DERET dan TERAPANNYA DALAM EKONOMI

MAKALAH

UNTUK MEMENUHI TUGAS MATAKULIAH

Matematika Ekonomi dan Bisnis

Yang dibina Bapak Yohanes Hadi Soesilo

Disusun oleh :

Kelompok 13

Hastiti Putri S. H (14043260)

Hudan Pradana P. (14043260)

Kurnia Intan K. (140432604994)

Lintan Dahniar W. (140432605260)

UNIVERSITAS NEGERI MALANG

FAKULTAS EKONOMI

JURUSAN EKONOMI PEMBANGUNAN

September 2015

A. Pengertian

Deret ialah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah-

kaidah tertentu. Bilangan-bilangan yang merupakan unsur dan pembentuk sebuah

deret dinamakan suku.

Dilihat dari jumlah suku yang membentuknya, deret digolongkan atas deret berhingga

dan deret takberhingga. Deret terhingga adalah deret yang jumlah suku-sukunya tidak

terbatas. Sedangkan deret takterhingga adalah deret yang jumlah pada suku-sukunya

tidak terbatas. Dilihat dari segi pola perubahan bilangan pada suku-sukunya, deret

bisa dibeda-bedakan menjadi deret hitung, deret ukur dan deret harmoni.

1 Deret Hitung

Deret hitung ialah deret yang perubahan suku-sukunya berdasar penjumlahan

terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret

hitung ini dinamakan pembeda, yang tak lain merupakan selisih antara nilai-nilai dua

suku yang berurutan.

Contoh :

1) 7,12,17,22,27,32 (pembeda = 5)

2) 93,83,73,63,53,43 (pembeda = -10)

Dua hal penting untuk diketahui atau dihitung setiap persoalan deret, baik deret

hitung maupun deret ukur, adalah besar nilai pada suatu suku tertentu dan jumlah

nilai deret tersebut sampai dengan suku yang bersangkutan.

1.1 Suku ke-n dari DH

Besar nilai suku tertentu (ke-n) dari sebuah deret hitung dapat dihitung melalui

sebuah rumus.

Contoh :

a. Nilai suku pertamanya adalah 7

b. Pembedanya adalah 5

7, 12, 17, 22, 27, 32

S1, S2 S3 S4 S5 S6

S1 = 7 = a

S2 = 12 = a+b = a+(2-1)b

S3 = 17 = a+2b = a+(3-1)b

S4 = 22 = a+3b = a+(4-1)b Sn=¿ a + ( n – 1 )b

S5 = 27 = a+4b = a+(5-1)b

S6 = 32 = a+5b = a+(6-1)b

Ket : a : suku pertama atau S1

b : pembeda

c : indeks suku

Berdasarkan rumus di atas, dengan mudah dan cepat kita dapat menghitung nilai-

nilai suku tertentu. Contoh, nilai suku ke-10 dan ke-23 dari deret hitung ini

masing-masing adalah :

S10=a+(n−1 )b=7+ (10−1 ) 5=7+45=52

S23=a+(n−1 )b=7+ (23−1 ) 5=7+110=117

1.2 Jumlah n suku

Jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu tak lain adalah

jumlah nilai suku-sukunya, sejak pertama (S1 atau a ) sampai dengan suku ke-n (

Sn) yang bersangkutan

Jn=∑i=1

n

S i=S1+S2+………+Sn

J4=∑i=!

4

Si=S1+S2+S3+S4

J5=∑i=!

5

S i=¿S1+S2+S3+S4+S5¿

J6=∑i=1

6

S i=¿ S1+S2+S3+S4+S5+S6¿

Berdasarkan rumus Sn=a+(n−1 ) b sebelumnya, maka masing-masing Sidapat

diuraikan. Dengan menguraikan setiap Si maka J4 , J5 dan J5 dalam ilustrasi di atas akan

menjadi masing-masing sebagai berikut :

J4=a+ (a+b )+ (a+2 b )+( a+3 b )

J5=a+(a+b )+(a+2b )+(a+3b )+ (a+4 b )

J6=a+(a+b )+(a+2b )+(a+3b )+(a+4 b )+(a+5 b)

