DINAMIKA F RAKTAL DAN C HAOS - 102fm.files.wordpress.com · lagi dan pegas tersebut menjadi...

DINAMIKA FRAKTAL

DAN CHAOS

Ahmad Ridwan T. N.

102 FISIKAWAN MUDA

INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG

DESEMBER 2006

BAGIAN 1 TEORI

Daftar Isi

Bab 0 Pendahuluan: Fisika Nonlinear i

Nonlinearitas i

Mekanika Nonlinear iv

Bab 1 Sekilas Tentang Fraktal 1-1

Bab 2 Chaos dan Pemetaan 2-1

1. Landasan Matematik 2-1

1.1 Bentuk perulangan 2-1

1.2 Bifurkasi 2-5

1.3 Sifat keseluruhan 2-11

2. Pemetaan Multidimensi 2-14

2.1 Penarik aneh 2-14

2.2 Sistem Lorenz 2-18

3. Mengukur Chaos 2-21

3.1 Osilator harmonik 2-21

3.2 Persamaan logistik 2-24

3.3 Bilangan Lyapunov 2-26

BAB 0

PENDAHULUAN

Fisika Nonlinear

Fisika nonlinear, seperti halnya mekanika kuantum dan relativitas, membawa sekumpulan

ide-ide mendasar dan hasil-hasil yang mengejutkan. Akan tetapi, tidak seperti mekanika

kuantum dan relativitas, bidang fisika nonlinear ini mencakup sistem pada seluruh ukuran

dan benda-benda untuk semua kecepatan. Oleh karena itu, fisika nonlinear memiliki

aplikasi yang sangat luas dalam kehidupan manusia sehari-hari. Untuk memudahkan, kita

bisa membagi fisika nonlinear ke dalam enam kategori, yaitu fraktal, chaos, soliton,

pembentukan pola, cellular automata, dan sistem kompleks.

Gambar 1. Domain mekanika kuantum dan relativitas. Fisika nonlinear mencakup semuanya.

Nonlinearitas

Sebuah sistem bersifat nonlinear jika keluaran dari sistem tidak sebanding dengan

masukannya. Contohnya, dielektrik kristal akan nonlinear jika keluaran intensitas cahaya

i

ii

tidak sebanding dengan intensitas cahaya datang. Kemudian sistem penilaian ujian yang

digunakan seorang profesor juga bersifat nonlinear jika tingkat nilai yang diperoleh oleh

siswa tidak meningkat secara linear sebagai fungsi dari jumlah jam belajar siswa tersebut,

ini merupakan peristiwa yang sering terjadi : )

Tidak sulit bagi kita untuk melihat bahwa nonlinearitas merupakan kejadian yang lebih

umum daripada linearitas. Dalam bentuk persamaan matematis, kita bisa nyatakan

dx

dt=a x

(1)

dengan a dan sebagai suatu konstanta. Persamaan ini menyatakan bahwa laju

pertambahan sebuah besaran x t sebanding dengan nilainya saat itu yang dipangkatkan

oleh bilangan . Dari semua pilihan yang mungkin untuk nilai , solusi dari persamaan

(1) itu bersifat linear dalam variabel t jika =0 . Sedangkan untuk nilai yang lain,

x t menjadi fungsi nonlinear dari t.

Gambar 2. Definisi sistem nonlinear.

Faktanya, hampir seluruh sistem yang diketahui di alam ini ternyata bersifat nonlinear

ketika masukan darinya bernilai cukup besar. Contoh yang terkenal dan mudah dipahami

adalah pegas. Ketika simpangan dari pegas semakin besar, hukum Hooke tidak berlaku

lagi dan pegas tersebut menjadi osilator nonlinear. Contoh kedua adalah bandul

sederhana. Hanya ketika sudut simpangan dari bandul cukup kecil, baru bisa anggap

kelakuannya linear. Ada perbedaan kualitatif yang penting dari kelakuan sistem pada

KELUARAN

MASUKAN

linear

nonlinear

iii

daerah linear dan juga daerah nonlinearnya. Sebagai contoh, periode osilasi bandul tidak

bergantung pada amplitudo (simpangan maksimum) untuk daerah linear, tetapi periode itu

akan bergantung pada amplitudo untuk daerah nonlinear.

Secara matematis, tanda yang jelas dari suatu sistem nonlinear yaitu tidak berlakunya

prinsip superposisi yang menyatakan bahwa jumlah dua buah solusi dari persamaan yang

menggambarkan sistem juga akan menjadi solusi persamaan tersebut. Konsekuensi

fisisnya, dalam sistem nonlinear ternyata kelakuannya secara menyeluruh lebih dari

sekedar jumlah setiap bagiannya. (Kehidupan adalah salah satu contohnya.)

Ada dua jalan yang menyebabkan prinsip superposisi itu tidak berlaku. Pertama,

persamaannya itu sendiri yang nonlinear. Sebagai contoh, persamaan gerak untuk massa

titik dalam sebuah bandul sederhana diberikan oleh

d2

dt2 g /L sin=0 (2)

dengan adalah sudut antara garis vertikal dan bandul, g adalah percepatan gravitasi, dan

L adalah panjang bandul tersebut. Sangatlah mudah untuk kita tunjukkan, jika 1t dan

2 t masing-masing adalah solusi dari persamaan (2), maka jumlah 1t 2 t tidak

akan menjadi solusi dari persamaan tersebut, sebuah konsekuensi dari fakta sederhana

bahwa sin1sin2≠sin 12 . Akibatnya, persamaan (2) adalah persamaan nonlinear

berdasarkan keberadaan suku nonlinear sin . Di sisi lain, ketika cukup kecil, kita bisa

mengganti sin dengan sehingga persamaan tersebut menjadi linear dan prinsip

superposisi akan berlaku.

Gambar 3. Bandul sederhana.

Kedua, persamaannya itu boleh jadi linear tetapi batasannya tidak diketahui atau selalu

berubah. Sebagai contoh, permasalahan pembentukan pola dalam sel Hele-Shaw, kita bisa

iv

mencoba untuk menentukan bentuk dan pergerakan dari permukaan tunggal yang

memisahkan 2 buah cairan yang saling tertekan satu sama lain. Medan tekanan P pada

setiap cairan dapat dinyatakan dalam persamaan Laplace ∇2P=0 , yang merupakan

persamaan linear. Akan tetapi, superposisi dari dua solusi permasalahan tersebut

mengandung suku batas yang berbeda sehingga tidak mencerminkan solusinya.

Nonlinearitas dari sebuah sistem menjadikan sistem yang kita tinjau sangat nontrivial

dan analisisnya cukup sulit. Contoh:

(1) Untuk sebuah sistem nonlinear, gangguan berupa perubahan kecil pada kondisi awal

dapat menghasilkan perubahan sifat yang sangat besar dari sistem pada waktu

selanjutnya. Hal ini membuat perilaku dari sistem nonlinear menjadi sangat kompleks

(seperti halnya kasus chaos).

(2) Jika persamaan-persamaan yang menggambarkan sistem telah diketahui, kegagalan

prinsip superposisi membawa kita pada teknik transformasi Fourier. Tidak ada

metode sistematis yang serupa dengannya dalam pemecahan persamaan nonlinear.

Sebagai contoh, metode hamburan terbalik dalam teori soliton hanya bisa

diaplikasikan untuk sebuah subhimpunan dari sistem yang terintegrasi, dan belum ada

cara untuk mengetahui sistem terintegrasi mana yang mempan terhadap metode ini.

(3) Dalam banyak kasus, dari mulai batasan sederhana model pertumbuhan fraktal

sampai dengan beberapa contoh dalam sistem kompleks seperti bidang ekonomi,

persamaan yang menggambarkan sistem tersebut ternyata banyak yang belum

diketahui, atau bahkan tidak ada.

Seluruh komplikasi tersebut menyebabkan penggunaan komputer menjadi sangat penting

dalam pembahasan sistem nonlinear karena komputer dapat digunakan untuk melakukan

perhitungan rumit, simulasi langsung, dan visualisasi yang sederhana.

Mekanika Nonlinear

Salah satu cabang fisika yang memiliki banyak kasus nonlinearitas adalah mekanika. Titik

awal perhitungan biasanya menggunakan hukum kedua Newton. Tapi beberapa orang ada

juga yang lebih senang menggunakan konsep Lagrangian L = T – V, dengan T energi

v

kinetik dan V energi potensial. Kita akan mengaplikasikan kedua pendekatan tersebut

pada mekanika nonlinear, dengan gaya merupakan fungsi nonlinear dari perpindahan, atau

mungkin, kecepatan.

Kita mulai dengan contoh yang akrab seperti yang pernah disebutkan di bagian

pendahuluan. Sebuah massa kecil m pada ujung batang yang sangat ringan (idealnya tak

bermassa) dengan panjang l diayunkan sehingga membentuk suatu busur lingkaran dalam

bidang vertikal (lihat gambar 4). Gesekan pada titik sumbu, hambatan udara, dsb,

dianggap tidak ada.

