Gerak Dua Dimensi...13/10/2012 1 Gerak Dua Dimensi Gerak dua dimensi merupakan gerak dalam bidang...
Transcript of Gerak Dua Dimensi...13/10/2012 1 Gerak Dua Dimensi Gerak dua dimensi merupakan gerak dalam bidang...
-
13/10/2012
1
Gerak Dua Dimensi Gerak dua dimensi merupakan gerak dalam bidang
datar
Contoh gerak dua dimensi : Gerak peluru
Gerak melingkar
Gerak relatif
Posisi, Kecepatan , Percepatan 𝑟 𝑖 = vektor posisi partikel di A 𝑟 𝑓 = vektor posisi partikel di B
∆𝑟 = 𝑟 𝑓 − 𝑟 𝑖
Vektor perpindahan :
𝑟 𝑓 = 𝑥𝑓𝑖 + 𝑦𝑓𝑗 𝑟 𝑖 = 𝑥𝑖𝑖 + 𝑦𝑖𝑗
∆𝑟 = (𝑥𝑓𝑖 + 𝑦𝑓𝑗 ) − (𝑥𝑖𝑖 + 𝑦𝑖𝑗 ) = (𝑥𝑓𝑖 − 𝑥𝑖𝑖 ) + (𝑦𝑓𝑗 − 𝑦𝑖𝑗 ) = (𝑥𝑓−𝑥𝑖)𝑖 + (𝑦𝑓 − 𝑦𝑖) 𝑗 ∆𝑟 = ∆𝑥𝑖 + ∆𝑦𝑗
Kecepatan
𝑣 𝑎𝑣𝑔 =∆𝑟
∆𝑡
Perubahan posisi (perpindahan) per satuan waktu
Kecepatan Rata-rata
∆𝑟 = Perpindahan (m)
∆𝑡 = Selisih waktu (s)
𝑣 = lim∆𝑡→0
∆𝑟
∆𝑡=
𝑑𝑟
𝑑𝑡
Kecepatan Sesaat
-
13/10/2012
2
Percepatan
𝑎 𝑎𝑣𝑔 =∆𝑣
∆𝑡=
𝑣 𝑓 − 𝑣 𝑖𝑡𝑓 − 𝑡𝑖
Perubahan kecepatan per satuan waktu
Percepatan Rata-rata
∆𝑣 𝑓 = kecepatan akhir (m/s)
∆𝑣 𝑖 = kecepatan awal (m/s)
𝑎 = lim∆𝑡→0
∆𝑣
∆𝑡=
𝑑𝑣
𝑑𝑡
Percepatan Sesaat
Gerak dua dimensi dapat dimodelkan sebagai dua gerakan
independen, kedua gerakan saling tegak lurus terkait dengan
sumbu x dan y. Artinya, pengaruh gerak arah y tidak
mempengaruhi gerak arah x dan sebaliknya.
Vektor posisi sebuah partikel bergerak dalam bidang xy :
𝑣 =𝑑𝑥
𝑑𝑡𝑖 +
𝑑𝑦
𝑑𝑡𝑗
𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗
Gerak Dua Dimensi dengan Percepatan
Konstan
𝑣 =𝑑𝑟
𝑑𝑡
= 𝑣𝑥𝑖 + 𝑣𝑦𝑗
Subtitusi pers. Di atas ke :
Sehingga :
-
13/10/2012
3
𝑣𝑥𝑓 = 𝑣𝑥𝑖 + 𝑎𝑥𝑡 Dari persamaan : → 𝑣𝑥𝑓 = 𝑣𝑥𝑖 + 𝑎𝑥𝑡
𝑣𝑦𝑓 = 𝑣𝑦𝑖 + 𝑎𝑦𝑡
𝑣 𝑓 = 𝑣𝑥𝑖 + 𝑣𝑦𝑗
= (𝑣𝑥𝑖 + 𝑎𝑥𝑡)𝑖 + (𝑣𝑦𝑖 + 𝑎𝑦𝑡)𝑗
= (𝑣𝑥𝑖𝑖 + 𝑣𝑦𝑖𝑗 ) + 𝑎𝑥𝑖 + 𝑎𝑦𝑗 𝑡
Subtitusi kedua pers di atas ke pers :
𝑣 𝑓 = 𝑣 𝑖 + 𝑎 𝑡
Subtitusi pers. : 𝑥𝑓 = 𝑥𝑖 + 𝑣𝑥𝑖𝑡 +1
2𝑎𝑥𝑡
2
𝑦𝑓 = 𝑦𝑖 + 𝑣𝑦𝑖𝑡 +1
2𝑎𝑦𝑡
2
𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 ke pers :
𝑟 𝑓 = (𝑥𝑖 + 𝑣𝑥𝑖𝑡 +1
2𝑎𝑥𝑡
2)𝑖 + (𝑦𝑖 + 𝑣𝑦𝑖𝑡 +1
2𝑎𝑦𝑡
2)𝑗
= 𝑥𝑖𝑖 + 𝑦𝑖𝑗 + 𝑣𝑥𝑖𝑡𝑖 + 𝑣𝑦𝑖𝑡𝑗 +1
2(𝑎𝑥𝑡
2𝑖 + 𝑎𝑦𝑡2𝑗 )
𝑟 𝑓 = 𝑟 𝑖 + 𝑣 𝑖𝑡 +1
2𝑎 𝑡2
Sehingga :
-
13/10/2012
4
