1DERET FOURIER | Ida.W/Unmuh Po. DERERTFOURIER Pendahuluan Permasalahan yang melibatkan getaran dan osilasi sering dijumpai didalam fisika dan teknikmisalnya: vibrasi garpu tala, pendulum, benda yang dihubungkan dengan spiral, gelombang air, arus bolak balik dan sebagainya yang semuanya melibatkan persamaan yang mengandung fungsi sinus dan cosinus.Pada saat ini kita akan mempelajari apa yang dinamakan deret Fourieryang mempunyai bentuk sinus dan cosinus. Teori dasar dari deret Fourier cukup rumit. Meskipun demikian, aplikasinya sangat sederhana. Deret Fourier ini lebih umum dibandingkan dengan deret Taylor. Hal ini disebabkan karena dalam banyak permasalahan praktis yang terkait dengan fungsi periodik tak kontinu dapat diselesaikan dengan menggunakan deret ini dan tidak ditemukan pada Deret Taylor. Dalam matematika, Deret Fourier merupakan penguraian fungsi periodik menjadi sejumlah fungsi-fungsi berosilasi, yaitu fungsi sinus dan kosinus, ataupun eksponensial kompleks. Studi deret Fourier merupakan cabang analisis Fourier. Deret Fourier diperkenalkan oleh Joseph Fourier (1768-1830) untuk memecahkan masalah persamaan panas di lempeng logam. 2DERET FOURIER | Ida.W/Unmuh Po. Persamaan panas merupakan persamaan diferensial parsial. Sebelum Fourier, pemecahan persamaan panas ini tidak diketahui secara umum, meskipun solusi khusus diketahui bila sumber panas berperi laku dalam cara sederhana, terutama bila sumber panas merupakan gelombang sinus atau kosinus. Solusi sederhana inidisebut sebagai solusi eigen. Gagasan Fourier adalah memodelkan sumber panas ini sebagai superposisi (atau kombinasi linear)gelombang sinus dan kosinus sederhana, dan menuliskan pemecahannya sebagai superposisi solusi eigen. Superposisi kombinasi linear ini disebut sebagai deret Fourier. Meskipun motivasi awal adalah untuk memecahkan persamaan panas, kemudian terlihat jelas bahwa teknik serupa dapat diterapkan untuk sejumlah besar permasalahan fisika dan matematika. Deret Fourier saat ini memiliki banyak penerapan di bidang teknik elektro, analisis vibrasi, akustika, optika, pengolahan citra, mekanika kuantum, dan lain-lain. Dinamai deret Fourier untuk menghormati Joseph Fourier (1768-1830), yang membuat kontribusi penting untuk mempelajari deret trigonometri, setelah penyelidikan awal oleh Leonhard Euler, Jean le Rond d'Alembert, dan Daniel Bernoulli. Ia menerapkan teknik ini untuk mencari solusi persamaan panas, penerbitan hasil awalnya pada tahun 1807 dalam Memoire sur la propagation de la chaleur dans les solides korps dan 1811, dan penerbitan dalam analytique Thorie de la chaleur pada tahun 1822. Dari sudut pandang modern, 3DERET FOURIER | Ida.W/Unmuh Po. hasil Fourier agak informal, karena kurangnya pengertian yang tepat tentang fungsi dan integral di awal abad kesembilan belas. Kemudian, Dirichlet dan Riemann menyajikan hasil Fourier dengan presisi dan formalitas lebih. Pendekatan yang berbeda untuk mendefinisikan dan memahami konsep deret Fourier telah ditemukan dengan menekankan aspek dari topik yang berbeda. Beberapa pendekatan yang lebih kuat didasarkan pada ide-ide matematika dan alat-alat yang tidak tersedia pada saat Fourier mengemukakan idenya. Fourier awalnya mendefinisikan deret Fourier untuk fungsi real, dan menggunakan fungsi sinus dan kosinus sebagai dasar ditetapkannyadekomposisi. Banyak hal lainnya yang berhubungan dengan transformasi Fouriermemperluas ide awal untuk aplikasi lain. Yang sekarangdisebut analisis harmonik. Sebuah deret Fourier, bagaimanapun, hanya dapat digunakan untuk fungsi periodik. Fungsi periodik; gerak harmonik sederhana dan gerak gelombang Sebelum membahas tentang deret fourier kita akan sedikit mengupas kembali notasi dan terminologi yang digunakan dalam gerak harmonik sederhana dan gerak gelombang. 4DERET FOURIER | Ida.W/Unmuh Po. Perhatikan partikel P seperti pada gambar yang bergerak melingkar dengan kecepatan konstan pada radius A. Pada saat yang sama, lihat partikel Q bergerak naik turun sepanjang garis lurus pada tabir RS dimana koordinat-yP dan Q selalu sama. Jika adalah kecepatan sudut P dalam radian per detik, danpada t = 0, kemudian pada waktu t sembarang; Koordinat-y dari Q (yang sama dengan koordinat-y dari P) adalah; Gerak Q yang naik turun (bolak balik) disebut gerah harmonik sederhana. Dari definisi sebuah benda melakukan gerak harmonik sederhana apabila persamaan geraknya adalah(atauatau ). Koordinat-x dan koordinaty partikel P adalah; y P R Q S x A 5DERET FOURIER | Ida.W/Unmuh Po. Jika kita ambil P sebuah titik di bidang kompleks maka z = x + iy, sehingga gerak titik P diganti dengan hanya satu persamaan saja yaitu;

