DISTRIBUSI

PROBABILITAS

1

Variabel Random(Acak) :

adalah suatu fungsi yang menghubungkan sebuah

bilangan riil dengan setiap unsur didalam ruang

sampel S ( himpunan semua hasil percobaan).

Untuk menyatakan variabel random digunakan

sebuah huruf besar, misalkan X. Sedangkan huruf

kecilnya, misalkan x, menunjukkan salah satu dari

nilainya.

2

Contoh :

S = {BBB, BBC, BCB, CBB, BCC, CBC, CCB, CCC}

dengan B menunjukkan “tanpa cacat (baik)” dan C menunjukkan “cacat”.

Variabel random X yang menyatakan jumlah barang yang cacat pada saat tiga komponen elektronik diuji, maka ditulis X = 0, 1, 2, 3.

3

4

VARIABEL ACAK

Variabel Random

Variabel acak diskret

Variabel acak kontinu

Distribusi Probabilitas :

Kumpulan pasangan nilai-nilai dari variabel

acak X dengan probabilitas nilai-nilai

variabel random X, yaitu P(X=x) disebut

distribusi probabilitas X (distribusi X)

5

Himpunan pasangan tersusun (x, f(x)) adalah sebuah fungsi probabilitas, fungsi padat probabilitas, atau distribusi probabilitas dari suatu variabel random diskrit X bila untuk setiap keluaran x yang mungkin, berlaku :

- P(X = x) = f(x)

-

-

6

1)(

1

n

x

xf

0)( xf

Distribusi Binomial

Sifat-sifat sebagai berikut :

Percobaan itu terdiri dari n pengulangan

Tiap pengulangan memberikan hasil yang dapat diidentifikasi sukses atau gagal

Probabilitas sukses dinyatakan dengan p, tetap konstan (tidak berubah) dari satu pengulangan ke pengulangan lainnya, sedangkan probabilitas gagal adalah q = 1- p

Tiap pengulangan dan pengulangan lainnya saling bebas.

Distribusi Binomial

Distribusi Binomial dinyatakan sebagai :

b(x,n,p)

dimana x = 1, 2, …, n

xnxqp

x

n

)p,n;x(b

Contoh

Sebuah proses Bernoulli untuk QC dilakukan dengan memilih 3

komponen secara simultan dari sebuah proses produksi. Setiap

komponen yg diambil dinyatakan “sukses” jika ternyata rusak,

dan “gagal” jika ternyata komponen tsb baik (sebenarnya boleh

juga definisinya dibalik!). Variabel random X didefinisikan

sebagai banyaknya “sukses” dalam pengambilan 3 komponen

tsb.

Ruang sampel bagi X adalah (S: sukses, G:gagal):

Outcome SSS SSG SGS SGG GSS GSG GGS GGG

X 3 2 2 1 2 1 1 0

Misalkan diketahui dari masa lalu, sebanyak 25% produksi

komponen tersebut rusak (“S”). Jadi probabilitas 1 kali

pengambilan menghasilkan rusak = probabilitas “sukses” = p=

¼, berarti probabilitas “gagal” = 1- ¼ = ¾ .

Sebagai contoh probabilitas outcome= SSG

p(SSG)=p(S)p(S)p(G)= ¼* ¼ * ¾ = 3/64, jadi untuk X=2, ada 3

outcome yg terkait : SSG, SGS, GSS, maka jika f(X=2)

menyatakan probabilitas X=2,

f (X=2) = 3*3/64 = 9/64.

Contoh (lanjutan).

Dengan cara yg sama bisa diturunkan probabilitas untuk X=0,1 dan 3, dan

hasilnya adalah fungsi distribusi probabilitas f(x) sbb:

X 0 1 2 3

f(X) 27/64 27/64 9/64 1/64

Variabel random X ini disebut variabel random binomial, sedangkan fungsi

distribusinya f(x) disebut fungsi distribusi binomial, dan dituliskan sbb:

f(x) = b(x;n,p)

Untuk menegaskan bahwa probabilitas x ditentukan oleh banyak

eksperimennya (n, dalam contoh di atas n=3), dan bergantung pada

probabilitas sukses di tiap eksperimen (p).

Jadi f(x=2) =b(2;3,0.25) = 9/64

Kasus distribusi binomial umum:

- dilakukan eksperimen sebanyak n kali pengambilan

- dari n tsb, sebanyak x dikategorikan “sukses”, jadi sebanyak n-x adalah

“gagal”

- probabilitas “sukses” di tiap percobaan = p, berarti probabilitas “gagal “,

q=1-p.