Masing-masing J iini dapat pula ditulis-ulang dalam bentuk sebagai berikut :

J4=4 a+6 b=4 a+ 42

( 4−1 )b

J5=5 a+10 b=5 a+52

(5−1 ) b Jn=na+ n2

(n−1 ) b

J6=6 a+15 b=6 a+ 62

(6−1 )b atau Jn=n2

{2 a+(n−1 ) b }

Rumus Jn=n2

{2a+(n−1 ) b} ini masih bisa disederhanakan lagi menjadi :

Jn=n2

{2 a+(n−1 ) b }

= n2

{a+a+ (n−1 ) b }

= n2(a+Sn)

Dengan demikian, untuk menghitung jumlah sebuah deret hitung sampai

dengan suku tertentu n, terdapat empat bentuk rumus yang bisa digunakan :

Jn=∑i=1

n

S1 Jn= n2{2a + (n-1)b}

Jn=n2(a+Sn) Jn=¿ na +

n2

(n – 1) b

Untuk kasus deret hitung dalam contoh yang pertama di atas tadi, jumlahnya sampai dengan

suku ke-10 adalah :

J10=102

(7+S10) = 5 ( 7+52 ) = 295

Untuk kasus deret hitung dalam contoh kedua, jumlahnya sampai dengan suku ke-10 adalah :

J10=(10 ) (93 )+ 102

( 10-1 )(-10) = 930 + 5(9) (-10) = 480

2. Deret Ukur

Deret ukur ialah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian

terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku sebuah deret ukur

dinamakan pengganda, yakni merupakan hasil bagi nilai suatu suku terhadap nilai suku di

depannya

Contoh :

1. 5, 10, 20, 40, 80, 160 (pengganda = 2)

2. 512, 256, 128, 64, 32, 16 (pengganda = 0,5)

2.1. Suku ke-n dari DU

Untuk dapat membentuk rumus penghitungan suku tertentu dari sebuah deret

ukur, perhatikan contoh diatas

S1=5=a

S2=10=ap=ap2−1

S3=20=app=ap2=ap3−1

S4=40=appp=ap3=ap4−1

S5=80=apppp=ap4=ap5−1

S6=160=appppp=ap5=ap6−1

Sn=apn−1

a : suku pertama

p : pengganda

n : indeks suku

Berdasarkan rumus di atas, nilai suku ke-10 dari deret ukur dalam contoh

diatas adalah

1) S10=(5 )¿

2) S10=(512 ) ¿

2.2. Jumlah n suku

Seperti halnya dalam eret hitung, sebuah deret ukur sampai dengan suku

tertentu adalah jumlah nilai suku-sukunya sejak suku pertama sampai dengan

suku ke-n yang bersangkutan

Jn=∑i=1

n

S1=S1+S2+S3+S4+ .… ……+Sn

Berdasarkan Sn=apn−1 ,maka masingt-masing Si dapat dijabarkan sehingga :

Jn=a+ap+ap2+ap3+ . ………+apn−2+apn−1

Jika persamaan (1) ini kita kalikan dengan bilangan pengganda p, maka :

pJn=ap+ap2+ap3+ap4 ………+apn−1+apn

Dengan mengurangkan persamaan (2) dari persamaan (1), diperoleh selisih antara kedua

persamaan ini yaitu :

Jn−pJ n=a−apn

Jn=a (1−pn )

1−patau J n=

a ( pn−1 )p−1

Dalam hal | p | < 1, penggunaan rumus yang di sebelah kiri akan lebih

mempermudah perhitungan. Di lain pihak jika | p | > 1, perhitungan akan menjadi lebih

mudah dengan menggunakan rumus yang di sebelah kanan.

