GARIS SINGGUNG LINGKARAN · 2016. 12. 31. · Garis Singgung Lingkaran | 3 Langkah 3 Buatlah busur...

Garis Singgung Lingkaran | 1

GARIS SINGGUNG LINGKARAN

Banyak benda-benda di sekitarmu yang tanpa kamu sadari

sebenarnya menggunakan konsep lingkaran. Misalnya, rantai sepeda,

katrol timba, hingga alat-alat musik seperti drum, banjo, dan kerincing.

Perhatikanlah sebuah sepeda. Sepeda mempunyai dua buah gir, yaitu

gir belakang pada roda dan gir depan pada pedal. Agar roda sepeda

dapat berputar, gir belakang dihubungkan dengan gir depan melalui

rantai. Gir sepeda berbentuk lingkaran. Sedangkan rantai sepeda yang

bersinggungan dengan gir dapat diumpamakan sebagai garis singgung

lingkaran. Apabila jari- jari kedua gir dan jarak antara kedua roda gir

diketahui, maka panjang rantai sepeda dapat ditentukan. Bagaimanakah

caranya?

A. Pengertian Garis Singgung

Perhatikan gambar berikut

Gambar 1

Gambar 1(a) memperlihatkan bahwa garis g menyinggung

lingkaran di titik A. Garis g tegak lurus jari-jari OA. Dengan kata lain,

hanya terdapat satu buah garis singgung yang melalui satu titik pada

lingkaran. Pada Gambar 1(b) , titik R terletak di luar lingkaran. Garis l

melalui titik R dan menyinggung lingkaran di titik P, sehingga garis l tegak

lurus jari-jari OP. Garis m melalui titik R dan menyinggung lingkaran di titik

Q, sehingga garis m tegak lurus jari-jari OQ. Dengan demikian, dapat

dibuat dua buah garis singgung melalui satu titik di luar lingkaran.


B. Melukis Garis Singgung

Sebelum melukis garis singgung lingkaran, pastikan kamu telah

memiliki jangka dan penggaris sebagai alat bantu. Perhatikan uraian

berikut.

1. Garis Singgung Melalui Satu Titik pada Lingkaran

Sebelumnya telah dijelaskan bahwa garis singgung lingkaran selalu

tegak lurus terhadap jari-jari (diameter) yang melalui titik

singgungnya. Oleh karena itu, melukis garis singgung lingkaran di

titik singgung P sama saja dengan melukis garis yang tegak lurus

terhadap jari-jari OP. Perhatikan langkah-langkah melukis garis

singgung lingkaran melalui satu titik pada lingkaran berikut ini.

Langkah 1

Buatlah lingkaran dengan pusat O dan jari-jari OP yang

diperpanjang hingga titik Q.

Langkah 2

Bagilah garis OT menjadi dua ruas garis yang sama panjang

dengan menempat kan titik M sebagai titik tengah, sehingga OM =

MT.

Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran

tepat di satu titik. Titik tersebut dinamakan titik singgung lingkaran.

Setiap garis singgung lingkaran selalu tegak lurus terhadap jari-jari

(diameter) yang melalui titik singgungnya.


Langkah 3

Buatlah busur dengan pusat A dan B sehingga berpotongan di titik

C. Ingat, jari-jarinya harus sama.

Langkah 4

Hubungkan titik C dan P sehingga membentuk garis CP. Garis inilah

yang disebut garis singgung g yang melalui titik P pada lingkaran

dengan pusat O.

2. Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran

Sekarang, kamu akan melukis garis singgung yang melalui titik

di luar lingkaran. Perhatikan langkah-langkah berikut dengan baik.

Langkah 1

Buatlah sebuah lingkaran dengan pusat O. Hubungkan O dengan

titik T yang terletak di luar lingkaran.


Langkah 2

Bagilah garis OT menjadi dua ruas garis yang sama panjang dengan

menempatkan titik M sebagai titik tengah, sehingga OM = MT.

