Bab 3 : Determinan, Invers Matriks, OBE

Heru Nugroho, Politeknik Telkom 2009

• JIka maka:

• det(A)= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a23 –

a13a22 a13 – a11 a23 a32 - a12 a21 a33

atau

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

2331

2221

1211

333231

232221

131211

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

A

Determinan Matriks Ordo 3 × 3

122

011

123

B

Tentukan determinan matriks

Jawab :

122

011

123

det

B

)1)(1)(2()2)(0)(3()2)(1)(1()2)(1)(1()2)(0)(2()1)(1)(3(

202203

1

22

11

23

Contoh

Misalkan

Beberapa definisi yang perlu diketahui :• Mij disebut Minor- ij yaitu determinan matriks

A dengan menghilangkan baris ke_i dan kolom ke-j matriks A.Contoh :

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

:::

...

...

21

22221

11211

2 1 0

1 2 1

0 1 2

A13

1 2

maka 1

0 1

M

Determinan Matriks DenganEkspansi Kofaktor

Cij Matrik dinamakan kofaktor - ij yaitu (-1)i+j Mij

Contoh :

maka

= (– 1)3 .2 = – 2

2 1

0 1 1 12

12C

2 1 0

1 2 1

0 1 2

A

Rumus Determinan Matriks (Ekspansi Kofaktor)

Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-idet (A) = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + . . . + ainCin=

• Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-jdet (A) = a1j C1j + a2j C2j + . . . + anj Cnj =

1

n

ij ijj

a c

1

n

ij iji

a c

Hitunglah Det(A) dengan ekspansi kofaktor :

Jawab :Misalkan, kita akan menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-3

2 1 0

1 2 1

0 1 2

A

Contoh

2 1 0 1 2 1 0 1 2

A3

3 3 31 31 32 32 33 331

det( ) j jj

A a c a c a c a c

3 1 431 31

1 0( 1) ( 1) 1 (1)(1) (0)(2) 1 0 1

2 1c M

3 2 532 32

2 0( 1) ( 1) 1 (2)(1) (0)(1) 1(2 0) 2

1 1c M

3 3 633 33

2 1( 1) ( 1) 1 (2)(2) (1)(1) 4 1 3

1 2c M

det( ) 0(1) 1( 2) 2(3) 0 2 6 4A

Latihan Soal

Tentukan determinan matriks dengan ekspansi kofaktor

2 1 1

1 2 1

1 1 2

C

3 2 0

0 1 0

4 4 1

D

200

043

012

A

105

217

311

B

1 0 2

2 1 3

4 1 8

E

4 1 8

2 1 3

1 0 2

F

1 0 2

3 1 3

4 1 8

G

1 0 2

6 1 3

4 1 8

H

A mempunyai invers jika dan hanya jika det (A) 0. Beberapa sifat determinan matriks adalah :• Jika A adalah sembarang matriks kuadrat, maka

det (A) = det (At)• Jika A dan B merupakan matriks kuadrat berukuran

sama, maka :det (A) det (B) = det (AB)

• Jika A mempunyai invers maka :

)det(

1)det( 1

AA

Sifat-Sifat Determinan

Misalkan An x n dan Cij adalah kofaktor aij,

maka

Matriks C dinamakan matriks kofaktor A. Transpos dari matriks ini dinamakan adjoin A, notasi adj(A)

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...: : :

...

n

n

n n nn

a a aa a a

a a a

A

11 12 1

21 22 1

1 2

n

n

n n nn

C C CC C C

C C C

C

TCAadj )(

nnnn

n

n

CCC

CCC

CCC

21

12212

12111

Matriks Kofaktor

• Misalkan A memiliki invers maka :

• Langkah-langkah mencari invers dengan matriks adjoin :• Tentukan det(A) dengan ekspansi kofaktor• Tentukan kofaktor dari A• Tentukan Matriks Kofaktor A• Tentukan Matriks Adj(A)

1 1( )

det( )A adj A

A

Invers Matriks Dengan Matriks Adjoin

Tentukan Matriks Kofaktor, Matriks Adjoin, dan Invers matriks dari matriks berikut.

Solusi:

1 0 2

2 1 3

4 1 8

A

11 12 13

21 22 23

31 32 33

c c c

C c c c

c c c

Contoh

11

1 3

1 8

(( 1)(8) (3)(1))

8 3 11

c

12

2 3

4 8

((2)(8) (3)(4))

(16 12) 4

c

13

2 1

4 1

((2)(1) ( 1)(4))

(2 4) 6

c

21

0 2

1 8

((0)(8) (2)(1))

(0 2) 2

c

22

1 2

4 8

((1)(8) (2)(4))

0

c

23

1 0

4 1

((1)(1) (0)(4))

(1 0) 1

c

31

0 2

1 3

((0)(3) (2)( 1))

(0 2) 2

c

32

1 2

2 3

((1)(3) (2)(2))

