Dualitas Dan Analisis Post Optimal

BAB VI. DUALITAS DAN ANALISIS POSTOPTIMAL

HUBUNGAN PRIMAL-DUAL Dual adalah permasalahan PL yang diturunkan secara matematik

dari primal PL tertentu. Setiap permasalahan primal selalu mempunyai

pasangan dual dan sebaliknya. Solusi optimal pada dual secara otomatis

akan menghasilkan solusi optimal pada primal dan sebaliknya. Hal yang

harus selalu diingat, penyelesaian baik menggunakan metode primal

maupun dual dilakukan dari bentuk standar.

Bentuk standar PL secara umum adalah:

Maksimumkan atau minimumkan z = Σcjxj

Terhadap

Σaijxj = bi

xj ≥ 0

variabel xj termasuk variabel keputusan, slack, surplus dan artificial.

Konversi dual dari primal dilakukan dengan memperhatikan hubungan

seperti yang ditunjukkan tabel berikut:

Variabel primal

x1 x2 … xj … xn

Nilai kanan pembatas

dual c1 c2 … cj … cn

a11 a12 … a1j … a1m b1 y1

a21 a22 … a2j … a2m b2 y2

. . . . . . . . . . . .

. . . . . .

Koefisien pembatas

dual am1 am2 … amj … amn bm ym

Variabel

dual

Dualitas dan Analisis Postoptimal 1

Koefisien tujuan dual

Koefisien pem-batas dual ke-j

Tabel di atas menunjukkan bahwa dual didapatkan secara simetris dari

primal sesuai dengan aturan berikut:

1. Untuk setiap pembatas primal ada variabel dual.

2. Untuk setiap variabel primal ada pembatas dual.

3. Koefisien pembatas variabel primal membentuk koefisien pembatas

dual; koefisien fungsi tujuan variabel yang sama dari primal menjadi

nilai kanan pembatas dual.

Aturan di atas menunjukkan bahwa permasalahan dual akan mempunyai

sejumlah m variabel (y1, y2, …, ym) dan sejumlah n pembatas (sesuai

dengan x1, x2, …, xn).

Elemen lain dari permasalahan dual ditentukan dengan cara seperti

yang ditunjukkan tabel di bawah.

Dual Tujuan

standar

primal

Tujuan Pembatas Variabel

Maksimisasi

Minimisasi

Minimisasi

Maksimisasi

≥

≤

Tidak

terbatas

Tidak

terbatas

Contoh:

1. Diberikan bentuk primal di bawah, tentukanlah bentuk dual yang

sesuai!!

Minimumkan z = 2 x1 + 5.5 x2

Kendala: x1 + x2 = 90

0.001x1 + 0.002x2 ≤ 0.9


0.09x1 + 0.6x2 ≥ 27

0.02x1 + 0.06x2 ≤ 4.5

x1, x2 ≥ 0

Penyelesaian

Pertama, bentuk umum di atas diubah menjadi bentuk baku/standar, yaitu:

Minimumkan z = 2 x1 + 5.5 x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5

Terhadap: x1 + x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 = 90 y1

0.001x1 + 0.002x2 + x3 + 0x4 + 0x5= 0.9 y2

0.09x1 + 0.6x2 + 0x3 – x4 + 0x5= 27 y3

0.02x1 + 0.06x2 + 0x3 + 0x4 + x5 = 4.5 y4

x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0

Bentuk dualnya terdiri dari 4 variabel dan 2 pembatas, yaitu:

Maksimumkan w = 90y1 + 0.9y2 + 27y3 + 4.5y4

Terhadap

y1 + 0.001y2 + 0.09y3 + 0.02y4 ≤ 2

y1 + 0.002y2 + 0.6y3 + 0.06y4 ≤ 5.5

0y1 + y2 + 0y3 + 0y4 ≤ 0

0y1 + 0 y2 - y3 + 0y4 ≤ 0

0y1 + 0y2 + 0y3 + y4 ≤ 0

y1, y2, y3, y4 tidak terbatas

atau

Maksimumkan w = 90y1 + 0.9y2 + 27y3 + 4.5y4

Terhadap

y1 + 0.001y2 + 0.09y3 + 0.02y4 ≤ 2

y1 + 0.002y2 + 0.6y3 + 0.06y4 ≤ 5.5

y2, -y3, y4 ≤ 0

y1 tidak terbatas


2. Diberikan bentuk primal di bawah, tentukanlah bentuk dual yang

sesuai!!

