DETERMINAN MATRIKS - …nurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/.../2.-Determinan-Matriks.pdf ·...
Transcript of DETERMINAN MATRIKS - …nurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/.../2.-Determinan-Matriks.pdf ·...
![Page 1: DETERMINAN MATRIKS - …nurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/.../2.-Determinan-Matriks.pdf · Tentukan Determinan matriks Jawab : Det(A 3x3) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022050622/5acc4bd47f8b9ab10a8c50ec/html5/thumbnails/1.jpg)
DETERMINAN MATRIKS
1
Nurdinintya Athari(NDT)
![Page 2: DETERMINAN MATRIKS - …nurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/.../2.-Determinan-Matriks.pdf · Tentukan Determinan matriks Jawab : Det(A 3x3) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022050622/5acc4bd47f8b9ab10a8c50ec/html5/thumbnails/2.jpg)
Determinan Matriks
Sub Pokok Bahasan• Pendahuluan determinan matriks• Determinan dengan OBE• Determinan dengan Ekspansi Kofaktor
Beberapa Aplikasi Determinan Solusi SPL Optimasi Model Ekonomi dan lain-lain.
![Page 3: DETERMINAN MATRIKS - …nurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/.../2.-Determinan-Matriks.pdf · Tentukan Determinan matriks Jawab : Det(A 3x3) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022050622/5acc4bd47f8b9ab10a8c50ec/html5/thumbnails/3.jpg)
pendahuluanMisalkan A adalah matriks persegi n x n,Determinan A dapat diperoleh melalui:• OBE• Perluasan kofaktor
Notasi determinan dari matriks A :Det(A) or |A|
Det(A) ≠ 0 jika dan hanya jika matriks A memiliki invers.
![Page 4: DETERMINAN MATRIKS - …nurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/.../2.-Determinan-Matriks.pdf · Tentukan Determinan matriks Jawab : Det(A 3x3) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022050622/5acc4bd47f8b9ab10a8c50ec/html5/thumbnails/4.jpg)
Contoh : Tentukan Determinan matriks
Jawab :Det(A3x3) = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31
– a11 a23 a32 – a12 a21 a33
atau
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A
2331
2221
1211
333231
232221
131211
aaaaaa
aaaaaaaaa
A
![Page 5: DETERMINAN MATRIKS - …nurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/.../2.-Determinan-Matriks.pdf · Tentukan Determinan matriks Jawab : Det(A 3x3) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022050622/5acc4bd47f8b9ab10a8c50ec/html5/thumbnails/5.jpg)
Contoh :Tentukan determinan matriks
Jawab :
122011123
B
122011123
det
B
)1)(1)(2()2)(0)(3()2)(1)(1()2)(1)(1()2)(0)(2()1)(1)(3(
202203
1
221123
![Page 6: DETERMINAN MATRIKS - …nurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/.../2.-Determinan-Matriks.pdf · Tentukan Determinan matriks Jawab : Det(A 3x3) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022050622/5acc4bd47f8b9ab10a8c50ec/html5/thumbnails/6.jpg)
Menghitung Determinan dengan OBEPerhatikan :a.
b.
c.
33021
det
45987054001
det
24600540321
Dengan mudah…Karena hasil kali elementer bertanda selain unsur diagonal adalah nol
Det(A) =Hasil kali unsur diagonal?
Hitung Det.Matriks Bukan
Segitiga???
![Page 7: DETERMINAN MATRIKS - …nurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/.../2.-Determinan-Matriks.pdf · Tentukan Determinan matriks Jawab : Det(A 3x3) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022050622/5acc4bd47f8b9ab10a8c50ec/html5/thumbnails/7.jpg)
Perlu OBE untuk menentukan determinansuatu matriks yang bukan segitiga.