Pada bagian ini, f (x) menunjukkan fungsi dari variabel real x. Fungsi ini biasanya dianggap periodik, dengan periode 2, yang berarti bahwa f (x + 2) = f (x), untuk semua bilangan real x.Kita akan mulai dengan menggunakan jumlah tak terbatas fungsi sinus dan kosinus pada interval [-, ], seperti Fourier lakukan , dan kita kemudian akan membahas formulasi yang berbeda dan umum. Rumus Fourier untuk fungsi 2-periodik menggunakan sinus dan cosinus Untuk fungsi periodik f (x) yang terintegrasikan pada [-, ], dapat dinyatakan sebagai jumlah tak hingga dari gelombang-gelombang sinusoida, dan dapat dinyatakan dalam bentuk deret Fourier sebagai berikut: ==+ + =+ + + ++ + + + =1 10 213 2 13 2 1 0 21sin cos..... 3 sin 2 sin sin...... 3 cos 2 cos cos ) (nnnnnx b nx a ax b x b x bx a x a x a a x f 6DERET FOURIER | Ida.W/Unmuh Po. Dengan0a, na, nb dinamakan koefisien Fourier dari f Atau }=tttdx x f a ) (10 dan Deret Fourier tidak selalu menyatu, dan bahkan ketika ia konvergen untuk nilai tertentu 0xdari x, jumlah deret di 0xmungkin berbeda dari nilai fungsi f (0x ). Ini adalah salah satu pertanyaan utama dalam analisa harmonik untuk memutuskan kapan deret Fourier konvergen, dan ketika jumlahnya sama dengan fungsi semula. Jika fungsi sebuah persegi terintegrasikan pada interval [-, ], maka deret Fourier konvergen untuk fungsi hampir di setiap titik. Dalam aplikasi engineering, deret Fourier umumnya dianggap konvergen di mana-mana kecuali pada diskontinuitas, karena fungsi yang dihadapi dalam rekayasa lebih berperilaku baik. Secara khusus, deret Fourier menyatu mutlak dan seragam untuk f (x) setiap kali turunan dari f (x)adalah persegi terintegrasikan. 7DERET FOURIER | Ida.W/Unmuh Po. Contoh 1: Kembangkan dalam fungsi f(x) deret Fourier untuk gambar di bawah. Gambar ini menggambarkan pulsa tegangan periodic, bentuk ini berhubungan dengan frekuensi a-c yang berbeda yang dikombinasikan dalam tegangan gelombang persegi, dan besaran koefisien Fourier menyatakan hubungan penting dari berbagai frekuensi.Ingat bahwa f(x) berperioda 2. )`( ( ( ( =ttxxx f0 , 10 , 0) ( Untuk mencari fungsi deret Fourier kita cari dulu koefisiennya (0a, na, nb) dahulu. 1 0 --22 8DERET FOURIER | Ida.W/Unmuh Po. ( ))`= == = = =((

+ = =}} } } 0 1 .10 0 0 sin sin1.1cos1cos . 1 cos . 01cos ) (1000n untukn untuk nnnxdxnxdx nxdx nxdx x f antttttt tttttt Jadi 10 = a dan 0 =na ( ) | |)`= =((

= =((

+ = =}} } } ganjil nngenap nn nnxnxdxnxdx nxdx nxdx x f bnn.2. 01 11 cos 1sin1sin . 1 sin . 01sin ) (10 000tt t tt ttttttt Masukkan semua nilai koefisien ini ke persamaan deret Fourier, sehingga kita dapatkan; |.|