Langkah 3

Buatlah busur lingkaran dengan pusat M dan jari-jari OM sehingga

memotong lingkaran dengan pusat O di titik A dan B.

Langkah 4

Hubungkan titik A dengan T dan titik B dengan T sehingga diperoleh

AT dan BT, yaitu pasangan garis singgung yang melalui titik T.


C. Panjang Garis Singgung Lingkaran

Setelah melukis garis singgung lingkaran, sekarang kamu akan

menghitung panjang garis singgung yang ditarik dari sebuah titik di

luar lingkaran.

Perhatikan gambar berikut.

Garis AB dan BC adalah garis singgung lingkaran yang berpusat di titik

O. Panjang OA = panjang OC = r = jari-jari lingkaran. Oleh karena garis

singgung selalu tegak lurus terhadap jari-jari lingkaran maka panjang

garis singgung AB dan BC dapat dihitung dengan menggunakan

teorema Pythagoras.

Perhatikan Δ OAB pada . Pada ΔOAB berlaku teorema Pythagoras,

yaitu:

Pada ΔOCB juga berlaku teorema Pythagoras, yaitu:

Ternyata,

Uraian tersebut menggambarkan definisi berikut.

Kedua garis singgung lingkaran yang ditarik dari sebuah titik di luar lingkaran mempunyai panjang yang sama.


Contoh soal

Perhatikan gambar berikut.

Jika diketahui jari-jari lingkaran r = 5 cm dan OB = 13 cm, tentukan:

a. Panjang garis singgung AB,

b. Luas ΔOAB

Jawab:

a. Pada ΔOAB berlaku teorema Pythagoras sehingga

Jadi, panjang AB adalah 12 cm.

b. Luas ΔOAB

Jadi luas ΔOAB adalah

D. Garis Singgung Dua Lingkaran

Kamu tentu sudah sering melihat sepeda. Apabila kamu amati

rantai roda sepeda, tampak bahwa rantai itu melilit dua roda bergerigi

yang berbeda ukuran. Dua roda bergerigi tersebut dapat dianggap

sebagai dua lingkaran dan rantai sepeda sebagai garis singgung

persekutuan lingkaran.

Dengan demikian, garis singgung persekutuan dapat diartikan sebagai

garis yang tepat menyinggung dua lingkaran.


1. Kedudukan Dua lingkaran Secara umum

Kedudukan dua lingkaran dapat dikelompokkan menjadi tiga jenis,

yaitu dua lingkaran bersinggungan, berpotongan, dan saling lepas.

a. Dua Lingkaran Bersinggungan

Gambar 2

Gambar (a) memperlihatkan dua lingkaran yang bersinggungan di

dalam. Untuk kedudukan seperti ini dapat dibuat satu buah garis

singgung persekutan luar, yaitu k dengan titik singgung A. Gambar

(b) memperlihatkan dua lingkaran yang bersinggungan di luar.

Dalam kedudukan seperti ini dapat dibuat satu buah garis

singgung persekutuan dalam, yaitu n dan dua garis singgung

persekutuan luar, yaitu l dan m.

b. Dua Lingkaran Berpotongan

Dua lingkaran yang berpotongan seperti yang ditunjukkan oleh

Gambar 3 mempunyai dua garis singgung persekutuan luar, yaitu r

dan s.

Gambar 3


c. Dua Lingkaran Saling Lepas

Gambar 4 memperlihatkan dua lingkaran yang saling lepas atau

terpisah. Dalam kedudukan seperti ini, dapat dibuat dua garis

persekutuan luar, yaitu k dan l dan dua garis persekutuan dalam,

yaitu m dan n.

Gambar 4

2. Garis Singgung Persekutuan Luar

a. Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar

Misalnya terdapat dua lingkaran saling lepas dengan pusat P dan Q

serta jari- jari R dan r. Bagaimana cara melukis garis singgung

persekutuan luar dari lingkaran P dan Q tersebut? Pelajarilah

langkah-langkah berikut.

