35

BAB II

FUNGSI ANALITIK

Sekarang kita akan mempelajari fungsi dari variabel kompleks dan pengembangannya

dalam teori differensial. Sebagai awal dari bab ini kita mulai dari fungsi analitik, yang

mana sangat berperan dalam analisis kompleks.

9. FUNGSI DARI SUATU VARIABEL KOMPLEKS

Misalkan S suatu himpunan bilangan kompleks. Suatu fungsi f yang didefinisikan pada S

adalah suatu aturan pengaitan setiap z di S dengan tepat satu bilangan kompleks w .

Bilangan w disebut nilai dari f di z dan dinotasikan dengan f (z); yaitu w = f(z). Himpunan

S disebut daerah definisi dari f.

Tidak selalu tepat untuk menggunakan notasi yang berbeda diantara suatu fungsi

yang diberikan dan nilainya. Sebagai contoh, jika f didefinisikan pada setengah bidang

Re z>0 yang berarti bahwa persamaan w=z

1, berhubungan dengan fungsi w=

z

1, atau

secara sederhana fungsiz

1, dimana Re z > 0.

Akan ditegaskan bahwa daerah definisi dan suatu aturan yang dibutuhkan dalam

urutan untuk fungsi terdefinisi. Jika daerah definisi tidak disebutkan secara khusus maka

kita mengambil himpunan yang paling besar sehingga fungsi tersebut tedefinisi dengan

baik. Selanjutnya, jika kita hanya mengatakan dari fungsiz

1maka daerah definisinya

adalah himpunan dari semua titik yang tidak nol dalam bidang.

Misalkan bahwa w=u+iv adalah nilai dari suatu fungsi f di z= x+iy , sehingga u+iv

= f(x+iy). Setiap bilangan real u dan v tergantung pada variabel real x dan y, dan dari sini

bahwa f(z) dapat diekspresikan dalam bentuk suatu pasangan dari fungsi bernilai real dari

variabel x dan y :

(1) f(z)=u(x,y)+iv(x,y).

36

Jika koordinat polar r dan , sebagai pengganti dari x dan y untuk digunakan , maka

u+iv = f(rei ),

dimana w =u+iv dan z = (rei). Dalam kasus ini , kita tulis

(2) f(z)=u (r,)+iv(r,).

Contoh : Jika f(z)= z2 , maka f(x+iy)=(x+iy)2 = x2 –y2 +i2xy.

Jadi u (x,y)=x2 –y2 dan v(x,y)= 2xy.

Jika kita menggunakan koordinat polar, f(rei )= (rei)2=r2 ei2=r2cos 2+ir2sin 2.

Akibatnya ,

u(r,) =r2cos2 dan v(r,)=r2sin 2.

Jika, dalam persamaan (1) atau (2), fungsi v adalah selalu sama dengan nol, maka bilangan

f(z) adalah selalu real. Sebagai contoh suatu fungsi yang bernilai real dari variabel

kompleks adalah

f(z)= 0222iyxz .

Jika n = 0 atau suatu bilangan bulat positif dan jika a0, a1, a2, …., an adalah

konstanta kompleks dengan an0, maka fungsi

P(z)=a0+a1z+ a2z2+…+anz

n

adalah suatu polinom yang berderajat n. Perlu dicatat bahwa penjumlahan dari sejumlah

hingga suku-suku di atas daerah definisinya adalah seluruh bidang z. Pembagian P(z)/Q(z)

dari polinom adalah disebut fungsi rasional disetiap titik z dengan Q(z) 0. Polinom dan

fungsi rasional merupakan fungsi elementer, tetapi sangat penting dalam kelas fungsi dari

suatu variabel kompleks.

Perumuman dari konsep fungsi adalah aturan pengaitan paling banyak satu nilai dari

setiap titik z didaerah definisinya. Fungsi bernilai banyak terjadi dalam teori fungsi dari

variabel kompleks, demikian juga dalam kasus variabel real. Jika fungsi bernilai banyak

dipelajari, harus selalu satu dari nilai yang mungkin setiap titik yang diambil, dalam

kesimetrian, dan suatu fungsi (bernilai tunggal) adalah dikonstruksi dari fungsi bernilai

banyak. Sebagai contoh, misalkan bahwa z adalah suatu bilangan kompleks tak nol z = rei.

37

Kita ketahui dari bahagian 7 bahwa z1/2 mempunyai dua nilai yaitu 221

i

erz , dimana

adalah nilai utama (-<) dari arg z. Tetapi, jika kita hanya memilih nilai positif dari

r dan ditulis 2

i

erzf (r>0, -<<), terlihat bahwa ini merupakan fungsi (bernilai

tunggal) f adalah terdefinisi dengan baik pada daerah yang diberikan. Dimana nol adalah

hanya mempunyai akar kuadrat nol, kita juga menulis f(0) = 0. Fungsi f adalah terdefinisi

dengan baik pada daerah yang terdiri dari seluruh bidang kompleks kecuali sepanjang =

, yakni pada sumbu real negatif.

10. PEMETAAN.

Sifat dari fungsi bernilai real dari variabel real adalah fungsinya selalu dapat digambarkan

dengan grafik. Tetapi jika w =f(z), dimana z dan w adalah bilangan kompleks, tidak selalu

sederhan digambarkan dengan grafik sebab setiap bilangan z dan w berada dalam bidang

yang lebih besar dari pada garis. Salah satu cara bagaimana menggambarkannya adalah

dengan mengindikasi setiap pasang titik z = (x,y) yang berhubungan dengan titik w = (u,v).

Disini pada umumnya kita menggambarkan bidang z dan w secara terpisah.

Jika fungsi f dilakukan dengan cara ini, maka selalu dihubungkan dengan pemetaan,

atau transformasi. Bayangan dari titik z dalam daerah definisi S adalah titik w = f(z), dan

himpunan semua bayangan dari semua titik dalam himpunan T yang termuat dalam S

disebut bayangan dari T. Bayangan dari seluruh daerah definisi dari S disebut range dari f.

Bayangan invers dari suatu titik w adalah himpunan semua titik z dalam daerah definisi

dari f yang mempunyai pasangan bayangan w. Bayangan invers suatu titik boleh memuat

hanya satu titik, beberapa titik, atau tidak sama sekali. Kasus ini terjadi jika w bukan

merupakan range dari f.

Bentuk translasi, rotasi, dan pencerminan adalah digunakan untuk menyampaikan

karateristik geometri dari pemetaan tertentu. Dalam kasus ini, kadang-kadang tepat untuk

digambarkan z dan w dalam bidang yang sama. Sebagai contoh, pemetaan

w = z + 1 = (x+1) + iy,

38

Dimana z = x + iy, dapat ditentukan melalui suatu translasi dari setiap titik z satu satuan

kekanan. Karena i = ei/2, maka pemetaan

w = iz =

2exp

ir ,

dimana z = rei, rotasi pada jari-jari vektor untuk setiap bilangan kompleks tak nol terus

kekanan sudut titik asal yang berlawanan dengan arah jarum jam; dan pemetaan

w = z =x – iy

adalah transformasi setiap titik z = x + iy kedalam pencermianan terhadap sumbu x.

Informasi umum yang digunakan dalam menggambar bayangan dari suatu kurva

dan daerah yang lebih sederhana adalah mengindikasi bayangan titiknya satu persatu.

Dalam contoh berikut, kita ilustrasikan ini dengan transformasi w = z2.

Contoh 1. Dari contoh dalam bagian 9, pemetaan w = z2 dapat dijelaskan melalui

transformasi:

(1) u = x2 – y2, v = 2xy

dari bidang xy kebidang uv. Bentuk pemetaan ini yang akan digunakan dalam menemukan

bayangan dari hyperbola tertentu.

Mudah ditunjukkan bahwa, setiap cabang dari hyperbola x2 – y2 = c1 (c1 > 0) adalah

pemetaan satu-satu dan pada kegaris vertikal u = c1. Kita mulai dengan mencatat persamaan

(1) bagian yang pertama bahwa u = c1 jika (x,y) adalah suatu titik yang terletak pada salah

satu cabang. Khususnya, jika terletak pada cabang bagian kanan, bagian kedua dari

persamaan (1) dapat diketahui bahwa v = 2 12 cyy . Jadi bayangan dari cabang

bahagian kanan dapat dinyatakan dalam bentuk parameter melalui

u = c1, v = y-2 12 cyy ;

dan jelas bahwa bayangan dari titik (x,y) pada cabang dipindahkan keseluruh garis melalui

jejak (x,y) dengan arah ke atas (lihat gambar 14). Demikian juga, dimana pasangan dari

persamaan

39

u = c1, v = y-2 12 cyy ;

melengkapi persamaan parameter untuk bayangan dari cabang bahagian kiri dari hyperbola,

bayangan dari titik bergerak turun sepanjang seluruh cabang bahagian kiri adalah terlihat

dipindahkan ke atas pada seluruh garis u = c1.

Sebagai latihan, tunjukkan bahwa setiap cabang dari hyperbola 2xy = c2 (c2 > 0)

adalah ditransformasi kedalam garis v = c2, melalui indikasi dalam gambar 14. Kasus

dimana c1 dan c2 adalah negatif juga disajikan dalam latihan.

Contoh 2. Misalkan kita menggunakan persamaan (1) untuk menunjukkan bahwa

bayangan dari sebagian bidang vertikal 0x1, y0, yang ditunjukkan dalam gambar 15,

adalah daerah semi parabola tertutup .

