Determinan -...
Transcript of Determinan -...
![Page 1: Determinan - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43829/Determinan.pdf · Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013107/5c84f9c209d3f2b27b8c1306/html5/thumbnails/1.jpg)
Determinan
![Page 2: Determinan - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43829/Determinan.pdf · Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013107/5c84f9c209d3f2b27b8c1306/html5/thumbnails/2.jpg)
Determinan
Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran
(nxn) dapat dikaitkan dengan suatu skalar yang
disebut determinan matriks tersebut dan ditulis
dengan det(A) atau |A|.
Untuk menghitung determinan ordo n terlebih
dahulu diberikan cara menghitung determinan
ordo 2
![Page 3: Determinan - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43829/Determinan.pdf · Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013107/5c84f9c209d3f2b27b8c1306/html5/thumbnails/3.jpg)
Menghitung determinan
3 1
4 2
1 2
2 4
2 1 3
3 1 2
Det(A) = (3) (-2) – (1)(4) = -10
Det(B) = (1)(4) – (2)(2) = 0
Det(C) = tidak didefinisikan
A =
B =
C =
Hitunglah determinan matriks berikut ini:
![Page 4: Determinan - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43829/Determinan.pdf · Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013107/5c84f9c209d3f2b27b8c1306/html5/thumbnails/4.jpg)
Aturan Sarrus A1 = Det(A1) = (a11.a22) – (a12.a21)
A2 = Det(A2) = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 – (a13.a22.a31 + a11.a23.a32 + a12.a21.a33)
2221
1211
aa
aa
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
2221
1211
aa
aa
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
a11 a12
a21 a22
a31 a32
+ -
+ + + - - -
![Page 5: Determinan - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43829/Determinan.pdf · Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013107/5c84f9c209d3f2b27b8c1306/html5/thumbnails/5.jpg)
Aturan Sarrus (lanjt)
M = K =
Pertanyaan: Apakah metode di atas dapat diterapkan pada matriks 4x4, 5x5 dst?
3 1
4 2
3 2 2
1 2 3
4 4 5
3 2
1 2
4 4
- - - + + +
Det(M) = 3.-2 – (1.4) = -10
Det(K) = 3.2.5+2.3.4+2.1.4- (2.2.4 + 3.3.4 + 2.1.5) = 30 + 24 +8 – (16+36+10) = 62 – 62 = 0
![Page 6: Determinan - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43829/Determinan.pdf · Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013107/5c84f9c209d3f2b27b8c1306/html5/thumbnails/6.jpg)
Untuk keperluan menghitung ordo n dengan n≥3 perlu lebih dahulu
definisikan pengertian minor dan kofaktor sbb :
Minor Mij adalah determinan matriks A dihapus baris ke i kolom ke j.
Kofaktor C13 adalah (-1)i+j Mij
A =
a11 a12…….a1j ……a1n
a21 a22 ……a2j…….a2n
: : : :
ai1 ai2 ……aij…….. ain
: : : :
an1 an2……anj……. ann
Mij= det
a11 a12…….a1j ……a1n
a21 a22 ……a2j…….a2n
: : : :
ai1 ai2 ……aij…….. ain
: : : :
an1 an2……anj……. ann
Cij =(-1)i+j Mij
MENGHITUNG DETERMINAN DENGAN KOFAKTOR
![Page 7: Determinan - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43829/Determinan.pdf · Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013107/5c84f9c209d3f2b27b8c1306/html5/thumbnails/7.jpg)
Definisi determinan matriks dengan kofaktor
n
ij ij
i=1
a Cn
ij ij
j=1
a C
Definisi: Determinan matriks A (dengan ekspansi baris ke i, atau ekspansi kolom ke j) adalah :
A=
Mij det matriks yang diperoleh dengan menghapus baris ke i kolom ke j matriks A.
Cij=(-1)i+jMij
Det(A) = =
a11 a12…….a1j ……a1n
a21 a22 ……a2j…….a2n
: : : :
ai1 ai2 ……aij…….. ain
: : : :
an1 an2……anj……. ann
![Page 8: Determinan - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43829/Determinan.pdf · Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013107/5c84f9c209d3f2b27b8c1306/html5/thumbnails/8.jpg)
Contoh: Minor dan kofaktor
Minor Mij adalah determinan matriks A dihapus baris ke i kolom ke j. Kofaktor C13 adalah (-1)i+j Mij
A = M13 = det
Cij = (-1)i+jMij
C13 = (-1)1+3M13
a21 a22
a31 a32
A = M13 = det
C13 = (-1)1+3M13
a21 a22
a31 a32
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
![Page 9: Determinan - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43829/Determinan.pdf · Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013107/5c84f9c209d3f2b27b8c1306/html5/thumbnails/9.jpg)
Contoh: Hitunglah semua minor dan kofaktor matriks berikut ini:
3 0 0
1 2 0
4 4 5
M11=
C22=
M13=
C23=
C32=
M12=
C31=
C21= + - +
- + -
+ - +
C33=
Det 2 0 4 5
= 10
Det 1 0 4 5
= 5
Det 1 2 4 4
= -4
0
15
-12
0
0
6
?