Gambar 4. Diagram gaya untuk bandul sederhana.

Persamaan gerak dari bandul sederhana ini pertama-tama diperoleh dengan

menggunakan hukum Newton, F=m a . Karena lintasan geraknya terbatas pada bentuk

busur lingkaran, gaya gravitasi dipisahkan menjadi komponen yang sejajar dan tegak lurus

pada garis singgung busur. Untuk komponen gaya yang sejajar,

m l =�m g sin (3)

dengan sebagai percepatan sudut, atau

0

2sin=0 (4)

dengan 0= g / l . Tanda minus muncul pada suku gaya pemulih di persamaan (3) karena

komponen gaya berada pada arah yang berlawanan terhadap pertambahan .

Jika geometri sistem dan gaya-gaya yang bekerja pada bandul menjadi lebih kompleks, kita

dapat menggunakan pendekatan Lagrangian yang lebih sederhana karena hanya meninjau

energi kinetik dan potensial sistem saja.

mg sin

mg

vi

Untuk kasus bandul sederhana ini, misalkan energi potensial bernilai nol saat massa ada

di posisi paling bawah ( =0 ). Dengan demikian,

V=m g l 1�cos (5)

dan energi kinetiknya adalah

T=1

2m l 2

(6)

Selisih antara energi kinetik dan potensial menghasilkan Lagrangian

L=T�V=1

2m l 2�m g l 1�cos

(7)

dengan atas merupakan kecepatan sudut. Substitusi persamaan (7) ke persamaan

Lagrange untuk gerak*,

d

dt ∂L∂ � ∂L∂ =0(8)

akan menghasilkan persamaan (4) seperti yang diharapkan.

Hukum kedua Newton juga bisa diterapkan pada kasus biologi seperti getaran gendang

telinga. Pada awal 1895, Helmholtz menyadari ternyata telinga kita dapat merasakan

frekuensi-frekuensi yang tidak terkandung pada radiasi akustik yang datang padanya.

Untuk memahami masalah ini, misalkan kita perlakukan membran timpani pada gendang

telinga sebagai sistem mekanik yang mengalami getaran 1 dimensi di sekitar titik

keseimbangannya, yaitu sebesar simpangan x t . Kita lalu bisa nyatakan gaya pemulih

untuk simpangan x yang kecil dalam uraian Taylor,

F x =F 0 dFdx 0 x1

2 ! d2F

dx2

0

x2

1

3 ! d3F

dx3

0

x3...

(9)

Pada keseimbangan, x = 0, dan gaya pemulih F(x) juga akan menghilang sehingga

F 0=0 . Anggap suku linear dalam x cukup dominan sehingga kita dekati

F x ≃ dFdx 0x (10)

* detailnya dapat dilihat di buku Mathematical Methods in The Physical Sciences, Mary L. Boas.

vii

Agar menjadi gaya pemulih, kita harus memiliki dF /dx |00 untuk x positif. Ambil

dF /dx |0=�k , dengan k adalah konstanta pegas yang bernilai positif, maka akan

diperoleh hukum Hooke yang kita kenal,

F x =�k x (11)

yang sahih untuk simpangan x kecil.

Jika f t adalah gaya yang bekerja pada gendang telinga yang dihasilkan oleh tekanan

periodik dari gelombang suara datang dan m adalah massa dari membran timpani, maka

Hukum kedua Newton akan menghasilkan

m x=�k x f t (12)

yang bisa ditulis ulang menjadi

x 0 x=F t (13)

dengan 0=k /m dan F t = f t /m . Ini adalah kasus osilator harmonik terpaksa. Jika

F t =Acos t , maka setelah beberapa waktu awal gendang telinga akan memberi

respon hanya pada frekuensi tertentu .

Untuk bisa mendengar frekuensi selain , persamaan gendang telinga harus memiliki

sejumlah suku nonlinear. Nonlinearitas akan merangkai masukan menuju frekuensi

harmonik yang lain. Pemeriksaan kedokteran terhadap telinga manusia menunjukkan

bahwa beban yang dialami gendang telinga bersifat asimetris, tentunya sebagai akibat dari

osilasi asimetrik. Jika kita tetap menjaga suku kuadratik dari uraian Taylor pada persamaan

(9) dan memisalkan 1/2 ! d 2F /dx 2|0=�m , maka persamaan (13) digantikan oleh

persamaan nonlinear

x 0

2xx 2=F t (14)

Suku kuadratik pada persamaan (14) merupakan sifat asimetri karena tandanya tidak

berubah terhadap x. Persamaan ini merupakan persamaan gendang telinga yang

diturunkan oleh Helmholtz. Selain itu, osilasi terpaksa dari sistem nonlinear yang

ditunjukkan pada persamaan (14), disertai redaman tertentu, akan membawa kita pada

viii

variasi yang luas dari fenomena fisis, termasuk osilasi harmonik, osilasi subharmonik, dan

kelakuan chaos atau nonperiodik.

Dalam sistem lain, ketika sebuah benda bergerak melalui fluida kental (misalkan

atmosfer atau air), fluida tersebut memberikan gaya gesek F g pada benda. Gesekan ini

memainkan peranan yang penting pada karakteristik gerakan pesawat berkecepatan tinggi

seperti juga pada bola golf. Bentuk matematis dari gaya gesek secara umum cukup

kompleks dan biasanya ditentukan secara langsung melalui eksperimen.

Jika v adalah kecepatan sesaat, maka dapat kita nyatakan F g= F g v . Model yang

paling sederhana dari para fisikawan adalah

F g∝∣v∣n�1

v (15)

dengan n adalah bilangan bulat. Kemudian, sebagai contoh, persamaan gerak dari suatu

benda yang bergerak dekat permukaan Bumi dapat dinyatakan oleh

m v=m g�m k v∣v∣n�1 (16)

dengan k adalah konstanta positif yang terutama bergantung pada kerapatan dan

viskositas udara serta bentuk dari proyektil. Secara eksperimen, ditemukan bahwa sebuah

pesawat militer yang bergerak di udara (dengan asumsi bentuk titik) akan mengalami gaya

gesek dengan n = 1 untuk v≤24m / s . Kasus n = 1 ini biasanya disebut dengan hukum

Stokes untuk gesekan. Untuk v yang lebih besar, tetapi masih di bawah kelajuan udara,

diperoleh n = 2. Kasus ini biasanya disebut dengan hukum Newton untuk gesekan. Pada

keduanya, nilai n sebenarnya tidaklah tepat 1 atau 2, tetapi memangkatkan bilangan bulat

tentu akan lebih memudahkan kita dalam perhitungan integral analitik.

***

BAB 1

SEKILAS TENTANG FRAKTAL

Banyak struktur ruang di alam ini ternyata dihasilkan dari penyusunan ulang komponen-

komponen yang identik dalam jumlah besar. Proses penyusunan ulang itu terjadi melalui

aturan/rumusan tertentu, yang kita sebut dengan organisasi. Dua prinsip yang paling

sederhana dari organisasi tersebut adalah keteraturan (regularity) dan keteracakan

(randomness). Berdasarkan prinsip keteraturan, komponen-komponen terkecil dari suatu

struktur dapat menyusun diri mereka sendiri dalam sebuah mode periodik atau

kuasiperiodik menghasilkan bentuk kristal, campuran logam, formasi prajurit dalam suatu

parade, dan sebagainya. Sementara dari prinsip keteracakan, contoh yang jelas tampak

pada distribusi gas dan pertumbuhan rambut binatang.

Di antara dua ekstrem tersebut terdapat prinsip “keserupaan diri” (self-similarity), yang

akan membawa kita pada suatu struktur yang disebut dengan fraktal. Pada suatu fraktal,

ketika bagian dari suatu sistem membesar dengan perbesaran yang sama pada berbagai

arah, maka bentuk tersebut akan menyerupai keseluruhannya. Ciri khas fraktal di sini yaitu

dimensinya biasanya dalam bentuk pecahan. Konsep ini dapat diilustrasikan dengan

contoh Segitiga Sierpinski (SS).

Untuk membentuk SS, pada langkah pertama (n = 0) kita mulai dari sebuah segitiga

sama sisi yang masing-masing sisinya bernilai 1 satuan. Pada langkah selanjutnya (n = 1),

kita harus memotong seluruh bagian tengah segitiga tersebut oleh suatu bentuk segitiga

terbalik. Kemudian pada n = 2, lakukan hal yang sama untuk setiap segitiga yang terbentuk

dari langkah sebelumnya. Proses tersebut diulang terus menerus sampai n = ∞ . (Tentu

saja, hal ini bisa kita lakukan dalam pikiran, tetapi tidak dalam kenyataan.) Himpunan dari

segitiga pada langkah terakhir (n = ∞ ) adalah Segitiga Sierpinski yang kita inginkan.