Jika 0 < x1<1, titik (x1, y) digerakan ke atas suatu penggal garis vertikal, yang diberi

nama L1 dalam gambar 15, melalui y naik dari y = 0. Bayangan di luar jejak bidang uv

menurut persamaan (1), yang dinyatakan dalam bentuk parameter

(2) u = 221 yx , v = 2x1y (0y< ).

v=c2>0

x0

y v

u

u=c1>0

0

Gambar 14. w =z2

40

Gunakan persamaan yang kedua untuk mensubtitusi y kedalam yang pertama, terlihat

bahwa bayangan titik-titik (u,v) harus terletak pada parabola

(3) 21

21

2 4 xuxv ;

dengan puncak di 0,21x dan fokusnya dititik asal. Dimana v adalah naik dengan y melalui

v =0, menurut persamaan (2) bagian kedua, terlihat bahwa melalui titik (x1,y) digerakan ke

atas melalui L1 dari sumbu x, bayangannya adalah digerakan ke atas melalui sebagian

parabola L1’ dari sumbu u. Selanjutnya, jika suatu bilangan x2 lebih besar dari x1, tetapi

lebih kecil dari 1, adalah ditentukan, penggal garis L2 mempunyai bayangan L2’ yaitu

sebagian parabola dikanan L1’, melalui indikasi dalam gambar 15. Perlu dicatat bahwa

bayangan dari penggal garis BA didalam gambar adalah setengah parabola v2 = -4(u-1)

yang paling atas dan diberi nama dengan B’A’.

Bayangan dari penggal garis CD yang diperoleh dari persamaan (1) bahwa titik

(0,y), dimana y0, pada CD ditransformasi kedalam titik (-y2,0) dalam bidang uv. Juga,

melalui titik yang digerakan ke atas dari titik asal sepanjang CD, bayangannya digerakan

kekiri dari titik asal sepanjang sumbu u. Jadi jelas bahwa penggal garis vertikal di bidang

xy, bayangannya adalah parabola dibidang uv yang turun sampai pada penggal garis C’D’.

y

D’ C’ 1 u

A’

L2’

L1’

v

C 1 x

D L1 L2 A

B

Gambar 15. w = z2

41

Sekarang jelas bahwa bayangan dari semua penggal garis dintara dan didalam CD

dan BA adalah merupakan daerah semiparabola tertutup yang dibatasi oleh A’B’C’D’. Juga

setiap titik dalam daerah tersebut mempunyai bayangan hanya satu titik didalam bagian

tertutup yang dibatasi oleh ABCD. Juga daerah semiparabola adalah merupakan bayangan

dari bagian tadi dan merupakan pemetaan yang bersifat satu-satu dan pada antara titik

dalam daerah tertutup.

Contoh 3. Kita kembali pada contoh di bagian 9 bahwa

w = z2 = r2ei2

dimana z = rei. Jika w = ie , kita mempunyai ie = r2ei2; dan akibatnya

,2r =2 + 2n (n = 0, 1, 2, …).

Jelas, bayangan dari setiap titik tak nol z adalah diperoleh dengan mengkuadratkan

modulus dari z dan menggandakan nilai dari arg z.

Selidiki bahwa titik z = r0ei pada lingkaran r = r0 adalah ditransformasikan kedalam

titik w = 220

ier pada lingkaran 20r . Melalui titik pada lingkaran pertama digerakan

berlawanan dengan arah jarum jam dari sumbu real positif ke sumbu imajiner positif,

bayangannya pada lingkaran kedua dipindahkan berlawanan dengan jarum jam dari sumbu

real positif ke sumbu real negatif (lihat gambar 16). Juga, semua nilai positif yang

mungkin dari r0 yang dipilih, berhubungan dengan sudut dalam z dan w berada dikuadran

pertama dan di atas bidang masing-masing. Transformasi w = z2 adalah pemetaan satu-satu

dan pada dari kuadran pertama r0, 0/2 dalam bidang z pada setengah bidang

0,0 dari bidang w, melalui indikasi dalam gambar 16. Titik z = 0 adalah jelas

dipetakan pada w = 0.

Transformasi w = z2 juga memetakan sebagian bidang atas r0, 0/2 pada

seluruh bidang w. Bagaimanapun, dalam kasus ini, transformasi adalah bukan satu-satu

karena kedua sumbu real negatif dan positif dalam bidang z adalah dipetakan pada sumbu

real positif dalam bidang w.

42

Jika n suatu bilangan bulat positif yang lebih besar dari 2, sifat pemetaan dari

transformasi w = zn, atau inni ere adalah serupa dengan w = z2. Sehingga peta

transformasi dari seluruh bidang z pada seluruh bidang w dimana setiap titik taknol dalam

bidang w adalah bayangan dari n titik-titik yang berbeda dalam bidang z. Lingkaran r = r0

adalah dipetakan pada lingkaran nr0 ; dan sektor rr0, 02/n adalah dipetakan pada

cakram nr0 , tetapi bukan satu-satu.

Latihan

1. Untuk setiap fungsi di bawah ini, tentukan daerah definisinya:

(a). 22

1

1(d).;(c).;

1(b).;

1

1

zzf

zz

zzf

zArgzf

zzf

2. Tuliskan fungsi f(z) = z3 + z + 1 dalam bentuk f(z) = u(x,y) + iv(x,y).

3. Misalkan f(z) = x2 – y2 – 2y + i(2x – 2xy), dimana z = x + iy. Gunakan2

zzx

dan

2

zzy

untuk mengexpresikan f(z) dalam suku-suku dari z, dan berikan jawaban

yang paling sederhana.

4. Tuliskan fungsi 0,1

zz

zzf dalam bentuk f(z) = u(r,) + iv(r,).

0 r0 x

y v

0 20r u

Gambar 16. w = z2

43

5. Tunjukkan bahwa setiap cabang dari hyperbola 2xy = c2 (c2>0) adalah pemetaan pada

garis v = c2 dengan transformasi w = z2, melalui indikasi dalam gambar 14.

6. Domain x > 0, y > 0, xy < 1 terdiri dari semua titik pada cabang atas hyperbola dari

keluarga xy = c, dimana 0 < c < 1. Gunakan hasil pada soal nomor 5 untuk

menunjukkan bahwa bayangan dari domain ini di bawah transformasi w = z2 adalah

sebagian dari bidang horizontal 0 < v <2.

7. Berdasarkan contoh 1 bagian 10, dan soal no. 5 carilah suatu domain dalam bidang z

yang mempunyai bayangan di bawah transformasi w = z2 adalah domain kuadrat dalam

bidang w yang dibatasi oleh garis u = 1, u = 2, v = 1 dan v = 2.

8. Cari dan gambarkan, serta tunjukkan hubungan orientasi, bayangan dari hyperbola x2 –

y2 = c1 (c1 < 0) dan 2xy = c2 (c2 < 0) dibawah transformasi w = z2.

9. Tunjukkan, dengan mengindikasi orientasi hubungan, pemetaan w = z2 transformasi y =

c2 ( c2 > 0) kedalam parabola 22

22

2 4 cucv yang semua titik apinya di w =0.

10. Gunakan hasil dalam soal no. 9 untuk menunjukkan bahwa transformasi w = z2 adalah

pemetaan satu-satu dari bidang ayb di atas sumbu x pada daerah tertutup diantara dua

parabola v2 = 4u2(u+a2) dan v2 = 4u2(u+b2).

11. Bagaimana merubah bentuk dalam contoh 2, bagian 10, bahwa transformasi w = z2

memetakan suatu bidang vertikal 0xc, y0 dari sembarang luas pada suatu daerah

semi parabola tertutup, melalui gambar 16.b.

44

12. Modifikasi contoh 2 bahagian 10, untuk menunjukkan bahwa jika w = z2, bayangan dari

daerah segitiga tertutup dengan garis y = x dan x = 1 adalah daerah parabola tertutup

yang dibatasi pada bahagian kiri dengan -2v2 dari sumbu v dan bahagian kanan

dibatasi oleh parabola v2 = -4(u-1). Selidiki hubungan titik-titik pada kedua daerah

tertutup dan terbatas tersebut melalui gambar 17.

13. Gambar daerah pada sektor r1, 0 /4 yang dipetakan oleh transformasi

(a). w = z2 ; (b). w = z3; (c). w = z4.

14. Interprestasi lain dari fungsi w = f(z) = u(x,y) + iv(x,y) adalah suatu lapangan vektor

dalam daerah definisi f . Fungsi yang mengaitkan suatu vektor w, dengan komponen-

komponen u(x,y) dan v(x,y), kesetiap titik yang didefinisikan. Indikasikan grafik yang

dinyatakan dengan lapangan vektor (a). w =iz; (b).z

z.

11. LIMIT

Misalkan f suatu fungsi yang terdefinisi disemua titik z dalam lingkungan penghilangan

dari z0. Pernyataan bahwa limit dari f(z) melalui z yang didekati dengan z0 adalah suatu

bilangan w0, atau

45

(1) 00

lim wzfzz

mempunyai arti bahwa titik w = f(z) dapat dibuat sembarang dekat dengan w0 jika kita

memilih z yang cukup dekat dengan z0 tetapi berbeda dengan z0. Kita sekarang

mengekspresikan definisi dari limit dalam bentuk yang tepat digunakan.

Pernyataan (1) mempunyai arti bahwa, untuk setiap bilangan >0, terdapat suatu

bilangan positif sedemikian sehingga

(2) 00 z-z0asalkanwzf .

Secara geometri definisi ini mengatakan bahwa, untuk setiap lingkungan- 0ww dari

w0, terdapat suatu lingkungan penghilangan- dari z0, 00 zz sedemikian sehingga

untuk setiap z dalam lingkungan tersebut mempunyai suatu bayangan w dalam lingkungan

(lihat gambar 18). Perlu dicatat bahwa, meskipun semua titik dalam lingkungan

penghilangan 0z-z0 tidak perlu semua bayangannya keseluruh lingkungan

0ww . Jika f suatu fungsi konstan yang bernilai w0, maka bayangan dari z selalu

merupakan pusat dari lingkungan. Sebagai catatan, sekali kita mendapatkan suatu , maka

kita dapat mengganti dengan dengan setiap bilangan positif yang lebih kecil dari ,

misalnya /2.