\|+ + + + = .......55 sin33 sin1sin 2) (21x x xx ft

SYARAT DIRICLET 9DERET FOURIER | Ida.W/Unmuh Po. Andaikan bahwa: 1.f(x) terdefinisi dan bernilai tunggal kecuali munglin di sejumlah berhingga titik pada (-L,L). 2.f(x) periodik di luar (-L,L) dengan perioda 2L. 3.f(x) dan f(x) kontinu bagian demi bagian pada (-L,L). Maka deret 1.dengan koefisien 2 atau 3 konvergen ke; (a). f(x), bilamana x adalah suatu titik kekontinuannya. (b). 2) 0 ( ) 0 ( + + x f x f bilamana x adalah suatu titik ketakkontinuannya Pada kali ini f(x+0) dan f(x-0) berturut-turut adalha limit kiri dan limit kanan dari f(x) di x dan menyatakan ) ( lim0c +x fx dan ) ( lim0c x fx di sini >0.Ini sering kali dituliskan) ( lim0c +x fx dan ) ( lim0c x fx untuk menyatakan bahwa0 cdari arah nilai-nilai positif. Syarat 1, 2, dan 3 yang dinyatakan pada f(x) adalah syarat cukup tetapi bukan syarat perlu, dan secara umum dalam prakteknya dipenuhi. Sekarang ini tidak diketahui syarat perlu dan cukup untuk kekonvergenan deret Fourier. Hal yang menarik adalah bahwa kekontinuan f(x) tidak sendirian menjamin kekonvergenan suatu deret Fourier. Contoh 2: serangkaian Fourier sederhana 10DERET FOURIER | Ida.W/Unmuh Po. Plot dari fungsi gelombang identitas periodik-a gigi gergaji Plot animasi dari lima deretpertama Fourier parsial Kita menggunakan rumus di atasuntuk gelombang gigi gergaji Dalam kasus ini, koefisien Fourier diberikan oleh Hal ini dapat dibuktikan bahwa deret Fourier menyatu untuk f (x) di setiap titik x dimana f terdiferensialkan, dan karena itu: 11DERET FOURIER | Ida.W/Unmuh Po. Ketika x = , seri Fourier menyatu ke 0, yang merupakan setengah jumlah batas kanan kiri-dan-dari f pada x = . Ini adalah contoh khusus dari teorema Dirichlet untuk deret Fourier. BENTUK KOMPLEKS DARI DERET FOURIER Karena bentuk sinus dan cosinus dapat dinyatakan dalam bentuk kompleks dengn rumus; 2cos2sininx inx inx inxe enx danie enx +== Atau Dimana i adalah satuan imajiner, memberikan rumus dengankoefisien deret Contoh : Kita gunakan soal no. 1 di atas untuk mencari deret Fourier bentuk kompleks. 12DERET FOURIER | Ida.W/Unmuh Po. )`( ( ( ( =ttxxx f0 , 10 , 0) (

Jawab: Untuk mencari deret Fourier nya kita cari dahulu koefisien nc ; ( )2100000210 0,112121. 1 .21. 0 .21. ) (21= =)`== =((

=+ = =}} } }tttttttttt tt t tdx cgenap nganjil ninein inedx e dx e dx x f e cininxinx inx inxn Sehingga didapat ||.|

\|++++||.|

\|+ + + + == ...5 3 11...5 3 11) (5 3 5 321x i ix ix ix ix ixinxne e eie e eie c x ft t Dengan menggunakan rumus Euler didapat; 13DERET FOURIER | Ida.W/Unmuh Po. ( ) .... 5 sin 3 sin sin2...2 2 22...5 3 11...5 3 11) (5131215 5513 331215 3 5 321+ + + + =||.|

\|++++ =||.|

\|++++||.|

\|+ + + + = x x xie eie eie ee e eie e eix fix ix ix ix ix ixx i ix ix ix ix ixttt t Coba bandingkan dengan hasil dari contoh satu. Hasilnya sama tentu saja. Jadi penyelesaian deret Fourier dengan menggunakan kedua cara tersebut haruslah memperoleh jawaban yang sama kalaulah tidak berarti ada yang salah dalam mengerjakannya. INTERVAL LAIN Selama ini kita berhubungan dengan fungsi yang mempunyai perioda 2.Sekarang bagaimana kalau kita merubah periodanya katakanlah 2lmisalkan dalam interval (-l,l) atau (0,2l) . Tinggal kita ganti saja misalkan nx sinmenjadi lx ntsin yang juga mempunyai perioda 2l . Karena| |lx nnlx nl xln ttt tsin 2 sin 2 sin =|.|

\|+ = + Demikian pula untuk cos dan eksponensial nya. Sehingga: 14DERET FOURIER | Ida.W/Unmuh Po. ==+ + =+ + + ++ + + + =1 10 213 2 13 2 1 0 21sin cos.....3sin2sin sin......3cos2cos cos ) (nnnnlx nblx na alxblxblxblxalxalxa a x ft tt t tt t t =lx i ne c x fnt) ( Dengan koefisien-koefisiennya; }=llndxx nx fla/cos ) (1 t }=llndxlx nx f btsin ) (/1 }=lllx inndx x f elc . ) (21t Contoh soal:Diberikan persamaan )`( (( (=l x ll xx f2 , 10 , 0) ( Jawab : Nyatakan f(x) dalam deret Fourier dengan perioda 2l .Pertama kita gambarkan dahulu f(x) dengan perioda 2l l 0l-l2l3l 15DERET FOURIER | Ida.W/Unmuh Po. ( )2120222020210 0,12121. 1 .21. 0 .21. ) (21= =)`== =(((

