TRANSFER FUNGSI DAN MODEL INPUT-OUTPUT

Penggunaan transformasi Laplace memungkinkan kitau ntuk membentuk representasi yang sangatsederhana, lebih mudah dan bermakna dari dinamika proses kimia. Hal ini sederhana karena hanya menggunakan persamaan aljabar(bukan persamaan diferensial, seperti yang kita lihat di BagianII). Ini lebih mudah karena memungkinkan analisis cepat dari dinamika proses dan pada akhirnya, itu sangat penting karena memberikan langsung dalam hubungan antara input(gangguan, variabelyang dimanipulasi) dan output(variabel terkontrol) dari suatu proses.

9.1 Transfer Fungsi Proses dengan satu output

Amati sistem pengolahan sederhana dengan satu input dan satu output(gambar 9.la). Perilaku dinamis dari proses dijelaskan oleh linear n th-order (atau linierisasi nonlinear) persamaan diferensial:

f(t) y(t) f(s) y(t)

input output (a) (b)

Gambar 9.1(a) Single-input, proses single-output; (b) diagram blok

andn yd tn +an−1

dn−1 ydt n−1 +…+a1

dydt

+a0 y=bf (t ) (9.1)

Ketika f(t) dan y(t) adalah input dan output dari proses, berturutan. Keduanya dinyatakan dalam variabel deviasi.

Asumsikan bahwa sistem ini awalnya di steady state. Kemudian

y (0 )=[ dydt ]

t=0

=[ d2 ydt2 ]

t=0

=…=[ dn−1 ydtn−1 ]

t=0

=0 (9.2)

Setelah mengambil transformasi Laplace dari kedua sisi(9.1) dan menggunakan kondisi awal(9.2), kita menemukan bahwa

ȳ (s)f (s )

=G ( s )= ban sn+an−1 sn−1+…+a1 s+a0

(9.3)

G(s) disebut fungsi transfer dari sistem di atas, dan dalam bentuk aljabar sederhana berkaitan output dari proses untuk input(gambar 9.lb). Diagram dari angka 9.lb juga dikenal sebagai diagram blok untuk sistem.

process G(s)

Jika proses memiliki dua input,f1(t) danf2(t), seperti yang ditunjukkan pada gambar 9.2a, model dinamiknya adalah

andn yd tn +an−1

dn−1 ydt n−1 +…+a1

dydt

+a0 y=b1 f 1 (t )+b2 f 2(t) (9.4)

Dengan kondisi awal yang sama(9,2). Form(9.4) kita ambil

ȳ (s )= b

an sn+an−1 sn−1+…+a1 s+a0

f 1(s)

+b

an sn+an−1 sn−1+…+a1 s+a0

f 2(s )

Atau, dengan kata lain,

ȳ (s )=G1 (s ) f 1 (s )+G2 (s ) f 2 ( s ) (9.5)

Dengan,

G1 (s )= b

an sn+an−1 sn−1+…+a1 s+a0

dan

G2 (s )= b

an sn+an−1 sn−1+…+a1 s+a0

G1(s) dan G2(s) adalah dua fungsi transfer yang menghubungan output dari proses untuk masing-masing dari dua input. Jadi G1(s) menghubungkan ȳ(s) ke input pertama f1 (s) dan G2(s) menghubungkan ȳ(s) ke input lain f2(s). Hubungan ini ditunjukkan oleh diagram blok gambar 9.2b. Sebuah prosedur yang sama dapat diterapkan padasistem apapun dengan satu output dan beberapa masukan. Gambar 9.3menunjukkan diagram blok untuk sistem tersebut.

Dari ringkasan dari semua penjelasan diatas, kita dapat menentukan fungsi transfer antara input dan output yaitu sebagai berikut:

Transfer function = G (s)

¿Transformasi ℒ darioutputdalambentukdeviasiTransformasi ℒ dariinput , dalam bentukdeviasi

Keterangan

1. Fungsi transfer memungkinkan pengembangan model input-output sederhana dari itu dibahas dalam bagian5.1

2. Ini menggambarkan sepenuhnya perilaku dinamis dari output ketika perubahan input yang sesuai diberikan. Jadi, untuk variasi tertentu dari f masukan (t), kita dapat menemukan yang mengubah f(s), dan dari (9,7) kita melihat bahwa respon dari sistem ini adalah ȳ(s) = G(s) f (s )

Ambil invers Transformasi Laplace dari G(s) f (s) dan Anda memiliki respon y(t) dalam domain waktu.

