Deret Fourier

Deret FourierAhmad Miftahul AriefBaihaqi MuhamadHandriyan Fajar KusnaediMohamad Ghazal SayyaRendy Efesus Purba

Sejarah Jean Baptiste Joseph Fourier adalah seorang matematikawan dan fisikawan Perancis yang lahir di Auxerre dan terkenal dalam penyelidikan deret Fourier dan aplikasinya untuk masalah perpindahan panas dan getaran. Transformasi Fourier dan Hukum Fourier juga dinamai untuk menghormatinya. Fourier juga umumnya dikreditkan dengan penemuan efek rumah kaca.Masa kecilFourier lahir pada tanggal 21 Maret 1768 di Auxerre, Perancis. Anak seorang penjahit, dari istri kedua yang memberinya 12 orang anak, dimana Joseph adalah anak ke sembilan. Ibunya meninggal saat dia berusia 9 tahun disusul oleh ayah setahun berikutnya. Anak yatim piatu ini kemudian diasuh oleh Uskup di Auxerre dengan biaya ditanggung oleh seorang wanita bangsawan yang tertarik dengan kesopanan dan perilaku sopan anak tersebut tanpa sedikitpun bermimpi anak ini kelak menjadi apa. Uskup itu mengirim Fourier ke Ecole Royale Militaire di Auxerre, dimana baru diketahui bahwa anak itu adalah anak genius. Umur 12 tahun menulis kotbah yang akan dibawakan oleh pastor untuk gereja di Paris dan kota besar lainnya. Herannya, umur 13 tahun, Fourier mendadak berubah menjadi seorang anak sulit diatur, melawan, bandel sekaligus pemberang. Hal ini tidak berlangsung lama setelah secara tidak sengaja berkenalan dengan matematika pada umur 14 tahun. Saat itu dia belajar 6 buku Bezout, Cours de mathematique. Matematika seperti sihir - ternyata mampu menaklukkan perilaku tidak terpuji Fourier. Tahun 1783, Fourier mendapat hadiah pertama dalam mempelajari karya Bossut, Mechanique en general.Belajar matematika ternyata butuh perjuangan tersediri. Malam hari saat tidak ada penerangan namun pada siang harinya, Fourier mengumpulkan sisa-sisa pembakaran lilin dari dapur atau dari kolege, guna dilebur menjadi lilin penerangan untuk belajar matematika di malam hari. Fourier belajar matematika secara diam-diam, di belakang perapian atau di balik layar gereja, dengan cita-cita agar pada umur 21 tahun mampu menyamai prestasi Newton dan Pascal.Deret FourierFourier mengarang buku Theorie analytique de la chaleur (teori matematika tentang panas), karya puncak tentang fisika matematikal.

Fourier menyinggung tentang Sin dan Cos dalam bukunya Periodicity, dimana didalamnya juga termaktub deret Fourier yang terkenal itu. Buatlah lingkaran dengan jara-jari = 1. Gambar lingkaran tersebut dengan pusat di titik 0 pada geometri Kartesian. Juga, gambar lengkungan AB yang panjangnya 2p (keliling lingkaran = 2p, karena jari-jari = 1).

Titik P dengan dengan besar OQ mengawali putarannya dari titik A memutar sepanjang lingkaran berlawanan dengan jarum jam, bergerak sehingga Sin segi-tiga POB atau juring POA. Pada posisi manapun, titik P, sudut POA adalah bagian dari empat-kuadran atau lingkaran (360) sehingga titik P melintas penuh semua titik (kedudukan) lingkaran. Jadi dapat diketahui bahwa sudut POA yang makin besar digambar dari lengkungan AB dengan besar 2p yang sama panjangnya dengan lengkungan AP. Saat titik P mencapai titik C, dari keseluruhan lingkaran sama dengan sudut COA dapat digambar pada titik R, besar lengkungan AB dari titik A. Apabila diterukan akan tercipta lengkungan (kurva sinusoid) berikutnya. Tidak tertutup kemungkinan, kurva dimulai dengan mengikuti arah jarum jam, sehingga kurva dimulai dari bawah garis horisontal.Jika x adalah besar sudut, maka persamaan:

