Determinan

Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - [email protected]

Determinan


Determinan Matrik 2x2

bcaddcba

A

det)det(

Syarat suatu matrik mempunyai determinan: matrik bujursangkar

Lambang determinan matrik A adalah det(A) atau A

Dengan menggunakan determinan matrik 2x2 ini, akan didefinisikan determinan matrik yang berordo yang lebih besar


Determinan Matrik 3x3

332112322311312213322113312312332211

333231

232221

131211

)det( aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

A

det(A)= )()1()()1()()1( 3122322131

133123332121

123223332211

11 aaaaaaaaaaaaaaa

det(A)=3231

22213113

3331

23212112

3332

23221111 )1()1()1(

aaaa

aaaaa

aaaaa

a

det(A)= )()1()()1()()1( 3112321132

233113331122

223213331212

21 aaaaaaaaaaaaaaa

det(A)= 3231

12113223

3331

13112222

3332

13121221 )1()1()1(

aaaa

aaaaa

aaaaa

a

Dari kenyataan di atas dapat dirumuskan berikut:


Minor dan Kofaktor

Definisi:

Misalkan Anxn=[aij], maka minor dari aij , yang

dilambangkan oleh Mij, adalah determinan dari sub

matrik A yang diperoleh dengan cara membuang semua entri pada baris ke-i dan semua entri pada kolom ke-j.

Kofaktor dari aij, yang dilambangkan oleh Cij, adalah

(-1)i+jMij.


Contoh Minor dan Kofaktor

454210

132A

144521

11

M 420

1232

M 22

5432

23

M

14)1( 1111

11 MC 4)4()1( 3223

32 MC 22)1( 2332

23 MC


Ekspansi KofaktorMisalkan Anxn=[aij]

determinan dari A:det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2+ + ainCin

{karena baris ke-i menjadi acuan/ tetap, disebut: ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i}

ataudet(A) = a1jC1j + a2jC2j+ + anjCnj

{karena kolom ke-j menjadi acuan/ tetap, disebut: ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j}


Contoh Determinan 1

135650432

A

1646543

)1)(5()1(01365

)1(2)det( 1321

1211

MA


Contoh Determinan 2

1243320201130200

B

131314131211 220200)det( MCCCCCB

474313

)1(31401

)1(2143302013

321213

M

det(B) = 2(-47) = - 94


Sifat-sifat determinan1. det(AB)=det(A)det(B)2. det(AT)=det(A)3. Jika A matrik diagonal, maka det(A)=a11a22...ann {perkalian dari

semua entri pada diagonal utama}4. Jika A matrik segitiga, maka det(A)=a11a22...ann {perkalian dari

semua entri pada diagonal utama}5. Jika Anxn, maka det(kA)=kndet(A)6. det(A-1)=1/det(A)7. Jika A memuat baris nol atau kolom nol, maka det(A)=0


Sifat-sifat determinan

8. Terhadap operasi baris elementer, determinan mempunyai sifat, sebagai berikut:

a. Jika A’ diperoleh dari A dengan cara mengalikan satu baris dari A dengan konstanta k0, maka det(A’)=k det(A)

b. Jika A’ diperoleh dari A dengan cara menukar dua baris, maka det(A’) = - det(A)

c. Jika A’ diperoleh dari A dengan cara menjumlahkan kelipatan satu baris dengan baris yang lain, maka det(A’)=det(A)

9. Jika A memuat dua baris yang saling berkelipatan atau dua kolom yang saling berkelipatan, maka det(A)=0


Reduksi Baris

Dengan menggunakan sifat ke 8 dan 4, maka dapat mempermudah dalam menghitung determinan, dengan cara mengubah bentuknya menjadi matrik segitiga


Contoh Reduksi Baris

135650432

A

det(A)

13 2135650432

bb

31 2

931650432 bb

21 2

9316502290 bb

12 5931650

3410bb

1

3

931164003410

b

b

2

3

341016400931

bb

164003410931

)(

164)164(1)1)((


Kombinasi Reduksi Baris dan Ekspansi Kofaktor Penggunaan kombinasi metode reduksi baris

dan ekspansi kofaktor secara bersamaan, menyebabkan penghitungan determinan lebih cepat


Contoh Kombinasi

1243320201130200

B

det(B) =

1243320201130200

13

31

4143302013

)1(2bb

=

1015302013

)1(2 31

=

11532

)1.(1)1(2 2131

=

= -2(2 - 3(-15)) = -94


Tantangan 1

4232

564456465

221032221

1. Untuk matrik-matrik di bawah ini, tentukan: a. minor dari semua entri darib. Kofaktor dari semua entric. Determinan dengan menggunakan ekspansi kofaktor

8421042100211031

1002210042108421


Tantangan 22. Hitung determinan matrik di bawah ini, menggunakan metode

campuran, yaitu gabungan metode reduksi baris dan ekspansi kofaktor.