Definisi (2) menyatakan bahwa f terdefinisi disemua titik dalam suatu lingkungan

penghilangan z0. Sehingga lingkungan penghilangan selalu ada jika z0 adalah suatu titik

interior dari suatu daerah dimana f terdefinisi. Kita dapat memperluas definisi dari limit

w0

w

0 u

vy

x0

z0 z

Gamabar 18

46

dalam kasus dimana z0 adalah titik batas dari daerah yang memungkin bahwa persamaan

(2) yang pertama dipenuhi dengan hanya titik z terletak dikedua daerah dan domain

00 zz .

Contoh 1. Tunjukkan bahwa jika f(z) = iz/2 dalam cakram buka 1z , maka 21

lim i

zzf

.

Titik z = 1 terletak pada batas dari daerah definisi f. Akan diselidiki bahwa jika z dalam

daerah 1z ,

2

1

222

ziizizf .

Juga, untuk setiap z dan suatu bilangan positif ,

21-z0asalakan2 izf .

Jadi syarat persamaan (2) dipenuhi oleh titik-titik dalam daerah 1z jika sama dengan

2 atau bilangan positif yang lebih kecil (lihat gambar 19).

Dalam pendahuluan konsep tentang limit pada paragraph pertama bagian ini, kita

dapatkan suatu sifat bahwa, jika suatu limit dari suatu fungsi f(z) ada disuatu titik z0, maka

limitnya itu adalah tunggal. Untuk membuktikan sufat ini, kita memisalkan bahwa

.limdanlim 1000

wzfwzfzzzz

Maka, untuk setiap bilangan positif,

terdapat bilangan positif 0 dan 1 sehingga

000 z-z0asalkan wzf

47

dan

101 z-z0asalkan wzf .

Jadi, jika 00 zz , dimana menyatakan bilangan yang paling kecil antara 0 dan

1, maka

21010 wzfwzfwzfwzf

Hal ini menunjukkan bahwa, 0101 Tetapi.2 wwww adalah suatu konstanta non

negatif , dan dapat dipilih sembarang yang paling kecil. Jadi w1-w0 = 0, atau w1 = w0.

Jika z0 adalah suatu titik interior dari daerah definisi f, dan limit dari persamaan (1)

ada, persamaan (2) yang pertama harus berlaku untuk setiap titik dalam lingkungan

penghilangan 0z-z0 . Jadi simbol 0zz mengakibatkan bahwa z adalah dapat

mendekati z0 dalam sembarang arah, tanpa dari suatu arah yang khusus. Contoh berikut

menggunakan cara ini.

Contoh 2. Jika z

zzf , maka

(4) zfz 0lim

tidak ada. Jika limitnya ada, maka kita dapat menemukan limitnya dengan memisalkan titik

z = (x,y) mendekati titik asal dari berbagai arah. Tetapi jika z = (x,0) adalah titik tak nol

pada sumbu real,

10

0

ix

ixzf ;

dan jika z = (0,y) adalah titik tak nol pada sumbu imajiner,

10

0

iy

iyzf .

Jadi, dengan memisalkan z mendekati titik asal sepanjang sumbu real, kita peroleh limitnya

adalah 1. Pada hal lain, didekati sepanjang sumbu imajiner diperoleh limitnya sama dengan

–1. Dari ketunggalan limit, kita simpulkan bahwa limit pada persamaan (4.1) tidak ada.

48

12. TEOREMA-TEOREMA PADA LIMIT

Teorema 1. Misalkan bahwa f(z) = u(x,y) + iv(x,y), z0 = x0 + iy0, dan w0 = u0 + iv0. Maka

(1) 00

lim wzfz

jika dan hanya jika

(2)

0,,

,lim00

uyxuyxyx

dan

0,,

,lim00

vyxvyxyx

.

Untuk membuktikan teorema di atas, kita asumsikan bahwa limit pada (2) benar dan

akan dibuktikan limit pada (1). Limit pada persamaan (2) bagian 11 diketahui bahwa, untuk

setiap positif terdapat bilangan positif 1 dan 2 sehingga

(3) 1

2

0

2

020 0asalkan yyx-xuu

dan

(4) 2

2

0

2

020 0asalkan yyx-xvv .

Misalkan menyatakan bilangan yang paling kecil antara 1 dan 2. Karena

000000 vvuuvviuuivuivu

dan

0000

2

0

2

0 iyxiyxyyixxyyx-x .

Dari persamaan (3) dan (4) diperoleh

2200 ivuivu

asalkan

000 iyxiyx .

Jadi, limit pada (1) benar.

Misalkan sekarang mulai mengasumsikan bahwa limit (1) benar. Dengan asumsi ini

kita ketahui bahwa, untuk setiap bilangan positif, terdapat bilangan positif sehingga

(5) 00 ivuivu asalkan

(6) 000 iyxiyx .

49

Tetapi

00000 ivuivuvviuuuu

00000 ivuivuvviuuvv .

dan

2

0

2

00000 yyx-xyyixxiyxiyx .

Jadi dari sini persamaan (5) dan (6) memberikan bahwa

00 dan vvuu

asalkan

000 iyxiyx .

Ini menunjukkan bahwa limit (2) telah dibuktikan, dan bukti teorema telah lengkap.

Teorema 2. Misalkan bahwa

(7) ozz

ozz

WzFwzf 00

limdanlim

maka

(8) oozz

WwzFzf lim

0

,

(9) oozz

WwzFzflim0

dan, jika W0 0, maka

(10)

lim0

o

o

zz W

w

zF

zf

.

Teorema ini dapat dibuktikan secara langsung dengan menggunakan definisi limit dari

fungsi bernilai kompleks. Tetapi dengan teorema 1, pembuktian lebih mudah.

Sebagai contoh, kita buktikan (9), dan kita tulis

,,,,, yxiVyxUzFyxivyxuzf ,

z0 = x0 + iy0, w0 = u0 + iv0, W0 = U0 + iV0.

Maka dari hipotesis persamaan (7) limit (x,y) mendekati (x0,y0) dari fungsi u, v, U, dan V

ada dan mempunyai limit u0, v0, U0, dan V0 masing-masing. Jadi komponen real dan

50

imajinernya dari perkalian f(z)F(z) = (uU – vV) + i(vU + uV) mempunyai limit u0U0 –

v0V0 dan v0U0 + u0V0, masing-masing, dengan (x,y) mendekati (x0,y0). Jadi dengan

menggunakan teorema 1, f(z)F(z) mempunyai limit (u0U0 – v0V0) + i( v0U0 + u0V0) dengan

z mendekati z0; dan ini sama dengan w0W0. Sifat (9) buktinya telah diberikan, dan untuk

sifat (8) dan (10) dapat dibuktikan dengan cara serupa.

Sebagai akibat dari teorema 1 adalah

cczz

0

lim

untuk setiap konstanta kompleks c = a + bi dan setiap z0. Juga,

00

lim zzzz

;

dan dari sifat (9) dan induksi matematika, bahwa

nn

zzzz 0

0

lim

(n = 1, 2, …).

Juga, dalam sifat (8) dan (9), limit dari suatu polinom

P(z) = a0 + a1 z + a2 z2 + …+ an zn

Dengan z mendekati z0 adalah nilai dari polinom dititik z0, yakni :

(11) 00

lim zPzPzz

.

Selain itu sifat dari limit adalah

(12) Jika 0000

limmaka,lim wzfwzfzzzz

.

Sifat ini mudah dibuktikan dengan menggunakan definisi dari limit dan kenyataan bahwa

(lihat bagian 4)

00 wzfwzf

13. LIMIT DITITIK TAK HINGGA

Terkadang cukup baik untuk memasukkan titik di ketakhinggaan dalam bidang

kompleks, yang dinotasikan dengan , dan menggunakan limit yang memuatnya. Bidang

kompleks bersama-sama dengan titik takhingga ini disebut bidang kompleks perluasan.

Untuk memvisualisasi titik diketakhinggaan, salah satu yang dapat dipikirkan dari bidang

51

kompleks misalnya perputaran suatu titik mengelilingi suatu permukaan bola menurut garis

katulistiwa dengan pusat titik z = 0 (gambar 20). Setiap titik z di bidang mempunyai

hubungan dengan tepat satu titik P pada permukaan bola. Titik P ditentukan oleh garis yang

melalui titik z dan kutub utara N dari bola dengan permukaannya. Dengan cara demikian,

setiap titik P pada permukaan bola, yang lainnya pada kutub utara N, terdapat hubungan

dengan tepat satu titik z di bidang. Dengan memisalkan titik N dari bola yang berhubungan

dengan titik tak hingga, diperoleh korespondensi satu-satu antara titik-titik pada bola dan

titik-titik pada bidang kompleks perluasan. Bola tersebut dikenal sebagai bola Riemann,

dan hubungannya disebut proyeksi stereografik.

Perhatikan bagian luar dari lingkaran satuan yang berpusat pada titik asal bidang

kompleks yang berhubungan dengan belahan bumi bagian atas di mana katulistiwa dan titik

N dihilangkan. Selanjutnya, untuk setiap bilangan positif kecil , titik-titik tersebut di

bidang kompleks di luar lingkaran |z| = 1/ berhubungan dengan titik-titik pada bola dekat

ke N. Kita sebut himpunan ini |z| > 1/ suatu lingkungan , atau lingkungan dari .

Perlu disepakati bahwa, berkenaan dengan titik z, kita artikan suatu titik di bidang

hingga. Selanjutnya, jika titik diketakhinggaan dipertimbangkan, maka akan dijelaskan

secara khusus.

Artinya sekarang kita siap memberikan pernyataan

0

Pz

N

Gambar 20

52

0)(lim0

wzfzz

jika salah satu z0 atau w0, atau mungkin keduanya diganti dengan titik takhingga. Dalam

definisi limit pada bagian 11, kita mengganti lingkungan dari z0 dan w0 dengan lingkungan

dari .

Pernyataan

zfzz 0

lim , mempunyai arti bahwa untuk setiap bilangan positif,

terdapat suatu bilangan positif sedemikian sehingga

(1) 0z-z0asalkanzf 1 .