?
?
?
?
?
C11= (-1)1+1 10 = 10
C12= (-1)1+2 5 = -5
C13= (-1)1+3 -4 = -4
![Page 10: Determinan - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43829/Determinan.pdf · Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013107/5c84f9c209d3f2b27b8c1306/html5/thumbnails/10.jpg)
Menghitung determinan dengan ekspansi baris/kolom
A =
(1 1) (1 2) 1 3
11 22 33 23 32 12 21 33 23 31 13 21 32 22 31( 1) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( )a a a a a a a a a a a a a a a Det(A) =
Det(A) =
Det(A) =
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
11 22 33 11 23 32 12 21 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31a a a a a a a a a a a a a a a a a a
11 11 12 12 13 13a C a C a C
21 21 22 22 23 23a C a C a C
Det(A) =
C11 C12 C13
Ekspansi baris pertama
Ekspansi baris kedua
![Page 11: Determinan - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43829/Determinan.pdf · Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013107/5c84f9c209d3f2b27b8c1306/html5/thumbnails/11.jpg)
Menghitung determinan dengan ekspansi baris/kolom
A =
Det(A) =
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
11 11 12 12 13 13a C a C a C
=
=
21 21 22 22 23 23a C a C a C
21 21 22 22 23 23a C a C a C
11 11 21 21 31 31a C a C a C
21 21 22 22 23 23a C a C a C
21 21 22 22 23 23a C a C a C
=
=
=
ekspansi baris pertama
ekspansi baris kedua
ekspansi baris ketiga
ekspansi kolom pertama
?
?
![Page 12: Determinan - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43829/Determinan.pdf · Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013107/5c84f9c209d3f2b27b8c1306/html5/thumbnails/12.jpg)
Contoh: 3 0 0
1 2 0
4 4 5
C11= 10
C22= 15
C13= -4 C23= -12
C32= 0 C12= -5
C31= 0
C33= 6
C21= 0
Determinan A dengan ekspansi baris ketiga:
Det(A) = 4x0 + 4x0 + 5x6 = 30
Determinan A dengan ekspansi kolom ketiga:
Det(A) = 5x6 = 30
ada 9 (= 3x3) kofaktor
![Page 13: Determinan - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43829/Determinan.pdf · Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013107/5c84f9c209d3f2b27b8c1306/html5/thumbnails/13.jpg)
Determinan matriks 4x4 dengan kofaktor
11 11 12 12 13 13 14 14a C +a C +a C +a C
1
n
ij ij
j
a C
31 31 32 32 33 33 34 34a C +a C +a C +a C
11 12 13
21 22 23
41 42 43
a a a
a a a
a a a
A= M34= det C34=(-1)3+4M34
Ada berapa banyak kofaktor? Ada 16 kofaktor Cij, i, j = 1, 2, 3, 4
Det(A) = ekspansi baris pertama
ekspansi ……… =
Ada ……. cara menghitung determinan A dengan kofaktor
8 baris ke tiga
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
![Page 14: Determinan - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43829/Determinan.pdf · Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013107/5c84f9c209d3f2b27b8c1306/html5/thumbnails/14.jpg)
Menghitung determinan matriks 4x4 dengan kofaktor
matriks 4x4 berikut:
Ekspansi baris 1:
11418.130.170.156.1)( ADet
4113
3124
2311
1111
A
1414131312121111 ....)( CaCaCaCaADet
413
312
231
11
C
2100
770
231
210
77 56)7014(
413
314
231
12
C
1080
5110
231
108
511
70)40110(
433
324
211
13
C
1060
560
211
106
56
303060
133
124
311
14
C
860
1160
311
86
116
18)6648(
![Page 15: Determinan - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43829/Determinan.pdf · Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013107/5c84f9c209d3f2b27b8c1306/html5/thumbnails/15.jpg)
SIFAT - SIFAT DETERMINAN Sifat 1
det(At) = det(A) Contoh :
det(A) = 7 det(At) = 7
Sifat 2
Jika matriks B adalah hasil dari matriks A dengan menukarkan dua baris sebarang, maka
det(B) = - det(A)
34
25A
32
45tA
![Page 16: Determinan - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43829/Determinan.pdf · Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013107/5c84f9c209d3f2b27b8c1306/html5/thumbnails/16.jpg)
Contoh
Diberikan matriks
maka det(A) = 6.
