BAMBANG SUPENO, S.T., M.T.

WA: 0888-0300-3507PIN BB: 768D5FD9

E-mail: bambangsupeno@gmail.com

[5]

Analisis Fourier

Deret Fourier

Transformasi Fourier

Deret Trigonometri

Deret Eksponensial

Transformasi Fourier biasa

Transformasi Fourier numerik

DFT

FFT

Deret fourier adalah deret yang digunakandalam bidang rekayasa. Deret ini pertama kali ditemukan oleh seorang ilmuan perancis Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830).

Deret yang selanjutnya dikenal sebagai deretfourier ini merupakan deret dalam bentuksinusoidal (sinus dan cosinus) yang digunakanuntuk merepresentasikan fungsi-fungsi periodiksecara umum.

Selain itu, deret ini juga sering dijadikansebagai alat bantu dalam menyelasaikanpersamaan diferensial, baik persamaandiferensial biasa maupun persamaan diferensialparsial.

Selain adanya deret fourier, juga dikenal adanyatransformasi fourier (Fourier Transform-FT).

Joseph Fourier mengemukakan bahwa sebuahfungsi periodik dapat direpresentasikan denganmengkombinasikan penjumlahan tak hingga darifungsi sinus dan cosinus.

Representasi fungsi inilah yang kemudian dikenalsebagai Deret Fourier.

Beberapa tahun setelah penemuan ini, deretfourier dikembangkan menjadi bentuk yang lebihumum sehingga dapat diterapkan pada fungsiyang non-periodik, bentuk yang lebih umum iniyang kemudian dikenal sebagai TransformasiFourier (FT).

Segala bentuk perhitungan matematis, bila masih berkisar pada bilangan-bilangan nyata/riil, maka hal ini tidak menjadi masalah. Masalah baru mun-cul setelah menemui persamaan aljabar seperti: x2 = - 3.

Persamaan itu dapat diselesaiakan dengan menggunakan sebuah operator imajiner yang dinyatakan dengan simbol j. Definisinya adalah sbb:

j2 = -1Sehingga j = √-1, dengan demikian j3 = -1 dan j4 = 1 dst.Dari definisi tersebut dapat dikembangkan menjadi:

bil Riil x operator imajiner = bil imajinerbil Riil + bil imajiner = bil kompleks

Simbol khusus bil imajiner, A = a + jb, dimana komponen riilnya adalah a danKomponen imajinernya adalah b, dan dapat pula dinyatakan sebagai:

Re[A] = a Im[A] = b

Contoh: A = 5 + j8Maka Re[A] = 5 dan Im[A] = 8

Dengan menggunakansebuah sumbu riil dansebuah sumbu imajiner, maka bentuk bilangankompleks (diagram Argand) dapatdinyatakan sebagaisebuah titik. Dalamgambar di samping dapatdiketahui bahwa

M = 3 + j1

N = 2 – j2

Operasi : X = M + N

X = 3 + j1 + (2 – j2)

= 5 – j1

(a) Jumlah M + N dengan menggunakan cara paralelogram

(b) Jumlah M + N dengan menggunakan cara kombinasi kepala-ekor

a) Operasi Penjumlahan (a+jb) + (c+jd) = (a+c) + j(b+d)

mis. (3 + j4) + (4 – j2) = 7 + j2

b) Operasi Pengurangan (a+jb) - (c+jd) = (a+c) - j(b+d)

mis. (3 + j4) - (4 – j2) = -1 + j6

c) Operasi Perkalian (a+jb)(c+jd) = ac + jad + jbc +j2bd = (ac – bd) + j(ad + bc)

mis. (3 + j4)(4 – j2) = 12 - j6 + j16 – j28= 12 + 8 + j10= 20 j10

d) Operasi Pembagian Apabila A=(a+jb) dan B=(c+jd), makaA/B = A.B*/B.B*

mis. A=(3 + j4) dan B=(4 – j2) maka B*=(4+j2), sehingga bila dimasukkandalam rumus akan didapatkan hasil

A/B = 0,2 +j1,1

Bila f(t) adalah fungsi kompleks dari waktu, maka konstanstakompleks ini dapat ditangani seperti halnya konstanta riil dengancara menyelenggarakan operasi diferensiasi atau integrasi.