=+ = =}} } } llin inlllx inlllx inllx inllx inndxlcgenap nganjil nine einlineldx eldx eldx x f elctttt ttt t t Sehingga|.|

\|+ + + =||.|

\|+++ =||.|

\|+ + + +||.|

\|+ + + = ....5sin3sin sin2...2 2 22...5 3 11...5 3 11) (5131215 5513 331215 35 321lxlxlxie eie eie ee e eie e eix fix ix ix ix ix ixlx ilx ilxilx ixlx ilx it t tttttt t tt t t FUNGSI GENAP DAN FUNGSI GANJIL Fungsi genap seperti cos x atau x dimana grafik untuk sisi negatifnya adalah refleksi terhadap sumbu y dari sisi positifnya.Secara rumus nilai f(x) sama untuk setiap nilai x yang diberikan dan juga negatifnya, ini berarti; f(x) dikatakan suatu fungsi genap jika f(-x) = f(x).16DERET FOURIER | Ida.W/Unmuh Po. Fungsi ganjil seperti sinx atau x dimana f(x) dan f(-x) adalah negative satu yang lainnya. Atau apabila didefinisikan; f(x) dikatakan suatu fungsi ganjil jika f(-x) = -f(x). Ada hal menarik dari kedua fungsi ini, apabila kita sudah tahu fungsi f(x) itu fungsi genapkah atau fungsi ganjil maka akan berlaku ketentuan berikut yaitu; Jika f(x) adalah fungsi genap maka ( ))`== }0cos20nlnbdxlx nx flat Kita dapat mengatakan bahwa f(x) diperluas dalam deret cosinus dan Jika f(x) adalah fungsi ganjil maka ( ))`== }0sin20nlnadxlx nx flbt

Fungsi f(x) ini diperluas dalam deret sinus. 17DERET FOURIER | Ida.W/Unmuh Po. Contoh soal; Nyatakan )`( ( ( (=1 , 00 , 1) (2121xxx f dalam 1.Deret Fourier sinus 2.Deret Fourier cosinus 3.Deret Fourier (bisa bentuk sinus-cosinus maupun bentuk eksponensial tapi dengan perioda 1) Jawab: 1.Gambarkan dahulu fungsinya, tentukan dahulu dalam interval (o,1) kemudian kembangkan dan buat dia ganjil. Bentuk dalam perioda 2, ini berarti l = 1. Karena sekarang fungsinya fungsi ganjil maka 00 = adan. , 0 ,32,24,212cos2 cos 2sin 2 sin ) (124 3 2 100 021dst b b b bnn nx nnxdx n nxdx x f bl ln= = = =((

=((

== =} }t t tttttt Sehingga deret fourier sinusnya adalah; 0 1 - -1 18DERET FOURIER | Ida.W/Unmuh Po. |.|

\|+ + + + = .......55 sin 233 sin 222 sin 2sin2) (x x xx x ft t ttt 2.Gambar untuk kasus ini adalah Disini l = 1, 0 =nb dan 1 2 ) ( 2210 00= = =} }dx dx x f al, | |2sin2sin2cos ) ( 24100ttttnnx nnnxdx x f aln= = = } Sehingga |.|

\|+ + + = .......77 cos55 cos33 coscos221) (x x xx x ft t ttt 3.Sketsa fungsi pada (0,1) dan periodik dengan perioda 1. 0-11 - 0 1--11 19DERET FOURIER | Ida.W/Unmuh Po. Disini 2l = 1, dan kita dapatkannc ( )210020221210 0,12121. ) (= =)`== === =}} } lninx inlx inndx cgenap nganjil nininiinedx e dx x f e ctt t tt t |.|

\|+ + + + =|.|

\|+ + + = .......510 cos36 cos2 sin221....3131 121) (6 6 2 2x xxe e e eix fx i x i x i x it ttttt t t t Dengan cara yang sama1 2 ) ( 2210100= = =} }dx dx x f a 0 2 cos ) ( 2210= = }xdx n x f ant | | ( ) ( ). , 0 ,32, 0 ,21 11cos 112 sin 2 sin ) (124 3 2 10 021dst b b b bnnnxdx n nxdx x f bnln= = = = = == =} }t ttttt Dari sini akan menghasilkan jawaban yang sama seperti di atas.