ESTIMASI TITIK DAN INTERVAL KEPERCAYAAN · PDF filetinggi kadar Interval estimasi ... Misalkan...

8/28/2012

1

LOGO

ESTIMASI TITIK DAN

INTERVAL KEPERCAYAAN Elty Sarvia, ST.,MT.

Fakultas Teknik Jurusan Teknik Industri

Universitas Kristen Maranatha

Bandung

LT Sarvia/Sesi 2

IE 305 Statistika Industri

Tujuan

Mendefinisikan suatu estimasi titik (point estimate) 1

Mendefinisikan tingkat kepercayaan (level of confidence) 2

Membuat interval kepercayaan untuk rata-rata populasi

apabila diketahui standar deviasi populasinya 3

Membuat interval kepercayaan untuk rata-rata populasi

apabila standar deviasi populasinya tidak diketahui 4

Membuat interval kepercayaan untuk suatu proporsi

populasi. 5

Menentukan ukuran sampel untuk sampling atribut dan

sampling variabel 6

LT Sarvia/2012

8/28/2012

2

Estimasi Titik

Adalah statistik yang dihitung dari informasi sampel yang digunakan untuk memperkirakan parameter populasi.

Contoh : Best Buy Inc. ingin memperkirakan rata-rata umur pembeli televisi. Mereka memilih sampel berisi 50 pembeli terakhir, menentukan umur masing-masing pembeli, dan memperhitungkan rata-rata umur pembeli dalam sampel tersebut. Rata-rata sampel tersebut adalah estimasi titik dari rata-rata populasi.

Rata-rata sampel ( ), adalah estimasi titik dari rata-rata populasi m; p (proporsi sampel) adalah estimasi titik dari p (proporsi populasi); dan s (standar deviasi sampel) adalah estimasi titik dari s (standar deviasi populasi).

Secara umum, parameter populasi akan diberi simbol (baca theta). Jadi bisa merupakan rata-rata m, simpangan baku s dan proporsi p .

LT Sarvia/2012

x

Karakteristik Sampel dan Populasi

Karakteristik Populasi :

m , s 2 , p

Karakteristik Sampel :

LT Sarvia/2012

x S 2 p

Mengestimasi

Penduga / Estimator

8/28/2012

3

Estimasi Titik

Estimasi titik hanya menceritakan sebagian dari kisah keseluruhan. Estimasi titik adalah nilai tunggal yang berasal dari suatu sampel dan digunakan untuk memperkirakan nilai populasi. Kita berharap bahwa estimasi titik nilainya sedekat mungkin dengan parameter populasi, karena itu akan kita ukur berapa dekat nilai tersebut sebenarnya. Interval kepercayaan dapat digunakan untuk melakukan pengukuran tersebut.

Interval Kepercayaan adalah kisaran nilai yang dibuat dari data sampel di mana parameter populasi cenderung terjadi dalam kisaran tersebut dengan probabilitas yang spesifik. Probabilitas spesifik ini disebut tingkat kepercayaan (level of confidence).

Misalkan, kita memilih sampel yang tdd 50 eksekutif muda untuk mengetahui berapa jam yang mereka habiskan untuk bekerja selama 1 minggu lalu. Hitung rata-rata dari sampel 50 orang ini dan gunakan nilai rata-rata sampel sebagai estimasi titik dari rata-rata populasi yang tidak diketahui. Estimasi adalah nilai tunggal. Pendekatan yang lebih informatif adalah dengan memberikan kisaran nilai yang kita harapkan akan terjadi dalam parameter populasi tertentu yaitu yang kita sebut interval kepercayaan

LT Sarvia/2012

Syarat Estimator

3. Konsisten :

2. Efisien :

1. Tidak Bias

Estimator dikatakan Konsisten, jika Estimator tetap konsisten / berkonsentrasi pada penduga

yang dibuat, atau :

Bila s 2 = 0 dan tidak bias, penduga yang secara sempurna nilainya berkonsentrasi di nilai

targetnya bila sampel diperbesar sampai tak terhingga ( ) atau makin besar ukuran sampel,

maka statistik penduga makin mendekati parameter populasi.

