Fungsi HarmonikOleh : Kelompok 5

Farid Sugiono 070210191156Akhmad Mukhlis 070210191154M. Sidik Yusuf 070210191157M. Sofyan Hadi 070210191140Malihur Rohma 070210191143Martha Citra D. 070210191161

#

Fungsi Harmonik f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada D maka u dan

v mempunyai derivatif parsial di semua orde

yang kontinue pada D. Jadi dalam D berlaku C-R ,

ux = vy dan uy = –vx

Karena derifatif-derivatif parsial dari u dan v

kontinue dalam D, maka berlaku vxy = vyx. Jika

dalam ux = vy dan uy = –vx diderivatifkan parsial

terhadap x dan y maka (x,y) D berlaku

uxx + uyy = 0

vxx = vyy = 0

#

Jika f analitik pada D maka u dan v pada D

memenuhi persamaan differensial Laplace

dalam 2 dimensi.

u dan v dimana f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada

suatu domain maka f(z) harmonik pada domain

tersebut.

0yx 2

2

2

2

#

Dua fungsi u dan v sedemikian sehingga

f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik dalam suatu

domain dinamakan Dua Fungsi yang

Harmonik Konjugat dalam domain itu.

Suatu fungsi 2 peubah (riil) yg memenuhi

pers. Laplace disebut fungsi Harmonic

(u,v:harmonic function)

u : fungsi sekawan harmonis v

v : fungsi sekawan harmonis u

#

#

#

#

#

#

#

Contoh 3

Diberikan u(x,y) harmonik pada D dan tentukan fungsi v

yang harmonik konjugat dengan u = 4xy3 – 4x3y, (x,y) ℂ

Jawab :

Misal diklaim konjugatnya adalah v(x,y)

jadi f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada ℂ sedemikian

sehingga berlaku C-R ux = vy dan uy = -vx

ux = 4y3 – 12x2y vy = 4y3 – 12x2y

uy= 12xy2 – 4x3 v= y4 – 6x2y2 + g(x)

karena vx = –uy maka –12xy2 + g’(x) = –12xy2 + 4x3

sehingga

g’(x) = 4x3 diperoleh g(x) = x4 + C

Jadi v = y4 – 6x2y2 + x4 + C

#

Cara Milne ThomsonCara yang lebih praktis menentukan fungsi harmonik

konjugat atau dari fungsi harmonik u diberikan u(x,y)

harmonik pada D andaikan v(x,y) sehingga

f(z) = u(x,y)+ iv(x,y) analitik pada D

f”(z) = ux(x,y) + ivx(x,y)

sesuai persamaan C-R : f”(z) = ux(x,y) – iuy(x,y)

z = x + iy dan = x – iy sehingga diperoleh

i

zzydan

zzx

22

i2zz,

2zz

i2zz,

2zzf(z) =

ux – iuy

z

#

Suatu identitas dalam z dan , jika diambil =

z maka

f’(z) = ux(z,0) – iuy(z,0)

Jadi f(z) adalah fungsi yang derivatifnya ux(z,0) –

iuy(z,0) kemudian didapat v(x,y)

z z

#

Contoh 5

Dari Contoh 3 dengan u= 4xy3 – 4x3y, (x,y) ℂ, jika

diselesaikan dengan menggunakan cara Milne Thomson.

Jawab :

ux = 4y3 – 12x2y

uy= 12xy2 – 4x3

f’(z) = ux(z,0) – iuy(z,0)

= –i(– 4z3)

= 4iz3

sehingga f(z) = iz4 + C

f(z) = i(x + iy)4 + C

= 4xy3 – 4x3y + i(x4 – 6x2y2 + y4) + C

#

Thankz