osilator harmonik kuantum

Osilator Harmonik Kuantum Telah digambarkan sebelumnya dalam Bagian 8.2 dari penyelesaian persamaan stasioner Schrodinger untuk partikel dalam potensial persegi dengan baik, di mana V (x) memiliki Struktur sederhana khusus (tahapan fungsi). Sekarang, kita akan menampilkan solusi dari persamaan Schrodinger untuk masalah serupa, tetapi dengan V (x) sangat tergantung pada x, Gambar. 27, seperti:

Ini yang disebut dengan potensial osilator harmonik.

Gambar 27: Potensial osilator harmonik. Dalam satu dimensi, osilasi Hamiltonian dari massa m diberikan oleh:

Dimana

adalah energi kinetik dan

adalah energi potensial dari massa.

Fisika Kuantum (Osilator Harmonik)

Kita akan menemukan energi (nilai eigen) dan fungsi eigen dari osilator harmonik dengan memecahkan persamaan stasioner Schrodinger (persamaan eigen) untuk osilator harmonik menggunakan dua pendekatan yang berbeda. Terlebih dulu, kita akan memecahkan persamaan dengan menggunakan teknik Operator aljabar yang didasarkan pada notasi Dirac. Pendekatan ini memiliki beberapa keuntungan dan memanfaatkan hubungan pergantian di antara operator yang dilibatkan dan sifat mereka. Dalam pendekatan kedua, kita akan mengubah persamaan stasioner Schrodinger ke persamaan yang berbeda di orde kedua, dan akan ditemukan solusi persamaan ke dalam fungsi khusus. 14.1 Teknik Operator Aljabar Teknik Operator aljabar didasarkan pada hubungan pergantian dua matriks Hermitian operator yang termasuk dalam perubahan dari osilator harmonik: posisi dan momentum

Kami akan memperkenalkan Operator non-Hermitian sebagai:

dan adjoin dari operator ini

Menggunakan hubungan pergantian (491), kita menemukan bahwa operator hubungan komutatif:

ditampilkan


Hal ini memungkinkan kita untuk menulis Hamiltonian

dalam bentuk yang serupa:

Oleh karena itu, persamaan nilai eigen

Bisa ditulis dengan:

Mengalikan Persamaan (497) dari kiri oleh dapatkan:

, dan menggunakan normalisasi

kita

Sehingga:

Kita mendapatkan:

Dengan

demikian,

energi dari

osilator harmonik kuantum tidak

pernah

bernilai nol.

Dari Pers. (497), kita bisa menghasilkan sebuah persamaan nilai eigen baru ini dengan mengalikan persamaan dari kiri:


Menggunakan hubungan komutatif (494), kita dapat menulis persamaan. (501) sebagai:

Menambahkan kedua ruas

kita peroleh:

Memperkenalkan notasi dengan nilai eigen Dengan demikian, operator menuju keadaan creation operator. energy

kita melihat bahwa

adalah fungsi karakteristik dari

bekerja pada

keadaan energi E transformasi dari keadaan ini disebut raising operator atau

. Oleh karena itu, operator

Sekarang, kita mengalikan Persamaan. (503) dari kiri oleh

, Kita memperoleh:

Proses yang sama seperti di atas, kita mendapatkan:

Dengan demikian, keadaan eigen

adalah fungsi karakteristik dari

dengan nilai


Demikian pula, kita dapat menunjukkan bahwa keadaan eigen dari dengan nilai eigen

adalah sebuah fungsi

Sekarang, pertimbangkan perlakuan operator Perhatikan persamaan nilai eigen untuk

pada fungsi eigen dan nilai eigen.

Mengalikan persamaan (506) dari kiri dengan

, kita dapatkan:

Dan dengan menggunakan hubungan komutatif (494), kita dapatkan:

Oleh Karenanya:

Dengan demikian, keadaaan eigen Oleh karena itu, operator Misalkan bahwa keadaan

merupakan fungsi karakteristik dari

dengan nilai

disebut lowering operator atau annihilation operator. dari energi E adalah keadaan terendah (dasar) osilator

harmonik . Dengan demikian, spektrum energi (nilai eigen), ditunjukkan


Gambar 28.Spektrum energi dari osilator harmonik Pada Gambar. 28, bentuk tangga tingkat dengan spasi yang sama dipisahkan oleh dimana satu kenaikan dipengaruhi oleh dan satu turun dipengaruhi oleh . kuantum

osilator harmonik memiliki spektrum energi diskrit. Pertimbangkan pengaruh pada keadaan dasar

Persamaan ini tidak dapat dipenuhi. Jika tidak akan ada nilai lain eigen dari E. Jadi, harus identik dengan nol:

lebih rendah

Oleh karena itu, persamaan nilai eigen untuk keadaan dasar adalah

Dengan demikian, energi (nilai eigen) dari keadaan dasarnya adalah Kita dapat meringkas bahwa energi nilai eigen dari harmonik osilator adalah diskrit. Fisika Kuantum (Osilator Harmonik)

dengan fungsi eigen yang sesuai

Dari persamaan di atas, yang dimulai dengan

, kita dapat memperoleh set lengkap vektor pada bentuk eigen

eigen dari osilator harmonik dengan berulang kali menerapkan operator

. Bagaimanapun bentuk eigen ditemukan pada hal ini dengan tidak normal. Proses

normalisasi dari

memberikan :