Jadi, titik w = f(z) terletak dalam lingkungan-

1w dari asalkan z terletak dalam

lingkungan penghilangan dari z0, 0z-z0 . Pernyataan pada persamaan (1) dapat

ditulis

0z-z0asalkan

zf0

1,

dari sini terlihat bahwa

(2)

zfzz 0

lim jika dan hanya jika

01

lim0

zfzz

.

Contoh 1.

03

1lim

1

3lim

11

iz

zkarena

z

iz

zz

Selanjutnya,

0lim wzfz

mempunyai arti bahwa, untuk setiap positif, terdapat suatu bilangan positif sedemikian

sehingga

(3)

10 zasalkanwzf .

Dengan mengganti z pada persamaan (3) dengan 1/z , maka diperoleh

53

0-zasalkanw

zf 0

1.

Ini berarti bahwa,

(4) 0lim wzfz

jika dan hanya jika 00

1lim w

zf

z

Contoh 2. Berdasarkan pernyataan pada persamaan (4),

21

2lim

1/1

/2lim2

1

2lim

z

iz

z

izkarena

z

iz

0z0zz.

Terakhir, pernyataan

zfzlim

mempunyai arti bahwa untuk setiap bilangan positif, terdapat bilangan positif

sedemikian sehingga

(5)

11 zasalkanzf .

Jika z diganti dengan 1/z, pernyataan ini dapat ditulis dalam bentuk

0-z0asalkanf

z

01

1;

jadi,

(6)

zfzlim jika dan hanya jika 0

1lim

10

z

z f.

Contoh 3.

0

2lim

1

1lim,

1

12lim

3

3

02

1

02

3

3

2

z

zzkarena

z

z

zz

z

zz

14. KEKONTINUAN

Suatu fungsi f adalah kontinu di titik z0 jika memenuhi ketiga syarat berikut :

(1)0

limzz

f(z) ada

54

(2) f(z0) ada

(3)0

limzz

f(z) = f(z0)

Pernyataan pada persamaan (3) jelas memuat pernyataan pada persamaan (1) dan (2),

karena secara implisit keberadaan nilai dari setiap sisi adalah sama. Pernyataan pada

persamaan (3) mengatakan bahwa, untuk setiap bilangan positif, terdapat suatu bilangan

positif sedemikian sehingga

(4) 00 zzasalkanzfzf .

Suatu fungsi dari variabel kompleks dikatakan kontinu dalam daerah R jika fungsi

tersebut kontinu disetiap titik dalam R.

Jika dua fungsi f, g adalah kontinu di suatu titik, maka f + g dan f.g juga kontinu di

suatu titik; demikian juga f/g kontinu di suatu titik asalkan g tidak nol. Hal ini merupakan

akibat dari teorema 2 bagian 12.

Berdasarkan definisi pada persamaan (4) diperoleh bahwa komposisi dari fungsi-

fungsi kontinu adalah kontinu. Untuk menunjukkan ini, kita misalkan w = f(z) adalah suatu

fungsi yang terdefinisi pada setiap z dalam lingkungan dari titik z0; dan misalkan pula g(w)

suatu fungsi yang mempunyai daerah definisi memuat bayangan (lihat bagian 10) dari

lingkungan z0. Sekarang, anggaplah f kontinu di z0 dan g kontinu di titik w0 = f(z0). Dari

kekontinuan g di titik w0, kita ketahui bahwa, untuk setiap bilangan positif, terdapat

bilangan positif sedemikian sehingga

zfzfasalkanzfgzfg 00 .

tetapi, berhubungan dengan , terdapat suatu bilangan positif sedemikian sehingga

ketaksamaan kedua dipenuhi asalkan 0zz . Ini berarti, bahwa kekontinuan dari

g[f(z)] di z0 telah dibuktikan.

Berdasarkan definisi pada persamaan (4) dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa

jika suatu fungsi f(z) adalah kontinu dan tidak nol disuatu z0, maka f(z) 0 untuk setiap z

55

dalam suatu lingkungan dari z0. Untuk itu, jika f(z0) 0 dan bilangan positif 2

0zf ,

maka berdasarkan ketaksamaan (4) terdapat suatu bilangan positif sedemikian sehingga

0

zfz-zasalkanzfzf

200 .

Jika terdapat suatu titik z dalam lingkungan 0z-z sehingga f(z) = 0, maka kontradiksi

dengan 20

0zfzf .

Dari teorema 1, bagian 12, diperoleh bahwa suatu fungsi f dari variabel kompleks

adalah kontinu di titik z0 = (x0,y0) jika dan hanya jika fungsi komponen u dan v kontinu di

titik z0 = (x0,y0).

Contoh. Fungsi

xyyxixyyxzf 2sinhsin2coshcos 2222

adalah kontinu dimana-mana dalam bidang kompleks, karena komponen real dan imajiner

dari f adalah kontinu disetiap titik (x,y). Kekontinuan dari fungsi-fungsi komponen adalah

akibat dari kekontinuan dari polinom dalam x dan y melalui kekontinuan dari fungsi

trigonometri dan hiperbolik.

Berbagai sifat fungsi kontinu dari variabel kompleks dapat diturunkan melalui

hubungan dari fungsi kontinu bernilai real dengan dua peubah real. Sebagai contoh, fungsi

f(z) = u(x,y) + iv(x,y) yang kontinu dalam daerah R adalah tertutup dan terbatas. Fungsi

22 ,, yxvyxu adalah kontinu di R dan mencapai nilai maksimum dimana-mana

dalam R. Jadi, f adalah terbatas pada R dan zf mencapai nilai maksimum dimana-mana

dalam R. Atau secara tepatnya f dikatakan terbatas dalam R, jika terdapat bilangan real non

negatif M sehingga

(5) RdalamzsetiapuntukMzf

Hasil lain yang dapat diturunkan dari hubungan fungsi bernilai real dari dua

variabel real, bahwa fungsi f yang kontinu dalam suatu daerah R yang tertutup dan terbatas

56

adalah kontinu seragam. Yaitu, suatu nilai dari , tidak tergantung dari z0, jadi dapat dipilih

sehingga syarat pada persamaan (14.4) adalah dipenuhi untuk setiap titik z0 dalam R.

LATIHAN

1. Misalkan a, b, c dan z0 menyatakan suatu konstanta kompleks. Gunakan definisi limit

pada persamaan (2) bagian 11 untuk membuktikan bahwa

(a). czczc;0abazbazb;cczzzzzz

20

20

000

lim.lim.lim

;zze;zzdzzzz

0000

lim.ReRelim.

.z

zg;iyxzi1y2xixf

zziz0lim.lim.

2

1 0

2. Misalkan n suatu bilangan bulat positif dan misalkan pula P(z) dan Q(z) adalah

polinom, dengan Q(z0) 0. Gunakan teorema 2 bagian 12, untuk menentukan limit

berikut ini

zQ

zPc

z

izb;z,a

zzizzzzn

00

lim.;1

1lim.0lim.

3

01

3. Gunakan sifat (9) bagian 12 dari limit dan induksi matematika untuk menunjukkan

bahwa nn

zzzz 0

0

lim

dimana n suatu bilangan bulat positif.

4. Tunjukkan bahwa2

0lim

z

z

ztidak ada. Kerjakan soal ini dengan memisalkan titik tak

nol z = (x,0) dan z = (x,x) mendekati nol.

5. Buktikan pernyataan pada persamaan (8) bagian 12 teorema 2, gunakan (a). Teorema 1

bagian 12, dan sifat limit fungsi bernilai real dari dua variabel real; (b). Definisi (2)

bagian 11 dari limit.

57

6. Misalkan 0zzz dan tunjukkan bahwa 00

lim wzfzz

jika dan hanya jika

000

lim wzzfz

7. Tunjukkan bahwa 0lim0lim00

zfjikazgzfzzzz

dan jika terdapat suatu

bilangan positif M sedemikian sehingga Mzg untuk setiap z dalam suatu

lingkungan dari z0.

8. Buktikan sifat (12) bagian 12 dari limit.

9. Dengan menggunakan sifat (2), (4) dan (6) bagian 13 dari limit, tunjukkan bahwa

1

1lim.

1

1lim.;4

1

4lim.

2

312

2

z

zc;

zb

z

za

zzz

10. Gunakan sifat (2), (4) dan (6) bagian 13 dari limit untuk menunjukkan bahwa jika

0bc-addcz

bazzT

, maka

(a).

zTz

lim jika c = 0. zTlimdanzTlim.bc

dzca

z

. jika c 0.

11. Gunakan definisi (1) dan (3) bagian 13 dari limit di ketakhinggaan untuk menunjukkan

bahwa 01

lim1

lim0

z

danz zz

12. Pandang suatu fungsi f yang didefinisikan pada bidang perluasaan dengan persamaan

zjika0

0zjika

0zjika

zf

z1

. Tunjukkan bahwa f kontinu dimana-mana dalam bidang

perluasan.

13. Tunjukkan bahwa limit di titik tak hingga adalah tunggal.

14. Tunjukkan bahwa himpunan S adalah tak terbatas (bagian 8) jika dan hanya jika setiap

lingkungan dari titik tak hingga memuat paling sedikit sati titik di S.

58

15. TURUNAN

Misalkan f suatu fungsi dengan daerah definisinya memuat lingkungan dari suatu titik z0.

Turunan dari f di z0, ditulis 0zf , adalah didefinisikan dengan

(1)

0

00

0

limzz

zfzfzf

zz

,

asalkan limitnya ada. Fungsi f dikatakan terdiferensiabel di z0 jika turunannya di z0 ada.

Dengan mengubah z pada persamaan (1) dalam bentuk variabel kompleks yang baru

z = z – z0, maka kita dapat menuliskan definisi di atas menjadi

(2) z

zfzzfzf

z

00

00 lim

Sebagai catatan, karena f terdefinisi pada suatu lingkungan dari z0, bilangan zzf 0

adalah selalu terdefinisi untuk z yang cukup kecil (lihat gambar 21).