3. Untuk menemukan fungsi transfer untuk sistem nonlinear, terlebih dahulu harus linierisasi sekitar steady state dan dinyatakan dalam istilah variabel deviasi.

Contoh 9.1: Transfer Fungsi dari adukan tangki pemanas

Mode lmatematika dari tangki pemanas diaduk dalam hal variabel deviasi dikembangkan dalam Contoh 5.1 dan diberikan oleh persamaan. (5.3):

dT ' ʹdt

+aT ' ʹ=1τ

T ' ʹ1+K T ' ʹ st

Dimana T', T'1, danT'st adalah variabel deviasi, dan

a=1τ+K 1

τ=

F i

VK=

U At

V ρ CP

Ambil transformasi Laplace dari kedua sisi (5.3):

( s+a )T ʹi (s )+K T ʹ st(s )

Atau

T ' ʹ (s )= 1/τs+a

T ʹ (s )+ Ks+a

T ʹst (s)

Penentuan dua fungsi transfer

G1 (s )= T ʹ (s )T ʹi(s) andG2 (s )= T ʹ(s)

T ʹ st(s)

Lalu

T ʹ ( s )=G1 ( s )T ʹ i (s )+G2 T ʹ st(s )

Dan gambar 9.4menunjukkan diagram blok untuk tangki pemanas. G1(s) berhubungan

Dengan suhu cairan dalam tangki dengan yang ada pada aliran inlet, sedangkan G2 (s) berhubungan suhu cairan di dalam tangki dengan yang uap.

Catatan. Bandingkan model input-output yang diberikan oleh persamaan. (9.8) dan mencari 9,4 ke model yang lebih kompleks dikembangkan dalam contoh 5.1 [eq. (5.5) dan mencari 5.2].

9.2 Memindahkan fungsi matriks dari proses dengan banyak output

Amati proses ( Gambar 9.5a ) dengan dua masukan f1(t) dan f2(t), dan dua keluaran y1(t) dan y2(t). Biarkan model matematika diselesaikan dengan 2 persamaan linear differensial, dengan semua variable dalam bentuk penyimpangan :

Kondisi awal adalah :

Gunakan persamaan Laplace untuk mengubah dari kedua sisi eqs (9.9a) dan (i.9b) dan menyelesaikannya dengan y1(s) dan y2 (s). ( untuk rincian prosedur ini, lihat bagian 8.3 dan contoh 8.2 ) Kemudian

P(s) adalah karakteristik polynomial, dijelaskan dengan P(s) = s2 – (a11+a22) – (a12a21 – a11a22). Persamaan (9.10a) dan (9.10b) dapat ditulis sebagai berikut :

Dimana transfer fungsi G11, G12, G21, dan G22 yang didefinisikan sebagai berikut( dari persamaan 9.10a dan 9.10b )

Blok diagram dari system ditampilkan dalam persamaan 9.5b

Keterangan :

Persamaan (9.11a) dan (9.11b) dapat ditulis sebagai berikut dalam sebuah notasi matriks :

Matriks dari fungsi transfer ini disebut dengan matrix fungsi transfer

Untuk sistem dengan dua masukan dan dua keluaran, seperti yang dibahas diatas, kita punya fungsi transfer 2x2=4 untuk menguhubungkan semua keluaran untuk semua masukan. Untuk proses ini M sebagai masukan dan N sebagai keluaran, kita akan mempunyai N xM sebagai

fungsi transfer atau fungsi transfer matrik dengan baris N (jumlah keluaran ) dan M kolom ( jumlah masukan ).

Contoh 9.2 Memindahkan fungsi dengan sebuah CSTR

Dalam contoh 6.4 kami mengembangkan model linear yang diaduk tank reactor dalam hal penyimpangan variable , diberikan oleh persamaan 6.36 dan 6.37 . Setelah menyusunnya dalam persamaan ini, kita dapat mengambil :

Menyederhanakan notasi yang digunakan dengan menetapkan :

Lalu persamaan (9.13a) dan (9.13b) menjadi :

Kondis iawal :

Ambil persamaan Laplace ubah dari persamaan 9.14a dan9.14b :

Untuk menyelesaikan Ca (S) dan T(S) dan mengambilpersamaan :

Dimana P(s)= s2 – (a11+a22) – (a12a21 – a11a22).

