti kan tidak ada konstanta pegas (k) disitu? apa konstanta itu nilainya saya tentukan sendiri? kemudian juga apakan konstanta gesek itu saya tentukan sendiri juga? atau bisa saya amati pada bandul yang sebenarnya? bandulnya sudah ada pak, dan bandul ini harus saya jadikan animasi dengan menggunakan VB... maaf ya pak kalo saya banyak bertanya... animasinya akan saya perbarui dengan menambah usul dari bapak... itu masih belum di update pak... hehehe..

3. Andi DermawanFeb 4, 2012 03:12 PM tadi malam sudah saya update pak.. tapi ga tu udah benar apa belum... saya mesih mencoba untuk mengaplikasikan rumus diatas, tapi belum berhsil..

4. Mariano NathanaelFeb 4, 2012 07:27 PM Bilangan natural itu e = 2.718281828..., biasanya sudah include di bahasa program deh, biasanya kalo di kalkulator nulisnya e(x). Nilai konstanta yang ada (c, m dan k) memang harus ditentukan sendiri ya, tapi syaratnya c^24mk