Maksimumkan z = 2x1 + 3x2

Terhadap :

10x1 + 5x2 ≤ 600

6x1 + 20x2 ≤ 600

8x1 + 15x2 ≤ 600

x1, x2 ≥ 0

Penyelesaian

Bentuk baku/standar primal adalah:

Maksimumkan z = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5

Terhadap :

10x1 + 5x2 + x3 = 600

6x1 + 20x2 + x4 = 600

8x1 + 15x2 + x5 = 600

x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0

Bentuk dualnya adalah:

Minimumkan w = 600y1 + 600y2 + 600y3

Terhadap

10y1 + 6y2 + 8y3 ≥ 2

5y1 + 20y2 + 15y3 ≥ 3

y1 ≥ 0

y2 ≥0

y3 ≥0

3. Ubahlah bentuk dual di bawah ini ke dalam bentuk primalnya!!!

Maksimumkan w = 100y1 + 200y2 + 150y3 + 150y4

Terhadap

2y1 + 2y2 + y3 + y4 ≤ 5


y1 + 2y2 + 3y3 + 2y4 ≤ 10

2y1 + 2y2 + 4y3 + y4 ≤ 10

y1, y3 ≤ 0

y2 ≥ 0

y4 tidak terbatas

Penyelesaian

Minimumkan z = 5x1 + 10x2 + 10x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6

Terhadap

2x1 + x2 + 2x3 + x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7 = 100

2x1 + 2x2 + 2x3 + 0x4 - x5 + 0x6 = 200

x1 + 3x2 + 4x3 + 0x4 + 0x5 + x6 = 150

2x1 + x2 + x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 = 150

x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0

atau dalam bentuk umum PL-nya:

Minimumkan z = 5x1 + 10x2 + 10x3

Terhadap

2x1 + x2 + 2x3 ≤ 100

2x1 + 2x2 + 2x3 ≥ 200

x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 150

2x1 + x2 + x3 = 150

Minimumkan z = 5x1 + 10x2 + 10x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6

Terhadap

2x1 + x2 + 2x3 + x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7 = 100

2x1 + 2x2 + 2x3 + 0x4 - 0x5 + 0x6 = 200

x1 + 3x2 + 4x3 + 0x4 + 0x5 + x6 = 150

x1, x2, x3 ≥ 0

4. Diberikan bentuk dual di bawah ini, rubahlah ke dalam bentuk

primalnya!!!


Minimumkan w = 10y1 + 20y2

Terhadap

y1 + y2 ≥ 2

y1 + 2y2 ≥ 3

y1, -y2 ≥ 0

Penyelesaian

Maksimumkan z = 2x1 + 3x2 +0x3 + 0x4

Terhadap

x1 + x2 + x3 + 0x4 = 10

x1 + 2x2 + 0x3 - x4 = 20

x1, x2, x3, x4 ≥ 0

atau bentuk umum PL-nya adalah:


Terhadap

x1 + x2 ≤ 10

x1 + 2x2 ≥ 20

x1, x2 ≥0

SOLUSI DUAL OPTIMAL

Solusi optimal dual dapat diperoleh secara langsung dari tabel

primal optimal. Hal ini dapat diperhatikan dari bentuk matriks di bawah

ini. Bentuk matriks primal adalah:

Maksimumkan/minimumkan z = CIXI + CIIXII

Terhadap

AXI + IXII = b

XI, XII ≥ 0

dan bentuk matriks dualnya adalah:

Minimumkan/maksimumkan w = Yb

Terhadap


YA ≤ / ≥ CI

Y ≤ / ≥ CII

Y adalah vektor tidak terbatas

Misalkan B adalah basis primal optimal dan CB adalah koefisien fungsi

tujuan variabel basis tersebut, maka

Y = CBB-1

Adalah solusi dual optimal. Solusi optimal fungsi tujuan dual adalah w =

Yb = CBB-1b dan solusi optimal fungsi tujuan primal adalah z = CBXB =

CBB-1b.