Mudah untuk dipahami bahwa setiap bagian kecil dari SS memiliki bentuk yang sama

seperti keseluruhannya; dengan demikian SS merupakan suatu fraktal.

halaman 1 - 1

Bab 1 : FRAKTAL

halaman 2 - 2

PraFraktal n N

0

1

2

3...n

1

2-1

2-2

2-3

.

.

.2-n

1

3

32

33

.

.

.3n

Gambar 1.1 Konstruksi segitiga Sierpinski dan prosedur untuk menentukan dimensi fraktalnya.

Dimensi D dari sebuah fraktal dapat dinyatakan oleh

N ~�D (1.1)

dengan N adalah jumlah minimal dari objek kecil identik (masing-masing berukuran

linear ) yang dibutuhkan untuk melingkupi bentuk aslinya. Di sini tanda tilde (~)

menyatakan “sebanding ketika 0 .”

1

Bab 1 : FRAKTAL

halaman 2 - 3

Dalam bentuk lain, persamaan (1.1) setara dengan

D= lim 0

�log N / log (1.2)

Untuk menentukan dimensi dari SS, kita coba untuk melingkupinya dengan segitiga-

segitiga kecil. Ingat bahwa SS sebenarnya tidak bisa digambar secara eksplisit (harus

n=∞ ). Akan tetapi, kita bisa tetap melakukan proses seperti yang ditunjukkan pada

gambar 1.1. Dari gambar tersebut kita bisa lihat bahwa untuk setiap ternyata sejumlah

N segitiga secara jelas menunjukkan bentuk dari SS dan kita dapat tentukan bahwa

N =3n untuk =1 /2n . Berdasarkan persamaan (1.2) dan perhitungan logN / log =

n log 3/�n log 2 , kita peroleh D= log 3/ log 2≈1,58 , yang ternyata bukan bilangan

bulat. Jadi, perhitungan yang kita lakukan telah sesuai dengan definisi bahwa dimensi

fraktal merupakan bilangan pecahan.

Selain self-similar fractal, ada beberapa fraktal yang dapat dibentuk dari proses

pertumbuhan. Dimensinya dapat didefinisikan oleh

M~RD (1.3)

dengan M adalah massa objek ketika ukuran linearnya adalah R. Di sini tanda tilde berarti

“sebanding ketika R∞ .” Alasan bahwa persamaan (1.3) dapat memberikan nilai D

yang bukan bilangan bulat ditunjukkan pada gambar 1.2. Bahkan dimensi yang diperoleh

dari persamaan (1.2) dan (1.3) biasanya akan sama.

Gambar 1.2 Definisi dari dimensi D pada proses pertumbuhan fraktal. M adalah massa yang sebanding dengan areal

berwarna hitam. R adalah jari-jari, ukuran linear dari objek. A pada (b) merupakan konstanta; N adalah jumlah garis

pada (c). Pada (a) objek yang tumbuh adalah lingkaran; (b) sebuah “pohon” fraktal dengan percabangan; dan (c)

sebuah pohon sederhana tanpa cabang.

R

2

( 2)

M R

D

π== (2 1)

DM AR

D

=> >

1

( 1)

M NR

D

==

(a) (b) (c)

Bab 1 : FRAKTAL

halaman 2 - 4

Keberadaan fraktal yang ternyata ada dalam hampir seluruh sudut alam dan sistem

matematik pertama kali dikenal luas setelah Benoit Maldenbrot mempublikasikan bukunya

The Fractal Geometry of Nature pada awal 1980-an. Dalam bukunya tersebut Maldenbrot

menyertakan contoh-contoh fraktal seperti kertas yang digumpalkan menjadi bola, sistem

koloid, pohon-pohon, pegunungan, kabut, galaksi, polimer, dan pasar modal.

Petunjuk dari rahasia fraktal terletak pada kelakuannya yang mengikuti hukum pangkat

(power-law behaviour), yaitu

y=Axa (1.4)

yang ekuivalen dengan

y x =ay x , untuk semua0 (1.5)

Ekuivalensi antara persamaan (1.4) dan (1.5) ini dapat ditunjukkan melalui substitusi

langsung. Karena sembarang, kita boleh memilih =1 /x sehingga persamaan (1.5)

tereduksi menjadi y x = y 1x a , yaitu persamaan (4) dengan A = y (1). Dua persamaan

itu dengan demikian ekivalen satu sama lain dan nilai yang positif menunjukkan bahwa

a selalu riil.

Secara matematis, sembarang fungsi y(x) yang memenuhi persamaan (1.5) disebut

dengan fungsi homogen. Fungsi ini bersifat invarian terhadap skala, artinya jika kita

mengubah sekala pengukuran x sehingga x x ' ≡ x , maka fungsi yang baru

y ' x ' [≡ y x ] masih memiliki bentuk yang sama dengan fungsi y(x) yang lama.

Invariansi skala ini juga dapat diartikan jika suatu bagian dari sebuah sistem diperbesar

mencapai ukuran dari sistem sesungguhnya, maka sistem perbesaran tersebut akan serupa

dengan sistem yang asli. Dengan kata lain, invariansi skala haruslah serupa diri (self-similar)

dan demikian pula sebaliknya.

***

BAB 2

CHAOS DAN PEMETAAN

Dalam bidang sains, chaos adalah bahasa teknis dari sebuah fenomena sistem nonlinear

yang kelakuannya sangat bergantung secara sensitif pada kondisi awalnya. Penggunaan

kata chaos di sini tentu berbeda dengan penggunaannya dalam kehidupan sehari-hari yang

sering diartikan sebagai “kekacauan yang menjadi-jadi”. Perbedaan konteks ini mirip

seperti penggunaan kata “usaha” yang maknanya tidak sama dalam fisika dan bahasa.

Chaos telah diteliti oleh Henri Poincaré pada akhir abad ke-19 dan dilanjutkan oleh

sejumlah matematikawan. Semaraknya pembahasan tentang chaos saat ini dimulai pada

akhir tahun 1970-an, yaitu setelah Mitchell Feigenbaum menemukan sifat umum dari

beberapa jenis pemetaan, yang didahului oleh pekerjaan Edward Lorenz terkait perkiraan

cuaca. Tidak semua sistem nonlinear bersifat chaos, tetapi chaos terjadi pada banyak sekali

sistem riil maupun matematis seperti pada tetesan air dari keran, rangkaian elektronik,

konveksi termal pada cairan, reaksi kimia, detak jantung, dan sebagainya. Meskipun

kebanyakan chaos tampak sebagai suatu bentuk osilasi nonlinear yang seolah tidak

aturannya, tetapi ia ternyata dapat dirumuskan sebagai suatu pemetaan sederhana.

1 Landasan Matematik

1.1 Bentuk perulangan

Salah satu terobosan besar dalam fisika maupun matematika saat ini adalah kenyataan

bahwa sistem dinamis yang paling sederhana pun dapat berkelakuan tidak terprediksi

secara ekstrem. Tinjaulah dua buah fungsi riil

y=x2c , (2.1)

dan

x= y . (2.2)

Semua orang yang sudah lulus sekolah menengah tentu tahu bahwa kedua fungsi

halaman 2 - 1

Bab 2 : CHAOS Sub 1 : LANDASAN MATEMATIK

halaman 2 - 2

tersebut merupakan persamaan untuk sebuah parabola dan garis lurus. Walaupun begitu,

dari kedua persamaan itu kita berharap dapat menemukan suatu sifat atau kelakuan yang

kompleks dan menarik untuk dipelajari.

Salah satu cara untuk menginterpretasikan keduanya adalah sebagai dua buah kurva

yang berbeda dalam bidang. Cara lainnya yaitu dengan menganggap fungsi-fungsi tersebut

sebagai barisan instruksi berikut:

1. Berikan sembarang bilangan x, tentukan kuadratnya dan tambahkan dengan suatu

konstanta c , kemudian simpan hasilnya sebagai y.

2. Berikan y dan tidak perlu lakukan apa-apa, simpan hasilnya sebagai x

3. Ulangi langkah 1 dengan nilai x dari langkah 2.

Dua langkah pertama di atas bersama-sama membentuk sebuah pemetaan dari satu bilangan

ke bilangan lainnya, yaitu

f : xx2c . (2.3)

Jika kita lakukan proses tersebut untuk seluruh bilangan riil, maka kita telah memetakan

sebuah bilangan riil ke bilangan riil lagi:

f :ℝℝ . (2.4)

Hasil dari langkah ketiga kemudian merupakan suatu pemetaan berulang (iterated mapping).