Sin (x + 2p) = Sin x

Mengekspresikan kenyataan bahwa sin x adalah fungsi dari x yang mempunyai periode 2p, begitu pula:

Cos (x + 2p) = Cos x

Mengamati kurva Sin 2x akan melintasi periode dua kali lebih cepat dibanding Sin x, dan kurva adalah setengah periode Sin x. Begitu pula untuk Sin 3x yang membutuhkan hanya 2p/3. Hal yang sama juga berlaku untuk Cos x, Cos 2x, Cos 3x, Deret Fourier yang penuh kontrobversi pada saat itu adalah:

y = a0 + a1 cos x + a2 cos 2x + a3 cos 3x + + b1 sin x + b2 sin 2x + b3sin 3x + Notasi tiga titik menunjuk bahwa persamaan itu sampai tidak terhingga; dan koefisien a0, a1, a2, , b1, b2, b3 dapat ditentukan apabila nilai y ditentukan dan x diketahui.

Konsep periodik (sederhana) seperti yang dijabarkan di atas sangat penting dalam mengamati fenomena alam; gelombang, orbit bulan, musim dan berbagai fenomena lain dengan periode sebagai ciri-cirinya.

DERET FOURIERFungsi PeriodikFungsi f(x) dikatakan periodik dengan perioda P, jika untuk semuaharga x berlaku:

f (x + P) = f (x) ; P adalah konstanta positif.

Harga terkecil dari P > 0 disebut perioda terkecil atau sering disebutperioda dari f(x).

Contoh : Fungsi sin x mempunyai perioda 2; 4 ; 6 ; ...... karena sin (x+2 ) = sin (x+4 ) = sin (x+6 ) = ..........= sin x. Periode dari sin nx atau cos nx ; dengan n bilangan bulat positif adalah 2 /n. Periode dari tan x adalah . Fungsi konstan mempunyai periode sembarang bilangan positif.

Gambar grafik dari fungsi-fungsi yang periodik, misalnya :

Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada setiap segmen (piecewise continuous function), bila f(x) hanya kontinu pada interval-interval tertentu dan diskontinu pada titik-titik yang banyaknya berhingga. Harga f(x) di titik-titik diskontinu ditentukan dengan menghitung harga limit fungsi f(x) untuk x mendekati titik diskontinu (ujung masing-masing interval).

Deret FourierDalam beberapa permasalahan yang berhubungan dengan gelombang (gelombang suara, air, bunyi, panas, dsb) ; pendekatan dengan deret Fourier yang suku-sukunya memuat sinus dan cosinus sering digunakan. Dengan mengekspansikan ke dalam bentuk deret Fourier ; suatu fungsi periodik bisa dinyatakan sebagai jumlahan dari beberapa fungsi harmonis, yaitu fungsi dari sinus dan cosinus (fungsi sinusoidal).Jika fungsi f(x) terdefinisi pada interval (-L;L) dan di luar interval tersebut f(x) periodikdengan periode 2L ; maka deret Fourier atau ekspansi Fourier dari fungsi f(x) tersebut di definisikan sebagai :

dengan koefisien Fourier a n , bn ditentukan oleh :

Jika interval (L;L) sembarang dan f(x) mempunyai periode 2L maka :

dengan C sembarang bilangan real.Jika C = -L maka rumus (4-4) dan (4-5) akan sama dengan (4-2) dan (4-3).Deret Fourier konvergen bila memenuhi syarat/kondisi Dirichlet.

Syarat /Kondisi DirichletTeorema : Jika1. f(x) terdefinisi dan bernilai tunggal, kecuali pada beberapa titik yang banyaknya berhingga pada interval (-L:L).2. f(x) periodik dengan perioda 2L.3.f(x) dan f(x) merupakan fungsi-fungsi yang kontinu pada setiap segmen pada interval (-L;L).