Estimator dikatakan Efisien, jika Estimator tersebut memiliki Variansi terkecil

Estimator dikatakan Tidak Bias, jika nilai Statistik sampel = nilai Parameter Populasi

LT Sarvia/2012

8/28/2012

4

Gambar 1

1. Penduga Tak Bias

LT Sarvia/2012

Penduga tak bias artinya penduga yang dengan tepat mengenai

sasaran, seperti yang ditunjukkan pada gambar 1. Sedangkan

penduga bias artinya penduga yang tidak tepat mengenai sasaran

atau disebut meleset, seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.

ө

Gambar 2

)ˆ(E )ˆ(E

Gambar 3

2. Penduga Yang Efisien

LT Sarvia/2012

Gambar 3 menunjukkan ada tiga penduga yaitu

yang diperoleh dari 3 sampel, dimana distribusi sampel 1

mempunyai variansi σ12 , sampel 2 mempunyai variansi σ2

2 , sampel

3 mempunyai variansi σ32 . Oleh karena sampel 1 mempunyai

variansi paling kecil, maka dikatakan merupakan penduga yang

efisien.

0)ˆ( E

2

1s

2

2s2

3s

2

3

2

2

2

1 sss

321ˆ,ˆ,ˆ dan

1

8/28/2012

5

Sampel 3, n3

Gambar 4

3. Penduga Yang Konsisten

LT Sarvia/2012

Gambar 4 ditunjukkan bahwa ukuran sampel 1, yaitu n1, lebih kecil

daripada ukuran sampel 2, yaitu n2 dan lebih kecil dari ukuran

sampel 3, yaitu n2 . Terlihat bahwa makin besar ukuran sampel,

maka statistik penduga makin mendekati parameter dari populasi,

dimana distribusi sampel konsisten bergerak ke kiri

Sampel 2, n2

Sampel 1, n1

Sifat Estimasi

1

Diketahui statistik sampel

(sebagian) dan berbicara

tentang parameter

(seluruh), estimasi

parameter mengandung

probabilitas keliru

Makin lebar interval

estimasi makin kecil

probabilitas keliru

2

Namun makin lebar

interval estimasi

makin kecil

ketepatannya

sehingga makin

rendah kadar

informasinya

3 Sebaliknya, makin

sempit interval

estimasi makin

besar probabilitas

keliru, namun makin

tinggi kadar

informasinya

Interval estimasi

berusaha mencari

imbangan terbaik di

antara probabilitas

keliru dan kadar

informasi

LT Sarvia/2012

8/28/2012

6

Rumus-rumus Estimasi : NORMAL

NORMAL

Bila n < 30 dan s tidak diketahui

Bila n 30 dan s diketahui =

Bila n < 30 dan s diketahui

Text

Text

Text

LT Sarvia/2012

I. Estimasi Interval Rata-Rata 1 Populasi ( m ) INGAT FAKTOR KOREKSI !

n

Z X n

Z- X /2/2

sm

s

Bila n 30 dan s tidak

diketahui

n

Z X n

Z- X /2/2

SS m

n

t X n

t- X /2/2

SS m ;v = n – 1

Persamaan I.1 Persamaan I.2

Persamaan I.3


LT Sarvia/2012

II. Estimasi Interval Rata-Rata 2 Populasi

1. Bila s1 & s2 diketahui untuk : n1 & n2 30 dan n1 & n2 < 30

nn

Z XX - nn

Z- XX2

22

1

21

/221212

22

1

21

/221ss

mmss

2. Bila n1 & n2 30 dan s1 & s2 tidak diketahui

nn

Z XX - nn

Z- XX2

22

1

21

/221212

22

1

21

/221SSSS

mm

3. Bila n1 & n2 < 30 dan s1 & s2 tidak diketahui s1 s2 cek dengan Uji F apakah s1 s2

n

1

n

1 Sp t XX -

n

1

n

1 Sp t- XX

21/22121

21/221 mm

2 - n n v ;

2nn

S1 -nS1 -n Sp 21

21

2

22

2

11

Persamaan II.1

Persamaan II.2

Persamaan II.3

8/28/2012

7


LT Sarvia/2012


4. Bila n1 & n2 < 30 dan s1 & s2 tidak diketahui s1 s2

nn

t XX - nn

t- XX2

22

1

21

/221212

22

1

21

/221SSSS

mm

1n

n

1n

n

nn V

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

2

2

2

1

2

1

SS

SS

Persamaan II.4


LT Sarvia/2012


5. Untuk pengamatan berpasangan :

n

Sd t d

n

Sd t- d /2/2 mD

dimana : v = n – 1 n

d d

i 21 XX ; d i =

) 1 -n (n

di - din Sd

22

Ciri-ciri

pengamatan

berpasangan :