1(3 4) 1

c

33

1 0

2 1

((1)( 1) (0)(2))

( 1 0) 1

c

• Matriks KofaktorMatriks Adjoin (adj(A))

• Determinan Matriks A (ekspansi baris ke-1)

11 2 2

( ) 4 0 1

6 1 1

adj A

1 0 21 3 2 3 2 1

det( ) 2 1 3 1 0 21 8 3 8 4 1

4 1 8

1 ( 1)(8) (3)(1) 0 2 (2)(1) ( 1)(4)

( 8 3) 2(2 4) 11 12 1

A

11 4 6

2 0 1

2 1 1

C

• Invers Matriks A

1

11 2 2 11 2 21 1

( ) 4 0 1 4 0 1det( ) 1

6 1 1 6 1 1A adj A

A

1

11 2 24 0 1

6 1 1A

• Tentukan invers dari matriks berikut dengan menggunakan matriks adjoin:

2 2 1

1 3 0

5 4 3

A

1 2 2

2 3 2

1 5 3

B

1 0 2

2 1 3

4 1 8

C

2 1 3

4 1 8

1 0 2

D

1 1 6

0 1 4

2 2 11

E

1 2 2

3 2 1

5 1 2

F

Latihan Soal

Operasi baris elementer meliputi :1. Pertukaran Baris 2. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol3. Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol (seperti butir 2) dengan baris yang lain.

Contoh : OBE 1 Pertukaran Baris

4 2 0

3 2 1

1- 2- 3-

A

4 2 0

1- 2- 3-

3 2 1

~21 bb

Baris pertama (b1) ditukar dengan baris ke-2 (b2)

Operasi Baris Elementer

• Contoh : OBE 2 Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol

• Contoh : OBE 3 Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol dengan baris yang lain.

3 1 1- 2

7 1 2 0

4- 0 4- 4

A 1

1 -1 0 -1 1

~ 0 2 1 74

2 -1 1 3

b

Perkalian Baris pertama (b1) dengan bilangan ¼

3 1 1- 2

7 1 2 0

1- 0 1- 1

A 1 3

1 -1 0 -1

2 ~ 0 2 1 7

0 1 -1 5

b bPerkalian (–2) dengan b1 lalu tambahkan pada baris ke-3 (b3)

Baris pertama dan ke-2 dinamakan baris tak nol, karena pada kedua baris tersebut memuat unsur tak nol.

Bilangan 1 pada baris pertama dan bilangan 2 pada baris ke-2 dinamakan unsur pertama tak nol pada baris masing-masing.

Bilangan 1 (pada baris baris pertama kolom pertama) dinamakan satu utama.

Baris ke-3 dinamakan baris nol, karena setiap unsur pada baris ke-3 adalah nol.

1 1 1 3

0 0 2 1

0 0 0 0

B

Definisi yang Perlu DIketahui

1. Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama adalah 1 (dinamakan satu utama).

2. Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih ke kanan.

3. Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol), maka ia diletakkan pada baris paling bawah.

4. Pada kolom yang memuat unsur 1 utama, maka unsur yang lainnya adalah nol.

Matriks dinamakan esilon baris jika dipenuhi sifat 1, 2, dan 3

Matriks dinamakan esilon baris tereduksi jika dipenuhi semua sifat 1, 2, 3, dan 4

Sifat-Sifat Matriks Hasil OBE

• Tentukan matriks esilon baris tereduksi dari:

• Solusi

1 -1 0 -1

0 -2 2 8

3 1 -1 2

A

1 3

1 -1 0 -1

~ 3 0 -2 2 8

0 4 -1 5

b b

1 -1 0 -1

0 -2 2 8

3 1 -1 2

2

1 -1 0 -1 1

~ 0 1 -1 -42

0 4 -1 5

b 2 3

1 -1 0 -1

~ 4 0 1 -1 -4

0 0 3 21

b b

Contoh

2 1

1 0 0 2

~ 0 1 0 3

0 0 1 7

b b

3

1 -1 0 -1 1

~ 0 1 -1 -43

0 0 1 7

b3 2

1 -1 0 -1

~ 0 1 0 3

0 0 1 7

b b

Perhatikan hasil OBE tadi :

Setiap baris mempunyai satu utama.

Tidak setiap kolom memiliki satu utama, karena

Jumlah baris lebih sedikit dari jumlah kolom

(kolom 4 tidak mempunyai satu utama)

1 0 0 2

0 1 0 3

0 0 1 7

Tentukan bentuk eselon baris tereduksi dari matriks berikut:

1. 2.

3. 4.

2 5 1 1

1 3 0 1

2 3 4 2

3 4 13 2

1 2 3 1

2 1 11 3

3 5 2 2

2 3 4 3

1 2 1 1

4 6 3 1

1 2 1 2

3 7 2 3

Latihan Soal