FUNGSI HARMONIK

Definisi Fungsi Harmonik

Fungsi riil H (x , y) yang mempunyai turunan parsial orde 1 dan 2 yang kontinu dan

memenuhi persamaan Laplace H xx(x , y )+H yy(x , y )=0 disebut fungsi Harmonik.

Dimana : u adalah fungsi harmonik sekawan v dan v adalah fungsi harmonik sekawan dari u .

Teorema 1 :

Jika fungsi f ( z )=u ( x , y )+ iv(x , y) adalah analitik di “domain” D, maka komponen fungsi u

dan v harmonik di D.

Dalam D berlaku persamaan Cauchy Riemann yaitu : ux=v y dan uy=−v x. Karena derivatif-

derivatif parsial dari u dan v kontinu dalam D, maka berlaku : vxy=v yx dan uxy=u yx. Jika

dalam persamaan Cauchy Riemann tersebut diderivatifkan parsial terhadap xdan y, maka

untuk setiap (x , y ) di D berlaku :

uxx+uyy=0

vxx+v yy=0

Teorema 2 :

fungsi f ( z )=u ( x , y )+ iv(x , y) adalah analitik di “domain” D jika dan hanya jika v “harmonic

conjugate” atau harmonik sekawan di u.

Definisi Fungsi Harmonik Sekawan

Misalkan f ( z )=u ( x , y )+ iv(x , y). V disebut fungsi harmonik sekawan dari u jika u dan v

adalah fungsi harmonik.

Contoh :

1. Misalkan u ( x , y )= y3−3 x2 y. Tentukan fungsi harmonik sekawan dari u !

Penyelesaian:

- Langkah 1 : Mencari turunan parsial uterhadap x dan y.

Maka diperoleh ux=−6 xy dan uy=3 y2−3x2 .

Menurut persamaan cauchy – Riemann : ux=v y dan uy=−v x, sehingga diperoleh :

ux=−6 xy=v yuy=3 y2−3x2=−v x→v x=−(3 y2−3 x2)

Kita dapat memulai dari salah satu persamaan vx atau v y. Misalkan akan mulai dari

persamaan v ymaka v y ( x , y )=−6 xy .

- Langkah 2 : Menghitung v (x , y ) dengan cara mengintegralkan v y ( x , y ).Sehingga diperoleh v ( x , y )=∫ (−6 xy )dy=−3 xy2+h(x )

- Langkah 3 : Menurunkan v ( x , y ) terhadap x , setelah itu disubstitusi ke uy=−vx (syarat persamaan Cauchy-Riemann)

vx ( x , y )=−3 y2+h' ( x )Substitusi sehingga diperoleh : 3 y2−3 x2=−3 y2+h' (x )

3 y2−3 x2=−[−3 y2+( x )]3 y2−3 x2=3 y2−h' ( x )3 y2−3 y2=3 x2−h' ( x )h' ( x )=3 x2→h (x )=x3+c

- Langkah 4 : Masukkan h ( x )ke dalam v ( x , y ) yang sudah didapat

Maka diperoleh : v ( x , y )=−3 xy2+ x3+c

Dapat disimpulkan bahwa v ( x , y )=−3 xy2+ x3+cmerupakan fungsi harmonik

sekawan dari u