Misal

Maka

Dan

Di atas terlihat bahwa konstanta C adalah bilangan kompleks

Bukti Identitas Euler dengan dasar deret pangkat cos θ, sin θ dan ez

Atau

Dan

Sehingga

Kesimpulan

Bila z= -jθ, maka akan didapatkan persamaan:

(1)

(2)

Dengan melakukan kombinasi menambah dan mengurangi ejθ dan e-jθ

maka akan didapat hasil sebagai berikut:

ejθ + e-jθ = (Cos θ + j Sin θ) + (Cos θ - j Sin θ)

= 2 Cos θ

Atau dapat dituliskan:

Cos θ = ½ (ejθ + e-jθ)

Kombinasi 1

Kombinasi 2 ejθ - e-jθ = (Cos θ + j Sin θ) - (Cos θ - j Sin θ)

= j2 Sin θ

Atau dapat dituliskan:

Sin θ = ½ (1/j)(ejθ - e-jθ)

= -j ½ (ejθ - e-jθ)

(3)

(4)

Sebuah sinyal waktu kontinyudimana:N = bilangan integer positifAn = amplitudo sinyal sinusoidaωn = frekuensi sudut (dalam radiant/detik)θn = fase sinyal sinusoida

Berikan gambaran sebuah sinyal sinusoida yang tersusun daripersamaan berikut ini:

Dari kasus ini gambarkan frekuensi penyusun dari sinyal tersebut.

Dari persamaan tersebut di atas tiga, parameter sinyalyang utama adalah:

- Amplitudo adalah A1, A2 dan A3. - Frekuensi adalah 1, 4, dan 8 radian. - Fase adalah 0, π/3 dan π/2.

Dengan mencoba nilai-nilai amplitudo seperti berikutini akan kita dapatkan bentuk sinyal yang bervariasi

Untuk isyarat periodik waktu kontinyu x(t) yang mempunyai perioda

dasar T dan frekuensi dasar ω0 = 2π/T, maka deret Fourier atas x(t)

didefinisikan sebagai berikut:

Sinyal waktu kontinyu x(t) dengan periode T

Koefisien ak disebut koefisien deret Fourier atau koefisien spektral

dari x(t). Koefisien a0 (yaitu ak saat k = 0) disebut komponen konstan

dari x(t), yang ditentukan oleh:

Besarnya ak menunjukkan besarnya sinyal x(t) pada setiap harmonik

dari komponen dasar

Isyarat x(t) = sin ω0 t mempunyai frekuensi dasar ω0.

Tentukanlah deret Fourier untuk menyatakan x(t)

Dari penguraian x(t) dapat diketahui bahwa

dan ak = 0 untuk nilai k yang lain.

Diiketahui A = -5 + j2, B = 5 – j2 dan C = -2 – j4

Hitunglah:

(i) C – B

(ii) 2A + 3B +4C

(iii) C2 (A + B)

(iv) B Re[A] + A Im[B]

(v) [(A - A*)(B + B*)*]*

(vi) (1/C) – (1/B)*

(vii) (B + C) / (2BC)

1) Gunakan (1) sampai (4) untuk menghitung:

(i) ej2

(ii) e1+j2

(iii) cos (j2)

(iv) sin (j2)

2) Pada saat t = 0,5 s, hitunglah

(v) (d/dt) (3 cos 2t – j2 sin 3t)

Isyarat x(t) didefinisikan sebagai berikut:

x(t) = 1 + sin ω0 t + 2 cos ω0 t + cos (2ω0 t + π/4)

Nyatakanlah x(t) dalam deret Fourier.

BAHAN UTS: S/D DERET FOURIERSELAMAT MENGERJAKAN UTS DG BAIK & BENARCU NEXT 3 WEEKS......