Dalam sebuah bentuk matrik persamaan 9.15a dan 9.15b ditulis sebagai berikut :

Pada table 9.1 kita melihat enam fungsi transfer sesuai dengan CSTR. Ini dapat diturunkan dengan mudah dari persamaan 9.15a dan 9.15b. Fungsi transfer matrik ini adalah nonsquare, karena jumlah masukan tidak sama dengan jumlah hasil :

Fungsi transfer matriks :

Gambar 9.6 menampilkan masukan-keluaran model untuk CSTR pada bentuk blok diagram

9.3. Nilai tak hingga dan nol pada fungsi transfer

Menurut definisi fungsi transfer, memiliki persamaan :

y (s )f (s)

=G (s )

Secara umum fungsi transfer akan menjadi rasio dua polinomial(suku banyak),

G (s )=Q(s)P(s)

Satu-satunya pengecualian adalah system dengan penundaan waktu yang memperkenalkan istilah eksponensial. Untuk realisasi fisik sistem, polinomial Q (s) akan selalu menjadi susunan yang lebih rendah daripada polynomial P(s). Alasan akan menjadi jelas dalam bab-bab berikutnya. Untuk waktu, Semua contoh yang kita telah membahas memuaskan pembatasan ini.

Akar polinomial Q(s) disebut fungsi transfer nol , atau sistem nol yang dinamis dijelaskan oleh fungsi transfer G(s). Ketika variabel s mengambil sebagai nilai-nilai nol G(s), transfer fungsi menjadi nol.

Akar polinomial P(s) disebut fungsi transfer tak hingga, atau ekuivalen, sistem tak hingga. Di sIstem tak hingga fungsi transfer menjadi tanpa batas.

Sistem takhingga dan system nol memainkan peran penting dalam analisis dinamis sistem dan desain efektif pengendalian proses. Seperti kita lanjutkan, kegunaan mereka akan menjadi lebih jelas.

Contoh9.3 : nilai tak hingga dan nol pada adukann tangki pemanas.

model input-output tangki pemanas dikembangkan dalam contoh, dan dirumuskan:

T ' ( s)=G1 ( s) T '1(s)+G2(s )T

'st(s)

Fungsi transfer G adalah:

G1(s)=

1τ

s+a

Tidak ada nilai nol dan satu nilai tak hingga pada saat s =-a. Demikian pula fungsi transfer G, yang dirumuskan dengan:

G2=K

s+a

Tidak ada nilai nol dan satu nilai tak hingga pada saat s =-a. Perhatikan bahwa dua fungsi transfer memiliki nilai tak hingga yang umum.

Contoh 9.4 :nilai tak hingga dan nol pada CTSR

Fungsi transfer sesuai dengan CSTR dikembangkan dalam contoh 9.2 dan diringkas dalam tabel 9.1. Semua 6 fungsi transfer memiliki denominator umum,

P (s )=s2+( a11+a22) s+(a11 a22−a12 a21)

Dan juga nilai tak hingga pada umumnya. Karena polinominal P urutan kedua, sistem memiliki dua nilai tak hingga , yang dirumuskandengan:

p1,2=−(a11+a22)±√(a¿¿11+a22)

2+4 a12a21

2¿

Sehubungan dengan nilai nol, 6 fungsi transfer berbeda.

G12 (s), G13 (s) dan G21(s) tidak punya nol

G22 (s) dan G23 (s) memiliki satu nol Umum s =-a

G11 (s) punya satu no lpada s =-a22

9.4 Analisis Kualitatif dari Respon Suatu Sistem

Respon dinamis y output diberikan oleh

y (s )=G (s ) f (s)

untuk diberikan masukan f(t) kita dapat denagn mudah menemukan transformasi laplacenya f (s), sementara fungsi transfer G(s) dikenal untuk sistem tertentu. Oleh karena itu, tanggapan y(t) dalam waktu domain dapat ditemukan jika kita balikkan istilah G(s) f (s).