Maka deret Fourier (4-1) dengan koefisien (4-2) dan (4-3) atau (4-4)dan (4-5) konvergen ke :

Contoh :1.Tentukan deret Fourier dari fungsi f(x) yang didefinisikan sebagai : di luar interval ini f(x) periodik dengan perioda 2 .Penyelesaian :

Fungsi f (x) pada contoh dibawah bisa dimisalkan merupakan suatu pulsa voltase yang periodik; dan suku-suku dari deret Fourier yang dihasilkan akan berkaitan dengan frekuensi frekuensi yang berbeda dari arus bolak balik yang dihubungkan pada gelombang bujur sangkar dari voltase tadi.Fungsi Genap dan Fungsi GanjilFungsi f(x) disebut fungsi genap jika f ( -x ) = f (x) untuk setiap x.Contoh :

Polinomial dalam x yang suku-sukunya adalah x berpangkat genapmerupakan fungsi genap. Jika f (x) fungsi genap maka:

Fungsi f (x) disebut fungsi ganjil jika f ( -x ) = - f (x) untuk semua x

Deret Sinus dan Deret Cosinus Setengah Jangkauan (Half Range)Deret fourier dari fungsi genap :

Genap

Jadi , jika f(x) fungsi genap maka bn = 0 ; sehingga yang muncul hanyasuku-suku yang mengandung cosinus saja atau suku-suku dari an.Deret fourier dari fungsi ganjil:

Jika f(x) fungsi ganjil maka an = 0 ; sehingga yang muncul hanya suku-suku yang mengandung sinus saja atau suku-suku dari bn.Deret sinus dan cosinus setengah jangkauan adalah suatu deret Fourier yang hanya mengandung suku sinus atau cosinus saja. Apabila diinginkan deret setengah jangkauan yang sesuai dengan fungsi yang diberikan, fungsi yang dimaksud biasanya hanya diberikan dalam setengah interval adari (-L;L) yaitu pada interval (0;L) saja. Setengah lainya yaitu (-L,0) ditentukan berdasarkan penjelasan fungsinya genap atau ganjil.

Deret sinus setengah jangkauan adalah deret Fourier dengan :f(x) fungsi ganjil

Deret Cosinus setengah jangkauan adalah deret Fourier dengan:f(x) fungsi genap

Contoh:Ekspansikan f (x) = x ; 0 < x < 2 ke dalam :a.deret sinus setengah jangkauanb.deret cosinus setengah jangkauanPenyelesaian :a.deret sinus setengah jangkauan

f (x) = x ; 0 < x < 2 diperluas dalam bentuk fungsi ganjil sepanjanginterval-2 < x < 2(dengan periode 4), sebagai berikut: Sehingga :an = 0

Jadi deret sinus:

B. deret cosinus setengah jangkauan

f (x) = x ; 0 < x < 2 diperluas dalam bentuk fungsi ganjil sepanjang interval-2 < x < 2 (dengan periode 4), sebagai berikut:an = 0

APLIKASIMasalah yang menyangkut vibrasi atau osilasi sering terjadi pada fisika dan teknik. contoh yang sering kita temui pada kehidupan sehari-hari seperti getaran garpu tala, bandul, massa yang digantungkan pada pegas,gelombang air, gelombang suara, arus listrik AC, dan sebagainya. Akan lebih banyak contoh yang akan kita ketahui jika kita belajar fisika lebih dalam lagi seperti konduksi panas, medan listrik dan magnet, yang tak cukup hanya diselesaikan dengan metode dasar tetapi membutuhkan metode yang lebih tinggi tingkatannya serta melibatkan fungsi sinus dan cosinus untuk mendeskripsikan gerak harmonic sederhana dan gelombang. Kita dapat menggunakan deret pangkat untuk memperkirakan hasil dari fungsi yang rumit. Pada beberapa kasus, ada yang disebut dengan deret Fourier (Fourier Series) yang suku-sukunya terdiri dari sinus dan cosinus.