(2) determinan matriks - The Big Family of SH Terate · Khusus untuk matriks A 3x3 menghitung nilai...
Transcript of (2) determinan matriks - The Big Family of SH Terate · Khusus untuk matriks A 3x3 menghitung nilai...
DETERMINAN MATRIKS
dan
TRANSFORMASI ELEMENTER
Agustina Pradjaningsih, M.Si.
Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
Untuk setiap matriks
bujursangkar berordo nxn dapat
dikaitkan dengan tunggal suatu
bilangan real yang dinamakan
determinan. Untuk matriks A
dilambangkan determinannya
dengan det(A) atau │A│.
DEFINISI
Sehingga dapat dikatakan
bahwa determinan adalah
fungsi dengan domainnya
merupakan himpunan
matriks-matriks berordo nxn
dan dengan range himpunan
bilangan riil.
nnnn
n
n
nxn
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
Pandang suatu unsur aij dari
matriks
EKSPANSI KOFAKTORD
E
T
E
R
M
I
N
A
N
Jika pada matriks A baris ke-i
kolom ke-j dihilangkan maka
diperoleh submatriks berordo
(n-1)x(n-1). Determinan
submatriks ini disebut minor
unsur aij (=Mij) sedang
(-1)i+jMij (=Cij) disebut
kofaktornya.
Jika Anxn dengan maka2n
)(1 untuk )det( b.1
njjCaAn
i
ijij
ekspansi kofaktor menurut kolom j
)(1 untuk )det( a.1
niiCaAAn
j
ijij
ekspansi kofaktor menurut baris i
Determinan : EKSPANSI KOFAKTOR
21122211
1122
22
2112
12
2221
1211
)1()1(
2untuk
aaaa
aaaaaa
aaA
n
312213322113312312332112322311332211
312232211331233321123223332211
3331
2321
13
31
3331
2321
12
21
3332
2322
11
11
333231
232221
131211
)1()1()1(
3untuk
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaa
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
aaa
aaa
aaa
A
n
Khusus untuk matriks A3x3 menghitung nilai
determinan-nya dapat digunakan ATURAN
SARRUS sbb :
I. Tulis lagi kolom ke-1 dan kolom ke-2disebelah kolom ke-3.
III. Tarik garis diagonal dari kiri bawah kekanan atas dua garis lagi yang sejajar. Ketigagaris menghasilkan tiga suku bertanda (-).
II. Tarik garis diagonal dari kiri atas ke kananbawah & dua garis lagi yang sejajar. Ketigagaris menghasilkan tiga suku bertanda (+),
333231
232221
131211
)det(
aaa
aaa
aaa
AA
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
122133112332132231
322113312312332211
)det(
aaaaaaaaa
aaaaaaaaaAA
CONTOH
Hitunglah determinan-determinan
berikut
162
963
510
b. 41
32 a.
Jawab
5(-3)-841
32 a.
165(39)23(-29)-0(-60)
96
512
16
513
16
960)det(
A
(b1) Ekspansi kofaktor sepanjang kolom 1
6513-0-(-60)-90180
62
63
10
162
963
510
)det(
A
(b2) Aturan Sarrus
S I F A T - S I F A T
1
• Jika A adalah matriks bujursangkar,maka det(A) =det(At)
2
• Jika semua unsur suatu baris/kolommatriks sama dengan nol makadet(A)=0
3
• Jika dua baris/dua kolom matriks Asebanding maka det(A) = 0
D
E
T
E
R
M
I
N
A
N
4
• Pada pengembangan determinan,jika unsur suatu baris/kolomdikalikan kofaktor unsurbaris/kolom yang lain diperolehnilai nol, sedangkan jika unsursuatu baris/kolom dikalikankofaktor unsur baris/kolomyang sama diperoleh nilai det(A)=│A│.
0000
0000
0000
0000
0000
AA00
A0A0
A00A
1212111
2122121211
2222121
1212111
1221221121
2211
2222221221
1121121111
nnnnn
nn
nnnnn
nnnnn
nn
nnnnnnnn
nn
nn
AaAaAa
AaAaAa
AaAaAa
AaAaAa
AaAaAa
AaAaAa
AaAaAa
AaAaAa
5
• Jika A, A*, A** sebarang matriks-matriks bujursangkar yang hanyaberbeda dalam baris tunggal(misal r), dan anggap bahwa bariske r dari A** dapat diperolehdengan menambahkan entri-entriyang bersesuaian dalam baris ke rdari A dan dalam baris ke r dariA*makadet(A**) = det (A) + det(A*)
6
• Jika B matriks yang didapat darimatriks A dengan mempertukarkandua baris/dua kolom makadet(B)=- det(A)
7
• Jika B matriks yang didapat darimatriks A dengan mengalikansuatu baris/kolom denganbilangan k kemudianmenambahkannya pada suatubaris/kolom yang lain makadet(B)=det(A)
8
• Jika matriks B didapat dr matriks A dgnmenggandakan semua unsur pd suatubaris/kolom dengan k makadet(B)=kdet(A)
9
• Jika A dan B adalah sebarang matriksbujursangkar yang ukurannya sama, makadet(AB) = det (A)det(B)
10
• Jika A adalah matriks segitiga nxn, makadet(A) adalah hasil kali entri-entri padadiagonal utama, yaitudet(A)=a11a22…ann.