Jika pada persamaan (2) dari definisi turunan, kita akan mengganti z0 dengan z dan

kita misalkan bilangan

zfzzfw

menyatakan perubahan nilai dari f yang berkaitan dengan perubahan z pada titik dimana f

dihitung. Maka, jika kita menulisdzdw untuk zf , persamaan (2) menjadi

0 x

y

z

z0

zz 0

Gambar 21

59

(3)z

w

dz

dw

z

0lim .

Contoh 1. Misalkan bahwa f(z) = z2. Disetiap titik z,

zzzz

zzz

z

w

zzz22limlimlim

0

22

00

,

karena zz 2 adalah suatu polinom dalam z . Jadi zzfatauzdz

dw22 .

Contoh 2. Pandang suatu fungsi 2zzf . Jadi,

z

zzzz

z

zzzzzz

z

zzz

z

w

22

.

Jika limit dariz

w

ada, maka kita memisalkan titik yxz , mendekati titik asal

dalam bidang z dalam berbagai arah. Khususnya, jika z mendekati titik asal sepanjang

horizontal melalui titik 0,x pada sumbu real (gambar 22), maka kita dapatkan zz .

Jadi jika limit dariz

w

ada, kita peroleh zz . Selanjutnya, jika z mendekati titik asal

sepanjang vertikal melalui titik-titik y,0 pada sumbu imajiner, juga diperoleh

zz , dan limitnya harus sama dengan zz asalkan limitnya ada. Karena limit suatu

fungsi adalah tunggal, maka diperoleh bahwa zz = zz , atau z = 0, asalkandz

dwada.

y

(0, y )

(0,0) 0,x x

Gambar 22

60

Jadidz

dwada hanya dititik z = 0.

Contoh 2 menunjukkan bahwa suatu fungsi dapat terdiferensialkan di suatu titik

tertentu tetapi tidak dalam lingkungan titik itu. Karena bagian real dan imajiner dari

2zzf adalah

(4) (x,y) = x2 + y2 dan v(x,y) = 0,

hal ini menunjukkan bahwa komponen real dan imajiner dari fungsi bernilai kompleks

adalah mempunyai turunan parsial yang kontinu dari setiap pasang titik, tetapi fungsi

tersebut tidak terdiferensial.

Fungsi 2zzf adalah kontinu disetiap titik dalam bidang karena komponen (4)

adalah kontinu disetiap titik. Jadi kekontinuan dari suatu fungsi di suatu titik tidak

mengakibatkan fungsi tersebut mempunyai turunan di titik itu. Tetapi keberadaan turunan

suatu fungsi di suatu titik mengakibatkan fungsi kontinu disuatu titik tersebut. Untuk

membuktikan pernyataan ini, kita asumsikan bahwa 0zf ada dan kita tulis

00.limlimlim 00

0

00

000

zfzz

zz

zfzfzfzf

zzzzzz

dari sini diperoleh bahwa

00

lim zfzfzz

Ini menunjukkan bahwa f kontinu di z0 (lihat bagian 14).

16. RUMUS DIFFERENSIAL

Definisi turunan dalam bagian 15 adalah serupa dengan turunan dari fungsi bernilai real

dari suatu variabel real. Kenyataan ini, dijadikan dasar untuk memberikan rumus

differensial yang diturunkan dari definisi, bersama-sama dengan teorema-teorema pada

limit, dengan cara yang sama digunakan dalam kalkulus. Dalam rumus ini, turunan dari

61

fungsi f di suatu titik z adalah dinotasikan dengan salah satu zfzfdz

d , tergantung

pada mana notasi ini digunakan.

Misalkan c suatu konstanta kompleks, dan f suatu fungsi yang mempunyai turunan

di suatu titik z. Maka dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa

(1) zfczcfdz

dz

dz

dc

dz

d ,1,0 .

Juga, jika n bilangan bulat positif,

(2) 1 nn nzzdz

d.

Rumus ini juga benar untuk n suatu bilangan bulat negatif, asalkan z 0.

Jika turunan dari dua fungsi f dan F ada di suatu titik z

(3) zFzfzFzfdz

d

(4) zFzfzFzfzFzfdz

d ;

dan, jika F(z) 0,

(5)

2zF

zFzfzfzF

zF

zf

dz

d

Penurunan rumus (4) diperoleh dengan cara merubah f(z)F(z) menjadi

zzFzfzzfzFzzFzfzFzfzzFzzf

Jika kedua sisi dibagi dengan z dan kita misalkan z menuju nol, maka rumus di atas

menunjukkan turunan zFzf .

Terdapat juga aturan rantai untuk differensial fungsi komposisi. Misalkan bahwa f

mempunyai turunan di z0 dan g mempunyai turunan di f(z0). Maka fungsi F[z] = g[f(z)]

mempunyai turunan di z0, dan

(6) 000 zfzfgzF .

Jika kita tulis w = f(z) dan W = F(z), juga W = F(z), dari aturan rantai

62

dz

dw

dw

dW

dz

dW .

Contoh. Untuk mencari turunan dari (2z2 + i)5, kita tulis w = 2z2 + i dan W = w5. Maka

42452 220452 izzzwizdz

d .

Kita mulai membuktikan rumus (6), pilih titik z0 sehingga 0zf ada. Tulis w0 =

f(z0) dan juga asumsikan bahwa 0wg ada. Maka terdapat suatu lingkungan 0ww

dari w0 sehingga, untuk setiap titik w dalam lingkungan, kita mendefinisikan suatu fungsi

yang mempunyai nilai 0w =0 dan

(7)

0wwjikawgww

wgwgw

0

0

0 .

Sebagai catatan bahwa, dari definisi turunan

(8) 0lim0

www

.

Jadi adalah kontinu di w0.

Selanjutnya dari persamaan (7) diperoleh

(9) 0w-wwwwwgwgwg 000

adalah benar jika w = w0; karena 0zf ada maka f kontinu di z0. Kita dapat memilih

bilangan positif sedemikian sehingga titik f(z) terletak dalam lingkungan 0ww

dari w0 jika z terletak dalam lingkungan 0zz dari z0. Jadi dengan menggati

variabel w dalam (9) dengan f(z) jika z suatu titik dalam lingkungan 0zz . Dengan

substitusi w0 = f(z0), persamaan (9) diperoleh

(10)

0z-z0

zz

zfzfzfzfg

zz

zfgzfg

0

00

0

0 ,

dimana z z0.

63

LATIHAN

1. Gunakan hasil dalam bagian 16 untuk mencari zf jika : (a). f(z) = 3z2 – 2z + 4;

3241. zzfb ; 0zz

zzfdz

z

zzfc

2

21.;

2

1

12

1.

2. Gunakan hasil dalam bagian 16, untuk menunjukkan bahwa (a). suatu polinom

nn zazazaazP ...2

210 (an 0) yang berderajat n (n1) adalah

terdiferensialkan dimana-mana, dengan turunannya 121 ...2 n

n znazaazP

(b). koefisien dari polinom P(z) dalam bagian (a) dapat ditulis !1

0,0 10

PaPa

,

!

0,...,

!2

02

n

Pa

Pa

n

n

.

3. Gunakan definisi (3) bagian 15 dari turunan untuk memberikan bukti langsung bahwa

21

zzf jika 01 zzf z .

4. Misalkan bahwa f(z0) = g(z0) = 0 dan 00 zgdanzf ada, dimana 00 zg .

Gunakan definisi (1) bagian 15 dari turunan untuk menunjukkan bahwa

0

0

0

limzg

zf

zg

zf

zz

.

5. Buktikan rumus (3) bagian 16 untuk turunan dari jumlah dua fungsi.

6. Buktikan persamaan (2) bagian 16 untuk turunan zn jika n suatu bilangan bulat positif

dengan menggunakan : (a). Induksi matematika dan rumus (16.4), untuk turunan dari

perkalian dua buah fungsi. (b). definisi (3) bagian 15 dari turunan dan rumus Binomial

(soal 14 bagian 6).

7. Buktikan bahwa persamaan (2) bagian 16 untuk turunan zn adalah benar jika n adalah

suatu bilangan bulat negatif (n = -1, -2, …), jika z 0.

8. Gunakan metode dalam contoh 2 bagian 15, untuk menunjukkan bahwa zf tidak ada

disetiap titik z jika : zzf.a ; (b). f(z) = Re z; (c). f(z) = Im z.

64

9. Misalkan f menyatakan suatu fungsi dengan nilai

0zjika0

0zjikaz

zzf

2

. Tunjukkan

bahwa jika z = 0, maka 1

z

wuntuk setiap titik tak nol pada sumbu real dan imajiner

dalam bidang yx,atauz . Tunjukkan bahwa 1

z

wdisetiap titik tak nol

xx , pada garis xy dalam bidang z . Kesimpulan dari hasil penyelidikan

adalah 0f tidak ada.

17. PERSAMAAN CAUCHY-RIEMANN

Dalam bagian ini, kita memperoleh pasangan dari persamaan turunan parsial orde pertama

fungsi komponen u dan v dari fungsi

(1) yxivyxuzf ,,

harus memenuhi di suatu titik z0 = (x0 , y0) jika turunan dari f ada di titik z0 = (x0 , y0). Kita

juga tunjukkan bagaimana menulis 0zf dalam suku-suku dari turunan parsialnya.

Misalkan bahwa turunan

(2) z

zfzzfzf

z

00

00 lim

ada. Tulis z0 = x0 + iy0 dan yixz , maka dari teorema 1 bagian 12, kita mempunyai

(3)

z

zfzzfzf

yx

00

0,0,0 RelimRe

(4)

z

zfzzfzf

yx

00

0,0,0 ImlimIm

dimana

(5)

yix

yxvyyxxvi

yix

yxuyyxxu

z

zfzzf

0000000000 ,,,,

65

Persamaan ini sangat penting untuk memikirkan bahwa persamaan (3) dan (4) benar untuk

yx , menuju (0,0) dalam sembarang arah yang kita pilih.