Jika , maka det(B) = -det(A) = -6.
213
312
321
A
213
321
312
B
![Page 17: Determinan - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43829/Determinan.pdf · Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013107/5c84f9c209d3f2b27b8c1306/html5/thumbnails/17.jpg)
Sifat 3
Jika matriks B diperoleh dari matriks A dengan mengalikan bil.real k dengan satu baris (kolom) dari matriks A, maka
det(B) = k.det(A)
Contoh:
Diberikan matriks dgn det(A) = 6
Jika det(B) = 2 x det(A) = 2x6 = 12
011
312
321
A
011
624
321
B
![Page 18: Determinan - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43829/Determinan.pdf · Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013107/5c84f9c209d3f2b27b8c1306/html5/thumbnails/18.jpg)
Sifat 4
Jika matriks B diperoleh dari matriks A dgn mengalikan satu baris(kolom) dari A dgn bil.real sebarang kemudian menambahkannya ke baris (kolom) lain, maka
det(B) = det(A)
Contoh :
Diberikan matriks , det(A) = 12.
Jika , maka det(B) = det(A) = 12
011
624
321
A
310
624
321
B
![Page 19: Determinan - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43829/Determinan.pdf · Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013107/5c84f9c209d3f2b27b8c1306/html5/thumbnails/19.jpg)
Sifat 5
Jika suatu matriks terdiri dari dua baris (kolom) yang elemen – elemennya sama, maka determinannya adalah nol.
Contoh
Matriks determinannya = nol.
Sifat 6
Jika suatu matriks terdiri dari satu baris (kolom) dengan elemen nol, maka determinannya adalah nol.
111
320
111
A
![Page 20: Determinan - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43829/Determinan.pdf · Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013107/5c84f9c209d3f2b27b8c1306/html5/thumbnails/20.jpg)
Sifat 7
Jika matriks A=[aij], 1 i n, 1 j n, adalah matriks segitiga atas (bawah) maka
det(A) = a11.a22. … .ann
Contoh :
Diberikan matriks maka
det(A) = 1.(-2).2 = -4
200
120
321
A
![Page 21: Determinan - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43829/Determinan.pdf · Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013107/5c84f9c209d3f2b27b8c1306/html5/thumbnails/21.jpg)
Sifat 8 Jika matriks A dan B dapat dikalikan,maka
det(AB) = det(A).det(B)
Sifat 9 Jika matriks A invertible, maka
det(A-1) = )det(
1
A
![Page 22: Determinan - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43829/Determinan.pdf · Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013107/5c84f9c209d3f2b27b8c1306/html5/thumbnails/22.jpg)
Determinan matriks sederhana
a11 a12…a1j …a1n
0 a22 …a2j…a2n
: : : :
0 0 …aij….ain
: : :
0 0… 0 .... ann
a11 0 …0 … 0
0 a22 …0 … 0
: : :
0 0 …aij… 0
: : :
0 0… 0 .... ann
Matriks diagonal
Determinan matriks segitiga sama dengan hasil kali entri diagonal utama.
A= Det(A) = a11a22a33…ann
Setiap hasil kali elementer pasti memuat entri dari baris terakhir
(yaitu 0), kecuali a11a22a33…ann.
Det(B) = a11a22a33…ann
B=
Matriks segitiga
![Page 23: Determinan - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43829/Determinan.pdf · Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013107/5c84f9c209d3f2b27b8c1306/html5/thumbnails/23.jpg)
Determinan matriks dengan baris/kolom nol
Pertanyaan: apakah matriks yang tidak mempunyai inverse determinannya no?
Matriks dengan baris / kolom nol
A= Det(A) = 0 Setiap hasil kali elementer pasti memuat entri dari baris terakhir (yaitu 0). Jadi semua hasil kali elementer adalah nol.