Di sini akan digunakan simbol fn x untuk menyatakan perulangan proses ke-n dari nilai

awal x. Keseluruhan instruksi tersebut dengan demikian memberikan sebuah barisan

bilangan

x , f x , f 2x , f 3 x , ... , f n x , ... (2.5)

yang kita sebut dengan istilah orbit. Perhatikan bahwa tidak ada instruksi yang

menyebutkan kapan kita harus berhenti. Untungnya, manusia tidaklah begitu bodoh

sehingga terus melakukan perintah yang diberikan padanya. Di suatu tempat dalam barisan

tersebut, sebuah pola akan muncul yang memungkinkan kita untuk berhenti melakukan

perulangan dan membuat suatu kesimpulan. Jika pekerjaan tersebut terlalu capai untuk

dikerjakan, maka kita dapat melakukan perhitungan dengan menggunakan komputer.

Itulah sebabnya akhir-akhir ini riset di bidang chaos maupun fisika nonlinear secara umum


halaman 2 - 3

berkembang dengan pesat seiring kemajuan teknologi komputer.

Sekarang kita akan lihat kelakuan dari beberapa buah orbit. Parameter c=0

merupakan yang paling mudah untuk ditinjau karena pemetaan sesuai fungsi pada

persamaan (2.1) akan menghasilkan

fn∞ ; ∣x∣1 ,

fn1 ; ∣x∣=1 ,

fn0 ; ∣x∣1 .

(2.6)

Seluruh orbit akan mendekati nilai nol atau tak hingga kecuali yang bermula pada nilai

awal x=±1 . Titik nol dan tak hingga disebut dengan “titik tetap penarik” (attracting fixed

point) karena akan menarik orbit dari titik-titik di sekitarnya untuk menuju nilai keduanya,

sedangkan ±1 disebut “titik tetap penolak” (repelling fixed point) dengan alasan sebaliknya.

Jika diambil parameter c ¼ , parabola seluruhnya berada di atas garis diagonal x= y

dan seluruh nilai awal akan dibawa menuju tak hingga. Pada parameter tersebut parabola

dan garis diagonal berpotongan di ½. Titik-titik awal dengan nilai mutlak lebih dari ½

kemudian akan menuju tak hingga, sedangkan titik awal yang berada pada interval

0≤x≤½ akan mendekati nilai ½. Setelah sekitar perulangan sebanyak 700 kali, beberapa

buah orbit ternyata menuju nilai 0,499. Hasil untuk 10 perulangan pertama dari beberapa

buah nilai awal ditampilkan pada tabel 2.1.

Tabel 2.1 Orbit untuk f :x x2¼ . Orbit yang tidak dibawa ke tak hingga akan menuju ½.

tak hingga tak hingga

�±1� �±0.75� �±0.5� �±0.25� �±0.1� �0�

�+1.25� �+0.812� �+0.5� �+0.3125� �+0.26� �+0.25�

�+1.812� �+0.910� �+0.5� �+0.3476562� �+0.3176� �+0.3125�

�+3.535� �+1.078� �+0.5� �+0.3708648� �+0.3508697� �+0.3476562�

�+12.747� �+1.412� �+0.5� �+0.3875407� �+0.3731096� �+0.9708648�

�+162.744� �+2.246� �+0.5� �+0.4001878� �+0.3892107� �+0.3875407�

�+26485.994� �+5.296� �+0.5� �+0.4101503� �+0.4014850� �+0.4001878�

�+701507907� �+28.297� �+0.5� �+0.4182232� �+0.4111902� �+0.4101503�

�+4.921e+17� �+800.985� �+0.5� �+0.4249107� �+0.4190774� �+0.4182232�

�+2.421e+35� �+64158.262� �+0.5� �+0.4305491� �+0.4256258� �+0.4291070�

�+5.864e+70� �+4.116e+11� �+0.5� �+0.4353725� �+0.4311573� �+0.4305491�...

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

�+½� �+½� �+½� �+½�


halaman 2 - 4

Titik-titik tetap (fixed point) akan berubah seiring parameter yang berbeda. Parabola dan

garis diagonal sekarang akan berpotongan pada dua buah titik, yaitu akar-akar dari

persamaan

x2c=x . (2.7)

Melalui analisis lebih lanjut dapat ditunjukkan bahwa akar yang paling kecil di antara kedua

akar-akar tersebut merupakan titik tetap penarik dan akar yang lebih besar merupakan titik

tetap penolak. Sebagai contoh, ketika parameter c=-¾ persamaan tersebut memiliki

akar-akar - ½ dan +1½. Hasil dari 10 perulangan pertama kasus ini ditunjukkan pada

tabel 2.2.

Tabel 2.2 Orbit untuk f :xx2 ¾ . Orbit yang tidak dibawa ke tak hingga akan ditolak 1½ menuju – ½.

Gambar 2.1 Titik-titik tetap untuk beberapa parameter tertentu.

T it ik p e n a r ik

T it ik p e n a r ik

T it ik p e n o la k

T id a k a d a

t it ik te ta p

c > ¼ c = ¼ -¾ < c < ¼

tak hingga

�±1.75� �±1.5� �±1� �±0.75� �±0.5� �±0.25�

�+2.31� �+1.5� �+0.25� �−0.1875� �−0.5� �−0.6875�

�+4.59� �+1.5� �−0.6875� �−0.71484375� �−0.5� �−0.2773437�

�+20.38� �+1.5� �−0.2773437� �−0.2389984� �−0.5� �−0.6730804�

�+414.93� �+1.5� �−0.6730804� �−0.6928797� �−0.5� �−0.2969627�

�+172173.29� �+1.5� �−0.2969627� �−0.2699176� �−0.5� �−0.6618131�

�+2.964e+10� �+1.5� �−0.6618131� �−0.6771444� �−0.5� �−0.3120033�

�+8.787e+20� �+1.5� �−0.3120033� �−0.2947537� �−0.5� �−0.6525639�

�+7.721e+41� �+1.5� �−0.6525639� �−0.6650421� �−0.5� �−0.3240428�

�+5.962e+83� �+1.5� �−0.3240428� �−0.3077189� �−0.5� �−0.6449962�

�overflow� �+1.5� �−0.6449962� �−0.6553090� �−0.5� �−0.3339798�...

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

�+1½� �−½� �−½� �−½� �−½�


halaman 2 - 5

Untuk nilai-nilai parameter c-¾ , orbit yang seharusnya mendekati nilai terkecil dari

dua buah akar sesuai analisis sebelumnya ternyata akan berosilasi antara dua nilai yang

berbeda. Titik penarik tetapnya telah bercabang (mengalami bifurkasi) atau terbagi dan

orbitnya tidak lagi stabil, tetapi periodik, berganti-ganti antara dua buah nilai. Seiring nilai c

yang semakin negatif, bentuk bifurkasi lain akan terjadi dan periodenya berlipat menjadi 4,

kemudian 8, 16, 32, 64, dan seterusnya menuju tak hingga. Jarak antara dua bifurkasi yang

berturutan, bagaimanapun, mendekati nol dan begitu juga dengan cara tertentu

penggandaan periode (period-doubling) mencapai tak hingga pada nilai hingga sekitar

parameter c-1,4. Di luar nilai ini orbit-orbit yang sebelumnya periodik sekarang

cenderung menunjukkan ketidakperiodikan pada sejumlah interval hingga di antara [-2,2]

dan akan melewati setiap titik pada selang tersebut. Kelakuan itu disebut dengan istilah

ergodik dan merupakan sebuah karakteristik dari chaos.

Di samping karakteristik ergodik tersebut, nilai-nilai awal yang semula sangat dekat satu

dengan lainnya akan mengikuti orbit yang jauh berbeda. Kelakuan ini, yang merupakan

sensitivitas pada kondisi awal, dikatakan bersifat chaos dan nilai parameter c yang

menyebabkan terjadinya keadaan itu disebut dengan rezim chaos (chaotic regime). Sederetan

bifurkasi yang membawa pada rezim chaos dikenal sebagai rute menuju chaos (period

doubling route to chaos).

1.2 Bifurkasi

Sebuah pendekatan yang lebih intuitif untuk memahami orbit dapat dilakukan melalui

representasi grafik dengan aturan-aturan berikut:

1. Gambarkan kedua kurva pada sumbu-sumbu yang sama. Ambil sebuah titik pada

sumbu-x, titik ini kemudian dijadikan sebagai nilai awal.

2. Gambar sebuah garis lurus vertikal dari titik tersebut sampai memotong parabola.

3. Gambar garis horizontal dari perpotongan itu hingga mencapai garis diagonal dan

diperoleh titik yang baru kemudian ulangi langkah 2 dengan titik baru tersebut.

Contoh penerapan ketiga aturan di atas dapat dilihat pada gambar 2.2 s.d. 2.7.


halaman 2 - 6

Gambar 2.2 Pada grafik ditunjukkan kelakuan titik tetap yang bersifat sebagai penarik untuk c=¼ dengan nilai titik

awal 0. Angka nol akan digunakan sebagai standar titik awal untuk seluruh diagram berikutnya karena kelakuannya

yang mudah dipahami. Perhatikan bahwa orbit bergerak ke arah ½. Tinjauan lebih lanjut menunjukkan bahwa

pendekatan ini bersifat asimtotik.