Untuk kasus deret ukur dalam contoh diatas, di mana a=5 dan p=2,

jumlahnya sampai dengan suku ke-10 adalah :

J10=5 (210−1 )

2−1=

5 (1023 )1

=5115

Sedangkan untuk kasus dalam contoh yang kedua, dalam hal ini a=512 dan

p=0,5 jumlah dari sepuluh suku pertamanya adalah :

J10=512(1−0,510)

2−1=

512 (1023/1024)0,5

=1023

Sebagaimana akan dapat dijumpai dalam bagian atau bab-bab selanjutnya dalam buku ini,

prinsip-prinsip deret banyak diterapkan untuk menelaah perilaku bisnis dan ekonomi, baik

secara langsung maupun secara tidak langsung. Prinsip deret hitung banyak deterapkan dalam

menganalisis perilaku perkembangan. Sedangkan prinsip deret ukur, bersama-sama dengan

konsep logaritma, sering digunakan untuk menganalisis perilaku pertumbuhan.

1.3. PENERAPAN EKONOMI

Dalam bidang ekonomi,teori atau prinsip-prinsip deret sering diterapkan dalam kasus-kasus yang menyangkaut perkembangan dan pertumbuhan.

1.3.1. Model Perkembangan Usaha

Jika perkembangan variabel – variabel tertentu dalam kegiatan usaha misalnya produksi, biaya, pendapatan,penggunaan tenaga kerja atau penanaman modal berpola seperti deret hitung, maka prinsip-prinsip deret hitung dapat digunakan untuk menganaliss perkembangan variabel tersebut. Berpola seperti deret hitung maksudnya ialah bahwa variabel yng bersangkutan bertambah secara konstan dari satu period eke periode berikutnya.

Contoh Kasus 1

Perusahaan genteng “Sokajaya” menghasilkan 3.000 buah genteng pada bulan pertama produksinya. Dengan penambahan tenaga kerja dan peningkatan produktivitasnya, perusahaan mampu menambah produksinya sebanyak 500 buh setiap bulan. Jika perkembangan produksinya konstan, berapa buah genteng yang dihasilkanya pada bulan ke lima? Berapa buah yang telah dihasilkan sampai dengan bulan tersebut?

ᵅ = 3.000 s5=3.000+( 5−1) 500=5.

B = 500 J6=5

2

n = 5

Jumlah produksi pada bulan kelima adalah 5.000 buah, sedangkan jumlah seluruh genteng yang dihasilkan sampai dengan bulan tersebut 20.000 buah.

Contoh Kasus 2

Besarnya penerimaan PT. “Cemerlang” dari hasil penjualan barangnya 720 juta rupiah dan 980 juta rupiah pada tahun ketujuh. Apabila perkembangan penerimaan per tahun? Berapa besarnya penerimaan pada tahun pertama dan pada tahun keberapa penerimaanya sebesar 460 juta rupiah?

Dalam jutaan : s7=980 a+6b=980

s5=720 a+4 b=720

2b = 260 b=130

Prkembangan penerimaan per tahun seesarr 130 juta rupiah.

a+4 b=720 a=720−4 b=720−4 (130 )=200

Penerimaan pada tahun pertama sebesar 200 juta rupiah.

sn=a+(n−1 )b 460=200+(n−1 )130

460 =200 + 130n – 130

390 = 130n n= 3

Penerimaan sebesar 460 juta rupiah diterima pada tahun ketiga.

1.3.2. Model Bunga Majemuk

Model bunga majemuk merupakan penerapan deret ukur dalam kasus simpan-pinjam dan kasus investasi. Dengan model ini dapat dihitung, misalnya besarnya pengembalian kredit dimasa mendatang berdasarkan tingkat bunganya. Atau sebaliknya, untuk mengukur nilai sekarang dari suatu jumlah hasil investasi yang akan diterima dimasa datang.

Jika misalnya modal pokok sebesar P Dibungakan secara majemuk dengan suku bunga per tahun setingkat I, maka jumlah akumulatif modal tersebut dimasa datang setelah n tahun (Fn¿dapat dihitung sebagai berikut:

Setelah 1 tahun : F1= P+ P. I = P(1+i)

Setelah 2 tahun : F2=P (1+i )+P (1+i ) i=P(1+ i)2

Setelah 3 tahun : F3= P P(1+i)2+P(1+ i)2I = P(1+i)3

Setelah n tahu : Fn= (…)+(…) i = P(1+i)n

Dengan demikian, jumlah dimasa datang dari suatu jumlah sekarang adalah :