Langkah 1

Buatlah dua lingkaran dengan pusat P dan Q serta jari-jari R dan r

(r < R). Kemudian, hubungkan kedua titik pusatnya.

Langkah 2

Buatlah busur lingkaran sebarang yang berpusat di P dan Q

dengan jari-jari yang sama dan panjangnya harus lebih besar dari

PQ, sehingga berpotongan di titik M dan N.


Langkah 3

Hubungkan M dan N sehingga memotong PQ di titik T.

Langkah 4

Gambar lingkaran yang berpusat di titik T dengan jari-jari PT.


Langkah 5

Lukislah busur lingkaran yang berpusat di titik P dengan jari-jari R –

r sehingga memotong lingkaran yang berpusat di T pada titik A dan

B.

Langkah 6

Hubungkan P dengan A dan P dengan B, kemudian perpanjang

kedua garis tersebut sehingga memotong lingkaran yang berpusat

di P pada titik C dan D.

Langkah 7

Lukislah busur lingkaran dengan pusat di C dan jari-jari AQ

sehingga memotong lingkaran yang berpusat di Q di titik E

narakgnil rusub halsikuL . dengan pusat di D dan jari-jari AQ

sehingga memotong lingkaran yang berpusat di Q di titik F


Langkah 8

Langkah terakhir adalah menghubungkan C dengan E dan D

dengan F. Garis CE dan DF adalah garis singgung persekutuan luar

dua lingkaran yang berpusat di P dan Q.

Menghitung Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar Perhatikan

gambar berikut ini.

Garis AB merupakan garis singgung persekutuan luar dua

lingkaran yang berpusat di P dan Q.

R = AP adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di P atau lingkaran

pertama.

r = BQ adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di Q atau lingkaran

kedua.

l adalah panjang garis singgung persekutuan luar AB.

k adalah jarak antara kedua titik pusat P dan Q.

SQ merupakan translasi dari AB, sehingga panjang AB = panjang

SQ = l. Panjang SP = AP – BQ = R – r.

AB sejajar SQ sehingga – BAP = – QSP = 90˚ (sehadap)

Sekarang, perhatikan ∆SPQ. Oleh karena – QSP = 90˚ maka kita

bisa meng gunakan teorema Pythagoras untuk mencari panjang

SQ.


∆SPQ siku-siku di S sehingga

Jadi, panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran

adalah:

dengan:

= panjang garis singgung persekutuan luar

= jarak kedua titik pusat lingkaran

= jari-jari lingkaran pertama

= jari-jari lingkaran kedua

Contoh soal

Pada gambar di samping, AB adalah

garis singgung persekutuan luar dua

lingkaran yang berpusat di P dan Q.

Hitunglah panjang AB.

Jawab :

Dari gambar diperoleh:

jarak kedua titik pusat lingkaran, k = 17 cm,

panjang jari-jari lingkaran pertama, R = 25 cm,

panjang jari-jari lingkaran kedua, r = 17 cm,

panjang garis singgung persekutuan luar = l.

Jadi, panjang garis singgung l adalah 15 cm

, untuk


3. Garis Singgung Persekutuan Dalam

a. Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam

Perhatikan langkah-langkah melukis garis singgung persekutuan

dalam dua lingkaran berikut ini.

Langkah 1

Lukislah dua lingkaran dengan pusat P dan Q serta jari-jari masing-

masing R dan r (r < R), kemudian hubungkan kedua titik pusatnya.

Langkah 2

Buatlah busur lingkaran yang berpusat di P dan Q dengan jari-jari

yang panjangnya sama dan harus lebih besar dari 1 2 PQ sehingga

berpotongan di titik M dan N

Langkah 3

Hubungkan M dan N sehingga memotong PQ di titik T.


Langkah 4

Lukislah lingkaran yang berpusat di T dengan jari-jari PT.