Karena sebuah faktor bersama
dari sebarang baris matriks dapat
dipindahkan melalui tanda det,
dan jika setiap baris n dalam kA
mempunyai faktor bersama
sebesar k maka det(kA)=kndet(A)
AKIBAT
1. Menukar vektor baris/kolom
dengan vektor baris/kolom
lainnya
Transformasi Elementer
2. Menggandakan suatu vektor
baris/kolom dengan skalar k≠0
3. Menambahkan suatu vektor
baris/kolom dengan kelipatan
suatu vektor baris/kolom lainnya
D
E
F
I
N
I
S
I
1101
7512
4031
A
CONTOH
13923
7512
4031
)2(32
H
)4(2
H
4031
7512
1101
13H
1101
282048
4031
1. Jika baris pada matriks tidak seluruhnya nol
maka bilangan tak nol pertama dalam baris
tersebut adalah 1 (satu utama)
Matriks Eselon Baris
2. Dalam sebarang dua baris yang berurutan yang
seluruhnya tidak nol, maka satu utama dalam
baris berikutnya terdapat lebih jauh kekanan
dari satu utama dalam baris sebelumnya
3. Jika terdapat baris yang seluruhnya nol, maka
semua baris tersebut dikelompokkan bersama-
sama dibawah matriks
D
E
F
I
N
I
S
I
(a)
5100
2610
7341
(b)
000
010
011
(c)
10000
01100
06210
CONTOH
Bentuk matriks eselon baris
ini tidak tunggal karena dengan
mengubah urutan dasar
transformasi elementer baris
tersebut maka kemungkinan
sampai pada bentuk matriks
eselon baris yang berbeda.
Bentuk matriks eselon baris ter-
reduksi diperoleh jika matriks
mempunyai sifat matriks eselon
baris ditambah dengan sifat
Matriks Eselon Baris Terreduksi[MATRIKS KANONIK]
D
E
F
I
N
I
S
I
“Masing-masing kolom yang
mengandung satu utama
mempunyai nol ditempat
lain”
(a)
1100
7010
4001
(b)
100
010
001
(d)
00000
00000
31000
10210
(c)
00
00
CONTOH
Bentuk matriks eselon baris
tereduksi ini tunggal karena
dengan mengubah urutan dasar
transformasi elementer baris
tersebut maka akan selalu sampai
pada bentuk matriks eselon baris
terreduksi yang sama.
Determinan matriks dapat pula
diperoleh dengan membawa matriks
tersebut menjadi bentuk matriks
eselon baris tereduksi. Bentuk matriks
eselon baris tereduksi adalah matriks
segitiga atas, sehingga determinan
matriks dapat dihitung dengan
menggunakan sifat-sifat determinan
Determinan : REDUKSI BARIS
Metode reduksi baris sangat
sesuai untuk menghitung
determinan dengan komputer
karena sistematis dan mudah
diprogramkan. Akan tetapi untuk
perhitungan manual, maka
metode ekspansi kofaktor lebih
mudah diterapkan.
162
963
510
A
Misalkan
CONTOH
Hitunglah det(A) dengan
reduksi baris/sifat determinan
Baris pertama & baris kedua A dipertukarkan
(sifat 6)
162
510
963
)det(
A
Faktor bersama dari baris pertama matriks
yaitu 3 diambil (sifat 8)
162
510
321
3)det(
A
-2 kali baris pertama dari matriks terdahulu
ditambahkan pada baris ketiga (sifat 7)
5100
510
321
3)det(
A
-10 kali baris kedua dari matriks terdahulu
ditambahkan pada baris ketiga (sifat 7)
5500
510
321
3)det(
A
Faktor bersama dari baris terakhir matriks
yaitu –55 diambil (sifat 8)
100
510
321
)55)(3()det(
A
Merupakan matriks segitiga atas (sifat 10)
165)1)(55)(3()det( A