Caranya : Matriks persegi ~ matriks segitiga
Berikut ini adalah pengaruh OBE pada nilai determinan suatumatriks, yaitu :1. Jika matriks B berasal dari matriks A dengan satu kali
pertukaran baris, maka Det (B) = – Det (A)Contoh :
sehinggaA3
1112
A 3A
1211
B
1211
B
![Page 8: DETERMINAN MATRIKS - …nurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/.../2.-Determinan-Matriks.pdf · Tentukan Determinan matriks Jawab : Det(A 3x3) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022050622/5acc4bd47f8b9ab10a8c50ec/html5/thumbnails/8.jpg)
2. Jika matriks B berasal dari matriks A denganperkalian sebuah baris dengan konstanta tak nol k, maka Det (B) = k Det (A)Contoh :
dan
maka
621112
2
A
1112
A 3A
2212
B
22
12B
OBE yang dilakukan pada matrikstersebut adalah 2b2
![Page 9: DETERMINAN MATRIKS - …nurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/.../2.-Determinan-Matriks.pdf · Tentukan Determinan matriks Jawab : Det(A 3x3) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022050622/5acc4bd47f8b9ab10a8c50ec/html5/thumbnails/9.jpg)
3. Jika matriks B berasal dari matriks A dengan perkaliansebuah baris dengan konstanta tak nol k laludijumlahkan pada baris lain, maka Det (B) = Det (A)Contoh 3 :
Perhatikan
62
31A 12A
62
3112031
12- OBE yang dilakukan pada matrikstersebut adalah –2b1 + b2
![Page 10: DETERMINAN MATRIKS - …nurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/.../2.-Determinan-Matriks.pdf · Tentukan Determinan matriks Jawab : Det(A 3x3) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022050622/5acc4bd47f8b9ab10a8c50ec/html5/thumbnails/10.jpg)
Contoh 3 :Tentukan determinan matriks
Jawab :
2 1 0 1 2 1 0 1 2
A
2 1 0 1 2 1 0 1 2
A
1 2 1 2 1 0 0 1 2
b1 ↔ b2
![Page 11: DETERMINAN MATRIKS - …nurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/.../2.-Determinan-Matriks.pdf · Tentukan Determinan matriks Jawab : Det(A 3x3) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022050622/5acc4bd47f8b9ab10a8c50ec/html5/thumbnails/11.jpg)
= 4 (hasil perkalian semua unsur diagonalnya)
1 2 1 0 -3 -2 0 1 2
A
1 2 1 0 1 2 0 -3 -2
1 2 1 0 1 2 0 0 4
-2b1 + b2
b2 ↔ b3
3b2 + b3
![Page 12: DETERMINAN MATRIKS - …nurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/.../2.-Determinan-Matriks.pdf · Tentukan Determinan matriks Jawab : Det(A 3x3) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022050622/5acc4bd47f8b9ab10a8c50ec/html5/thumbnails/12.jpg)
Determinan dengan ekspansi kofaktorMisalkan
Beberapa definisi yang perlu diketahui :• Mij disebut Minor- ij yaitu determinan matriks A
dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j pada matriks A.Contoh :
nnnn
n
n
aaa
aaaaaa
A
...:::
......
21
22221
11211
2 1 0 1 2 1 0 1 2
A 131 2
maka 10 1
M
![Page 13: DETERMINAN MATRIKS - …nurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/.../2.-Determinan-Matriks.pdf · Tentukan Determinan matriks Jawab : Det(A 3x3) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022050622/5acc4bd47f8b9ab10a8c50ec/html5/thumbnails/13.jpg)
Matriks Cij dinamakan kofaktor - ij, yaitu (-1)i+j Mij
Contoh :
maka
= (– 1)3 .2 = – 2
2 1 0 1
1 1221
C
2 1 0 1 2 1 0 1 2
A
![Page 14: DETERMINAN MATRIKS - …nurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/.../2.-Determinan-Matriks.pdf · Tentukan Determinan matriks Jawab : Det(A 3x3) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022050622/5acc4bd47f8b9ab10a8c50ec/html5/thumbnails/14.jpg)
Secara umum, cara menghitung determinan dengan ekspansi kofaktor :
• Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjangbaris ke-i
det (A) = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + . . . + ain Cin
• Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjangkolom ke-j
det (A) = a1j C1j + a2j C2j + . . . + anj Cnj
Contoh 6 :Hitunglah Det(A) dengan ekspansi kofaktor
2 1 0 1 2 1
0 1 2 A
![Page 15: DETERMINAN MATRIKS - …nurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/.../2.-Determinan-Matriks.pdf · Tentukan Determinan matriks Jawab : Det(A 3x3) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022050622/5acc4bd47f8b9ab10a8c50ec/html5/thumbnails/15.jpg)
Jawab :Misalkan, kita akan menghitung det (A) denganekspansi kofaktor sepanjang baris ke-3
= a31 C31 + a32 C32 + a33 C33
= 0 – 2 + 6= 4
3
133)det(
jjjcaA
23)1(10 1 1 0 2 33)1(2
2 1 1 2
2 1 0 1 2 1
0 1 2 A
![Page 16: DETERMINAN MATRIKS - …nurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/.../2.-Determinan-Matriks.pdf · Tentukan Determinan matriks Jawab : Det(A 3x3) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022050622/5acc4bd47f8b9ab10a8c50ec/html5/thumbnails/16.jpg)
Menghitung det (A) dengan ekspansi kopaktor sepanjangkolom ke-3
= a13 C13 + a23 C23 + a33 C33
= 0 – 2 + 6= 4
3
133)det(
iii caA
32)1(10 1 0 1 2 33)1(2
2 1 1 2
2 1 0 1 2 1
0 1 2 A
![Page 17: DETERMINAN MATRIKS - …nurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/.../2.-Determinan-Matriks.pdf · Tentukan Determinan matriks Jawab : Det(A 3x3) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022050622/5acc4bd47f8b9ab10a8c50ec/html5/thumbnails/17.jpg)
Misalkan An x n dan Cij adalah kofaktor aij, maka
dinamakan matriks kofaktor A. Transpos dari matriks ini dinamakan adjoin A,notasi adj(A).
