AnalisaRegresiDuaVariabel:...

Analisa Regresi Dua Variabel: Estimasi

Tjipto Juwono, Ph.D.

May 2018

TJ (SU) Analisa Regresi Dua Variabel: Estimasi May 2018 1 / 25

PRL vs SRL

Apa Perbedaan PRL dan SRL

Population Regression Line Diperoleh dari populasi dengan dengancara menghubungkan semua conditional mean.

Sample Regression Line Diperoleh dari sample dengan cara metodeleast squares


PRL vs SRL

Gambar 1: Populasi terdiri dari 60 keluarga terbagi atas 10 income groups


Mean Values Vs Fixed Values

Gambar 2: Grafik E(Y |X) vs X. Populasi terdiri dari 60 keluarga terbagiatas 10 income groups


Sampel

Gambar 3: Sampel-1, dari data padatabel Gbr (1)

Gambar 4: Sampel-2, dari data padatabel Gbr (1)


Sample Regression Line

Gambar 5: SRL, diperoleh dari dua sample pada Gbr. (3,4)


PRL vs SRL

Gambar 6: Perbandingan antara PRL dan SRL


Least Squares Principles

Ingat kembali PRF:

Yi = β1 + β2Xi + ui (1)

Apa yang terjadi jika kita tidak mempunyai data populasi, danhanya mempunyai data sampel? Artinya: PRF (Pers. (1)) tidakdiketahui.

Kita meng-estimasi PRF, dengan SRF:

Yi = β1 + β2Xi + ui

= Yi + ui (2)

Pertanyaannya adalah: Bagaimana cara memperoleh SRL?



Meminimalisasi penjumlahan semua ui? → Meminimalkan∑

i ui?

Gambar 7: Bagaimana memperoleh SRF



Bagaimana memperoleh SRF?

Meminimalisasi penjumlahan semua ui? → Meminimalkan∑

i ui?

Bukan langkah yang tepat. Walaupun sebenarnya ui mempunyai nilaiabsolut yang besar sehingga SRF jelas bukan yang terbaik, namun uiyang positip dan negatip dapat saling meniadakan sehingga diperoleh∑

i ui minimum. Walaupun SRF yang diperoleh jauh dari SRF yangterbaik.



Meminimalisasi penjumlahan semua u2i ? → Meminimalkan∑

i u2

i ?



Bagaimana memperoleh SRF?

Meminimalisasi penjumlahan semua u2i ? → Meminimalkan∑

i u2

i ?

Langkah yang tepat! Dengan mengkuadratkan ui, maka kitamemperoleh nilai yang positip semua. Meminimalisasi

∑

i u2

i akanmenghasilkan SRF yang terbaik. Proses meminimalisasi

∑

i u2

i

merupakan asal usul istilah ”least squares”. Metode ini disebut metodeleast squares


Hasil minimalisasi∑

u2i

Yi = β1 + β2Xi (3)

β2 = rsy

sx(4)

β1 = Y − β2X (5)

Dengan sx dan sy adalah Standard Deviasi Sample:

sx =

√

∑

(X − X)2

n− 1(6)

sy =

√

∑

(Y − Y )2

n− 1(7)

Dan r adalah koefisien Korelasi:

r =

∑

(X − X)(Y − Y )

(n− 1)sxsy(8)


OLS: Ordinary Least Squares

Untuk selanjutnya, metode yang kita gunakan akan kita sebut OLS:

Ordinary Least Squares. (Selain OLS, ada juga GLS, GeneralizedLeast Squares, yang akan kita bahas di Ekonometrika II). Beberapacatatan tentang OLS:

1 Estimator-estimator OLS dinyatakan hanya dalam observables Xdan Y . Dengan demikian estimator-estimator itu (β1 dan β2)dapat dihitung dengan mudah.

2 Estimator-estimator itu adalah point estimators. Artinya,untuk setiap sampel yang diberikan, estimator itu hanyamemberikan satu angka saja (bukan interval) untuk nilaiparameter populasi yang relevan.

3 Setelah estimator-estimator itu diperoleh (melalui OLS), makaSRL, Sample Regression Line dapat diperoleh.


Sample Regression Line, SRL

Sifat-sifat SRL1 SRL melalui (X, Y )

β1 = Y − β2X

Y = β1 + β2X (9)

Gambar 8: SRL melalui (X, Y )TJ (SU) Analisa Regresi Dua Variabel: Estimasi May 2018 15 / 25

SRL

Sifat-sifat SRL

2 Harga rata-rata hasil estimasi Y sama dengan harga rata-rata dariY yang sesungguhnya.

¯Y = Y (10)

3 Harga rata-rata residual adalah nol.

¯u = 0 (11)


PRF,SRF,SRL

Mengulang lagi: Apa bedanya PRF,SRF dan SRL? Perhatikanpersamaan-persamaan berikut.

PRF:Yi = β1 + β2Xi + ui (12)

SRF:Yi = β1 + β2Xi + ui (13)

SRL:Y = β1 + β2Xi (14)


Bentuk Lain SRF

Persamaan SRF:Yi = β1 + β2Xi + ui (15)

Dapat ditulis:yi = β2xi + ui (16)

Dengan

yi = Yi − Y

xi = Xi − X

Pers. (16) disebut bentuk deviasi (deviation form) dari SRF. Dengancara yang sama, SRL dapat ditulis dalam bentuk deviasi.

yi = β2xi (17)


Sifat ui

Residu ui tidak berkorelasi dengan hasil prediksi yi∑

i

yiui = 0 (18)

Residu ui tidak berkorelasi dengan Xi

∑

i

Xiui = 0 (19)


Presisi atau Standard Error dari Estimator OLS

Nilai estimator (β1, β2) berbeda-beda untuk sample yang berbedayang diambil dari populasi yang sama. Karena itu kita perlu alat ukuruntuk menentukan apakah estimator dari sampel yang satu lebih bagusdaripada estimator dari sampel yang lain. Alat ukur itu adalah presisiatau standard error, yang rumusnya adalah:

se(β2) =σ

√

∑

(X − X)2

σ =

√

∑

(Y − Y )2

n− 2(20)


Presisi atau Standard Error dari Estimator OLS

se(β1) =

[

√

∑

X2

i

n∑

(Xi − X)2

]

σ (21)


BLUE

BLUE

Best Linear Unbiased Estimator

1 Linear

2 Unbiased: Nilai ekspektasi dari estimator sama dengan nilaisesungguhnya

3 Minimum variance dari estimator


Tugas Kelas

Tugas Kelas

1 Jelaskan apa perbedaan antara PRL dan SRL!

2 Jelaskan bagaimana cara memperoleh PRL!

3 Jelaskan bagaimana cara memperoleh SRL!

4 Mengapa dalam kita perlu meminimalisasi∑

u2i (sehingga disebut”least squares”?) Mengapa kita tidak meminimalisasi

∑

ui saja?


Tugas Kelas

5 Perhatikan tabel berikut. Untuk setiap kelompok income,ambillah satu nilai yang paling kecil selisihnya dengan conditionmean value, lalu gunakan untuk memperoleh SRF!


AnalisaRegresiDuaVariabel:...

Documents

Transcript of AnalisaRegresiDuaVariabel:...