Diktat Fi1 Bab i Vektor fisika dasar

Hal 1FISIKA 2 / FI- 1123

____________________________________________________________________________________________________________

BAB I

BESARAN VEKTOR

1.1 PANJANG DAN ARAH VEKTORBesaran vektor adalah besaran yang mempunyai arah. Jadi sebuah besaran vektor dicirikan oleh adanya besar dan arah, adapun posisi koordinatnya tidak ‘diperdulikan’ . Pada kuliah Fisika ini pengertian arah adalah arah di dalam ruang (3-dimensi). Contoh besaran vektor misalnya: kecepatan, gaya, luas permukaan, perpindahan. Sedangkan besaran yang tidak mempunyai arah disebut besaran skalar.

Sebuah besaran vektor dalam notasi matematik dituliskan: (1.1)

Sedangkan dalam gambar dilukiskan sebagai sebuah anak panah dimana besar vektornya digambarkan sebagai panjang anak panah,

Dua buah vektor disebut sama bila keduanya mempunyai besar dan arah yang sama. Sedangkan dua buah vektor disebut berlawanan bila keduanya mempunyai besar sama tetapi arahnya berlawanan. Dengan demikian vektor pada gambar 1.1 di atas dapat juga di lukiskan menjadi seperti pada Gambar 1.2 di bawah.

Pada gambar 1.2 di bawah terlihat titik tangkap anak panah vektor sekarang di titik O, hal ini tak mengapa karena vektor tersebut tetap sama asalkan besar dan arahnya tetap sama, jangan perdulikan posisinya. Terlihat dalam Gambar 1.2 .

Sekarang perhatikan, vektor tersebut selalu dapat diuraikan (diproyeksikan) ke dalam arah sumbu +X, +Y, dan +Z yaitu

sehingga vektor merupakan ‘kombinasi’ dari

atau .

____________________________________________________________________________________________________________

ITTELKOM SUPRAYOGI

Y

Gambar 1.1

X

Z

0

Gambar 1.2

X

Y

Z

0

V

x

y

z

i j

kU W

dan arahnya dinyatakan dengan ujung runcingnya.

Pada persaman 1.1, x, y, z dinamakan komponen vektor , sedangkan disebut basis yang membentang ruang 3-dimensi. Basis masing-masing merupakan vektor yang besarnya satu dan arahya berturut-turut dalam arah sumbu +X, +Y, +Z.


____________________________________________________________________________________________________________

Jelaslah panjang vektor dapat dihitung dengan dalil Phitagoras, sehingga panjang (besar) vektor :

(1.2)

Seringkali penulisan cukup ditulis (tanpa tanda panah).

1.2 VEKTOR SATUANVektor satuan adalah vektor yang besarnya ‘satu’. Contoh vektor satuan adalah: vektor basis yang masing-masing arahnya (searah) sumbu +X, +Y, +Z. Bagaimanakah menyatakan sebuah vektor satuan dalam arah selain arah-arah diatas ? misalnya vektor satuan yang searah vektor (di tulis ). Dapatlah dibuktikan bahwa vektor satuan yang serah vektor adalah:

(1.3)

Silahkan periksa bahwa

1.3 PENJUMLAHAN VEKTORMisalnya tiga buah vektor masing-masing dinyatakan:

(1.4)

dalam gambar, pemisalan tersebut misalnya dilukiskan:

Maka penjumlahan dua buah vektor ( ) secara gambar dapat dilukiskan

____________________________________________________________________________________________________________

ITTELKOM SUPRAYOGI

Gambar 1.3

BA

atauB

A

D

A

D

B

┐│├│┘


____________________________________________________________________________________________________________

Gambar 1.3

Sehingga penjumlahan tiga buah vektor sekarang dapat

dilukiskan seperti pada gambar 1.4.

Gambar 1.4

Cara menjumlahkan vektor baik dengan cara gambar atau cara notasi masing-masing memiliki kelebihan. Dengan cara gambar kita dapat melihat ‘visualisasi’ tentang besar dan arah semua vektor, sedangkan dalam cara notasi kita dapat melakukan analisa secara analitik.

1.4 PENGURANGAN VEKTORDengan pemisalan seperti pada persamaan 1.4 maka pengurangan vektor

dengan cara gambar dapat dilukiskan

Gambar 1.5

Dalam notasi matematik pengurangan dua vektor dinyatakan

(1.6)

1.5 PERKALIAN VEKTORDalam ‘dunia’ vektor operasi perkalian antara dua vektor mempunyai ‘bentuk’ yang lain, ada dua jenis perkalian vektor yaitu perkalian titik dan perkalian silang.

PERKALIAN TITIKDengan pemisalan seperti pada persamaan 1.4 maka dalam notasi matematik perkalian titik anatara dua vektor dinyatakan

(1.7)atau

(1.8)____________________________________________________________________________________________________________

ITTELKOM SUPRAYOGI

B

B

A

F

F

atau A

B

F

B

E

Sedangkan dalam notasi matematik penjumlahan dua vektor dinyatakan

(1.5)


____________________________________________________________________________________________________________

dari persamaan 1.6 dan 1.7 didapatkan

(1.9)

Secara gambar perkalian titik antara vektor dapat dilukiskan sebagai berikut.

Gambar 1.6

Contoh aplikasi dari perkalian titik ini misalnya ketika menghitung usaha oleh gaya F yang menghasilkan pergeseran sejauh x seperti diperlihatkan pada gambar dibawah ini

Gambar 1.7

Usaha oleh gaya F adalah . Dengan melihat persamaan 1.7 usaha oleh F dapat juga ditulis ; ingatlah seperti ditulis diawal, gaya dan pergeseran masing-masing adalah besaran vektor. Perhatikan juga hasil dari perkalian titik adalah sebuah besaran skalar, dalam contoh diatas usaha adalah skalar. Catatan: sering kali penulisan besarnya suatu vektor misalnya

cukup ditulis .