Permasalahan primal mencari solusi optimal, sedangkan permasalahan

dual mencari solusi layak. Hal ini menjadi dasar pengembangan dual

simpleks yang sudah anda pelajari pada bab 4.

Perhatikan kasus 2.5 PL dari bab 2 dan solusi optimalnya pada bab 4.


Terhadap :

10x1 + 5x2 ≤ 600

6x1 + 20x2 ≤ 600

8x1 + 15x2 ≤ 600

x1, x2 ≥ 0

Bentuk baku/standar:

Maksimumkan z = 2x1 + 3x2 + 0s1 + 0s2 + 0s3

10x1 + 5x2 + s1 = 600

6x1 + 20x2 + s2 = 600

8x1 + 15x2 + s3 = 600

x1, x2, s1, s2, s3 ≥ 0

VB X1 X2 S1 S2 S3 Solusi


z 0 0 0 9/70 1/35 94.2857

S1 0 0 1 11/7 -17/7 85.7155

X2 0 1 0 8/70 -3/35 17.1329

X1 1 0 0 -3/14 2/7 42.857

Bentuk dual dari primal di atas adalah:

Minimumkan w = 600y1 + 600y2 + 600y3

Terhadap

10y1 + 6y2 + 8y3 ≥ 2

5y1 + 20y2 + 15y3 ≥ 3

y1 ≥ 0

y2 ≥0

y3 ≥0

Solusi dual adalah w = Yb, dimana Y = CBB-1.

y1 = 0; y2 = 9/70 dan y3 = 1/35

Solusi optimal primal juga dapat diperoleh dari solusi optimal dual.

Perhatikan kasus primal berikut:

Min z = 21x1 + 18x2 + 15x3

Terhadap 90x1 + 20x2 + 40x3 ≥ 200

30x1 + 80x2 + 60x3 ≥ 180

10x1 + 20x2 + 60x3 ≥ 150

x1, x2, x3 ≥ 0

Bentuk dualnya adalah:

Maksimumkan w = 200y1 + 180y2 + 150y3

Terhadap

90y1 + 30y2 + 10y3 ≤ 21

20y1 + 80y2 + 20y3 ≤ 18


40y1 + 60y2 + 60y3 ≤ 15

y1, y2, y3 ≤ 0

Solusi awal

VB y1 y2 y3 S1 S2 S3 Solusi

w -200 -280 -150 0 0 0 0

S1 90 30 10 1 0 0 21

S2 20 80 20 0 1 0 18

S3 40 60 60 0 0 1 15

Iterasi-1


w -130 0 -80 0 7/2 0 63

S1 165/2 0 5/2 1 -3/8 0 57/4

y2 1/4 1 1/4 0 1/80 0 9/40

S3 25 0 45 0 -3/4 1 3/2

Iterasi-2


w 0 0 154 0 -0.4 5.2 70.8

S1 0 0 -146 1 2.1 -3.3 9.3

y2 0 1 -1/5 0 0.02 -0.01 0.21

y1 1 0 9/5 0 -0.03 0.04 0.06

Tabel sudah optimal. Solusi optimal dualnya adalah:

W = 70.8; y1 = 0.06; y2 = 0.21; dan y3 = 0.