Sebuah partikel bergerak pada bidang xy, dengan komponen kecepatan awal arah x 20 m/s dan y -15 m/s. Partikel mengalami percepatan dalam arah x sebesar ax = 4 m/s
2 . Tentukan: a. Kecepatan total b. Tentukan kecepatan dan laju pada t = 5 s
Contoh Soal 4.1
= (𝑣𝑥𝑖 + 𝑎𝑥𝑡)𝑖 + (𝑣𝑦𝑖 + 𝑎𝑦𝑡)𝑗
𝑣 𝑓 = 𝑣 𝑖 + 𝑎 𝑡
= 20 + 4 𝑡 𝑖 + [−15 + 0 𝑡]𝑗
= 20 + 4 𝑡 𝑖 − 15𝑗 ]
𝑣 𝑓 = 20 + 4 5 𝑖 − 15𝑗 ]
= (40𝑖 − 15𝑗 ) m/s
𝑣𝑓 = 𝑣 𝑓 = 𝑣𝑥𝑓2 + 𝑣𝑦𝑓2
= (40)2 + (−15)2 = 43 m/s
Penyelesaian :
-
13/10/2012
5
Gerak Peluru Gerak peluru ialah gerak dengan lintasan berbentuk parabol
Untuk memudahkan menganalisa, maka digunakan dua asumsi: • Percepatan gerak jatuh bebas adalah konstan selama sepanjang gerak dan
arahnya ke bawah. • Efek hambatan udara diabaikan.
Dengan asumsi tersebut, maka lintasan dari gerak peluru selalu parabola seperti gambar di bawah .
Persamaan gerak peluru adalah:
𝑟 𝑓 = 𝑟 𝑖 + 𝑣 𝑖𝑡 +1
2𝑎 𝑡2
Dimana : 𝑎𝑥 = 0 𝑎𝑦 = −9,81 𝑚/𝑠
2
𝑣𝑥𝑖 = 𝑣𝑖 cos 𝜃𝑖 𝑣𝑦𝑖 = 𝑣𝑖 sin 𝜃𝑖
Tinggi dan Jarak maksimum Gerak Peluru
Dua titik pada gerak peluru yang sangat menarik untuk dianalisa (lihat gambar di samping) adalah: • Titik puncak A, yang memiliki
koordinat Cartesian (R/2 , h). • Titik B, yang memiliki koordinat (R ,
0). R disebut jarak horisontal maksimum dari peluru, dan h adalah ketinggian maksimum.
𝑣𝑦𝑓 = 𝑣𝑦𝑖 + 𝑎𝑦𝑡
Tinggi maksimum
→ 𝑣𝑦𝑓= 𝑣𝑦𝐴 = 0
0 = 𝑣𝑖 sin𝜃𝑖 − 𝑔𝑡𝐴 𝑡𝐴 =𝑣𝑖 sin 𝜃𝑖
𝑔
-
13/10/2012
6
𝑦𝑓,𝑚𝑎𝑥 = ℎ = 0 + 𝑣𝑖 sin 𝜃𝑖𝑣𝑖 sin 𝜃𝑖
𝑔−
1
2𝑔
𝑣𝑖 sin 𝜃𝑖
𝑔
2
Dengan menggunakan pers. 𝑦𝑓 = 𝑦𝑖 + 𝑣𝑦𝑖𝑡 −1
2𝑔𝑡2 , dimana 𝑦𝑖 = 0,
maka :
=𝑣𝑖
2 sin2 𝜃𝑖𝑔
−𝑣𝑖
2 sin2 𝜃𝑖2𝑔
ℎ =𝑣𝑖
2 sin2 𝜃𝑖2𝑔
𝑅 = 𝑣𝑥𝑖𝑡𝐵
Tinggi maksimum
Waktu yang dibutuhkan untuk mencapai jarak maksimum R adalah dua kali waktu untuk mencapai tinggi
maksimum 𝑡𝐵 = 2𝑡𝐴 , gunakan pers. 𝑥𝑓,𝑚𝑎𝑥 = 𝑅 = 𝑥𝑖 + 𝑣𝑥𝑖𝑡, dimana : 𝑥𝑖 = 0,
dan 𝑣𝑥𝑖 = 𝑣𝑥𝐵 = 𝑣𝑖 cos 𝜃𝑖, maka :
= 𝑣𝑖 cos 𝜃𝑖 2𝑡𝐴
= 𝑣𝑖 cos 𝜃𝑖2𝑣𝑖 sin 𝜃𝑖
𝑔
=2𝑣𝑖
2 sin𝜃𝑖 cos 𝜃𝑖𝑔
𝑅 =𝑣𝑖
2 sin 2𝜃𝑖𝑔
Kerena : 2 sin𝜃𝑖 cos 𝜃𝑖 = sin 2𝜃𝑖, maka :
-
13/10/2012
7
Contoh Soal 4.1
Seorang pelompat jauh melompat dengan kecepatan awal 11 m/s dan membentuk sudut 20o. Tentukan : a. Berapa jauh lompatan maksimal arah
horizontal. b. Berapa tinggi maksimum lompatan.