Maka probabilitas terjadinya outcome dengan konfigurasi x “sukses” dan (n-

x) “gagal” tertentu, adalah:

P(SSS … GGG) = ppp….qqq = pxqn-x

Sebab S ada x buah dan G sebanyak (n-x) buah. Tentu ada banyak konfigurasi

lain yg juga memiliki x buah S dan (n-x) buah G. Sehingga probabilitas

mendapatkan hasil eksperimen yg memiliki x buah S dan (n-x) buah G

adalah:

Cnx pxqn-x = b(x;n,p)

Contoh. Jawab.

Misal kita definisikan “sukses” = tidak rusak, probabilitas “sukses”, p=3/4.

Jadi probabilitas “gagal, q= 1-3/4 = ¼. Total percobaan ada n=4, jumlah

yg tidak rusak, “sukses”, x=2. Jadi probabilitas 2 dari 4 komponen yg

dijatuhkan tidak rusak diberikan oleh:

128

27

16

1

16

9

)!24(!2

!4)

4

1()

4

3(

2

4)

4

3,4;2(

242

xnxqp

x

npnxb

Sifat dari b(x;n,p) sebagai fungsi distribusi probabilitas adalah:

Karena seringkali kita memerlukan probabilitas untuk X dalam sebuah

interval, misal P(X<r) atau P(a<X≤b) maka, dibuat tabel fungsi

distribusi binomial kumulatif sbb:

n

x

pnxb

0

1),;(

r

x

pnxbpnrB

0

),;(),;(

Contoh.

Probabilitas seorang pasien yg sakit suatu penyakit flu sembuh adalah

40%. Jikalau 15 orang diketahui telah tertular penyakit ini, berapakah

probabilitasnya bahwa (a) paling tidak 10 orang sembuh, (b) antara 3

hingga 8 orang sembuh (c)tepat 5 orang sembuh?

Jawab.

Ini adalah proses Bernoulli. Probabilitas “sukses”, yaitu sembuh

adalah p =0.4. Variabel random X menyatakan banyak orang yang

“sukses” = sembuh, sedangkan total percobaannya adalah n=15.

a) P (paling tidak 10 sembuh) = P(X≥10) =1- P(X<10)=

=1- B(r=9;n=15,p=0.4) = 1 – 0.9662 = 0.0338

b) P (antara 3 sd 8 sembuh) = P(3≤X≤8) =P(X≤8) - P(X<3) =

=B(r=8;n=15,p=0.4) - B(r=2;n=15,p=0.4) = 0.9050-0.0271= 0.8779

c) P (5 sembuh) = P(X=5) =P(X≤5) - P(X<5) =

=B(r=5;n=15,p=0.4) - B(r=4;n=15,p=0.4) = 0.4032-0.2173=0.1859

Contoh.

Probabilitas seorang pasien yg sakit suatu penyakit flu sembuh adalah

40%. Jikalau 15 orang diketahui telah tertular penyakit ini, (a)

Berapakah rata-rata jumlah orang yg sembuh? (b) Menurut teorem

Chebysev paling tidak sebanyak 75% kasus akan jatuh dalam interval

μ -2 σ < X < μ +2 σ. Terapkan dalam kasus ini dan beri interpretasi.

Jawab.

a) Dalam kasus ini probabilitas sembuh, p=0.4, banyak percobaan,

n=15, sehingga rata-rata jumlah orang yang sembuh

μ = np = 15*0.4 = 6 orang

b) Variansinya :

σ2 = npq = np(1-p) = 15*(0.4)(1-0.4) = 3.6 dengan STD σ = 1.897,

μ -2 σ = 6 -2(1,897) = 2.206 dan μ +2 σ = 6 +2(1,897)=9.794.

Artinya (menurut Chebysev) terdapat probabilitas paling tidak 75%

pasien yg sembuh jumlahnya antara 2.206 s/d 9.794 atau

dibulatkan antara 3 s.d 9.

Contoh. Diperkirakan 30% sumur di sebuah desa tercemar.Untuk memeriksa

kebenaran hal tsb dilakukan pemeriksaan dengan secara acak

mengambil 10 sumur.

(a) Jika perkiraan tsb benar, berapakah probabilitasnya tepat 3 sumur

tercemar?