Fn = P(1+i)n P : jumlah sekarang

i: tingkat bunga per tahun

n : jumlah tahun

Rumus di atas mengandung anggapan tersirat bahwa bunga diperhitungakn dibayarkan satu kali dalam setahun. Apabila bunga diperhitungkan dibayarkan lebih dari satu kali (misalnnya m kali, masing-masing i/m pertermin) dalam setahun, maka jumlah dimasa datang menjadi :

Fn =P(1+ im

)mn

m= frekuensi pembayaran bunga dalam setahun

Dari rumus diatas, dengan sedikit manipulasi matematis, dapat pula dihitung besarnya nilai sekarang apabila yang diktahui jumlahnya dimasa datang. Nilai sekarang (present value) dari suatu jumlah uang tertentu dimasa datang adalah:

P=1

(1+i). F ATAU P =

1

(1+i /m)mn.F

Suku 1/(1+i)n dan 1(1+i /m)mn dinamakan “factor diskonto”(discount factor), yaitu suatu

bilangan lebih kecil dari 1 yang dapat dipakai untuk menghitung nilai sekarang dari suatu jumlah dimasa datang.

Contoh Kasus 3

Seorang nasabah meminjam uang di bank sebanyak 5 juta rupiah untuk jangka waktu 3 tahun, dengan tingkat bunga 2% per tahun . berapa jumlah seluruh uang yang harus dikembalikanya pada saat pelunasan? Seandainya perhitungan pembayaran bunga bukan tiap tahun, melainkan tiap semester berapa jumlah yang harus ia kembalikan?

P = 5.000.000 Fn = P (1+ I )n

n= 3 F3=5.000 .000(1+0,02)3

i= 2% = 0,02 = 5.000.000 (1,061208) = 5.306.040

Jadi pada saat pelunasan, setelah tiga tahun, nasabah tadi secara keluruhan harus menggembalikan sebanyak Rp. 5.306.040,00. Seandainya bunga diperhitungkan dibayar tiap semester,m = 2, maka :

Fn = P(1 + i/m)mn F3 = 5.000.000 (1+0,01)6

= 5.000.000 (1,06152) = 5.307.600

Jumlah yang harus dikembalikan menjadi lebih besar Rp 5.307.000,00

Contoh Kasus 4

Tabungan mahasiswa akan menjadi sebesar Rp 532.400,00 tiga tahun yang akan datang. Jika tingkat bunga bank yang berlaku 10% per tahun, berapa tabungan mahasiswa tersebut pada saat sekarang ini?

F = 532.400 P = 1

(1+i)n.F

n = 3 = 1¿¿

i = 10% = 0,1

1.3.3 Model Pertumbuhan Penduduk

Penarapn deret ukur yg paling konvensional di bidang ekonomi adalah dalam hal penaksiran jumlah penduduk. Sebagaimana pernah dinyatakan oleh Malthus, penduduk dunia tumbuh mengikuti pola deret ukur. Secara matematik, hal ini dapat dirumuskan sebagai:

P1= P1 R t−1

Dimana R= 1+r P1: Jumlah pada tahun pertama (basis )

Pt : Jumlah pada tahun ke – t

r : presentase pertumbuhan per tahun

t : Indeks waktu (tahun)

Contoh Kasus 5

Penduduk suatu kota berjumlah 1 juta jiwa pada tahun 1991, tingkat pertumbuhanya 4 persen per tahun. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2006 pertumbuhanya menurun menjadi 2,5% berapa jumlahnya 11 tahun kemudian?

P1 = 1 juta P tahun 2006/P16=1 juta

r = 0,04 = 1 juta (1,800943)

R = 1,04 = 1.800.943

P1 = 1.800.943 P11 tahun kemudian / P11

r = 0,025 P11 = 1.800.943(1,025)10=¿2.305.359 jiwa

R = 1,025

Atau dengan memanfaatkan kaidah logaritma :

P11= 1.800.943 (1,025)10

logP11=¿log 1.800.943 (1,025)10

log P11=¿log 1.800.943 + 10 log 1,025

log P11= 6,255499 + 0,107239

log P11= 6,362738 P11 = 2.305.359