Solusi optimal primalnya adalah:

Z = w = 70.8; x1 = 0; x2 = -0.4; x3 = 5.2

Solusi optimal primal berdasarkan solusi optimal dual di atas adalah:

x1 = 0; x2 = -0.4 ; x3 = 5.2; dan z = 70.8


INTERPRETASI EKONOMIS PERMASALAHAN DUAL

Harga dual menunjukkan kegunaan per unit sumber daya

produksi. Biaya terkurangi menunjukkan peningkatan pengembalian

marjinal atau pengurangan biaya per unit sumber daya yang dibutuhkan

untuk membuat satu aktifitas PL lebih menguntungkan.

Hubungan primal-dual untuk menunjukkan arti ekonomis

sebenarnya dari harga dual dan biaya terkurangi. Interpretasi harga dual

dan biaya terkurangi akan dibuktikan sangat berguna pada dua aspek,

yaitu:

1. menyediakan pemahaman fundamental model PL sebagai sistem

output-input ekonomis.

2. memungkinkan implementasi efisien analisis sensitivitas atau

postoptimal.

Ingat kembali bentuk baku/standar primal dan dual dalam model

matematik PL (bukan dalam bentuk matriks), seperti yang ditunjukkan di

bawah ini untuk maksimisasi.

Primal

Maksimumkan z = Σ cjxj

Terhadap

Σ aijxj = bi, i = 1, 2, ..., m

xj ≥ 0, j = 1, 2, ..., n

Dual

Minimumkan w = Σ biyi

Terhadap

Σ aijyi ≥ cj , j = 1, 2, ..., n

yi tidak terbatas, i = 1, 2, ..., m


Koefisien cj pada primal menunjukkan keuntungan marjinal

aktivitas j dengan level sama dengan xj unit. Fungsi objektif oleh

karenanya menunjukkan keuntungan total yang dapat diperoleh dari

semua aktivitas. Model tersebut mempunyai sejumlah m sumber daya,

dimana sumber daya ke-i mempunya level bi yang dialokasikan pada laju

aij per unit untuk aktivitas j. Σ aijxj menunjukkan penggunaan sumber

daya ke-i oleh semua aktivitas. Variabel dual dari persamaan di atas

adalah yi.

Sebelumnya telah ditunjukkan bahwa z = w atau Σ cjxj= Σ biyi. Sisi

kiri persamaan menunjukkan uang (pengembalian) dan bi menunjukkan

unit (jumlah) sumber daya ke-i, maka yi dengan demikian pasti

menunjukkan jumlah uang per unit sumber daya ke-i, sehingga satuan di

kiri persamaan menjadi sama dengan satuan di kanan persamaan.

Variabel dual yi oleh karenanya menunjukkan kegunaan per unit sumber

daya ke-i.

Untuk menjelaskan biaya terkurangi, ingat kembali koefisien

persamaan fungsi tujuan variabel xj pada setiap iterasi, yaitu :

zj – cj = CBB-1Pj - cj atau alternatifnya menggunakan Y= CBB-1 sebagai

variabel dual yang bersesuaian, kita dapatkan:

zj – cj = YPj - cj = Σ aijyi – cj.

Hubungan ini menunjukkan bahwa koefisien persamaan tujuan zj – cj

variabel xj pada tabel primal sama dengan perbedaan antara sisi kiri dan

kanan pembatas dual ke-j. persamaan ini menghasilkan interpretasi

ekonomis yang menarik model PL, yang akan ditunjukkan menggunakan

analisis dimensional.

Karena cj primal menunjukkan pengembalian per unit aktivitas j,

unitnya mungkin ditunjukkan sebagai jumlah uang per unit aktivitas j.