(b) Pertanyaan yg sama tapi lebih dari 3 sumur yg tercemar?

Jawab. Probabilitas 1 sumur tercemar p=0.3 (“sukses”), jadi probabilitas tidak

tercemar (“gagal”) q=1-p = 1-0.3=0.7.

Total pengambilan n=10 buah.

a) Tepat 3 sumur tercemar, x=3.

P(x=3;n=10,p=0.3)= B(r=3;n=10,p=0.3)-B(r=2;n=10,p=0.3)

= 0.6496 – 0.3838 = 0.2668 (27%).

b) Lebih dari 3 sumur tercemar x>3,

P(x>3;n=10,p=0.3)= 1- P(x≤3;n=10,p=0.3)=

= 1 – B(r=3;n=10,p=0.3) =1 – 0.6496 = 0.3504 = 35%

Soal. Soal yg sama. Misalkan ternyata dari 10 sampel yg diambil secara

acak sebanyak 6 mengandung pencemaran. Pergunakanlah

perhitungan probabilitas, untuk memberik komentar ttg

kemungkinan hal spt terjadi, jikalau perkiraan semula benar.

Distribusi Normal (Distribusi Probabilitas Kontinu)

Kurva Normal dan Variabel Random

Normal Distribusi probabilitas kontinu yang terpenting

adalah distribusi normal dan grafiknya disebut

kurva normal.

Variabel random X yang distribusinya berbentuk

seperti lonceng disebut variabel random

normal.

x

Sifat kurva normal, yaitu :

Kurva setangkup terhadap garis tegak yang

melalui

Kurva mempunyai titik belok pada

Sumbu x merupakan asimtot dari kurva

normal

Seluruh luas di bawah kurva, di atas sumbu x

adalah 1 (satu)

x

x

Distribusi Normal

Variabel random X berdistribusi normal,

dengan mean dan variansi mempunyai

fungsi densitas

)2()x(22

e

2

1),;x(n

x

LUAS DIBAWAH KURVA NORMAL

Probabilitas distribusi kontinue adalah merupakan luas

area di bawah garis kurva. Probabilitas suatu variabel

dengan nilai antara a dan b adalah luas kurva yang

dibatasi oleh garis a dan b. Luas yang tercakup dalam

batas-batas tersebut pada tabel distribusi normal. Bila

suatu distribusi adalah normal , maka jarak antara

rerata dengan simpangan bakunya adalah sama.

a b

Luas area

antara a-b

luas daerah di bawah kurva dinyatakan dengan :

)xXx(P 21

X1 x

2

1

222

1

x

x

)2()x(

x

x

21 dxe

2

1dx),;x(n)xXx(P

1dxe

2

1)X(P

)2()x(22

X2

Distribusi Normal Standar (1)

apabila variabel X ditransformasikan

dengan substitusi

maka :

xZ

2

1

2

1

22

1

2 z

z

z

z

z2

1z

z

z2

1

21 dz)1,0;z(ndze

2

1dze

2

1)zZz(P

ternyata substitusi

xZ

menyebabkan distribusi normal ),;z(n menjadi

)1,0;z(n , yang disebut distribusi normal standar.

Karena transformasi ini, maka selanjutnya

nilai

ini dapat dihitung dengan menggunakan

tabel distribusi normal standar.

)xXx(P 21

Distribusi Normal Standar (2):

Contoh: Hitung Luas

Pergunakanlah tabel distribusi normal standard untuk

menghitung luas daerah :

a) Di sebelah kanan z=1.84

b) Antara z=-1.97 s/d z=0.86

Jawab.

Ingat bahwa luas yg diberikan dalam tabel distribusi normal

kumulatif adalah luas dari z=-∞ s/d z0 tertentu: P(z<z0).

a) P(z>1.84) = 1 – P(z≤1.84) = 1 -0.9671 = 0.0329

b) P(-1.97 <z<0.86) = P(z<0.86) – P(z<-1.97)

= 0.8051 – 0.0244

= 0.7807

Contoh: Cari z

Carilah nilai z=k di distribusi normal standard sehingga

a) P(Z>k) = 0.3015

b) P(k<z<-0.18) =0.4197

Jawab:

a) P(Z>k) = 0.3015 berarti P(Z<k) = 1- P(z>k) = 1 – 0.3015 =

0.6985

Dari tabel terbaca luas ke kiri = 0.6985 adalah untuk z=0.52.

b) P(k<z<-0.18) = P(z<-0.18) – P(z<k) = 0.4197

= 0.4286 – P(z<k) = 0.4197

Jadi P(z<k) = 0.4286- 0.4197 = 0.0089

Dari tabel z = -2.37

Contoh: Luas di bawah kurva normal non standard

Contoh.