4332254300231043

023204302011055

41

3212243221211111

3. Diketahui matrik A dan B berordo 4x4, det(A)= - 12 dan det(B)=3/4, hitunglah: det(A2BA-1B3B-3)


Tantangan 3

12ihgfedcba

ihgfedcba

222cbaihgfed

fcebdaihgcba

fiehdgcbafed

222

ihgcfbead

cba

21

21

21

222333

, hitunglah4. Jika


Adjoin

Definisi: Misalkan Anxn=[aij], Cij adalah kofaktor dari entri aij, matrik:

disebut matrik kofaktor. Transpos matrik kofaktor A disebut matrik adjoin A ditulis adj(A).

nnnn

n

n

CCC

CCCCCC

21

22221

11211


Contoh Adjoin

454023321

A

496316237128

adj(A) =

43791612

6238Matrik Kofaktor A =


Jumlah perkalian Entri dan Kofaktor tak seletak

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A

131211

232221

131211

'aaaaaaaaa

A

b1 = a11C31 + a12C32 + a13C33

b2 = a11C’31 + a12C’32 + a13C’33

b1=b2 b2=det(A’)det(A’)=0b1=0

Dengan cara yang sama, kenyataan tersebut dapat dikembangkan untuk matrik nxn, sehingga Jumlah perkalian entri dan kofaktor yang tak seletak = nol


A dikali adj(A)

nnnn

n

n

nnnn

n

n

CCC

CCCCCC

aaa

aaaaaa

AA

21

22212

12111

21

22221

11211

)(adj

n

knknk

n

kknk

n

kknk

n

knkk

n

kkk

n

kkk

n

knkk

n

kkk

n

kkk

CaCaCa

CaCaCa

CaCaCa

112

11

12

122

112

11

121

111

bij=

jninjiji

n

kjkik CaCaCaCa

22111

bij=

Jika ij, maka bij=0Jika i=j, maka bij=det(A)


Invers Matrik dgn Adjoin

A adj(A)= IA

A

AA

)det(

)det(00

0)det(000)det(

A adj(A)=det(A)I

IA

AA )det(

1)(adj

IAA

AAA 11

)det(1)(adj

)(adj)det(

1 1 AA

A Jika det(A)0, maka


Contoh Invers dgn Adjoin

454023321

A13

12

43

454023321

)det(bbbbA

1630940321

3716394

1

)()det(

11 AadjA

A

43791612

6238

371

374

373

377

3793716

3712

376

3723

378

=

=

= =


Aturan Cramer

BAA

X )(adj)det(

1

nnnnn

n

n

b

bb

CCC

CCCCCC

AX

2

1

21

22212

12111

)det(1

nnnnn

nn

nn

CbCbCb

CbCbCbCbCbCb

AX

2211

2222121

1212111

)det(1

nx

xx

X2

1

)det(1

A

Cbx

n

iiji

j

X=A-1B

nnjnnjnnn

njj

njj

j

aabaaa

aabaaaaabaaa

A

)1()1(21

2)1(22)1(22221

1)1(11)1(11211

n

iijij CbA

1

)det(

)det()det(

AA

x jj


Contoh Aturan Cramer

2321323432

zyxzyxzyx

214

312323132

zyx

32

31

23

312323132

bbbb

312907804

20

9784

)1)(1(

det(A)=

= =

32

31

23

312321134

bbbb

3129058010

5095810

)1)(1(

det(Ax)==

=

212

2050

)det()det(

AA

x x


Tantangan 4Tentukan solusi dari persamaan-persamaan di bawah ini, menggunakan

metode: A. Perkalian dengan determinan matrik koefisien dan adjoinnyaB. Aturan Cramer

4111432

2411111319274112

wzyx

42653423

02542323

wzywzyxwyxwzyx

503

114232132

zyx

0221352

zyxzyxzyx

Determinan

Documents

Transcript of Determinan