Gambar 2.3 Pada grafik ini nilai c=-¾ . Perhatikan cara orbit mendekati titik tetap penarik dari sisi-sisi yang

berlawanan. Setelah 1000 kali perulangan ternyata masih ada sebuah lubang yang tampak pada pusatnya. Orbit

tersebut masih belum mencapai nilai akhirnya yang kita ketahui sebesar - ½.


halaman 2 - 7

Gambar 2.4 Ketika c=-13/16 orbit mengatur diri menjadi dua siklus yang bergantian antara -¾ and -¼.

Gambar 2.5 Di sini dapat dilihat adanya empat siklus. Ketika c=-1,3 orbit berosilasi pada nilai-nilai -1,2996224637;

0,3890185483; -1.1486645691; dan 0,0194302923.. Grafik yang satu ini cenderung tertarik lebih cepat. Setelah 100

kali perulangan, diagramnya akan tampak sempurna.


halaman 2 - 8

Gambar 2.6 Orbit ini digambar dengan menggunakan parameter c=-1,4015 . Meskipun tampak serupa dengan

diagram sebelumnya, nilai pemetaan dalam orbit ini tampak tidak pernah berulang dan memiliki periode menuju tak

hingga. Perubahan yang kecil dalam kondisi awal memberikan orbit yang sangat berbeda. Kita dapat membandingkan

hasil ini dengan parameter c=-1,4 yang memiliki periode 32.

Gambar 2.7 Grafik ini pasti menunjukkan sebuah chaos pada c=-1,8 . Orbitnya melingkupi setiap daerah pada

beberapa subinterval dari [-2, 2]. Gambar ini menunjukkan hanya sedikit subnterval dari seluruh titik yang

sesungguhnya bakal dilewati orbit.


halaman 2 - 9

Satu jalan lagi untuk melihat kelakuan umum dari pemetaan f : x x2c adalah

dengan memplot orbit sebagai sebuah fungsi dari parameter c. Kita tidak akan memplot

seluruh titik dari sebuah orbit, cukup yang paling indikatif saja. Beberapa ratus perulangan

pertama akan diabaikan yang memungkinkan orbit untuk menuju karakteristiknya.

Diagram seperti ini disebut dengan diagram bifurkasi karena menunjukkan bifurkasi dari

suatu orbit. Keterangan lebih lengkap dijelaskan pada gambar 2.8 s.d. 2.11.

Gambar 2.8 Pada gambar ini kita dapat lihat diagram bifurkasi secara utuh. Nilai parameter di luar rentang [-2, ¼]

tidak dsertakan karena seluruh orbitnya menuju tak hingga. Perhatikan bagaimana suatu titik tetap penarik tunggal

bercabang dua (bifurkasi) berulang kali dan menjadi chaos.

Gambar 2.9 Perbesaran pada daerah penggandaan periode (period doubling).


halaman 2 - 10

Gambar 2.10 Dengan memperbesar lagi diagram bifurkasi pada daerah sudut sebelah kiri atas, kita dapat melhat

sebuah pengulangan dari struktur yang besar. Daerah penggandaan periode menunjukkan sifat keserupaan diri (self-

similarity), yaitu daerah-daerah kecil tampak serupa dengan daerah yang besar. Sifat ini dapat dilihat ada bagian

lainnya dari diagram.

(a) (b)

Gambar 2.11 (a) Perbesaran pada rezim chaos, (b) Jika diperbesar lagi pada bagian tengah, diagramnya tetap

tampak seperti bentuk keseluruhannya. Di sini digunakan skala sampai 1000 kali lebih besar dari gambar 2.8.

Meskipun nilai x berubah terus terhadap c , diagram bifurkasi cenderung menunjukkan bentuk yang sama. Dengan

demikian, sifat chaos ini ternyata terkait dengan fraktal. Chaos selalu merupakan formasi dari fraktal, tetapi fraktal

tidak selalu menghasilkan chaos.


halaman 2 - 11

1.3 Sifat keseluruhan

Seperti telah ditunjukkan pada diagram, subdaerah dalam diagram bifurkasi tampak serupa

dengan diagram secara keseluruhannya. Keserupaan diri ini telah ditunjukkan tetap

berulang sampai resolusi terbaik sekalipun. Tinjau daerah penggandaan periode, seluruh

daerah yang dimulai dengan bifurkasi pertama 1 tampak sama seperti daerah lain yang

dimulai dengan bifurkasi kedua 2 yang juga tampak sama seperti daerah lain yang

dimulai dengan bifurkasi ketiga 3 , dan seterusnya. Kita simpulkan bahwa jarak antara

dua titik bifurkasi yang berturutan n secara geometri menyusut sedemikian rupa seingga

perbandingan dari interval

=n n 1

n1 n

. (2.8)

mendekati sebuah nilai konstan seiring n menuju tak hingga. Konstanta ini, yang disebut

dengan bilangan Feigenbaum, muncul berulangkali dalam bentuk keserupaan diri dan

memiliki nilai aproksimasi sebesar

4,669201609102990671853203820466201617258185577475768632745651

343004134330211314737138689744023948013817165984855189815134

408627142027932522312442988890890859944935463236713411532481

714219947455644365823793202009561058330575458617652222070385

4106467494942849814533917262005687556659523398756038256372 ...

Bilangan Feigenbaum merupakan sebuah bilangan irasional seperti halnya

(3.1415926...) yang selalu muncul dalam pembahasan lingkaran maupun e (2.71828...)

yang muncul dalam pembahasan pertumbuhan atau peluruhan. Dengan demikian,

bilangan Feigenbaum adalah sifat yang menyeluruh bagi suatu chaos. Untuk seluruh

chaos, bifurkasi yang mendahului transisi menuju chaos selalu dikarakterisasi oleh bilangan

Feigenbaum. Akan tetapi, sejauh ini kita hanya meninjau pemetaan sederhana satu

dimensi, f : x x2c , dengan x dan c adalah bilangan riil. Mungkin kita ragu seberapa

menyeluruh sifat yang telah dikemukakan di atas berlaku untuk jenis pemetaan yang lain.

Untuk membuktikannya, kita coba tinjau diagram bifurkasi seperti pada gambar berikut.


halaman 2 - 12

(a)

(b)

Gambar 2.12 (a) Diagram bifurkasi untuk f :x c sin x pada interval tertentu, dan (b) diagram bifurkasi pemetaan

yang sama pada interval yang lebih besar. Sifat keseluruhan benar-benar tampak serupa.


halaman 2 - 13

(a) (b)

(c) (d)

Gambar 2.13 Diagram bifurkasi untuk (a) f :x c x 1 x2 , (b) f :x c x

3 1 x , (c) f :x c 1 2x 14 ,

dan (d) f :x c x 1 x .


halaman 2 - 14

Gambar 2.14 Diagram bifurkasi untuk f :x sinxc .

2 Pemetaan Multidimensi

2.1 Penarik aneh

Langkah selanjutnya adalah mengembangkan konsep sistem berulang ke pemetaan

multidimensi. Dengan diberikan hasil penelusuran sebelumnya, kita dapat menduga bahwa

banyak kelakuan yang ditemukan ada pemetaan kuadratik akan memiliki analognya dalam

dimensi yang lebih tinggi dan dengan demikian kita tidak perlu mengenalkan banyak

kosakata baru. Misalkan

f :ℝnℝn (2.9)

merupakan sebuah pemetaan berorde n dari bilangan riil ke bilangan riil lagi. Kita sebut n

sebagai titik-titik tertentu dan ℝn adalah sebuah ruang berdimensi n. Ambil hasilnya

kemudian masukkan kembali nilai yang diperoleh pada pemetaan tersebut secara berulang,

maka akan dihasilkan sebuah orbit

p , f p , f 2 p , f 3 p , ... , f n p (2.10)

Bab 2 : CHAOS Sub 2 : PEMETAAN MULTIDIMENSI

halaman 2 - 15

dalam ruang dengan nilai awal p. Kelakuan dari orbit-orbit pada dimensi tinggi secara

umum akan serupa dengan satu dimensi.

Kita akan tinjau beberapa kemungkinan dalam dua dimensi. Cukup mudah untuk

menemukan pemetaan yang mengilustrasikan titik-titik tetap penarik dan penolak. Sebagai

contoh, ½

f :x , y ½x ,½ y (2.11)

menggambarkan semua titik secara asimtotik menuju titik asal koordinat (origin),

sedangkan

f : x , y 2 x , 2 y (2.12)

membawa ke nilai tak hingga.