Dengan menggunakan hubungan komutif

( Pembuktian oleh induksi memberikan petunjuk tentang permaslahan pada siswa) Kita dapan melanjutkan persamaan (515) dengan mereduksi ke

Jadi, fungsi eigen yang normal dari osilator harmonik adalah :


Persamaan (519) menunjukkan bahwa sebuah fungsi eigen dapat disimpulkan dari fungsi eigen bentuk dasarnya dengan n kali mengulangi penghitungan dengan operator eigen dari osilator harmonik. Ini merupakan solusi lengkap dari permasalahan. Hal ini menunjukkan hubungan komutatif (499) yang semua kita perlukan untuk memecahkan permasalahan osilator harmonik dengan lengkap. Untuk setiap jalan yang efektif kita mencari struktur penting tentang masalah nilai-nilai eigen dan vektor eigen dari harmonik osilator. Menggunakan definisi bentuk dasar (511), kita mungkin menemukan bentuk eksplisit dari fungsi dasar eigen. Menggantikan menggunakan bentuk eksplisit dari kita peroleh dari Persamaan. (492) dan . Jadi hal tersebut

cukup untuk mengetahui fungsi eigen dalam bentuk dasarnya untuk menemukan semua fungsi

Dengan bentuk sederhana

Dimana Sehingga


Integrasikan persamaan (522) kita peroleh

Jadi fungsi gelombang dari bentuk dasar adalah Gaussian. Fungsi gelombang lain dapat ditemukan dari hubungan

dari bentuk

Menggunakan definisi

dari persamaan (493) kita temukan

dalam bentuk posisi x :

Dari persamaan (521) kita ketahui bahwa

Sehingga

Dengan bentuk yang sama kita peroleh

Kita dapat perkenalkan parameter baru yaitu : Fisika Kuantum (Osilator Harmonik)

Dan dapat ditulis persamaan gelombang sebagai

Dimana

adalah polinomial Hermit dengan derajat n .

Yang pertama adalah beberapa polynomial Hermite

Polinomial Hermite memenuhi persamaan diferensial sebagai berikut :

Gambar 29: nilai eigen energi Pertama dan fungsi eigen dari osilator harmonik. Pertimbangkan osilator harmonik dalam keadaan dasar menggunakan representasi klasik energi, dengan fungsi Fisika Kuantum (Osilator Harmonik)

Karena,

partikel harus dibatasi ke x posisi, seperti

Yakni

Nilai maksimum dari

disebut titik balik klasik.

Karena fungsi gelombang tidak terbatas pada , lihat pada gambar 29, mekanika kuantum dapat memprediksi bahwa osilator harmonik dapat diklasifikasikan pada bagian terlarang. 14.2 Metode Fungsi Khusus

Kami akan menyelesaikan solusi dari persamaan nilai eigen dari osilator harmonik, kali ini dengan menggunakan persamaan Schrdinger stasioner dalam bentuk persamaan diferensial di orde kedua. Titik awal persamaan Schrdinger stasioner untuk osilator harmonik dengan Hamiltonian adalah dalam bentuk

Karena dalam satu dimensi,

persamaan Schrodinger (nilai eigen) mengambil bentuk

atau mengalikannya dengan diferensial orde kedua

dan membaginya denga

, kita memperoleh persamaan


Ini bukan sebuah persamaan diferensial linear, dan tidak mudah untuk mendapatkan solusi. Kita bisa melanjutkan dengan cara berikut. Dengan memperkenalkan variabel baru

kita dapat menulis persamaan. (540) dalam bentuk sederhana

Terlepas dari sulit, kita akan mencoba untuk memecahkan persamaan diferensial (542). Yang pertama, kita akan menemukan solusi dari Persamaan. (542) dalam batas asimtotik besar . Dalam batas ini, kita dapat mengabaikan bentuk sebagai kecil dibandingkan dengan dan memperoleh

Solusi persamaan (543) adalah dalam bentuk

di mana C adalah konstanta.

Oleh karena itu, kita akan mencoba untuk menemukan solusi dari Persamaan. (542) dalam bentuk

yaitu dalam bentuk solusi yang menujukkan asimtotik (544).

Dengan mensubstitusikan Persamaan. (545) ke dalam Pers. (542), kita mendapatkan


Memperkenalkan variabel baru

, dan sebuah fungsi baru

untuk yang

persamaan diferensial (546) diubah ke

Persamaan ini identik dengan persamaan diferensial untuk polinomial Hermite,dengan

di mana n adalah integer.

Dengan demikian, fungsi dari gelombang osilator harmonik berbentuk

dimana N adalah konstanta normalisasi.

Karena n adalah integer, kita menemukan persamaan dari Pers. (549) dan (541) bahwa energi nilai eigen E adalah

Singkatnya, solusi dari persamaan Schrdinger diberikan dalam bentuk diferensial dalam sempurnanya dengan hasil yang diperoleh oleh teknik operator aljabar.


osilator harmonik kuantum

Documents

Transcript of osilator harmonik kuantum