Selanjutnya secara umum,

G (s )=Q(s)P(s)

Sementara itu transformasi Laplace dari semua input umum juga dapat dinyatakan sebagai rasio dari dua polynomial(lihat contoh pada bab 7 dan 8 seperti halnya pada table .1 dan 8.1):

f ( s )= r (s)q(s)

Akibatnya,

y (s )=Q (s ) r (s )P (s ) q(s)

(9.16)

untuk membalikkan sisi kanan (9.16) menggunakan metode pecahan parsial, kita perlu tahu akar P(s) polinomial dan akar q(s) polinomial. Syarat-syarat yang dihasilkan dari inversi oleh pecahan parsial unik dicirikan oleh sistem nilai tak hingga dan akar q(s). Oleh karena itu, jika kita tahu mana tempat sistem tak hingga, kita dapat menentukan karakteristik kualitatif dari tanggapan sistem masukan tertentu, tanpa tambahan perhitungan.

Mari kita gunakan contoh umum berikut untuk memperjelas pernyataan di atas. Anggaplah bahwa fungsi transfer sistem yang diberikan oleh:

Dimana p1, p2, p3, p4, p4¿ dan p5 adalah akar P(s) (lihat gambar 9.7). Perluasan parsial pecahan

G(s) akan menghasilkan persyaratan berikut ini:

Pengamatan berikut dapat dilakukan untuk lokasi nilai tak hingga:

1. nilai tak hingga nyata, berbeda, seperti p1 dan p2, terletak pada sumbu nyata (gambar 9.7).

Selama inversi, mereka menimbulkan exponential terms seperti C1ep1t dan C2ep2t. Sejak p1 < 0 C1ep1t meluruh secara eksponensial ke nol sebagai t→ ∞ (gambar 9.8a). Dan juga, karena p2 > 0 C2ep2t tumbuh secara eksponensial hingga tak terbatas dengan waktu (gambar 9.8b). Oleh karena itu, nilai-nilai tak hingga yang berbeda pada sumbu nyata negatif menghasilkan istilah yang pembusukan nol dengan waktu, sementara nilai tak hingga nyata yang positif membuat respon sistem bertumbuh kearah waktu tanpa batas.

2. beberapa nialai tak hingga nyata, seperti p3, yang diulang sebanyak m kali. Nilai tak hingga tersebut menimbulkan istilah seperti:

Istilah dalam tanda kurung tumbuh ke arah tanpa batas waktu. Perilaku istilah eksponensial tergantung pada nilai p3 tak hingga:

Jika p3 > 0 maka ep3t → ∞ sebagai t→ ∞

Jika p3 < 0 maka ep3t → 0 sebagai t→ ∞

Jika p3 = 0 maka ep3t = 1 untuk semua waktu.

Oleh karena itu, beberapa nilai tak hingga nyata menimbulkan istilah yang baik tumbuh tanpa batas jika nilai tak hingga positif atau nol, atau kerusakan ke nol jika nilai tak hingga negatif.

3. konjugat kompleks tiang, seperti p4 dan p4¿. Kami harus menekankan bahwa nilai tak hingga

yang kompleks selalu muncul di konjugat pasang dan tidak pernah sendirian. Biarkan p4 = α + jβ

dan p4¿=α− jβ . Dalam bagian 8.2 kita telah melihat pasangan konjugat kompleks akar

menimbulkan istilah-istilah seperti eαt sin (βt+∅ ). Sin (βt+∅ ) adalah periodik, fungsi

berosilasi, sementara perilaku eαt tergantung pada nilai bagian yang nyata. Dengan demikian:

- Jika α >¿ 0, maka eαt → ∞ sebagai → ∞ dan eαt sin (βt+∅ ) tumbuh hingga tak terbatas secara

berosilasi (gambar 9.9a)

- Jika α <0, maka eαt → 0 sebagai t→ ∞ dan eαt sin (βt+∅ )kemudian meluruh menjadi Nol secara

berosilasi dengan amplitudo yang terus menurun (gambar9.9b) - Jika α=0, makaad = 1 untuk setiap saat, dan ead sin(βt +Ѳ) = sin(βt +Ѳ), yang berosilasi terus menerus(gambar9.9c) dengan amplitudo konstan.