Det(B) =0 B=
a11 a12…….a1j ……a1n
a21 a22 ……a2j…….a2n
: : : :
ai1 ai2 ……aij…….. ain
: : : :
0 0…… 0……. 0
a11 0…….a1j ……a1n
a21 0……a2j…….a2n
: : : :
ai1 0……aij…….. ain
: : : :
an1 0……anj……. ann
![Page 24: Determinan - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43829/Determinan.pdf · Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013107/5c84f9c209d3f2b27b8c1306/html5/thumbnails/24.jpg)
Contoh :
Hitunglah dengan cepat nilai determinan matriks berikut ini:
12 27 56 11
13 1 23 90
11 35 11 41
0 0 0 0
B
14 98 0 42
15 11 0 54
70 42 0 31
82 74 0 66
K
41 10 14
41 10 14
0 9 1
M
19 0 0
0 0 0
0 0 18
D
Det(D) =0
Det(B) =0
Det(K) =0
Det(M) =0
![Page 25: Determinan - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43829/Determinan.pdf · Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013107/5c84f9c209d3f2b27b8c1306/html5/thumbnails/25.jpg)
Determinan dan operasi baris elementer
![Page 26: Determinan - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43829/Determinan.pdf · Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013107/5c84f9c209d3f2b27b8c1306/html5/thumbnails/26.jpg)
Pengaruh tukar baris pada nilai determinan
1 3A'
2 4
3 3 6
B' 2 0 1
1 4 2
1 4 2
B 2 0 1
3 3 6
1 3A
2 4
Det(B) = 45
Det(A) = -2
R1 R2
Det(A’) = 2
Det(B’) = -45
R1 R3
menukar dua baris tanda dari setiap hasil kali elementer bertanda
berubah determinannya (-1) kali determinan semula.
det(X’) = -det(X) X X’ dengan tukar baris
![Page 27: Determinan - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43829/Determinan.pdf · Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013107/5c84f9c209d3f2b27b8c1306/html5/thumbnails/27.jpg)
Pengaruh perkalian baris dengan skalar pada nilai determinan
1 3A'
20 40
1 4 2
B' 2 0 1
1 1 2
1 4 2
B 2 0 1
3 3 6
1 3A
2 4
Det(B) = 45
Det(A) = -2
R2 10 R2
Det(A’) = -20
Det(B’) = 15 = 1/3 det(B)
R3 1/3 R3
satu baris dikalikan dengan konstanta k setiap hasil kali elementer
bertandanya dikalikan k determinannya adalah k kali determinan matriks
semula.
det(X’) = kdet(X) X X’ dengan mengalikan baris dengan k
![Page 28: Determinan - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43829/Determinan.pdf · Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013107/5c84f9c209d3f2b27b8c1306/html5/thumbnails/28.jpg)
Pengaruh jumlahan baris dengan kelipatan baris lain pada nilai determinan
1 3A'
4 10
1 4 2
B' 3 1 3
3 3 6
1 4 2
B 2 0 1
3 3 6
1 3A
2 4
Det(B) = 45
Det(A) = -2
R2 R2 + 2R1
Det(A’) = -2
Det(B’) = 45 = det(B)
R2 R2 +1/3 R3
Penjumlahan baris dengan kelipatan baris yang lain tidak mengubah hasil kali
elementer bertanda, jadi nilai determinannya tidak berubah.
det(X’) = det(X) X X’ dengan menjumlahkan brs dengan kelipatan baris lain:
![Page 29: Determinan - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43829/Determinan.pdf · Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013107/5c84f9c209d3f2b27b8c1306/html5/thumbnails/29.jpg)
Pengaruh operasi baris elementer pada nilai determinan
Kesimpulan:
menukar dua baris tanda dari setiap hasil kali elementer bertanda
berubah determinannya (-1) kali determinan semula.
satu baris dikalikan dengan konstanta k setiap hasil kali elementer
bertandanya dikalikan k determinannya adlah k kali determinan matriks
semula.
Penjumlahan baris dengan kelipatan baris yang lain tidak mengubah hasil
kali elementer bertanda, jadi nilai determinannya tidak berubah.