Dengan konsisten, kuantitas Σ aijyi pasti sama dengan dimensi jumlah

uang per unit aktivitas j. Karena cj dan Σ aijyi mempunyai tanda


berlawanan, maka kuantitas Σ aijyi pasti menunjukkan “biaya”. Dengan

demikian, aij adalah jumlah sumber daya i yang dikonsumsi 1 unit

aktivitas j. sebagai hasilnya, yi, pasti menunjukkan biaya yang dikenakan

per unit sumber daya i dan kita dapat pikirkan Σ aijyi sebagai total biaya

yang dikenakan untuk semua sumber daya yang digunakan untuk

menghasilkan 1 unit aktivitas j. Sekarang, tergantung pada apakah biaya

zj = Σ aijyi melebihi pengembalian cj, penjelasan di atas mengarahkan

analisis dimensional persamaan zj - cj berikut:

Jumlah uang per unit keuntungan/kerugian = jumlah uang per

unit biaya – jumlah uang per

unit pengembalian.

Kondisi optimal maksimisasi metode simpleks (simpleks yang

direvisi) menunjukkan bahwa level aktivitas j saat ini yang tidak

digunakan (variabel non basis xj = 0) akan dinaikkan di atas level 0 hanya

jika koefisien tujuannya zj – cj bernilai negatif. Kondisi ini dipenuhi secara

ekonomis dengan cara berikut: dari interpretasi zj – cj , kondisi optimal

memaksa bahwa (biaya yang dikenakan untuk penggunaan sumber daya

per unit j – pengembalian per unit j) < 0 atau biaya yang dikenakan untuk

penggunaan sumber daya per unit j < pengembalian per unit j. oleh

karena itu, selama pengembalian per unit melebihi biaya yang dikenakan

sumber daya yang digunakan, lebih banyak sumber daya harus

dialokasikan ke aktivitas untuk mengambil keuntungan potensial. Hal ini

berarti bahwa level aktivitas j, xj, harus dinaikkan di atas level 0.

Ketika kita memasukkan aktivitas j ke solusi (membuat variabelnya

menjadi variabel basis), kita meningkatkan levelnya ke titik dimana zj – cj

nya berkurang menuju 0. Ini sama dengan mengekploitasi aktivitas ke

pemberdayaan paling penuh, karena peningkatan selanjutnya akan

menghasilkan peningkatan biaya yang dikenakan di luar pengembalian

potensial aktivitas.


Sekarang anda dapat melihat mengapa pada model maksimisasi

suatu aktivitas dengan zj – cj > 0 akan berada pada level 0. Fakta bahwa

biaya yang dikenakan penggunaan sumber daya lebih tinggi dari

pengembaliannya membuatnya secara ekonomis tidak menarik.

Aktivitas yang mempunyai level 0 pada solusi optimal (variabel non

basis), kuantitas zj – cj menunjukkan biaya terkurangi per unit aktivitas j.

Berdasarkan penjelasan di atas, kuantitas ini menunjukkan jumlah

dimana secara ekonomis aktivitas harus diperbaiki untuk membuat

aktivitas lebih atraktif secara ekonomis (menaikkan levelnya dari 0 ke nilai

positif). Hasil seperti itu dapat terjadi dalam dua cara, yaitu:

1. Meningkatkan pengembalian marjinal aktivitas, cj.

2. Menurunkan konsumsi aktivitas akan sumber daya terbatas, Σ

aijyi.

Pilihan pertama mungkin tidak akan selalu layak, karena marjin

keuntungan secara normal ditentukan oleh kondisi pasar dan persaingan.

Pilihan kedua hanya merefleksikan komitmen entitas ekonomis untuk

peningkatan operasinya terutama melalui pengurangan penggunaan

sumber daya terbatas. Artinya, pilihan kedua berhubungan dengan

penghilangan kemungkinan ketidakefisienan operasi sistem yang

dipertimbangkan.

Nilai dual yi dapat digunakan sebagai indikator untuk menentukan

dimana pilihan kedua harus diimplementasikan. Pengaruhnya, karena yi

menunjukkan biaya terkurangi dari penggunaan 1 unit sumber daya i per

unit aktivitas j, sumber daya yang mempunyai nilai tinggi secara relatif yi,

harus mendapatkan prioritas dalam perbaikan.


Dualitas Dan Analisis Post Optimal

Documents

Transcript of Dualitas Dan Analisis Post Optimal