Konsep dualitas dalam model

pemrograman linier

Suprayogi

Andi Cakravastia

Leksananto Gondodiwirjo Kelompok Keahlian Sistem Industri dan Tekno-Ekonomi

Fakultas Teknologi Industri Institut Teknologi Bandung

Model pemrograman linier simetris

(kasus maksimisasi)

Suatu model pemrograman linier untuk kasus

maksimisasi dikatakan simetris jika dicirikan oleh hal-

hal berikut :

• Tiap pembatas dinyatakan dalam pertidaksamaan

berbentuk “lebih kecil atau sama dengan”.

• Tiap variabel keputusan adalah tak negatif.

2

Model pemrograman linier simetris

(kasus maksimisasi)

3

Contoh model pemrograman linier simetris

(kasus maksimisasi)

4

Model pemrograman linier simetris

(kasus minimisasi)

Suatu model pemrograman linier untuk kasus

minimisasi dikatakan simetris jika dicirikan oleh hal-

hal berikut:

• Tiap pembatas dinyatakan dalam pertidaksamaan

berbentuk “lebih besar atau sama dengan”.

• Tiap variabel keputusan adalah tak negatif.

5

Model pemrograman linier simetris

(kasus minimisasi)

6

Contoh model pemrograman linier simetris

(kasus minimisasi)

7

Hubungan primal-dual untuk

model pemrograman linier simetris

Misal terdapat model pemrograman linier simetris

dengan 𝑚 pembatas fungsional dan 𝑛 variabel

keputusan.

Model pemrograman linier ini disebut model primal

(primal model).

Bentuk cerminan dari model primal disebut

dengan model dual (dual model).

Model dual memiliki 𝑛 pembatas fungsional dan 𝑚

variabel keputusan.

8

Tabel konversi untuk model primal dan dual

simetris

9

Contoh konversi model primal dan dual

simetris

10

Primal Dual

Contoh konversi model primal dan dual

simetris

11

Primal Dual

Model pemrograman linier tak simetris

Model pemrograman linier tak simetris (asymmetric

linear programming model) dicirikan oleh:

• Rumusan pembatas bervariasi yang dapat berbentuk " ≤ ", " ≥ " atau " = ".

• Nilai variabel-variabel keputusan dapat dibatasi tak

negatif, tak positif atau bebas

12

Konversi ke model simetris

Pembatas fungsional berbentuk "≥" diubah menjadi

berbentuk "≤" untuk kasus maksimisasi atau

pembatas fungsional berbentuk "≤" diubah menjadi

berbentuk "≥" untuk kasus minimisasi.

Pembatas fungsional berbentuk "=" diubah menjadi

dua pertidaksamaan berbentuk "≤" untuk kasus

maksimisasi atau dua pertidaksamaan berbentuk

"≥" untuk kasus minimisasi.

Variabel keputusan tak positif disubstitusi menjadi

negatif dari variabel tak negatif.

Variabel keputusan bebas disubstitusi menjadi

selisih dua variabel tak negatif

13

Contoh

14

Konversi ke bentuk tak simetris ke simetris

15

16

Primal (Tak Simetris) Primal (Simetris)

17

Primal (Simetris) Dual (Simetris)

Konversi ke bentuk dual simetris ke

bentuk dual tak simetris

18

19

Dual (Simetris) Dual (Tak simetris)

Hasil akhir konversi primal-dual tak simetris

20

Primal (Tak Simetris) Dual (Tak Simetris)

Bentuk dual untuk model pemrograman linier

bentuk baku kasus maksimisasi

21

Primal

Dual

Contoh

22

Primal Dual

Bentuk dual untuk model pemrograman linier

bentuk baku kasus minimisasi

23

Primal

Dual

Contoh

24

Primal Dual

Hubungan primal-dual untuk model pemrograman

linier bentuk baku dalam notasi matriks-vektor

25

Contoh konversi primal-dual melalui pengubahan

model pemrograman linier ke bentuk baku

26

Konversi ke bentuk baku

27

28

Primal (tak simetris) Primal (Baku)

29

Primal (Baku) Dual (dari primal

bentuk baku)

Konversi dual dari primal bentuk baku ke model tak

simetris

30

31

Dual (dari primal bentuk baku)

Dual (tak simetris)