Variaber X terdistribusi normal dengan mean 50 dan standard deviasi

=10. Carilah probabilitas untuk menemukan X bernilai antara 45 dan

62?

Jawab.

Dalam soal ini μ = 50 dan σ=10. x1 = 45 dan x2 =62

Pertama kita mapping x ke z (melakukan normalisasi atau

standardisasi):

z1 = (x1 -μ)/σ z1 = (45-50)/10 = -0.5

z2 = (x2 -μ)/σ z2 = (62-50)/10 = 1.2

Sehingga

P(45 <x< 62) = P(-0.5<z<1.2)

P(-0.5<z<1.2) = P(z<1.2) – P(z<-0.5) = 0.8849-0.3085=0.5764

Memakai Distribusi Normal Dalam Arah Kebalikan

Diketahui luas dibawah distribusi normal yg diinginkan yang terkait

dengan besar probabilitas, ingin dicari nilai variabel random X yg

terkait.

Contoh.

Misalkan distribusi normal memiliki μ=40 σ=6, carilah nilai x0 sehingga:

a) P(x<x0) = 45%

b) P(x>x0)=14%

Jawab.

a) Kita mulai dengan mencari nilai Z yg sama luasnya.

P(z<z0) = 45% = 0.45 dari tabel z0 = -0.13

z0 = (x0-μ)/σ x0 = μ + σz0 = 40 +6*(-0.13) = 39.22

Memakai Distribusi Normal Dalam Arah Kebalikan

Jawab.

b) Kita mulai dengan mencari nilai Z yg sama luasnya.

P(z>z0) = 14% P(z<z0) = 1- P(z>z0) = 1-0.14 = 0.86

P(z<z0) = 0.86 dari tabel z0 = 1.08

z0 = (x0-μ)/σ x0 = μ + σz0 = 40 +6*(1.08) = 46.48

32

PENERAPAN KURVA NORMAL

Contoh Soal:

PT GS mengklaim berat buah mangga “B” adalah 350 gram dengan standar deviasi 50 gram. Bila berat mangga mengikuti distribusi normal, berapa probabilitas bahwa berat buah mangga mencapai kurang dari 250 gram, sehingga akan diprotes oleh konsumen.

Distribusi Probabilitas Normal Bab 9

33

Jawab:

• Transformasi ke nilai z

AP(x< 250); P(x=250) = (250-350)/50=-2,00 Jadi P(x<250)=P(z<-

2,00)

• Lihat pada tabel luas di bawah kurva normal

P(z<-2,00)=0,4772

• Luas sebelah kiri nilai tengah adalah 0,5. Oleh sebab itu, nilai daerah

yang diarsir menjadi 0,5 – 0,4772=0,0228. Jadi probabilitas di bawah

250 gram adalah 0,0228 (2,28%). Dengan kata lain probabilitas

konsumen protes karena berat buah mangga kurang dari 250 gram

adalah 2,28%.

Distribusi Probabilitas Normal Bab 9

PENERAPAN KURVA NORMAL

34

PENERAPAN KURVA NORMAL

Contoh Soal:

PT Work Electric, memproduksi Bohlam Lampu yang dapat hidup 900 jam dengan standar deviasi 50 jam. PT Work Electric ingin mengetahui berapa persen produksi pada kisaran antara 800-1.000 jam, sebagai bahan promosi bohlam lampu. Hitung berapa probabilitasnya!

Distribusi Probabilitas Normal Bab 9

35

Jawab:

P(800<X<1.000)?

• Hitung nilai Z

Z1 = (800-900)/50 = -2,00;

Z2 = (1.000-900)/50 = 2,00

• Jadi: P(800<X<1.000) =P(-2,00<Z<2,00);

P(-2,00<Z) = 0,4772 dan P(Z>2,00) = 0,4772

Sehingga luas daerah yang diarsir adalah = 0,4772+0,4772= 0,9544. Jadi

P(800<X<1.000) = P(-2,00 < Z<2,00) = 0,9544.