Oleh karena itu, sepasang tiang konjugat kompleks menimbul kanosilasi, yang amplitudo dapat tumbuh terus menerus jika bagian nyata dari nilai tak hingga kompleks positif, penurunan ke nilai nol jika negatif, atau tetap tidak berubah jika bagian nyata dari nilai tak hingga adalah nol. 4. Nilai tak hingga di awal : nilai tak hingga p5 terletak pada asal bidang kompleks. Oleh karena itu, C5/(s-p5) =C5/s dan setelah inversi memberikan istilah konstan C5.

Keterangan1.pengamatan di atas bersifat umum dan dapat diterapkan pada sistem apapun. Dengan demikian kita dapat menemukan karakteristik kualitatif dari respon sistem jika kita tahu di mana niali tak hingga dari fungsi transfer yang sesuai berada. Hal ini jelas bahwa untuk masukan tertentu kita harus mempertimbangkan akar tambahan yang diperkenalkan oleh penyebut dari f(s), sebelum kita dapat memiliki gambaran lengkap dari respon kualitatif dari suatu sistem.

2. Nilai tak hingga di sebelah kanan sumbu imajiner memberikan persyaratan kenaikan yang tumbuh hingga tak terbatas dengan waktu. Sistem tersebut dengan perilaku tak terbatas disebut tidak stabil. Oleh karena itu, sistem akan stabil jika semua kutub dari fungsi transfer berlokasi di sebelah kiri sumbu imajiner(gambar9.7). dalam bab-bab selanjutnya kita akan menentukan lebih tepatnya stabilitas sistem.

Hal yang perlu dipikirkan

1. Tentukan fungsi transfer. Mengapa hal ini berguna? 2. Untuk proses dengan empat input(gangguan dan variabel dimanipulasi) dan tiga output diukur, berapa banyak fungsi pengalihan harus Anda rumuskan, dan mengapa? Apa yang sesuai fungsi transfer matriks? 3. Pada bagian 5.1kita mengembangkan berbagai jenis model input-output. Apakah Anda lebih suka yang lebih modelinput-output berdasarkan konsep fungsi transfer? Uraikan jawaban Anda. 4. Apa yang dimaksud diagram blok dari suatu proses? Jenis informasi apakah yang disampaikan?

5.Persamaan (4.4a) dan (4.5b) merupakan model matematika lengkap adukan tangki pemanas. Mengembangkan model input output untuk memproses dengan merumuskan fungsi transfer yang diperlukan. Gambarkan diagram blok yang sesuai. Analisis interaksi antara input danoutput. Apa yang Anda amati? (Petunjuk: mulai dengan melinierisasi persamaan pemodelan dan mengekspresikan variabel dalam bentuk penyimpangan.) 6. Gambarkan diagram blok dari kolom distilasi yang ditunjukkan pada Gambar 4.10. dapatkah Anda mengembangkan analitis fungsi pengalihan di antara berbagai input dan output? Jika ya, jelaskan bagaimana, tapi jangan dilakukan.

7. Pertimbangkan tangki pemanas yang diaduk dari contoh9.1. apakah sistemnya stabil atau tidak, dan mengapa? Untuk nilai-nilai parameter α, τ, dan K adalah stabil? Bisakah menjadi tidak stabil? 8. Apakah lokasi nol dari sistem mempengaruhi respon terhadap input eksternal? Uraikan jawaban Anda. 9. Ulangi pertanyaan 8, tetapi mengambil lokasi sistem nilai tak hingga ke sistem. 10. Tunjukkan bahwa sistem nilai tak hingga 2x2 juga nilai-nilai eigen dari matriks kofisiennya konstan dalam model dinamis dari sistem. 11. Dalam kondisi apa yang bisa CSTR contoh9.2 menjadi tidak stabil? 12. Beberapa nilai tak hingga P3 yang diulang m kali menimbulkan istilah seperti yang diberikan dalam (9.18). Istilah didalam kurung tumbuh menuju batas dengan waktu, terlepas dari mana p3 berada. Kemudian Jelaskan, mengapa istilah keseluruhan(9.18) menurun ke nol ketika p3 terletak pada sumbu negatif?