Tesis

ESTIMASI INTERVAL SPLINE DALAM REGRESI NONPARAMETRIK

Oleh :

MUHAMMAD NAFI’(NRP.1304201018)

PROGRAM PASCASARJANA PROGRAM STUDI STATISTIKAPROGRAM PASCASARJANA PROGRAM STUDI STATISTIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYAINSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA20102010

Tesis

i i iy xα β ε= + +Parametrik

Bentuk kurva diketahui

LATAR BELAKANG

ˆ ...?f =

Regresi

yi = f(xi) + εi

Nonparametrik

yi = f(xi) + εi

- Pendekatan Kernel (Hardle,90)- Spline (Wahba, 1990; Craven & Wahba, 1979; Budiantara et al, 1997)- Deret Fourier & Wavelet (Antoniadis et al, 1994)

Spline

RKHS (Graven & Wahba, 79)(wang, 98)

Gateaux (Eubank, 88)

Bahasa matematis tinggi

-Model regresi yang mempunyai interprestasi satistik dan visual sangat khusus dan sangat baik-Diperoleh dari optimasi Penalized Least Square (PLS) dan memiliki fleksibilitas yang tinggi-Mampu menangani karakter data/fungsi yang mulus-Memiliki kemampuan yang sangat baik untuk menangani data yang prilakunya berubah-ubah padasub-sub interval tertentu

Estimator Interval Konfidensi

PLS (Craven & Wahba, 1979)Bayesian (prior improper)

(Wahba, 1983; Budiantara 200b)

Bahasa matematis tinggi

Tesis

1. Bagaimana bentuk estimator?

2. Bagaimana Interval Konfidensi ?

3. Bagaimana aplikasi spline ?

RUMUSAN MASALAH

Tesis

TUJUAN PENELITIAN

1. Mengkaji bentuk estimator Spline menggunakan Likelihood.

2. Mengkaji Konstruksi Interval Konfidensimenggunakan Pivotal Quantity.

3. Menerapkan spline pada data Berat Badan Balitadi Kota Surabaya tahun 2007.

Tesis

MANFAAT PENELITIAN1. WAWASAN KEILMUAN2. METODE ALTERNATIF

BATASAN MASALAH- OPTIMASI LIKELIHOOD- DATA TENTANG BERAT BADAN BALITA

DI KOTA SURABAYA TAHUN 2007

Tesis

TINJAUAN PUSTAKA

1. Fungsi SplineSpline adl potongan polinomial yg punya sifat tersegmen dan kontinushg lebih fleksibel dari polinomial biasa

2. Pemilihan Lambda OptimalDgn GCV,

∑ ∑= =

++ −+=p

j

m

k

pkipk

jiji xxxf

0 1)()( λγγ

2

1

1

1

2^

1

)(1

))(()(

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−=

∑

∑

=

−

=

−

n

iii

n

iii

an

xfynGCV

λ

λ

Tesis

TINJAUAN PUSTAKA

3. Interval Konfidensi

4. Pertumbuhan Balita

( ) 1P c dθ α≤ ≤ = −

5. Berat Badan

Tesis

BAHAN DAN ALAT

1. Jurnal dan referensi

2. Program S-Plus 2000

3. Data rata-rata Berat Badan Balita

Tesis

LANGKAH PENELITIAN

Mengkaji estimator kurva regresi f Menurunkan IK kurva regresi f

Aplikasi pada data

IK :

Distribusi :

Penduga :

A

START

Fungsi f(xi) dihampiri dengan model spline kuadrat

Menyelesaikan optimasi

∑ ∑= =

++ −+=2

0 1

22 )()(

j

m

kkik

jiji xxxf λγγ

{ } )}],...,[()'],...,[{( 1111γλλγλλεε

γγmm

RRTyTyMinMin

mpmp−−=′

++++ ∈∈

yxWxf ),()(^

λ=

nia

xfxfW

ii

iii ,...,2,1,

)()(^

=−

=σ

nizWzP i ,...,2,1,1)( 2/2/ =−=≤≤− ααα

Tesis

A

Buat Interval Konfidensi

LANGKAH PENELITIAN

Perkiraan titik knot

Tentukan GCV optimal

Tentukan estimator spline optimal

Penentuan titik knot optimal

End

Tesis ANALISIS & PEMBAHASAN

1. Estimator Spline Untuk Kurva Regresi f

Dalam regresi nonparametrik f tidak diketahui, diasumsikan(termuat dalam ruang Sobolev)