Langkah 5

Lukislah busur lingkaran yang berpusat di P dan berjari-jari R + r

sehingga memotong lingkaran yang berpusat di T pada titik A dan

B.

Langkah 6

Hubungkan titik pusat P dengan A dan P dengan B sehingga

memotong lingkaran dengan pusat P di titik C dan D.

Langkah 7

1) Lukislah busur lingkaran dari C dengan jari-jari AQ sehingga

memotong lingkaran yang berpusat di Q pada titik E.


2) Lukislah busur lingkaran dari D dengan jari-jari AQ sehingga

memotong lingkaran yang berpusat di Q pada titik F.

Langkah 8

Terakhir, hubungkan C dengan E dan D dengan F. Garis CE dan DF

adalah garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran yang

berpusat di P dan Q.

b. Menghitung Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam

Perhatikan gambar berikut ini.

Garis AB merupakan garis singgung persekutuan dalam dua

lingkaran yang berpusat di P dan di Q.

1) R = AP adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di P atau

lingkaran pertama dan r = BQ adalah jari-jari lingkaran yang

berpusat di Q atau lingkaran kedua. PS = AS + AP = BQ + AP = r

+ R = R + r.


2) d adalah panjang garis singgung persekutuan dalam AB. • k

adalah jarak antara kedua titik pusat P dan Q.

3) SQ merupakan translasi dari AB, sehingga SQ sejajar AB dan

panjang SQ = panjang AB = d.

4) Oleh karena SQ sejajar AB maka – PSQ = – PAB = 90˚.

5) Sekarang perhatikan ΔPSQ.

Oleh karena ΔPSQ merupakan segitiga siku-siku dengan – PSQ =

90˚ maka kita bisa menggunakan teorema Pythagoras untuk

mencari panjang SQ.

Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran

adalah:

dengan

= panjang garis singgung persekutuan dalam

= jarak kedua titik pusat lingkaran

= jari-jari lingkaran pertama

= jari-jari lingkaran kedua

Contoh soal

Diketahui dua lingkaran dengan jari-jari 14 cm dan 4 cm. Tentukan

panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran

tersebut jika jarak antara kedua titik pusatnya adalah 30 cm.

Jawab : Soal tersebut dapat disajikan dalam gambar berikut.

Diketahui:

k = 30 cm

R = 14 cm

r = 4 cm


Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalamnya adalah 24 cm

4. Panjang Sabuk Lilitan Minimal yang menghubungkan Dua Lingkaran

Pernahkah kamu mengganti rantai roda sepedamu? Bagaimana

kamu menentukan agar panjang rantai yang diperlukan tidak terlalu

panjang atau terlalu pendek?

Jika kamu perhatikan, dua roda gigi sepeda biasa dianggap

sebagai dua lingkaran dan rantai yang melilitnya sebagai garis

singgung persekutuan luar. Perhatikan gambar berikut ini.

Jika α˚ menyatakan besar sudut yang menghadap busur ASC maka

besar sudut yang menghadap busur BTD adalah 360˚ – α˚. Kenapa

demikian? Tahukah kamu alasannya? Berdasarkan uraian di atas,

dapat dihitung panjang sabuk lilitan minimal untuk menghubungkan

dua lingkaran. Oleh karena AB = CD maka

Jika α˚ menyatakan besar sudut yang menghadap busur ASC maka

besar sudut yang menghadap busur BTD adalah 360˚ – α˚. Kenapa

demikian? Tahukah kamu alasannya? Berdasarkan uraian di atas,

dapat dihitung panjang sabuk lilitan minimal untuk menghubungkan

dua lingkaran.

Oleh karena AB = CD maka

Dengan

Panjang sabuk lilitan minimal


E. Lingkaran Luar dan Lingkaran Dalam Segitiga

Kali ini kita akan mempelajari tentang lingkaran yang dikaitkan dengan

segitiga, yaitu lingkaran luar dan lingkaran dalam suatu segitiga.