Pada dimensi yang lebih tinggi, tarikan dan tolakan tidak terbatas pada titik-titik

tertentu. Sebuah pemetaan berulang dapat menjadi struktur apapun yang mungkin dalam

dimensinya. Penarik dan penolak dapat membentuk lintasan, permukaan, volume, dan

analogi lainnya pada dimensi yang lebih tinggi. Sebagai contoh, pemetaan dua dimensi

f :x , y x ,½ y (2.13)

menarik seluruh titik secara asimtotik menuju sumbu-x. Demikian pula, sebuah obyek dua

dimensi dapat berlaku sebagai penolak. Contohnya adalah pemetaan

f : x , y x 2 y2, 2 x y . (2.14)

Titik-titik di dalam lingkaran satuan menghadap ke titik asal koordinat, sedangkan di luar

itu akan terbawa menuju tak hingga. Titik-titik yang berada di dalam lingkaran ternyata

tetap pada posisinya sehingga untuk pemetaan ini lingkaran satuan dapat dianggap sebagai

penolak tetap.

Untuk perbandingan, ambil suatu himpunan fungsi berulang

x b y dan y 1x a y2 (2.15)

dengan a dan b konstan masing-masing sebesar 1,4 dan 0,3. (Nilai konstanta lain tentu


halaman 2 - 16

diperbolehkan. Pemilihan ini hanya untuk menghasilkan gambar yang bagus.) Nilai titik-

titik awal yang tidak lari ke tak hingga ternyata membentuk pola unik yang ditunjukkan

pada gambar di bawah. Ini contoh sebuah penarik aneh (strange attractor), yaitu penarik

Henon, yang dinamai sesuai penemunya, Michel Henon. Meskipun terbentuk dari garis-

garis, orbit-orbit pada penarik ini tidak mengalir secara kontinu, tetapi loncat dari satu

posisi ke posisi lainnya. Ketika digambar, penarik aneh ini tampak tidak berwujud apa-apa,

tetapi bersifat chaos. Titik-titik awal yang hanya berbeda sedikit saja akan tiba-tiba

berpisah dan melintasi orbit yang berbeda.

1x 8x 64x

Gambar 2.15 Penarik Henon dengan perbesaran tertentu.

Bentuk unik serupa dapat diperoleh dengan menggunakan bilangan kompleks, yaitu

sebuah bilangan yang terdiri dari bagian riil dan imajiner. Bilangan kompleks z dapat

direpresentasikan sebagai jumlah dari dua bagian tersebut atau sebagai pasangan koordinat

dengan “i” menyatakan akar kuadrat dari negatif 1.

z=x i y=x , y . (2.16)

Dengan demikian, sebuah pemetaan berulang

f z z (2.17)

setara dengan pemetaan dua dimensi

f x , y f x , y (2.18)

yang mengikuti aritmetika bilangan kompleks. Caranya yaitu dimulai dengan sebuah fungsi

kompleks, atau cukup ambil sembarang fungsi riil yang lama dan beri nilai awal dengan

bilangan kompleks, hitung hasil pemetaannya sesuai fungsinya berulangkali, dan plot orbit

yang diperoleh pada bidang riil-imajiner.


halaman 2 - 17

Jika langkah tersebut diterapkan pada fungsi

f : z ab z expi k p

1∣z∣2 (2.19)

akan muncul sebuah penarik aneh, yaitu penarik Ikeda. Dengan pilihan parameter tertentu

dapat diperoleh pola yang melingkar-lingkar dan berlipat. Contoh yang ditunjukkan di

bawah mengingatkan kita pada turbulensi yang ditemukan dalam jejak suatu asap

a=0,85 ;b=0,9 ;k=0,4 ; p=7,7 . Seperti halnya penarik Henon, penarik Ikeda juga

menunjukkan struktur halus yang tidak pernah berhenti. Inilah yang menyebabkan objek

ini tampak “aneh”.

1x 4x 16x

Gambar 2.16 Penarik Ikeda.

Meskipun terlihat seperti lukisan yang indah, seluruh penarik aneh tersebut bermula dari

penelitian sistem riil atau fisis yang diidealisasi. Penarik Henon muncul dari studi

gangguan pada orbit asteroid dan penarik Ikeda dari sistem optik nonlinear. Sistem yang

dikaji oleh Henon dan Ikeda merupakan sistem dua dimensi, tetapi tidak ada alasan untuk

membatasi sistem fisis atau penarik aneh hanya pada dimensi tertentu.

(a) (b) (c) (d)

Gambar 2.17 Beberapa penarik aneh dalam 3 dimensi, (a) Chua [listrik], (b) Duffing [osilasi nonlinear], (c) Lorenz

[konveksi atmosfer], dan (d) Rossler [kinetika kimia].


halaman 2 - 18

2.2 Sistem Lorenz

Penarik aneh yang paling terkenal adalah penarik Lorenz, sebuah obyek tiga dimensi yang

bentuknya menyerupai kupu-kupu. Penarik Lorenz yang dinamai sesuai penemunya,

Edward Lorenz, merupakan sebuah model matematik untuk kondisi atmosfer.

Bayangkan sebuah lapisan udara dipanaskan dari bawah dan didinginkan dar atas

dengan kedua tepinya dijaga pada temperatur tetap. Ini adalah gambaran atmosfer Bumi

kita yang paling sederhana. Bagian bawahnya dipanaskan oleh Bumi dan bagian atas

didinginkan oleh angkasa luar. Dalam lapisan tersebut, udara hangat akan muncul dan

udara dingin akan hilang. Dengan model ini, sel konveksi akan terbentuk, mentransfer

kalor dari bawah ke atas.

Keadaan atmosfer dalam model ini dapat digambarkan secara utuh dengan tiga buah

variabel bergantung waktu: (1) laju konveksi x, (2) distribusi temperatur horizontal y, dan

(3) distribusi temperatur vertikal z ; dengan tiga parameter yang menjelaskan karakter dari

model tersebut, yaitu (rasio viskositas terhadap konduktivitas termal), (perbedaan

temperatur antara bagian atas dan bawah lapisan), dan (perbandingan lebar dan

ketebalan lapisan). Model ini kemudian membentuk sistem persamaan diferensial biasa

sesuai dinamika fluida,

dx /dt= y x dy /dt=x y x z

dz /dt=xy z(2.20)

Walaupun benar-benar sudah sangat sederhana, dalam model ini tetap tidak mungkin

ditemukan solusi analitiknya sehingga harus diselesaikan secara numerik.

Untuk menghemat kertas, komputer diinstruksikan agar membulatkan solusinya

sebelum dicetak. Sebagai contoh, solusi 0,56127 dicetak 0,506. Celakanya, sebuah galat

dalam 1/4000 bagian justru dapat menjadi sesuatu yang signifikan. Toleransi tidak bisa

selalu kita berikan dalam perhitungan ini. Dalam perkiraan cuaca, kesalahan yang kecil

setelah waktu tertentu akan menjadi sangat besar sesuai jangkauan solusi yang mungkin

terhadap sistem tersebut. Lorenz menyebutnya sebagai efek kupu-kupu (butterfly effect)

karena dia mengandaikan sistem ini dengan pertanyaan, “Apakah kepak sayap kupu-kupu


halaman 2 - 19

di Brazil dapat menghasilkan tornado di Texas?” Ini tentu hanya sebuah ungkapan.

Pernyataan yang seharusnya adalah, “Apakah pengaruh yang sangat kecil membawa

perubahan besar di kemudian waktu?”

Kupu-kupu dipilih karena efeknya pada dinamika atmosfer tentu sangat kecil dan

tornado dipilih karena ukurannya secara meteorologi merupakan kejadian ekstrem yag

dapat kita peroleh. Gangguan yang sangat kecil dalam sebuah sistem mungkin

menghasilkan keluaran sebesar perbedaan antara apakah tornado akan terjadi atau tidak.

Apa yang dikenal sebagai efek kupu-kupu lebih tepat dikenal sebagai ketergantungan yang

sangat sensitif pada kondisi awal. Ini merupakan sifat yang sangat pokok dari sistem

chaos. Ketergantungan yang sensitif sama dengan chaos.

Tabel 2.3 Ketergantungan yang sangat sensitif pada kondisi awal sebagaimana diilustrasikan oleh sistem persamaan

Lorenz. Ketika hasil pada perulangan kesebelas dipotong desimalnya, maka hasil akhirnya menjadi sangat berbeda.

Sebenarnya sistem yang dimodelkan oleh persamaan Lorenz dapat juga menunjukkan

kelakuan yang tidak chaos. Dengan memberikan kombinasi parameter yang tepat,

sejumlah orbit akan stabil menuju titik tetap tertentu, berhingga maupun tak hingga.