nnnn
n
n
CCC
CCCCCC
C
22
12221
11211
TCAadj )(
T
nnnn
n
n
CCC
CCCCCC
21
12212
12111
![Page 18: DETERMINAN MATRIKS - …nurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/.../2.-Determinan-Matriks.pdf · Tentukan Determinan matriks Jawab : Det(A 3x3) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022050622/5acc4bd47f8b9ab10a8c50ec/html5/thumbnails/18.jpg)
Misalkan A adalah matriks persegi, beberapa sifatdeterminan matriks adalah :1. Jika A memiliki invers, maka
2. A memiliki invers jika dan hanya jika det (A) 0. 3. det (A) = det (At)4. det (A) det (B) = det (AB)5. Jika A memiliki invers, maka
)()det(
11 AadjA
A
)det(1)det( 1
AA
![Page 19: DETERMINAN MATRIKS - …nurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/.../2.-Determinan-Matriks.pdf · Tentukan Determinan matriks Jawab : Det(A 3x3) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022050622/5acc4bd47f8b9ab10a8c50ec/html5/thumbnails/19.jpg)
Contoh :Diketahui
Tentukan matriks adjoin A dan A-1
Jawab :Perhatikan bahwa
1 2 0 0 1- 1 1 0 1
A
11201
)1( 1111
c 1
1001
)1( 2112 c 2
2011
)1( 3113
c
.1dan,1,1,2,1,2 333231232221 cccccc
![Page 20: DETERMINAN MATRIKS - …nurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/.../2.-Determinan-Matriks.pdf · Tentukan Determinan matriks Jawab : Det(A 3x3) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022050622/5acc4bd47f8b9ab10a8c50ec/html5/thumbnails/20.jpg)
Matriks kofaktor dari A :
Matriks Adjoin dari A :
1- 1 1 2- 1 2 2 1- 1-
C
1- 2- 2 1 1 1- 1 2 1-
)( TCAadj
1-1 2 1 -1 2 1
1 1( ) -1 1 1 -1 1 1det( ) 1
2 -2 -1 2 -2 -1A Adj A
A
det( ) (1 1) (0 1) (1 2) 1 ( )A first row
![Page 21: DETERMINAN MATRIKS - …nurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/.../2.-Determinan-Matriks.pdf · Tentukan Determinan matriks Jawab : Det(A 3x3) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022050622/5acc4bd47f8b9ab10a8c50ec/html5/thumbnails/21.jpg)
Latihan Bab 21. Tentukan determinan matriks dengan OBE dan
ekspansi kofaktor
2. Diketahui :
dan
Tunjukkan bahwa : det (A) det (B) = det (AB)
211121112
P
144010023
Q
200043012
A
105217311
B
3 3 0 52 2 0 2
4 1 3 02 10 3 2
R
![Page 22: DETERMINAN MATRIKS - …nurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/.../2.-Determinan-Matriks.pdf · Tentukan Determinan matriks Jawab : Det(A 3x3) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022050622/5acc4bd47f8b9ab10a8c50ec/html5/thumbnails/22.jpg)
3. Diketahui :
Tentukan k jika det (D) = 29
4. Diketahui matriks
Jika B = A-1 dan At merupakan transpos dari A. Tentukan nilai
43101
51
k
kD
543012001
A
BA
BAx tdet
5det2det 2