![Page 30: Determinan - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43829/Determinan.pdf · Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013107/5c84f9c209d3f2b27b8c1306/html5/thumbnails/30.jpg)
Menghitung determinan dengan operasi baris elementer (OBE)
Det(I) = 1
A mempunyai inverse
A I
Det(A) r kali tukar baris
s kali perkalian baris dengan skalar (k1, k2, k3, …, ks),
t kali jumlahkan baris dengan kelipatan baris lain
Det(I) = (-1)r k1 k2 k3 … ks det(A)
1 = (-1)r k1 k2 k3 … ks det(A)
Det(A) = (-1)r / (k1 k2 k3 … ks)
Bentuk ebt A
A mempunyai inverse maka det(A) ≠ 0
![Page 31: Determinan - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43829/Determinan.pdf · Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013107/5c84f9c209d3f2b27b8c1306/html5/thumbnails/31.jpg)
Menghitung determinan dengan operasi baris elementer
Det(A’) = 0
A TIDAK mempunyai inverse
A
Det(A) r kali tukar baris
s kali perkalian baris dengan skalar (k1, k2, k3, …, ks),
t kali jumlahkan baris dengan kelipatan baris lain
Det(A’) = (-1)r k1 k2 k3 … ks det(A)
0 = (-1)r k1 k2 k3 … ks det(A)
Det(A) = 0
0 0 … 0
A TIDAK mempunyai inverse
Bentuk ebt A Mempunyai baris
nol
![Page 32: Determinan - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43829/Determinan.pdf · Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013107/5c84f9c209d3f2b27b8c1306/html5/thumbnails/32.jpg)
Contoh: menghitung determinan dengan operasi baris elementer
B2 =
R2 ¼ * R2
R1 R2
B2 direduksi menjadi matriks identitas dengan 2 kali tukar baris, sekali mengalikan dengan konstanta ¼
Det(B2) = (-1) 2 1/( ¼ )
= (+1) . 1/(1/4) = 1/( ¼ ) = 4
0 4 0
0 0 1
1 0 0
R2 R3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
0 4 0
0 0 1
0 4 0
1 0 0
0 0 1
I
![Page 33: Determinan - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43829/Determinan.pdf · Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013107/5c84f9c209d3f2b27b8c1306/html5/thumbnails/33.jpg)
Aplikasi determinan: Aturan Cramer
Aplikasi determinan untuk menyelesaiakan Sistem Persamaan
Linier
![Page 34: Determinan - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43829/Determinan.pdf · Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013107/5c84f9c209d3f2b27b8c1306/html5/thumbnails/34.jpg)
Penyajian SPL dengan persamaan matriks
a11x1 + a12x2 + a13x3 +… + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 +…+ a2nxn = b2 :
an1x1 + an2x2 + an3x3 + …+ annxn = bn
x = b =
matriks koefisien
SPL
a11 a12 a13 … a1n
a21 a22 a23 … a2n
:
an1 an2 an3 … ann
x1
x2
:
xn
b1
b2
:
bn
A =
Ax = b
![Page 35: Determinan - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43829/Determinan.pdf · Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013107/5c84f9c209d3f2b27b8c1306/html5/thumbnails/35.jpg)
Aturan Cramer
x = b =
a11 a12 … a1j … a1n
a21 a22 … a2j … a2n
:
an1 an2 … anj … ann
x1
x2
:
xn
b1
b2
:
bn
A =
b1 a12 … a1j … a1n
b2 a22 … a2j … a2n
:
bn an2 … anj … ann
A1 =
a11 a12 … b1 … a1n
a21 a22 … b2 … a2n
:
an1 an2 … bn … ann
Det(Aj) =
Penyelesaian SPL:
xj = det(Aj)/ det(A)
j = 1, 2, …, n
![Page 36: Determinan - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43829/Determinan.pdf · Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013107/5c84f9c209d3f2b27b8c1306/html5/thumbnails/36.jpg)
Contoh:
SPL
SPL dalam persamaan matriks 1 1 2 2 -1 -1 1 -1 2
x
y
z
1
1
-3
=
A1= A2= 1 1 2 1 -1 -1
-3 -1 2
1 1 2 2 1 -1 1 -3 2
A3=
1 1 1 2 -1 1 1 -1 -3
A
X = det(A1)/det(A) =-10/(-10) = 1
y = det(A2)/det(A) =-20/(-10) = 2
z = det(A3)/det(A) = 10/(-10) = -1
Det(A1) = -10 Det(A2) = -20 Det(A3) = 10
Det(A) = 10
32
12
12
zyx
zyx
zyx
![Page 37: Determinan - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43829/Determinan.pdf · Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013107/5c84f9c209d3f2b27b8c1306/html5/thumbnails/37.jpg)
Kapan Aturan Cramer bisa diterapkan
Kapan Aturan Cramer bisa diterapkan? Karena menggunakan determinan matriks koefisien sebagai pembagi, maka Aturan Cramer dapat diterapkan jika matriks koefisiennya persegi dan determinannya tidak nol (atau matriks koefisien mempunyai inverse.
xj = det(Aj)/ det(A) j = 1, 2, …, n
SPL: Ax = b
Dengan Aturan Cramer, penyelesaian dapat diperoleh dengan rumus berikut ini