1. Lingkaran Luar Segitiga

a. Pengertian Lingkaran Luar Segitiga

Lingkaran luar suatu segitiga adalah suatu lingkaran yang melalui

semua titik sudut segitiga dan berpusat di titik potong ketiga garis

sumbu sisi-sisi segitiga.

Gambar di samping menunjukkan lingkaran

luar ΔABC dengan pusat O. OA = OB = OC

adalah jari-jari lingkaran dan OP = OQ = OR

adalah garis sumbu sisi-sisi segitiga.

b. Melukis Lingkaran Luar Segitiga

Telah disebutkan sebelumnya bahwa titik pusat lingkaran luar

suatu segitiga adalah titik potong ketiga garis sumbu sisi-sisinya.

Oleh karena itu, untuk dapat melukis lingkaran luar segitiga, kamu

harus melukis dulu garis sumbu ketiga sisi segitiga tersebut.

Perhatikan langkah-langkah berikut:

1) Lukislah sebuah segitiga sebarang, misalnya ΔPQR. Kemudian,

lukis lah garis sumbu PQ.

2) Lukislah garis sumbu QR sehingga memotong garis sumbu PQ

di titik O.

3) Hubungkan O dan Q

4) Lukislah lingkaran dengan jari-jari PQ dan berpusat di O.

Lingkaran tersebut merupakan lingkaran luar ΔPQR.


2. Lingkaran Dalam Segitiga

a. Pengertian Lingkaran Dalam Segitiga

Lingkaran dalam suatu segitiga adalah lingkaran yang

berada di dalam segitiga dan menyinggung semua sisi segitiga

tersebut. Titik pusat lingkaran merupakan titik potong ketiga garis

bagi sudut segitiga. Gambar berikut menunjukkan lingkaran

dalam ΔABC dengan pusat O. Diketahui OP = OQ = OR adalah jari-

jari lingkaran. Adapun AD, BE, dan EF adalah garis bagi sudut

segitiga.

b. Melukis Lingkaran Dalam Segitiga

Jika titik pusat lingkaran dalam segitiga adalah titik potong

ketiga garis bagi sudut segitiga tersebut maka hal pertama yang

harus kamu lakukan adalah menentukan titik pusatnya. Kamu tentu

masih ingat bagaimana cara melukis garis bagi sudut segitiga,


bukan? Agar lebih jelas, perhatikan langkah-langkah melukis

lingkaran dalam segitiga, sebagai berikut:

1) Lukislah sebuah segitiga sebarang, misalkan ΔPQR.

Kemudian, lukislah garis bagi ∠P.

2) Lukislah garis bagi ∠Q sehingga memotong garis bagi ∠P di

titik O.

3) Jari-jari diperoleh dengan cara menarik garis tegak lurus dari

titik O ke salah satu sisi segitiga. Misalnya OA, tegak lurus PQ.

4) Lukislah lingkaran dengan jari-jari OA dan berpusat di titik O.

Lingkaran tersebut merupakan lingkaran dalam ΔPQR.


Latihan Soal

1. Perhatikan gambar beikut

Hitung panjang garis singgung AB!

Jawab

Pada ΔOAB berlaku teorema Pythagoras sehingga

, Jadi panjang garissinggung AB adalah 24

2. Pada gambar di samping,

lingkaran O berjari-jari 7 cm dan

lingkaran P berjari-jari 5 cm.

Tentukan panjang garis singgung

persekutuan luar AB.

Jawab :

Dari soal diketahui: AO = R = 7 cm BP = r = 5 cm Kedua lingkaran

bersinggungan di luar sehingga jarak kedua titik pusat lingkaran

adalah

maka

, Jadi panjang garis singgung AB adalah


3. Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah 15

cm dan kedua titik pusatnya terpisah sejauh 17 cm. Jika panjang

jari-jari salah satu lingkaran adalah 3 cm, tentukan panjang jari-jari

lingkaran yang lain.