Khususnya, misalkan yx , menuju (0,0) sepanjang horizontal melalui titik-titik

0,x , dengan indikasi pada gambar 22 (bagian 15). Ini berarti bahwa 0y dalam

persamaan (5), dan kita peroleh bahwa

x

yxuyxxuzf

x

0000

00

,,limRe

x

yxvyxxvzf

x

0000

00

,,limIm

Jadi,

(6) 00000 ,, yxivyxuzf x ,

dimana 0000 ,, yxvdanyxux menyatakan turunan parsial orde pertama dari variabel x

dari fungsi u dan v di 00 , yx .

Kita dapat memisalkan yx , meunju nol sepanjang garis vertikal y,0 . Dalam

hal ini, 0x dalam persamaan (5); dan diperoleh

(7) 00000 ,, yxiuyxvzf y

Ini menunjukkan bahwa 0zf dinyatakan dalam bentuk turunan parsial orde pertama dari

u dan v terhadap variabel y. Sebagai catatan bahwa persamaan (7) dapat juga ditulis

00000 ,, yxivyxuizf y

Persamaan (6) dan (7) tidak hanya memberikan 0zf dalam bentuk turunan

parsial dari fungsi komponen u dan v, tetapi juga merupakan syarat perlu untuk keberadaan

0zf . Pada persamaan bagian real dan imajiner pada bagian kanan persamaan di atas,

kita peroleh bahwa keberadaan dari 0zf memerlukan bahwa

(8) 00000000 ,,,, yxvyxudanyxvyxu xyyx

Persamaan (8) ini disebut Persamaan Cauchy-Riemann (C-R)

Sebagai ringkasan dari hasil di atas, kita nyatakan dalam teorema berikut ini

66

Teorema. Misalkan bahwa

yxivyxuzf ,,

dan 0zf ada di titik z0 = x0 + y0. Maka turunan parsial orde pertama dari u dan v harus

ada di titik (x0 , y0), dan memenuhi persamaan Cauchy-Riemann

(9) xyyx vudanvu

Juga 0zf dapat ditulis

(10) xx ivuzf 0

dimana turunan parsialnya dihitung pada (x0 , y0).

Contoh 1. Dalam contoh 1 bagian 15, terlihat bahwa fungsi

xyiyxzzf 2222

adalah terdiferensiabel dimana-mana dan zzf 2 . Akan diselidiki bahwa persamaan C-

R dipenuhi dimana-mana. Kita catat bahwa xyyx,vdanyxyxu 2, 22 . Jadi

xyyx vyuvxu 2,2 .

Selanjutnya, dari persamaan (10),

ziyxyixzf 2222 .

Karena persamaan C-R adalah merupakan syarat perlu untuk keberadaan dari

turunan suatu fungsi f di titik z0, maka persamaan C-R selalu dapat digunakan untuk

mengetahui dititik mana f tidak mempunyai turunan.

Contoh 2. Jika 2zzf , kita mempunyai 0, 22 yx,vdanyxyxu . Misalkan

persamaan C-R benar di suatu titik (x , y), dari sini bahwa 2x = 0 dan 2y = 0, atau x = y = 0.

Akibatnya, zf tidak ada disetiap titik tak nol, dan ini telah kita ketahui pada contoh 2

dalam bagian 15. Perlu dicatat bahwa teorema di atas tidak menjamin keberadaan dari

0f . Pada teorema dalam bagian berikut ini akan dibahas syarat cukup dari suatu fungsi

yang terdiferensiabel.

67

18. SYARAT CUKUP UNTUK KETERDIFFERENSIALAN

Syarat dari persamaan C-R dititik z0 = (x0 , y0) adalah tidak cukup untuk menjamin

keberadaan turunan dari suatu fungsi f(z) di titik z0 = (x0 , y0). (lihat latihan 6, bagian 19).

Tetapi, dengan syarat kekontinuan, sangat bermanfaat dan dinyatakan dalam teorema

berikut.

Teorema. Misalkan

yxivyxuzf ,,

terdefinisi pada suatu lingkungan dari suatu titik z0 = x0 + iy0 . Misalkan pula bahwa

turunan parsial orde pertama dari fungsi u dan v terhadap x dan y ada dimana-mana dalam

lingkungan tersebut dan kontinu di titik (x0 , yo). Jika turunan parsialnya memenuhi

persamaan C-R

xyyx vudanvu

di (x0 , yo), maka 0zf ada.

Kita mulai membuktikan, dengan menulis z0dimanayixz , , dan

00 zfzzfw . Jadi viuw , dimana

(1) ,,,

,,,

0000

0000

yxvyyxxvv

yxuyyxxuu

Sekarang, dari kekontinuan turunan parsial orde pertama u dan v di titik (x0 , y0),

(.2)

,,,

,,,

2220000

2210000

yxyyxvxyxvv

yxyyxuxyxuu

yx

yx

dimana 1 dan 2 menuju 0 melalui yx , mendekati (0,0) dalam bidang z . Jadi

(3)

.yxyyxvxyxvi

yxyyxuxyxuw

yx

yx

2220000

2210000

,,

,,

68

Keberadaan dari persamaan (2) untuk fungsi dua variabel real dengan kekontinuan turunan

parsial orde pertama dapat diperoleh pada kalkulus lanjut dan hubungannya dengan

differensial.

Dari asumsi bahwa persamaan C-R dipenuhi di (x0 , y0), kita dapat mengganti

00 , yxu y dengan 00 , yxvx dan 00 , yxv y dengan 00 , yxux dalam persamaan (3)

dan semuanya dibagi dengan z , untuk memperoleh

(4)

z

yxiyxivyxu

z

w1xx

22

20000 ,,

Tetapi

1,22

22

z

yxjugadanzyx .

Juga 1 + i2 menuju 0 asalkan yx , mendekati (0,0). Jadi bentuk terakhir bagian kanan

dari persamaan (4) menuju 0 melalui variabel yixz menuju 0. Ini berarti bahwa

limit dari bagian kiri persamaan (4) ada dan

(5) 00000 ,, yxivyxuzf xx .

Contoh 1. Misalkan bahwa

yiyezf x sincos ,

dimana y adalah menyatakan radian jika cos y dan sin y dihitung. Maka

yeyx,vdanyeyxu xx sincos, .

Dimana xyyx vudanvu dimana dan setiap turunannya adalah kontinu, maka syarat

dalam teorema adalah dipenuhi disemua titik dalam bidang kompleks. Jadi zf ada

dimana-mana, dan

yiyeivuzf xxx sincos

Sebagai catatan bahwa zf = f(z).

Contoh 2. Dari teorema di atas juga fungsi 2zzf , yang mempunyai komponen

0, 22 yx,vdanyxyxu mempunyai turunan di z = 0. Kenyataannya bahwa,

69

000 if (bandingkan dengan contoh 2, bagian 15). Kita ketahui dalam contoh 2,

bagian 17, fungsi ini tidak mempunyai turunan disetiap titik tak nol karena persamaan C-R

tidak dipenuhi.

19. KOORDINAT POLAR

Jika z0 0, teorema dalam bagian 18 adalah diberikan dalam koordinat polar dengan arti

bahwa transformasi koordinat (bagian 5)

(1) x = r cos , y = r sin

bergantung pada bagaimana kita menulis

z = x + iy atau z = rei ( z0 )

jika w = f(z), bagian real dan bagian imajiner dari w = u + iv adalah dinyatakan dalam

bentuk salah satu variabel x dan y atau r dan . Misalkan bahwa turunan parsial orde

pertama dari u dan v terhadap x dan y ada dimana-mana dalam suatu lingkungan titik tak

nol z0 yang diberikan dan kontinu dititik tersebut. Turunan parsial orde pertama terhadap r

dan juga mempunyai sifat yang sama, dan dengan aturan rantai untuk differensial fungsi

bernilai real dari dua variabel real dapat digunakan untuk mendapatkan suku-sukunya

terhadap variabel x dan y. Karena

x

y

ux

x

uu

r

x

y

u

r

x

x

u

r

u

, ,

dan dapat ditulis

(2) ruruuuuu yxyxr cossin,sincos ,

dengan cara serupa

(3) rvrvvvvv yxyxr cossin,sincos .

Jika turunan parsial terhadap x dan y juga memenuhi persamaan C-R

(4) xyyx vudanvu

di z0, persamaan (3) memberikan

(5) ruruvuuv xyxyr cossin,sincos

70

dititik z0. Hal ini jelas bahwa dari persamaan (2) dan (5)

(6) rr vur

1v

ru ,

1

dititik z0.

Jika, pada hal lain, persamaan (6) diketahui benar dititik z0, untuk selanjutnya

tunjukan (soal no. 7) bahwa persamaan (4) juga benar. Persamaan (6) adalah merupakan

suatu alternatif dari bentuk persamaan C-R pada (4).

Kita dapat mengulangi teorema dalam bagian 18 dengan menggunakan koordinat

polar.

Teorema. Misalkan fungsi

,, rivruzf

terdefinisi pada suatu lingkungan dari titik tak nol z0 = r0exp(i0). Misalkan pula bahwa

turunan parsial orde pertama dari fungsi u dan v terhadap r dan ada dimana-mana dalam

lingkungan tersebut dan kontinu dititik (r0 ,0). Jika turunan parsial pertama memenuhi

persamaan C-R dalam bentuk koordinat polar di (r0 ,0), maka turunan 0zf ada.

Turunan 0zf dapat ditulis (soal no. 8)

(7) rri ivuezf

0 ,

dimana sisi bagian kanan dihitung pada (r0 ,0).

Contoh. Pandang fungsi

irez

zf11

dimana

rrvdan

rru

sin,

cos, .

Syarat dalam teorema di atas adalah dipenuhi disetiap titik tak nol z = rei dalam bidang.

Juga turunan dari f ada disana, dan dari persamaan (7),

71

2222

11sincos

zreri

rezf

i

i

.