Konversi primal-dual secara umum

32

33

Primal Dual

34

Primal Dual

Teorema dualitas lemah

35

36

Teorema kriteria keoptimalan

37

Teorema dualitas kuat

38

Teorema sisipan komplementer

39

40

41

42

Contoh penentuan solusi dual berdasarkkan

teorema sisipan komplementer

43

Primal Primal (dengan penambahan variabel-variabel sisipan)

44

Dual Dual (dengan penambahan variabel-variabel sisipan)

45

46

Model Primal:

Min Z = 3*x1 + 2*x2

Subject to

5*x1 + 3*x2 >= 15

3*x1 + 4*x2 > = 12

X1, x2 >=0

a) Tentukan solusi model Primal (dg grafis)

b) Rumuskan model dual

c) Tentukan solusi dual berdasarkan kondisi sisipan

komplementer

47

a) Solusi optimal primal, x1 = 24/11 = 2 2/11, x2 =

15/11 = 1 4/11. Nilai fungsi tujuan Z = 102/11 = 9

3/11.

b) Model dual

Memaksimumkan W = 15*y1 + 12*y2

subject to

5*y1 + 3*y2 <= 3

3*y1 + 4*y2 <= 2

y1, y2 >=0

48

Min Z = 3*x1 + 2*x2

Subject to

5*x1 + 3*x2 - u1 = 15

3*x1 + 4*x2 - u2 = 12

X1, x2 , u1, u2 >=0

Max W = 15*y1 + 12*y2

subject to

5*y1 + 3*y2 + v1 = 3

3*y1 + 4*y2 + v2 = 2

y1, y2, v1, v2 >=0

49

X1 = 24/11 v1 = 0

X2 = 14/11 v2 = 0

5*24/11 + 3*15/11 = 15 u1 = 0

3*24/11 + 4*15/11 = 12 u2 = 0

U1 = 0 y1 >= 0

U2 = 0 y2 >= 0

5*y1 + 3*y2 = 3

3*y1 + 4*y2 = 2

Solusi optimal dual: Y1 = 6/11, Y2 = 1/11

W = 102/11 = 9 3/11

50

Penentuan solusi optimal dual dalam

metode simpleks

51

52

53

54

Contoh

55

56

57

58

Interpretasi solusi dual

Tiap variabel dual berkaitan dengan tiap pembatas fungsional.

Jika konstanta pembatas menunjukkan ketersediaan sumber daya, dalam konteks ekonomi, variabel dual menunjukkan harga bayangan (shadow price) dari sumber daya.

Harga bayangan dari tiap sumber daya menunjukkan nilai peningkatan fungsi tujuan (kasus maksimisasi) jika ketersediaan sumber daya tersebut dinaikkan satu satuan.

Dengan demikian, jika tiap sumber daya dapat ditingkatkan, maka prioritas harus diberikan pada sumber daya yang memberikan peningkatan nilai peningkatan fungsi tujuan (kasus maksimisasi) yang paling tinggi.

59

60

61

62

Model Primal:

Min Z = 3*x1 + 2*x2

Subject to

5*x1 + 3*x2 >= 15 3*x1 + 4*x2 > = 12

X1, x2 >=0

a) Rumuskan model dengan sistem persamaan pembatas dalam bentuk kanonik

b) Misal pada suatu iterasi, variabel basis adalah x1 dan x2, tentukan matriks B dan invers dari B pada iterasi ini.

c) Tentukan solusi pada (b)

d) Periksa apakah solusi pada (c) optimal atau tidak.

e) Susun tabel simpleks pada iterasi ini (mengacu pada soal b) f) Jika solusi pada (d) optimal, tentukan solusi optimal dual.

63

Min Z = 3*x1 + 2*x2 + M*X5 + M*X6

Subject to

5*X1 + 3*X2 – X3 + X5= 15

3*X1 + 4*X2 – X4 + X6 = 12

X1, …, X6 >=0

B = 5 3

3 4

Invers dari B 4/11 -3/11

-3/11 5/11

64

No. c

X-Basis = b-bar

b-bar = B-invers * b

No. d

C-bar = Cj - C-basis * B-invers * A

No.e Elemen di bawah kolom konstanta B-invers * b

Elemen di baris koef. Tujuan relatif (c-bar) Cj –C-basis * B-invers Elemen koefisien pembatas ekivalen B-invers * A

No. f

Y = C-Basis * B-invers

65