Jawab :

Panjang garis singgung persekutuan dalam adalah 15 cm maka d =

15 cm.

Jarak kedua titik pusatnya adalah 17 cm maka k = 17 cm.

Panjang jari-jari (R) salah satu lingkaran adalah 3 cm maka R = 3 cm.

, Jadipanjang jari-jari yang lain adalah 5 cm.

4. Gambar di samping menunjukkan

penampang 3 buah paralon yang terikat

rapat oleh seutas tali. Jika ketiga paralon

tersebut memiliki ukuran jari- jari yang

sama, yaitu 14 cm, hitunglah panjang tali

pengikatnya.

Jawab:

Jari-jari = r = 14 cm.

PQ = RS = TU = MN = NO = MO = 2r = 2 × 14 = 28 cm

ΔMNO sama sisi, sehingga ∠MNO = ∠MON

∠OMN = 60˚

∠QNR = ∠SOT = ∠ PMU = 360˚ ∠(∠MNQ + ∠MNO + ∠RNO)

= 360˚ ∠(90˚ + 60˚ + 90˚)

= 360˚ ∠240˚ = 120˚


Sehingga panjang

panjang tali pengikat paralon

Jadi, panjang tali pengikat paralon tersebut adalah 172 cm

5. Berdasarkan gambar di samping, jika

jari-jari lingkaran 9 cm, hitunglah

panjang lilitan minimalnya!

Jawab:

Jari-jari = 9 cm d = 2r = 2 × 9 = 18 cm

Banyaknya garis singgung = n = 4 buah

Panjang lilitan minimal = nd + πd

= 4 × 18 + 3,14 × 18 = 72 + 56,52

= 128,52 cm

Jadi, panjang lilitan minimalnya adalah 128,52 cm.


LKS

(LEMBAR KEGIATAN SISWA)

Apakah ada perbedaan antara garis , , dan ?

Jika ya, apa bedanya?

Garis merupakan garis singgung lingkaran . Berdasarkan uraaian

diatas, apa yang dimaksud garis singgung ligkaran?

l

O

m

A

O

C

A

B

A O

Ya/Tidak

NAMA :.......................................

:.......................................

NO :.......................................

:.......................................


LKS

(LEMBAR KEGIATAN SISWA)

Untuk menentukan panjang garis singgung persekutuan dalam dua

buah lingkaran, kalian dapat menggunakan teorema phytahoras.

Dari gambar diatas terdapat dua buah lingkaran, yaitu lingkaran satu

(L1) yang berpusat di dan lingkarandua (L2 )yang berpusat di

Jari-jari lingkarang yang berpusat di

Jari-jari lingkarang yang berpusat di

Panjang garis singgung persekutuan dalam adalah

Jarak titik pusat kedua lingkarang adalah

NAMA :.......................................

:.......................................

NO :.......................................

:.......................................


Langkah-langkah menentukan panjang garis singgung persekutuan

dalam:

Dengan jarak kedua titik pusat jari-jari lingkarang besar , dan jarak

jari-jari ligkarang kecil r maka dapat diketahui rumus garis singgung

persekutuan dalam adalah:

1. Besar sudut adalah ........................ (Ingat pengertian garis singgung) 2. Garis sejajar dengan garis , sehingga sudut sudut .................. 3. Perhatikan segiempat

Garis .................... dan sudut sudut ............................. Jadi segiempat adalah..............._............... dengan panjang = ........... dan lebar = ...........

4. Perhatikan ! Membentuk ........................... dan sudut dititik ........................

5. Dengan menggunakan teorema phytagoras, maka:

Karena garis sejajar , maka: Panjang Panjang Panjang

GARIS SINGGUNG LINGKARAN · 2016. 12. 31. · Garis Singgung Lingkaran | 3 Langkah 3 Buatlah busur...

Documents

Transcript of GARIS SINGGUNG LINGKARAN · 2016. 12. 31. · Garis Singgung Lingkaran | 3 Langkah 3 Buatlah busur...