Latihan

1. Gunakan teorema dalam bagian 18 untuk menunjukkan bahwa zf tidak ada disetiap

titik jika

(a). ;zzzfbzzf .; 22. ixyxzfc ; iyxeezfd . .

2. Gunakan teorema dalam bagian 18 untuk menunjukkan bahwa zf dan turunan

zf ada dimana-mana, dan carilah zf jika:

2. izzfa ; iyxeezfb . ;

(c). f(z) = z3; (d). f(z) = cos x cosh y – isin x sinh y.

3. Dari hasil yang termuat dalam bagian 17 dan 18, tentukan dimana zf ada carilah

nilainya jika (a). z

zf1

; (b). f(z) = x2 + iy2; (c). f(z) = z Imz .

4. Gunakan teorema dalam bagian 19 untuk menunjukkan setiap fungsi berikut adalah

terdiferensial dalam daerah definisinya, dan gunakan persamaan (19.7) untuk mencari

zf :

(a). ;0z1

4

zzf

0,-rzf.b 2

i

er ;

20,0rrierezfc i lnsinlncos. .

5. Tunjukkan bahwa 33 1 yixzf mempunyai turunan 23xivuzf xx

hanya jika z = i.

6. Misalkan u dan v menyatakan komponen bagian real dan imajiner dari fungsi f yang

didefinisikan dengan persamaan

0zjika,0

0zjika,z

zzf

2

. Selidiki bahwa

persamaan C-R xyyx vudanvu adalah dipenuhi pada titik asal z = (0,0).

72

7. Selesaikan persamaan (2) bagian 19 untuk ux dan uy dan untuk menunjukkan bahwa

ruuu

ruuu ryrx

cossin,

sincos . Maka gunakan persamaan ini dan

cara serupa untuk vx dan vy untuk menunjukkan bahwa, dalam persamaan (4) bagian 19

adalah dipenuhi di suatu titik z0 jika persamaan (6) bagian 19 adalah dipenuhi.

Selengkapnya selidiki bahwa (6) bagian 19 adalah persamaan C-R dalam bentuk polar.

8. Misalkan bahwa suatu fungsi f(z) = u + iv adalah terdiferensiabel disuatu titik tak nol

z0 = r0 exp(i0). Gunakan ux dan vx dalam soal no. 7, bersama-sama dengan koordinat

polar (6) bagian 19 dari persamaan C-R, untuk menunjukkan bahwa 0zf dapat

ditulis rri ivuezf , dimana ur dan vr dihitung pada (r0 , 0).

9. (a). Dengan menggunakan bentuk polar (6) bagian 19, dari persamaan C-R, turunkan

bentuk

ivuz

izf

00 dari 0zf dalam soal no. 8.

(b). Gunakan bentuk 0zf yang didapatkan dalam bagian (a) untuk mrnunjukkan

bahwa turunan dari fungsi 0zz

zf 1

dalam contoh bagian 19 adalah

2

1

zzf .

10. (a). Ingat kembali (bagian 3) bahwa jika z = x + iy, maka2

zzx

dan

i

zzy

2

.

Dengan menggunakan rumus aturan rantai dalam kalkulus untuk fungsi F(x,y) dari

dua variabel, untuk menhitung

y

Fi

x

F

z

y

y

F

z

x

x

F

z

F

2

1.

(b). Definisikan operator

yi

xz 2

1, dengan menggunakan bagian (a), untuk

menunjukkan bahwa turunan parsial orde pertama bagian real dan imajiner dari

suatu fungsi f(z) = u(x,y) + iv(x,y) memenuhi persamaan C-R, maka

73

02

1

yxyx uvivu

z

f. Jadi penurunan bentuk kompleks 0

z

fdari

persamaan C-R.

20. FUNGSI ANALITIK

Pada bagian ini akan dipelajari pendahuluan dari suatu fungsi analitik. Suatu fungsi

f dari variabel kompleks z adalah analitik dalam suatu himpunan buka jika fungsi f

mempunyai turunan disetiap titik dalam himpunan tersebut. Jika suatu fungsi f adalah

analitik dalam suatu himpunan S yang tidak buka, maka f adalah analitik dalam suatu

himpunan buka yang memuat S. Khususnya, f adalah analitik di suatu titik z0 jika f itu

analitik dalam lingkungan z0.

Sebagai catatan, bahwa fungsi z

zf1

adalah analitik disetiap titik tak nol dalam

bidang hingga. Tetapi fungsi 2zzf adalah tidak analitik disetiap titik karena

turunannya hanya ada di z = 0 dan tidak pada seluruh lingkunganya. (lihat contoh 2. bagian

15).

Suatu fungsi dikatakan entire jika fungsi tersebut adalah analitik disetiap titik dalam

suluruh bidang hingga. Sebagai contoh turunan dari fungsi polinom ada dimana-mana,

maka setiap fungsi polinom adalah suatu fungsi entire.

Jika suatu fungsi f tidak analitik disuatu titik z0 tetapi analitik pada beberapa titik

pada setiap lingkungan dari z0, maka z0 maka z0 disebut titik singular atau singularitas dari

f. Titik z = 0 adalah jelas merupakan suatu titik singular dari fungsi z

zf1

. Fungsi

2zzf tidak mempunyai titik singular sebab tidak analitik dimana-mana.

Syarat perlu, tetapi bukan syarat cukup, suatu fungsi f analitik dalam suatu domain

D adalah kontinu pada seluruh D. Persamaan C-R adalah juga syarat perlu, tetapi bukan

syarat cukup. Syarat cukup untuk analitik dalam domain D adalah dijelaskan pada teorema

dalam bagian 18 dan 19.

74

Selanjutnya, kita akan selalu menggunakan syarat cukup dari rumus differensial

yang termuat dalam bagian 16. Turunan jumlah dan perkalian dua fungsi ada asalkan

turunan dari masing-masing fungsi tersebut ada. Jadi, jika dua fungsi analitik dalam

domain D, maka jumlah dan perkaliannya adalah analitik dalam domain D. Dengan hal

serupa, hasil baginya adalah analitik dalam domain D asalkan penyebutnya tidak bernilai

nol disetiap titik dalam D. Khususnya, hasil bagi zQ

zPdari dua polinom adalah analitik

dalam setiap domain 0zQ .

Dari aturan rantai untuk turunan dari suatu fungsi komposisi, kita peroleh bahwa

komposisi dari dua fungsi analitik adalah analitik. Sebagai bukti, misalkan bahwa suatu

fungsi f(z) adalah analitik dalam domain D dan bayangannya (bagian 10) dari D oleh

transformasi w = f(z) adalah termuat dalam daerah definisi fungsi g(w). Maka komposisi

g[f(z)] adalah analitik dalam D, dan turunannya

zfzfgzfgdz

d

Teorema. Jika 0 zf dimana-mana dalam suatu domain D, maka zf harus konstan

pada seluruh D.

Untuk membuktikan ini, kita tulis f(z) = u(x,y) + iv(x,y). Karena 0 zf di D,

maka ux + ivx = 0; dan, dari persamaan C-R, vy - iuy = 0. Akibatnya,

ux = uy = vx = vy = 0

disetiap titik dalam D.

21. PRINSIP REFLEKSI

Dalam dua bagian terakhir dari bab ini, kita akan mengembangkan sifat yang

penting dari fungsi analitik, sebagai tambahan yang sangat berguna dalam aplikasi.

Teorema dalam bagian ini ditampilkan berdasarkan kenyataan dari beberapa fungsi

analitik yang mempunyai sifat bahwa zfzf untuk semua z dalam daerah tertentu dan

yang lainnya tidak. Sebagai contoh z + 1 dan z2 memenuhi sifat tersebut jika D adalah

75

seluruh bidang hingga; tetapi tidak benar untuk z + i dan iz2 . Teorema ini diketahui

melalui prinsip refleksi, yang ditentukan dengan jalan memprediksi fungsi f(z) dalam

sumbu real yang berhubungan dengan pencerminan dari z.

Theorema. Misalkan bahwa fungsi f adalah analitik dalam suatu domain D yang memuat

segmen sumbu x dan simetri terhadap sumbu x. Maka

(1) zfzf

untuk setiap titik z dalam domain jika dan hanya jika f(x) adalah real disetiap titik x pada

segmen.

Kita mulai membuktikan dengan asumsi bahwa f(x) adalah real disetiap titik x pada

segmen. Pertama-tama akan ditunjukan bahwa

(2) zfzF

adalah analitik di D, dengan menggunakan asumsi yang termuat dalam persamaan (21.1).

Untuk menyelidiki keanalitikan dari F(z), kita tulis

f(z) = u(x,y) + iv(x,y), F(z) = U(x,y) + iV(x,y)

dan dari persamaan (2) diperoleh

(3) yxivyxuzf ,, ,

sehingga komponen dari F(z) dan f(z) dihubungkan oleh persamaan

(4) U(x,y) = u(x,t) dan V(x,y) = -v(x,t),

dimana t = -y. Karena f(x + it) adalah suatu fungsi analitik dari x + it, turunan parsial orde

pertama dari fungsi u(x,t) dan v(x,t) adalah kontinu diseluruh D dan memenuhi persamaan

C-R

(5) ux = vt , ut = -vx.

Selanjutnya, dari persamaan (4),

ttyxx vdy

dtvVuU , ;

dan dari sini dan persamaan (5) bagian yang pertama bahwa Ux = Vy . Dengan cara serupa,

xxtty vVudy

dtuU , ;

76

dan dari persamaan (5) yang kedua diperoleh bahwa Uy = -Vx . Sebab melalui turunan

parsial orde pertama dari U(x,y) dan V(x,y) memenuhi persamaan C-R dan turunannya

adalah kontinu, kita peroleh bahwa fungsi F(z) adalah analitik dalam D. Selanjutnya,

karena f(x) adalah real pada segmen dari sumbu real yang terletak dalam D, v(x,0) = 0 pada

segmen, dan dari persamaan (4), ini berarti bahwa

F(x) = U(x,0) + iV(x,0) = u(x,0) - iv(x,0) = u(x,0)

Jadi,

(6) F(z) = f(z)

Disetiap titik z = x pada segmen. Kita sekarang merujuk pada hasil yang termuat dalam Bab

6 (bagian. 58). Sebutlah, suatu fungsi bahwa analitik dalam domain D adalah tunggal yang

ditentukan dengan nilai sepanjang setiap segmen garis yang terletak dalam D. Jadi

persamaan (6) adalah benar untuk seluruh D. Sebab dari definisi (21.2) dari fungsi F(z),

maka,

(7) zfzf ;

adalah sama melalui persamaan (1).