1. Jumlah ukuran sampel-nya sama n1 = n2 = n

2. Dilakukan terhadap individu yang sama / identik mendapat

perlakuan yang sama

Persamaan II.5

8/28/2012

8


Estimasi

Interval

Proporsi

Text

Text

LT Sarvia/2012

III. Estimasi Interval Proporsi

Untuk 1 Populasi : n

q p Z p

n

q p Z- p /2/2

p

Untuk 2 Populasi :

n

q p

n

q p Z p - p

n

q p

n

q p Z- p - p

2

22

1

11/22121

2

22

1

11/221

pp

Persamaan III.1

Persamaan III.2


Untuk 1 Populasi :

Estimasi Interval Variansi

LT Sarvia/2012

IV. Estimasi Interval Variansi

S ) 1 -n (

S ) 1 -n (

22/1

22

22/

2

s

Untuk 2 Populasi :

),(f S

S

),(f

1

S

S12/22

2

21

22

21

21/22

2

21

vv

vv

s

sLihat Tabel Chi-Square

Lihat Tabel F

Persamaan IV.1

Persamaan IV.2

8/28/2012

9

Uji F :

untuk mengetahui apakah s1 = s2 atau s1 ≠ s2

LT Sarvia/2012

1. Struktur Hipotesis :

H0 : s2 1 = s2

2

H1 : s2 1 > s2

2

2. Taraf nyata : = 0,05 uji 1 arah ( sebelah kanan )

3. Statistik Uji : Uji F

530,366,0

24,1

S

S F

2

2

2

2

2

1

f 0,05 ( 15 , 9 ) = 3,01

4. Wilayah Kritis

3,01

= 0,05 v1 = 16 – 1 = 15

v2 = 10 – 1 = 9

3,530

Keputusan : Tolak H0

Kesimpulan : s1 ≠ s2

Contoh Soal :

1. Sebuah sampel acak tdd 100 mahasiswa telah diambil dari

sebuah universitas mengenai nilai-nilai IQ-nya dan menghasilkan

nilai rata-rata 112 dan simpangan baku 10. Jika dikehendaki

interval taksiran rata-rata dengan tingkat kepercayaan 95%.

Hitunglah interval selang kepercayaan tersebut.

LT Sarvia/2012

Jawab

112x Dist. Z

Diketahui :

n = 100

10S

Tkt. kepercayaan = 95 % = 1 – 95% = 0,05

/2 = 0,025

Z /2 = ± 1,96

8/28/2012

10

Jawab :

LT Sarvia/2012

Selang kepercayaan 95 % bagi nilai tengah nilai IQ Mahasiswa dari

sebuah Universitas adalah :

n

Z X n

Z- X /2/2

SS m

100

10 ,961 112

100

10 ,961 - 112 m

110,04 ≤ m ≤ 113,96

Kesimpulan : kita percaya 95 % bahwa IQ rata-rata mahasiswa akan ada

dalam interval dengan batas 110,04 – 113,96

Persamaan I.2

Contoh Soal :

2. Idem soal no. 1. Jika dikehendaki interval taksiran rata-rata dengan

tingkat kepercayaan 99%. Hitunglah interval selang kepercayaan

tersebut.

LT Sarvia/2012

Jawab

112x Dist. Z

Diketahui :

n = 100

10S

Tkt. kepercayaan = 99 % = 1 – 99% = 0,01

/2 = 0,005

Z /2 = ± 2,58

8/28/2012

11

Jawab :

LT Sarvia/2012

Selang kepercayaan 99 % bagi nilai tengah nilai IQ Mahasiswa dari

sebuah Universitas adalah :

n

Z X n

Z- X /2/2

SS m

100

10 ,582 112

100

10 ,582 - 112 m

109,42 ≤ m ≤ 114,58

Kesimpulan : kita percaya 99 % bahwa IQ rata-rata mahasiswa akan ada

dalam interval dengan batas 109,42 ≤ m ≤ 114,58

Dari contoh diatas, dapat dilihat bahwa makin besar selang kepercayaan

makin lebar jarak interval kepercayaan dan sebaliknya. Jika batas-batas

selang kepercayaan menjadi satu, kita peroleh titik taksiran dengan

derajat kepercayaan paling kecil

Persamaan I.2

Contoh Soal :