Bagian yang menarik dari sistem Lorenz ini adalah sifat ergodisitasnya, yaitu orbit akan

melalui setiap titik pada daerah tertentu dan ini tampak dalam perubahan cuaca yang nyata

waktu temperatur waktu temperatur

1 10.34 1 -

2 −5.380525 2 -

3 10.02 3 -

4 −5.322683 4 -

5 −14.052872 5 -

6 2.76 6 -

7 −7.552990 7 -

8 6.62 8 -

9 −8.084304 9 -

10 diabaikan 10 -

11 −9.952578 11 −9.952000

12 −5.981163 12 −6.120309

13 −13.023813 13 −12.646284

14 0.04 14 −0.724073

15 9.31 15 11.85

16 4.56 16 −1.204758

17 7.38 17 6.83

18 −14.856846 18 13.77

19 −0.246566 19 1.47


halaman 2 - 20

di kehidupan sehari-hari. Cuaca di Bumi tidak pernah menuju keadaan yang sama setiap

harinya walau di tempat yang sama. Memang ada hari-hari yang keadaan cuacanya seperti

sama tapi tidak pernah tepat sama (tidak berulang).

Cuaca nyata juga bersifat terikat, yaitu ada batasan jenis cuaca tertentu yang bisa terjadi

karena Bumi, matahari, dan atmosfer sebenarnya tidak mengalami perubahan dalam

karakternya masing-masing. Daerah tropis bisa saja cukup panas, tetapi tidak pernah bisa

untuk melelehkan sebuah timbal. Angin badai boleh jadi sangat kencang, tetapi tidak

cukup cepat untuk mengimbangi kelajuan suara, apalagi cahaya. Jika model Lorenz ini

akurat, maka seharusnya dapat menunjukkan sifat yang terikat itu. Pertanyaannya adalah

bagaimana caranya? Tentu akan sangat sulit jika kita harus melihat sederetan angka lantas

menentukan akurasinya. Cara yang mudah adalah dengan melihat orbit pemetaan Lorenz

dalam tiga dimensi.

Gambar 2.18 Penarik Lorenz dilihat dari delapan sudut yang berbeda.

Dari gambar 2.18 kita dapat lihat bahwa penarik Lorenz bersifat terikat juga. Satu hal

yang menarik, bentuk yang dilalui oleh seluruh orbit ternyata cukup mirip dengan kupu-

kupu seperti yang dilontarkan oleh Lorenz sendiri. Meski demikian, struktur sebenarnya

dari penarik Lorenz jauh lebih kompleks. Kita ingat bahwa angka-angka yang dihasilkan

bersifat ergodik (mendekati setiap nilai yang mungkin) dan aperiodik (tidak pernah

berulang).


halaman 2 - 21

Gambar 2.19 Penarik Lorenz dari sudut yang lebih jelas. Di sini terlihat ergodisitasnya.

Sayangnya, kemampuan untuk menentukan apakah suatu hal akan terjadi atau tidak

sebenarnya tidak mungkin kita katakan. Pada seluruh pengukuran akan muncul

ketidakpastian pada level tertentu. Akan tetapi, prediksi yang kita buat tentu cukup

berguna untuk bisa memahami alam semesta yang luar biasa mempesona.

3 Mengukur Chaos

3.1 Osilator harmonik

Pada bahasan sebelumnya, kita telah meninjau kelakuan dari sistem dinamika diskret,

secara khusus adalah kelompok pemetaan kuadratik. Tiga tipe dasar kelakuan sistem telah

diamati, yaitu titik tetap, periodik, dan chaos (ergodik). Dua tipe pertama kelakuan

tersebut muncul dalam banyak sistem dinamika kontinu yang digambarkan oleh

persamaan diferensial dengan solusi eksak. Pada bagian ini kita akan membuat

perbandingan antara sebuah sistem periodik kontinu, yaitu osilator harmonik dan sistem

periodik diskret paling terkenal, yaitu persamaan logistik. Analisis paralel antara osilator

harmonik sederhana dan persamaan logistik dimungkinkan dengna memberikan sifat yang

analog dari kedua sistem. Dari kajian ini akan muncul sebuah topik baru dalam analisis

dinamika diskret, yaitu persamaan logistik terkendali (driven logistic equation).

Bab 2 : CHAOS Sub 3 : MENGUKUR CHAOS

halaman 2 - 22

Osilator harmonik sederhana (OHS) adalah sebuah massa yang dihubungkan pada

suatu benda elastik (yang massanya diabaikan) dengan salah satu ujung yang terikat dan

ujung satunya lagi bebas bergerak bersama massa dalam satu dimensi. Model yang

disederhanakan ini mengaproksimasi banyak sistem riil yang bergetar, diantaranya drum

musik, tali gitar, gambaran mekanika kuantum sebuah atom, dan sebagainya. Hal yang

penting dari permasalahan ini terletak pada fakta bahwa persamaan dengan bentuk yang

serupa muncul ketika sebuah partikel bergerak melalui daerah yang potensialnya memiliki

satu atau lebih minimum lokal: gerak planet dan satelit, gambaran klasik elektron dalam

orbit sekitar inti, bandul sederhana, dan sebaganya. Persamaan serupa juga muncul dalam

kajian rangkaian RLC yang digunakan pada peralatan komunikasi analog dan transmisi

daya listrik.

Ketika gaya disipatif seperti gesekan dan hambatan udara diabaikan, gaya total akan

berbanding langsung dengan simpangan massa terhadap posisi keseimbangannya dengan

arah yang berlawanan, dikenal sebagai hukum Hooke. Dimulai dengan hukum Newton

kedua, kita dapat menurunkan persamaan diferensial linear orde dua yang solusinya

memberikan kita simpangan massa sebagai suatu fungsi dari waktu.

Gambar 2.20 Osilator harmonik sederhana

Persamaan gerak untuk OHS ini mudah untuk diturunkan dan hasilnya dapat

dinyatakan oleh

x=A cos0 t . (2.21)

Geraknya bersifat periodik dengan suatu frekuensi 0 yang memenuhi 0=k /m ,

artinya frekuensi tersebut bergantung pada sifat massa dan benda elastik (diasumsikan

+xm ax

-xm ax

po s is i

se im b a n g

F

k

m


halaman 2 - 23

berupa pegas). Amplitudo A dan fase adalah konstanta-konstanta yang ditentukan

oleh simpangan awal dan kelajuan sistem.

Model fisis yang lebih realistis adalah dengan menyertakan gaya disipatif, yaitu osilator

harmonik teredam. Untuk memudahkan, misalkan gaya disipatif ini sebanding dengan

kecepatan benda bermassa dengan arah yang berlawanan. Ini merupakan pendekatan yang

cukup baik untuk hambatan udara dan menghasilkan persamaan diferensial lain dengan

sebuah solusi eksak. Hasilnya adalah

x=A e tcos1 t (2.22)

dengan =b /2m dan 1=02 2 .

Kita sekarang memiliki sebuah persamaan yang menghasilkan kelakuan berbeda untuk

parameter yang berbeda. Ketika faktor redaman ( ) sama dengan nol, sistem akan

tereduksi menjadi kasus OHS. Ketika nilai lebih dari nol, maka sistem bisa atau tidak

bisa berosilasi, tergantung dari hubungannya dengan frekuensi alami 0 .

Bentuk osilasi terakhir yang muncul dalam masalah praktis adalah osilasi harmonik

terkendali, yaitu ketika osilator dikendalikan oleh gaya eksternal yang bergantung waktu.

Kasus yang paling penting adalah gaya yang bentuknya sinusoidal,

F t =F 0 cos t0 (2.23)

sehingga memungkinkan persamaan diferensialnya memiliki solusi eksak, yaitu

x=A e tcos1 t

F 0/m

0

2 22422sin t0

(2.24)

dengan =tan 10

2 2

2 .Solusinya sekarang terdiri atas dua bagian, suku transien dan suku tunak. Suku transien,

yang solusinya sama dengan osilator harmonik teredam, menghilang secara eksponensial

dan tergantung pada kondisi awal. Suku tunak memiliki sebuah amplitudo yang konstan

dan tidak tergantung pada kondisi awal. Oleh karena itu, tidak peduli bagaimana kondisi

awal yang dimiliki osilator, kelakuannya sepenuhnya tergantung pada gaya pengendali.


halaman 2 - 24

3.2 Persamaan logistik

Persamaan logistik sederhana merupakan sebuah rumusan untuk mengaproksimasi evolusi

populasi hewan pada waktu tertentu. Banyak spesies hewan bersifat fertil hanya pada

periode singkat dalam setahun dan hewan-hewan muda lahir dalam musim tertentu

sehingga seiring berjalannya waktu ketika mereka siap untuk makan, jumlah makanan itu

tetap melimpah. Dengan alasan ini, sistem tersebut lebih baik digambarkan oleh sebuah

persamaan beda diskret (discrete difference equation) dibandingkan persamaan diferensial

kontinu. Oleh karena tidak setiap hewan yang ada akan bereproduksi, tidak seluruh betina

bersifat fertil, dan tidak setiap perkawinan akan berhasil, maka populasi meningkat dalam

bentuk fraksi populasi saat ini. Dengan demikian, jika An adalah jumlah hewan tahun ini

dan An1 adalah jumlahnya tahun depan, maka

An1=r An (2.25)

dengan r merupakan laju pertumbuhan atau tingkat produktivitas. Model ini menghasilkan

pertumbuhan eksponensial tanpa batas. Karena setiap populasi terikat oleh batasan fisis

dari lingkungannya, maka kita harus memberikan suku tambahan yang mendekati nol

seiring populasi mencapai pertumbuhan yang tinggi. Suku yag tepat adalah pengali

1 An sehingga dihasilkanlah persamaan logistik

An1=r An 1 An , (2.26)

atau dalam bentuk fungsi

f x =r x 1 x . (2.27)