Untuk membuktikan sebaliknya dari teorema di atas, kita asumsikan bahwa

persamaan (1) adalah benar, dan dari (3), (7) persamaan (1) dapat ditulis

u(x , -y) - iv(x , -y) = u(x , y) + iv(x , y)

Khususnya, jika (x,0) adalah titik pada segmen dari sumbu real yang terletak dalam D,

u(x , 0) - iv(x ,0) = u(x ,0) + iv(x , 0) ;

dan, dengan menyamakan bagian imajinernya, kita peroleh bahwa v(x , 0) = 0. Jadi f(x)

adalah real pada segmen dari sumbu real yang terletak dalam D.

Contoh. Dari pernyatan pada awal teorema di atas, kita catat bahwa 11 zz dan

22 zz untuk setiap z dalam bidang hingga. Dari teorema di atas, diketahui bahwa ini

benar, dimana x + 1 dan x2 adalah real jika x adalah real. Kita juga mencatat bahwa z + i

dan iz2 tidak memenuhi sifat refleksi pada seluruh bidang, dan kita ketahui bahwa x + i dan

ix2 adalah bukan real jika x adalah real.

77

22. FUNGSI HARMONIK

Suatu fungsi bernilai real H dari dua variabel real x dan y dikatakan harmonik dalam suatu

domain yang diberikan dari bidang xy jika turunan parsialnya orde pertama dan kedua

adalah kontinu dan memenuhi persamaan differensial parsial

(1) 0,, yxHyxH yyxx

persamaan (1) disebut persamaan Laplace

Fungsi harmonik adalah sangat penting dalam aplikasi matematika. Sebagai contoh,

fungsi temperatur T(x , y) dalam plat yang terletak dalam bidang xy adalah selalu harmonik.

Suatu fungsi V(x,y) adalah harmonik jika menyatakan suatu potensial listrik yang berubah-

ubah dengan x dan y dalam daerah ruang tiga dimensi adalah bebas.

Contoh 1. Mudah untuk ditunjukkan bahwa fungsi xeyxT y sin, adalah harmonik

pada setiap domain dari bidang xy dan khususnya, daerah 0 < x < , y > 0.

0,, yxTyxT yyxx

yT,yT 0,0,0

0yx,Tlim,xxTy

sin0,

Teorema 1. Jika suatu fungsi f(z) = u(x,y) + iv(x,y) adalah analitik dalam domain D, maka

fungsi komponen u dan v adalah harmonik dalam domain D.

Txx + Tyy = 0 T = 0T = 0

0 T = sin x x

y

Gambar 23

78

Untuk membuktikan teorema ini kita membutuhkan suatu hasil bahwa, jika fungsi

dari suatu variabel kompleks adalah analitik di suatu titik, maka komponen bagian real dan

imajiner mempunyai turunan parsial yang kontinu pada sumua pasangan titik.

Asumsikan bahwa f analitik dalam D, kita mulai menghitung turunan parsial orde

pertama dari komponen fungsi harus memenuhi persamaan Cauchy-Riemann sepanjang D;

(2) ux = vy, uy =- vx

Differensialkan kedua ruas persamaan (22.2) terhadap x, kita mempunyai

(3) uxx = vyx, uyx =- vxx

Dengan cara serupa, differensialkan juga terhadap y dan diperoleh

(4) uxy = vyy, uyy =- vxy

Sekarang, berdasarkan teorema dalam kalkulus lanjut, kekontinuan dari turunan parsial dari

u dan v harus memenuhi uyx = uxy dan vxy = vyx. Dari persamaan (3) dan (4) diperoleh

bahwa

uxx + uyy = 0 dan vxx + vyy = 0

Jadi u dan v harmonik dalam D.

Contoh 2. Fungsi f(z) = e-ysin x – ie-y cos x adalah entire (latihan 1(c)). Juga fungsi

temperatur T(x,y) = e-ysin x dalam contoh 1 harmonik dalam setiap domain dari bidang xy.

Contoh 3. Fungsi g(z) = z2 = (x + iy)2 = x2 – y2 + i2xy adalah entire, juga perkalian fungsi

f(z)g(z), dengan f(z) adalah sama pada contoh (2). Fungsi

Re[f(z)g(z)] = e-y[(x2-y2) sin x + 2xycos x]

juga harmonik sepanjang bidang xy.

Jika diberikan fungsi u dan v harmonik dalam domain D dan turunan parsial orde

pertama memenuhi persamaan Cauchy-Riemann (22.2) sepanjang D, v disebut harmonik

conjugate dari u. Arti kata conjugate disini tidak sama dengan conjugate dalam bagian 3.

Teorema 2. Suatu fungsi f(z) = u(x,y) +iv(x,y) adalah analitik dalam domain D jika dan

hanya jika v merupakan harmonik conjugate dari u.

Contoh 4. Misalkan bahwa

u(x,y) = x2 – y2 dan v(x,y) = 2xy.

79

Merupakan komponen bagian real dan imajiner fungsi entire f(z) = z2, kita tahu bahwa v

adalah harmonik konjugate dari u seluruh bidang xy. Tetapi u bukan harmonik konjugate

dari v, hal ini dapat diselidiki dalam latihan 2(b), fungsi 2xy + i(x2-y2) tidak analitik

dimana-mana.

Kita dapat menunjukkan dalam latihan 11(b) bahwa jika dua fungsi u dan v saling

harmonik konjugate satu sama lain, maka kedua fungsi u dan v merupakan fungsi konstan.

Jika v harmonik konjugate dari u dalam domain D, maka –u adalah harmonik konjugate

dari v dalam D, dan sebaliknya. Perhatikan fungsi di bawah ini,

f(z) = u(x,y) + iv(x,y), -if(z) = v(x,y) - iu(x,y)

f(z) adalah analitik dalam D jika dan hanya jika –if(z) analitik dalam D.

Contoh 5. Kita akan ilustrasikan bagaimana mencari suatu harmonik konjugate dari suatu

fungsi harmonik yang diberikan. Fungsi

(5) u(x,y) = y3 – 3x2y

adalah harmonik sepanjang bidang xy. Akan dicari harmonik konjugate v(x,y). Turunan

parsial u terhadap x adalah

ux(x,y) = -6xy.

dan ux = vy, sehingga diperoleh

vy(x,y) = -6xy.

Karena x tetap, kita integralkan kedua ruas persamaan di atas terhadap y, dan diperoleh

(6) v(x,y) = -3xy2 + (x),

dimana fungsi sembarang dari x. Karena uy = -vx harus dipenuhi, maka dari persamaan

(5) dan (6)

3y2 – 3x2 = 3y2 + ’(x).

Juga ’(x) = 3x2; dan ini berarti (x) = x3 + c , dimana c suatu bilangan real. Juga fungsi

v(x,y) = x3 -3xy2 + c

adalah harmonik konjugate dari u(x,y).

Jadi fungsi analitik yang berkaitan adalah

(7) f(z) = (y3 – 3x2y) + i(x3 – 3xy2 + c).

80

Juga mudah ditunjukkan bahwa f(z) = i(z3 + c).

Jika y = 0, persamaan (7) menjadi

f(z) = i(x3 + c)

Latihan

1. Gunakan teorema dalam bagian 18 untuk menyelidiki, apakah setiap fungsi di bawah

ini adalah entire:

(a). f(z) = 3x + y + i(3y – x) (b). f(z) = sin x cosh y + icos x sinh y

(c). f(z) = e-ysin x- ie-ycos x (d). f(z) = (z2 – 2)e-xe-iy

2. Dengan menggunakan teorema pada bagian 17, tunjukkan setiap fungsi berikut tidak

analitik dimana-mana :

a. f(z) = xy + iy b. f(z) = 2xy + i (x2 – y2) c. f(z) = eyeix

3. Keadaan bagaimana suatu komposisi dari dua fungsi entire adalah entire. Juga, keadaan

bagaimana suatu kombinasi linear c1f1(z) + c2f2(z) dari dua fungsi entire, dimana c1 dan

c2 konstanta kompleks adalah entire.

4. Dalam setiap kasus, tentukan titik singular setiap fungsi berikut dan pada saat kapan

fungsi tersebut analitik dimana-mana kecuali dititik singularnya.

a. 1

122

zz

zzf b.

232

3

zz

izzf c.

222

12

2

zzz

zzf

5. Berdasarkan latihan 4(b) bagian 19, fungsi 2

i

erzg , r>0, adalah

analitik dalam daerah definisinya, dengan turunan zg

zg2

1' . Tunjukkan bahwa

komposisi fungsi g(2z-2+i) adalah analitik dalam bidang x>1, dengan turunan

izg 22

1.

6. Gunakan hasil dalam bagian 19 untuk menyelidiki bahwa fungsi g(z) = ln r + i , r>0,

0<<2 adalah analitik dalam daerah definisinya, dengan turunan z

zg1

' . Maka

81

tunjukkan bahwa komposisi fungsi g(z2+1) adalah fungsi analitik dari z dalam kuadran

x>0, y>0, dengan turunan1

22 z

z.

7. Misalkan fungsi f(z) analitik dalam domain D. Buktikan bahwa f(z) harus konstan

dalam D jika

a. f(z) adalah bernilai real untuk semua z dalam D.

b. zf adalah analitik dalam D

c. zf adalah konstan dalam D