Jadi 95,44% produksi berada pada kisaran 800-1.000 jam. Jadi jika PT Work

Electric mengklaim bahwa lampu bohlamnya menyala 800-1.000 jam, mempunyai

probabilitas benar 95,44%, sedang sisanya 4,56% harus dipersiapkan untuk garansi.

PENERAPAN KURVA NORMAL

Distribusi Probabilitas Normal Bab 9

Hubungan antara Distribusi Binomial

dan Distribusi Normal

Jika N cukup besar dan jika tak satu pun dari p atau q sangat

dekat dengan nol maka distribusi binomial dapat didekati atau

diaproksimasi oleh sebuah distribusi normal dengan variabel

terstandarisasi yang dirumiskan sebagai:

Pendekatan ini akan semakin baik seiring dengan semakin

bertambah besarnya N. Dalam praktiknya, pendekatannya akan

sangat bagus jika Np dan Nq kedua-duanya lebih besar

daripada 5.

Npq

Npxz

Contoh Penerapan Distribusi Normal

Sebuah perusahaan bolam lampu mengetahui bahwa umur lampunya

(sebelum putus) terdistribusi secara normal dengan rata-rata umurnya

800 jam dan standard deviasinya 40 jam. Carilah probabilitas bahwa

sebuah bolam produksinya akan:

Berumur antara 778 jam dan 834 jam

Berumur kurang dari 750 jam atau lebih dari 900 jam

Jawab.

μ= 800 σ=40.

P(778<x<834)

x1=778 z1 = (x1-μ)/σ = (778-800)/40 = -0.55

x2=834 z2 = (x2-μ)/σ = (834-800)/40 = 0.85

P(778<x<834) = P(-0.55<z<0.85) = P(z<0.85)-P(z<-0.55)

= 0.8023 – 0.2912 = 0.5111

Contoh Penerapan Distribusi Normal

b) Berumur kurang dari 750 jam atau lebih dari 900 jam

μ= 800 σ=40.

P(x< 750 atau x>900)

x1=750 z1 = (x1-μ)/σ = (750-800)/40 = -1.25

x2=900 z2 = (x2-μ)/σ = (900-800)/40 = 2.5

P(x< 750 atau x>900) = P(z<-1.25) + P(z>2.5)

= P(z<-1.25) + 1- P(z<2.5)

= 1 + P(z<-1.25) - P(z<2.5)

= 1 + 0.1056-0.9938 = 0.1118

Soal: 1) Dalam suatu ujian akhir Matematika, mean nilai adalah

72 sementara deviasi standarnya adalah 15. tentukan

angka-angka standar (yaitu nilai-nilai dalam satuan

deviasi standar) dari siswa-siswa yang memperoleh

nilai (a) 60

(b) 93

(c) 72

2) Sebuah koin yang seimbang dilemparkan sebanyak

500 kali. Carilah probabilitas bahwa selisih banyaknya

kemunculan tanda gambar dengan 250 kali adalah

(a) tidak lebih dari 10

(b) tidak lebih dari 30

3) Diameter ball-bearing yg diproduksi sebuah pabrik memiliki mean

3cm dengan standard deviasi 0.005 cm. Pembeli hanya mau

menerima jikalau ball bearingnya memiliki diameter 3.0±0.01cm.

a) berapakah persenkah dari produksi pabrik tersebut yg tidak bisa

diterima pembeli?

b) jikalau dalam sebulan pabrik tsb memproduksi 10000 ball-bearing,

berapa banyak yg harus dibuang tiap bulan karena ditolak pembeli?

4) Sebuah pengukur diameter bola besi dipasang secara otomatis

dalam sebuah pabrik. Pengukur tsb hanya akan meloloskan diameter

bola 1.50±d cm. Diketahui bahwa bola produksi pabrik tersebut

memiliki diameter yg terdistribusi normal dengan rata-rata 1.50 dan

standard deviasi 0.2 cm. Jikalau diinginkan bahwa 95% produksinya

lolos seleksi berapakah nilai d harus ditetapkan?

Soal

Soal

5) Rata-rata nilai kuliah statistik diketahui 65 dengan standard deviasi

15. a) Jikalau diinginkan 15% murid mendapat nilai A dan diketahui

distribusi nilai normal, berapakah batas bawah nilai agar mendapat

A? (b) Selanjutanya diinginkan yg mendapat B adalah sebanyak

25%. Berapakah batas bawah B? (c) Seandainya diinginkan yg tidak

lulus paling banyak 25%, berapakah batas bawah agar siswa lulus?