Persamaan logistik berbentuk parabola seperti pemetaan kuadratik dengan

f 0= f 1=0 dan sebuah nilai maksimum ¼ r pada ½. Variasi dari parameter akan

mengubah ketinggian parabola tetapi lebarnya tetap. (Ini adalah perbedaannya dengan

pemetaan kuadratik yang bentuk keseluruhannya selalu tetap, hanya bergeser ke atas atau

ke bawah.) Kelakuan dari sistem tersebut ditentukan dengan mengikuti orbit dari masukan

awal yang diberikan. Seluruh kondisi awal pada akhirnya akan menjadi tiga macam tipe

kelakuan sistem, yaitu


halaman 2 - 25

1. Tertentu (tetap): Jumlah populasi mendekati sebuah nilai stabil.

2. Periodik: Jumlah populasi berganti-ganti antara dua atau lebih nilai.

3. Chaos: Jumlah populasi akan melewati setiap nilai pada rentang (0,1). Selain itu,

orbitnya akan sangat bergantung pada kondisi awal, sesuai dengan sifat keseluruhan

yang pernah dinyatakan sebelumnya.

Kelakuan dari persamaan logistik ini lebih rumit daripada osilator harmonik sederhana.

Tipe orbit bergantung pada paramater laju pertumbuhan, tetapi bukan dalam pernyataan

“kurang dari”, “lebih dari”, atau “sama dengan”. Cara terbaik untuk memvisualisasikan

kelakuan orbit sebagai fungsi dari laju pertumbuhan adalah dengan menggunakan diagram

bifurkasi. Tetapkan sebuah masukan awal yang cocok, bangkitkan sejumlah besar

perulangan, abaikan beberapa nilai pertama dan plot sisanya sebagai fungsi dari laju

pertumbuhan. Untuk nilai parameter yang menyebabkan sistem berkelakuan tetap,

diagram bifurkasi akan tereduksi berupa sebuah garis; untuk sistem periodik, diagramnya

berupa deretan garis; dan untuk sistem chaos, diagramnya berupa serangkaian titik.

Ada dua buah titik tetap untuk fungsi ini, yaitu 0 dan 1 – 1/r. Yang pertama akan stabil

pada interval (-1,1) dan yang terakhir pada (1,3). Sebuah siklus stabil akan dimulai pada

r=3 diikuti r=16 . Periode akan terus berlipat hingga interval yang semakn pendek

sekitar r=3.5699457... di mana rezim chaos mengambil alih. Ketika laju pertumbuhan

mencapai 4, seluruh orbit menuju tak hingga dan aspek pemodelan dari fungsi ini tidak

lagi berguna.

Gambar 2.21 Diagram bifurkasi untuk persamaan logistik.

p ro d u k tiv ita s (r )

populasi (x)


halaman 2 - 26

3.3 Bilangan Lyapunov

Akan sangat memudahkan bagi kita untuk memiliki sebuah ukuran sederhana yag dapat

membedakan tipe-tipe orbit seperti halnya parameter-parameter dalam osilator harmonik.

Gambar 2.22 Mencari bilangan Lyapunov.

Tinjau dua buah titik dalam suatu ruang, yaitu X 0 dan X 0x 0 , masing-masing akan

membangkitkan sebua orbit dalam ruang dengan persamaan tertentu. Orbit-orbit ini dapat

dibayangkan sebagai fungsi parametrik dari sebuah variabel seperti waktu. Jika kita

gunakan salah satu orbit sebagai referensi, maka jarak antara kedua orbit juga merupakan

fungsi dari waktu. Karena ketergantungan yang sensitif hanya muncul pada beberapa porsi

dari sebuah sistem, jarak antara tersebut juga merupakan fungsi dari lokasi nilai awal dan

memiliki bentuk x X 0, t . Dalam sebuah sistem dengan titik-titik tetap atau titik-titik

periodik penarik, x X 0, t berkurang secara asimtotik bersama waktu. Jika suatu sistem

tidak stabil, maka orbitnya akan menyebar secara eksponensial untuk sesaat, tetapi pada

akhirnya akan kembali turun. Untuk titik-titik chaos, fungsi x X 0, t berkelakuan tak

menentu. Dengan demikian akan bermanfaat jika kita kaji laju eksponensial rata-rata dari

sebaran dua orbit yang mulanya berdekatan dengan menggunakan rumusan

= limt ∞

∣ x 0∣ 0

1

tln∣x X 0, t ∣

∣ x 0∣ . (2.28)

Bilangan ini, disebut dengan bilangan Lyapunov , bermanfaat untuk membedakan

berbagai tipe dari orbit. Bilangan ini berlaku baik untuk sistem diskret maupun kontinu.

∆x (X0 , t )

X0 + ∆x

0

X0


halaman 2 - 27

0 :

=0 :

0 :

Orbit akan tertarik menuju sebuah titik stabil atau orbit periodik stabil.

bilangan Lyapunov negatif merupakan karakteristik dari sistem disipatif atau

nonkonservatif (contohnya osilator harmonik teredam). Semakin negatif

bilangan ini, stabilitasnya akan semakin besar. Titik-titik tetap dan periodik

superstabil memiliki bilangan Lyapunov = ∞ .

Orbit dengan kondisi ini merupakan sebuah titik tetap netral (atau titik

tetap akhir). Bilangan Lyapunov nol mengindikasikan sistem berada dalam

keadaan tunak. Sistem fisis yang demikian akan bersifat konservatif.

Orbit ini bersifat tidak stabil dan mengalami chaos. Titik-titik yang

berdekatan akan menyebar pada jarak yang sembarang. Seluruh tetangga

dalam ruang fase akan dilewati. Sistem fisisnya dapat dijumpai pada gerak

Brown. Meskipun sistemnya deterministik, tetapi tidak ada aturan bagi orbit

yang terjadi.

Kita akan coba terapkan aturan ini pada persamaan logistik. Akan tetapi, bentuk limit

dari persamaan (2.28) cenderung sulit dikerjakan. Dengan pendekatan tertentu, bilangan

Lyapunov dapat dicari menggunakan rumusan

= limN ∞

1

N∑n=1

N

log 2dx n1

dx n(2.29)

yang untuk kasus fungsi logistik menjadi

≈1

N∑n=1

N

log2 r 2 r xn (2.30)

dengan x n=r xn 1 1 x n 1 .

Bilangan Lyapunov ini kemudian dapat dihitung dengan menggunakan komputer

hingga derajat ketelitian tertentu yang ditentukan oleh nilai N. Jika kita coba hitung

bilangan Lyapunov untuk titik-titik tertentu pada diagram bifurkasi, maka akan diperoleh

hasil seperti pada tabel 2.4.


halaman 2 - 28

Tabel 2.4 Penentuan bilangan Lyapunov untuk nilai r tertentu pada N=4000 dan x 0=1 /2 . *Perhitungan analitik

menghasilkan nilai -∞ .

Penting untuk diperhatikan bahwa bilangan Lyapunov dapat diaplikasikan tidak hanya

untuk pemetaan satu dimensi, tetapi pemetaan secara umum dan sistem persamaan

diferensial. Untuk sistem dengan n variabel akan muncul juga n bilangan Lyapunov. Dari

semua bilangan Lyapunov tersebut, yang terbesar merupakan bilangan Lyapunpov

maksimum dan mencirikan sifat chaos.

***

komentar

mulai titik tetap stabil

titik tetap superstabil

mulai siklus stabil periode 2

siklus superstabil periode 2

siklus superstabil periode 4

mulai chaos

+0.001934... mulai chaos

siklus stabil periode 3

+0.7095... kembali chaos

2 superchaotic

�r �λ [lambda]

�1 �−0.005112...

�1.99 �−6.643... ��

�1.999 �−9.965... ��

�2 program error*

�2.001 �−9.965... ��

�2.01 �−6.643... ��

�3 �−0.003518...

�3.236067977...� �−19.43...*

�3.449489743...� �−0.003150...

�3.5699456720� �−0.002093...

�3.56994571869�

�3.828427125...� �−0.003860...

�3.9

�4

DINAMIKA F RAKTAL DAN C HAOS - 102fm.files.wordpress.com · lagi dan pegas tersebut menjadi...

Documents

Transcript of DINAMIKA F RAKTAL DAN C HAOS - 102fm.files.wordpress.com · lagi dan pegas tersebut menjadi...