3. Isi kaleng asam sulfat adalah 9,8 ; 10,2 ; 10,4 ; 9,8 ; 10,0 ; 10,2 ; &

9,6 liter. Tentukan selang kepercayaan 95% bg nilai tengah isi

semua kaleng, bila isi kaleng itu menyebar normal !

LT Sarvia/2012

Jawab

107

9,9.....10,29,8x

Dist. t

Diketahui :

n = 7

283,0

17

106,9.........102,10108,9S

222

8/28/2012

12

Jawab :

LT Sarvia/2012

Tkt. kepercayaan = 95 % = 1 – 95% = 0,05

/2 = 0,025

v = n – 1 = 7 – 1 = 6

t /2 = ± 2,447

Selang kepercayaan 95 % bagi nilai tengah isi semua kaleng

n

t X n

t- X /2/2

SS m

7

283,0 ,4472 10,0

7

283,0 ,4472 - 10,0 m

9,74 ≤ m ≤ 10,26

Persamaan I.3

Contoh Soal :

4. Misalkan kita ingin menaksir ada berapa persen anggota

masyarakat berumur 15 tahun ke atas termasuk ke dalam

golongan darah A. Untuk itu sebuah sampel acak berukuran n =

1.200 diambil yang menghasilkan 504 tergolong kategori A.

Tentukan selang kepercayaan 95% bagi proporsi anggota

masyarakat yang memiliki golongan darah A

LT Sarvia/2012

Diketahui x = 504 (gol darah A)

n = 1.200 %4242,0

1.200

504

n

x p

q = 1-p= 1-0,42 = 0,58

Tkt. kepercayaan = 95 % = 1 – 95% = 0,05

/2 = 0,025

Z /2 = ± 1,96

8/28/2012

13

Jawab :

LT Sarvia/2012

Selang kepercayaan 95 % bagi bagi proporsi anggota masyarakat yang

memiliki golongan darah A adalah :

Kesimpulan : kita percaya 95 % bahwa persentase anggota masyarakat

yang termasuk golongan darah A akan ada dalam interval

n

q p Z p

n

q p Z- p /2/2

p

1.200

0,58 0,42 ,961 0,42

1.200

0,58 0,42 ,961 - 0,42

p

0,39 ≤ p ≤ 0,45

0,39 ≤ p ≤ 0,45

Persamaan III.1

Contoh Soal :

5. Ada dua cara pengukuran untuk mengukur kelembaban sesuatu

zat. Cara I dilakukan 60 kali yang menghasilkan rata-rata 70, 4 dan

s2= 37,2. Cara II dilakukan 50 kali yang menghasilkan rata-rata

60,2 dan s2= 24,7. Tentukan selang kepercayaan 95% bagi

perbedaan rata-rata pengukuran dari kedua cara itu.

LT Sarvia/2012

2,60x2 Dist. Z

Cara I Cara II

n 1 = 60 n 2 = 50

4,70x1

s22= 24,7 s1

2= 37,2

Tkt. kepercayaan = 95 % = 1 – 95% = 0,05 /2 = 0,025

Z /2 = ± 1,96

8/28/2012

14

Jawab :

LT Sarvia/2012

Selang kepercayaan 95% bagi perbedaan rata-rata pengukuran dari

kedua cara itu adalah :

Kesimpulan : kita percaya 95 % bahwa selisih rata-rata pengukuran

kedua cara itu akan ada dalam interval

nn

Z XX - nn

Z- XX2

22

1

21

/221212

22

1

21

/221SSSS

mm

50

7,24

60

2,37 ,961 2,604,70 -

50

7,24

60

2,37 ,961 - 2,604,70 21 mm

8,131≤ m 1 – m 2 ≤ 18,331

8,131≤ m 1 – m 2 ≤ 18,331

Persamaan II.2

Contoh Soal : 6. 20 mahasiswa tingkat satu dibagi ke dalam 10 pasang, dimana setiap pasang kira-kira

mempunyai IQ yang sama. Salah seorang dari setiap pasangan diambil secara acak &

dimasukkan ke dalam kelas yang hanya menggunakan bahan terprogramkan. Anggota

pasangan yang lain dimasukkan ke dalam kelas biasa. Pada akhir semester, ke-2 grup itu

diberikan ujian yang sama dan hasilnya adalah sbb :