mooth

∫ ∞<= }))((;{],[ 2)(2 dxxfgbaW pp

Diberikan suatu basis ruang spline :22

12 )(,...,)(,,,1{ ++ −− mxxxx λλ ⎩

⎨⎧

<≥−

=− + λλλ

λxxx

x,0,)(

)(2

2

Model Regresi Spline dapat ditulis menjadi

ij

m

kkik

jij

iii

xx

xfy

ελγγ

ε

+−+=

+=

∑ ∑= =

++

2

0 1

22 )(

)(

Tesis

ANALISIS & PEMBAHASAN

Fungsi Likelihood

22

2/2

12

2/12

))((2

1()2(

))((2

1()2(),(

iin

n

iii

xfyExp

xfyExpfyL

−−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

−

=

−∏

σπσ

σπσ

Dengan Optimasi Likelihood diperoleh estimator:

yxTxTxTxTxf ),()],(),([),(),( '1'^

λλλλλ −=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−

−−

=

++

++

++

221

2

22

212

222

21

211

211

)()(1

)()(1

)()(1

),(

mnnnn

m

m

xxxx

xxxx

xxxx

xT

λλ

λλ

λλ

λ

L

MOMMMM

L

L

),...,( 1 ′= nyyy

Tesis

ANALISIS & PEMBAHASAN

2. Interval Konfidensi untuk kurva regresi

Setelah mencari ekspektasi dan varians dari estimator maka diperoleh Pivotal Quantity:

).,..,,,(

)()(ˆˆ).,..,,,(

212

2

12

2

021

mii

iki

m

kk

ji

jj

mix

xfxxxU

λλλωσ

λγγλλλ

−−+=

+=

+=

∑∑

Interval konfidensi 1 – α diperoleh dengan menyelesaikan persamaan

αλλλωσ

λγγ−=≤

−−+≤

+=

+=

∑∑1)

).,..,,,(

)()(ˆˆ(

212

2

12

2

0 bx

xfxxaP

mii

iki

K

kk

ji

jj

Interval konfidensi 1 – α f(xi)

αλλλωσλγγ

λλλωσλγγ

−=⎟⎟⎠

⎞−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

≤⎜⎜⎝

⎛≤−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

∑ ∑

∑ ∑

= =++

= =++

1).,..,,,()(ˆˆ

)().,..,,,()(ˆˆ

212

2

0 1

22

212

2

0 1

22

miij

K

kkik

jij

imiij

K

kkik

jij

xaxx

xfxbxxP

Dengan a dan b memenuhi persamaan:

∫ ∫∞−

∞

==a

b

duuduu )(2

)( ϕαϕ

3. Aplikasi Model & Interval konfidensi Spline

Plot data dan spline linear dengan titik knot 5 dan 8, GCV: 0.04325964

umur bayi

bera

t bay

i

0 10 20 30 40 50

46

810

1214

umur bayi

bera

t bay

i

0 10 20 30 40 50

46

810

1214

Plot data dan spline kuadratik dengan titik knot 4, 8 dan 14 GCV: 0.02526942

umur bayi

bera

t bay

i

0 10 20 30 40 50

46

810

1214

umur bayi

bera

t bay

i

0 10 20 30 40 50

46

810

1214

Model regresi Spline

22

22^

)14(40.00724217)8( 0.01593129

)4( 0.03508034 0.05900713- 0.94311693.556999)(

++

+

−+−+

−++=

xx

xxxxf

Interval Konfidensi

umur bayi

bera

t bay

i

0 10 20 30 40 50

46

810

1214

umur bayi

bera

t bay

i

0 10 20 30 40 50

46

810

1214

umur bayi

bera

t bay

i

0 10 20 30 40 50

46

810

1214

Tesis

KESIMPULAN

Untuk memperoleh estimasi titik kurva regresi dalam regresi nonparametrik spline, umumnya digunakan optimasi Penalized Likelihood. Disamping itu dapat pula menggunakan optimasi Likelihood yang memberikan hasil relatif mudah.

Untuk membangun interval konfidensi dalam regresi nonparametrik spline, umumnya digunakan pendekatan Bayesian. Pendekatan Pivotal Quantity juga dapat digunakan dan memberikan hasil yang relatif sederhana.

Model Spline kuadrat sangat memadai untuk digunakan menduga pola hubungan antara umur balita dan berat badan balita di Kota Surabaya.

Terimakasih