Diketahui : 𝑣𝑖 = 11𝑚
𝑠
𝛼 = 20𝑜
Ditanya : a. 𝑅 = ......?....... m b. ℎ =.......?....... m
Penyelesaian : a. 𝑅 = ......?....... m
𝑅 =𝑣𝑖
2 sin 2𝜃𝑖𝑔
=(11
𝑚𝑠)2sin(20𝑜)
9,81 𝑚/𝑠2 =7,94 m
ℎ =𝑣𝑖
2 sin2 𝜃𝑖2𝑔
=(11
𝑚𝑠)2sin2(20𝑜)
2(9,81𝑚𝑠2
) =0,722 m
b. ℎ = ......?....... m
-
13/10/2012
8
Contoh Soal 4.2
Sebuah batu dilemparkan dari atap sebuah gedung dengan sudut 30o, dan kecepatan 20 m/s. Tinggi gedung adalah 45 m. Tentukan : a. Berapa lama waktu yang diperlukan
batu untuk mencapai tanah?. b. Berapa kecepatan batu sesaat sebelum
menyentuh tanah?.
Diketahui : 𝑣𝑖 = 20𝑚
𝑠
𝛼 = 30𝑜 𝑦𝑖 = 0 𝑦𝑓 = −45 m
Ditanya : a. 𝑡 = .......?....... s b. 𝑣𝑓 =.......?....... m/s
𝑦𝑓 = 𝑦𝑖 + 𝑣𝑦𝑖𝑡 −1
2𝑔𝑡2
Penyelesaian : a. t = ......?....... m
𝑣𝑥𝑖 = 𝑣𝑖 cos 𝜃𝑖 = (20𝑚
𝑠) cos(30𝑜) = 17,3 𝑚/𝑠
𝑣𝑦𝑖 = 𝑣𝑖 sin 𝜃𝑖 = (20𝑚
𝑠) sin(30𝑜) = 10 𝑚/𝑠
−45 m = 0 + 10𝑚
𝑠𝑡 −
1
29,81
𝑚
𝑠2𝑡2 = 10
𝑚
𝑠𝑡 − 4,905
𝑚
𝑠2𝑡2
⇔ − 4,905𝑚
𝑠2𝑡2 + 10
𝑚
𝑠𝑡 + 45𝑚 = 0
-
13/10/2012
9
𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Dimana : 𝑥 = 𝑡 𝑏 = 10 𝑎 = −4,905
− 4,905𝑚
𝑠2𝑡2 + 10
𝑚
𝑠𝑡 + 45𝑚 = 0
Persamaan di atas identik dengan pers. : 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
𝑡 =(−10
𝑚𝑠 ) ± (10
𝑚𝑠 )
2−4(−4,905𝑚𝑠2
)(45 𝑚)
2(−4,905𝑚𝑠2
)
𝑡 = 4,22 𝑠 dan 𝑡 = −2,18 𝑠 maka t yang dipakai adalah yang bernilai positif, yaitu 𝒕 = 𝟒, 𝟐𝟐 𝒔
b. 𝑣𝑓 = ......?....... m/s
𝑣𝑥𝑓 = 𝑣𝑥𝑖 = 17,3𝑚
𝑠 𝑣𝑦𝑓 = 𝑣𝑦𝑖 + 𝑎𝑦𝑡
= (10𝑚
𝑠) + (−9,82
𝑚
𝑠2)(4,22 𝑠)
= −31,3𝑚
𝑠
𝑣𝑓 = 𝑣𝑥𝑓2 + 𝑣𝑦𝑓2
= (17,3𝑚
𝑠)2+(−31,3
𝑚
𝑠)2
= 35,8𝑚
𝑠