LT Sarvia/2012

Pasangan Kelas dengan bahan

terprogramkan Kelas Biasa

1 76 81

2 60 52

3 85 87

4 58 70

5 91 86

6 75 77

7 82 90

8 64 63

9 79 85

10 88 83

Tentukan selang kepercayaan 98 % bagi selisih sesungguhnya dalam kedua metode pengajaran

tersebut ! Asumsikan data kedua populasi menyebar menghampiri normal.

8/28/2012

15

Jawab No. 6

Kelas dengan bahan

terprogramkan

Kelas Biasa

n 1 = 10 n 2 = 10

LT Sarvia/2012

Dist. t - berpasangan

Tkt. kepercayaan = 98 % = 1 – 98% = 0,02

/2 = 0,01

v = n – 1 = 10 – 1 = 9

t /2 = ± 2,821

Jawab No. 6 (2)

LT Sarvia/2012

Pasangan Kelas dengan bahan

terprogramkan Kelas Biasa d d 2

1 76 81 -5 25

2 60 52 8 64

3 85 87 -2 4

4 58 70 -12 144

5 91 86 5 25

6 75 77 -2 4

7 82 90 -8 64

8 64 63 1 1

9 79 85 -6 36

10 88 83 5 25

S = -16 392

8/28/2012

16

Jawab No. 6 (3)

LT Sarvia/2012

6,110

16

n

d d

i

) 1 -n (n

di - din Sd

22

381,6

) 1 - 10 ( 10

16 - ) 392 * 10 (2

Selang kepercayaan 98 % bagi selisih sesungguhnya dalam kedua

metode pengajaran adalah :

n

Sd t d

n

Sd t- d /2/2 mD

10

6,381 ,8212 1,6-

10

6,381 ,8212 - 1,6- Dm

-7,29 ≤ m D ≤ 4,09

Persamaan II.5

Memilih Ukuran Sampel yang Tepat

Tingkat kepercayaan yang diharapkan

Batas Kesalahan yang diterima

Variabilitas populasi yang sedang diteliti

Ukuran

sampel yang

tepat

LT Sarvia/2012

8/28/2012

17

Memilih Ukuran Sampel yang

Tepat (2)

Faktor pertama adalah tingkat kepercayaan (level of confidence). Orang yang akan melakukan penelitian harus memilih tingkat kepercayaannya. Tingkat kepercayaan 95 % dan 99 % adalah yang paling lazim, tetapi nilai berapapun antaa 0 dan 100 dapat dipilih. Semakin tinggi tingkat kepercayaan yang dipilih, harus semakin besar ukuran sampelnya.

LT Sarvia/2012

1. Tingkat kepercayaan yang diharapkan

Faktor yang kedua adalah kesalahan yang diizinkan (allowance error). Maksimal kesalahan yang diizinkan, dilambangkan dengan e, adalah jumlah yang ditambahkan pada dan dikurangkan dari rata-rata sampel (atau bagian sampel) untuk menentukan nilai dari interval kepercayaan. Ini adalah jumlah kesalahan yang dapat ditoleransi oleh pihak yang melakukan penelitiannya. Suatu nilai yang kecil untuk kesalahan yang diizinkan akan membutuhkan sebuah sampel yang besar.

2. Batas kesalahan yang dapat diterima

Memilih Ukuran Sampel yang

Tepat (3)

Faktor ketiga dalam menentukan ukuran sampel adalah standar deviasi populasi (population standard deviation). Jika populasi tersebar secara luas, dibutuhkan sampel yang besar. Disisi lain, jika populasinya terkonsentrasi (homogen), ukuran sampel yang dibutuhkan lebih kecil. Sangat penting untuk menggunakan estimasi dalam standar deviasi populasi.