PERKALIAN SILANGDengan pemisalan seperti pada persamaan 1.4 maka dalam notasi matematik, hasil perkalian silang antara dua vektor adalah determinan matriks berikut

(1.10)

atau (1.11)

Terlihat hasil dari perkalian silang adalah sebuah vektor baru. Kemanakah arah vektor baru itu? - Lihatlah deskripsi perkalian silang dalam gambar 1.8 di bawah.

____________________________________________________________________________________________________________

ITTELKOM SUPRAYOGI

A cos

A

B

F

x

A

B

BAarah

Dengan melihat persamaan 1.7, gambar 1.6 dapat dijelaskan bahwa perkalian titik antara dua vektor

adalah perkalian antara proyeksi pada arah dan , dimana proyeksi pada arah adalah .

Arah hasil kali silang dapat ditentukan dengan cara membayangkan arah sekrup. Jika vektor

membentuk bidang maka arah adalah tegak lurus terhadap bidang tersebut dan searah dengan arah sekrup jika sekrup diputar dalam arah AB (dalam contoh ini searah jarum jam, sehingga sekrup bergerak ke bawah).Adapun besar vektor dapat diperoleh dengan dalil Phitagoras


____________________________________________________________________________________________________________

Gambar 1.8

(1.12)atau

(1.13)

1.6 INTEGRAL GARIS

Terlihat, pendekatan dengan mengambil segmen-segmen lintasan lurus akan menghasilkan bentuk lintasan yang ‘kasar’ karena pengambilan panjang segmen-segmen cukup besar, sehingga bentuk lintasan tidak mirip seperti aslinya.

Agar pendekatan yang diambil dapat lebih bagus maka segmen-segmen lintasan harus diambil sekecil mungkin dengan resiko banyaknya segmen (n) bertambah bayak. Tentu saja paling sempurna adalah dengan mengambil

____________________________________________________________________________________________________________

ITTELKOM SUPRAYOGI

Pada gambar di samping, sebuah gaya menghasilkan pergeseran sejauh sehingga usaha yang dilakukan oleh gaya F adalah

, Persamaan ini berlaku untuk lintasan yang lurus. Bagaimanakah menghitung usaha

oleh gaya yang menghasilkan lintasan melengkung dari ke seperti terlihat pada gambar 1.10

F

x

Gambar 1.9

B

AGambar 1.10

Gambar 1.11

1r

A2r

B

Menghitung usaha oleh gaya dapat didekati dengan membagi lintasan menjadi beberapa segmen lintasan lurus seperti diperlihatkan oleh gambar 1.11. Usaha total oleh adalah jumlah setiap usaha pada masing-masing segmen tersebut:

nUUUU ...21

Dimana,

sehingga,


____________________________________________________________________________________________________________

segmen-segmen yang kecilnya mendekati nol sehingga n=, secara matematis hal ini dapat ditulis:

atau

(1.14)

Inilah yang disebut integral lintasan, secara matematis vektor adalah sembarang vektor dan adalah elemen diferensial(segmen) lintasan.

1.7 INTEGRAL PERMUKAAN

Sehingga . Gambar 1.13 di bawah melukiskan lintasan dengan kerapatan menembus permukaan secara tidak tegak-lurus terhadap luas penampang . Sehingga fluks total yang menembus permukaan

permukaan , kemudian dikalikan dengan . Jelas, kerapatan fluks dan luas permukaan merupakan besaran vektor, jelas pula persamaan (1.16) hanya berlaku untuk penampang yang datar. Bagaimanakah menghitung fluks pada permukaan yang tidak datar atau melengkung ? Gambar 1.14 di bawah melukiskan permukaan lengkung yang ditembus oleh listasan-lintasan partikel.

____________________________________________________________________________________________________________

ITTELKOM SUPRAYOGI

Gambar 1.12

Gambar disamping melukiskan lintasan partikel-partikel air pada suatu penampang pipa air. Didefinisikan bahwa fluks () adalah banyaknya lintasan partikel yang menembus permukaan (penampang) yang luasnya secara tegak-lurus, dan kerapatan fluk () adalah banyaknya lintasan partikel persatuan luas atau ,

adalah atau

atau (1.15) (1.16)

Pada persamaan di atas, karena komponen kerapatan fluks harus tegak-lurus terhadap penampang luas maka komponen kerapatan fluks diproyeksikan dahulu pada arah normal

D

A

n

Gambar 1.13

Untuk menghitung fluks yang total pada permukaan lengkung dapat dilakukan dengan cara membagi-bagi luas menjadi beberapa segmen luas yang hampir datar, kemudian jumlahkan semua fluks pada masing-masing segmen:

dimana,

Gambar 1.14

A1

D1


____________________________________________________________________________________________________________

Sehingga,

(1.17)

Terlihat pembagian segmen luas menjadi beberapa luas ternyata masih

belum memenuhi persyaratan (bahwa harus merupakan bidang datar),

kecuali bila sangat kecil sekali (mendekati nol). Sehingga perhitungan

fluks akan menjadi nilai yang sesungguhnya bila mendekati nol:

Atau

____________________________________________________________________________________________________________

ITTELKOM SUPRAYOGI


____________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________

ITTELKOM SUPRAYOGI

Diktat Fi1 Bab i Vektor fisika dasar

Documents

Transcript of Diktat Fi1 Bab i Vektor fisika dasar