LT Sarvia/2012

3. Variabilitas populasi yang sedang diteliti

8/28/2012

18

Beberapa rumus yang sering digunakan untuk mencari ukuran sampel

minimum yaitu :

1. Ukuran contoh untuk pendugaan m : 2. Ukuran contoh untuk pendugaan p :

LT Sarvia/2012

2

/2

e

σ . z n

dimana :

e : error / galat

2

2/2

e

q p . z n

2

2/2

e 4

z n

Contoh Soal :

7. Seorang mahasiswa jurusan administrasi negara ingin mengetahui rata-

rata dari jumlah pendapatan setiap bulan anggota dewan kota. Kesalahan

estimasi rata-ratanya adalah kurang dari $100 dengan tingkat

kepercayaan 95 %. Mahasiswa ini menemukan sebuah laporan oleh

Departemen Tenaga Kerja yang telah memperkirakan standar deviasinya

sebesar $1.000. Berapakah ukuran sampel yang diperlukan?

LT Sarvia/2012

Jawab :

Tingkat kepercayaan = 95% = 1 – 95% = 0,05 /2 = 0,025

Z /2 = ± 1,96

e = $ 100

s = $1.000

8/28/2012

19

Sebuah sampel sebanyak 385 dibutuhkan untuk mendapatkan spesifikasinya.

Jika mahasiswa ini ingin meningkatkan tingkat kepercayaannya, sebagai

contoh 99 %, akan dibutuhkan sampel yang besar, maka :

LT Sarvia/2012

38516,3846,19100

1.000 . ,961

e

σ . z n

2

22

/2

Jawab :

Ukuran Sampel :

6640625,66375,25100

1.000 . ,5752

e

σ . z n

2

22

/2


Z /2 = ± 2,575

Contoh Soal :

8. Sebuah penelitian memperkirakan proporsi kota-kota yang ada kolektor

sampah swastanya. Mahasiswa ini ingin batas kesalahannya berada

berada dalam 0,10 dari proporsi populasi, tingkat kepercayaan yang

diharapkan adaah 90 %, dan estimasi yang tersedia untuk proporsi

populasi. Berapakah ukuran sampel yang diperlukan?

LT Sarvia/2012

Jawab :


Z /2 = ± 1,645

e = 0,10

Karena tidak ada estimasi proporsi populasi yang tersedia, kita gunakan

0,5

5,0ˆ p

8/28/2012

20

Jawab no 8

Mahasiswa ini memerlukan sebuah sampel acak sebanyak 68 kota

LT Sarvia/2012

Jawab :

Ukuran Sampel :

6865,671,0

5,05,0645,1

e

q p . z n

2

2

2

2

/2 xx

Soal Latihan

1. Sebuah sampel random terdiri dari 6 orang dan 5 orang dipilih dari

2 buah populasi normal untuk diukur tinggi badannya. Dari hasil

observasi diperoleh data sbb :

Buat interval keyakinan sebesar 95 % guna menduga selisih rata-

rata ke-2 populasi tsb !

Jawab : Cek dulu apakah s1 = s2 dengan Uji F

LT Sarvia/2012

Sampel 1 157,8 156,2 162,9 154,4 153,6 156,5

Sampel 2 164,2 158,5 159,1 159,8 163,0

8/28/2012

21

Soal Latihan

2. Telah ditimbang 10 buah tomat dengan hasil

(dalam gram) : 142, 157, 138, 175, 152, 149,

148, 200, 182, 164.

Jika berat tomat berdistribusi normal, tentukan

interval kepercayaan 95 % untuk rata-rata berat

tomat.

LT Sarvia/2012

Soal Latihan

3. Metode latihan pertama telah digunakan

terhadap 250 orang dan 160 orang dinyatakan

berhasil. Metode latihan kedua dilakukan

terhadap 300 orang dan 225 berhasil. Tentukan

interval kepercayaan 95 % untuk selisih

persentase sebenarnya bagi yang berhasil.

LT Sarvia/2012

8/28/2012

22

LOGO

QUIZ????

ESTIMASI TITIK DAN INTERVAL KEPERCAYAAN · PDF filetinggi kadar Interval estimasi ... Misalkan...

Documents

Transcript of ESTIMASI TITIK DAN INTERVAL KEPERCAYAAN · PDF filetinggi kadar Interval estimasi ... Misalkan...