Defleksi Elastik Balok

Universitas Gadjah Mada

Bab 6

Defleksi Elastik Balok

6.1. Pendahuluan

Dalam perancangan atau analisis balok, tegangan yang terjadi dapat diteritukan

dan sifat penampang dan beban-beban luar. Untuk mendapatkan sifat-sifat

penampang dan tegangan yang terjadi telah dibicarakan pada Bab 3 dan 4. Pada

prinsipnya tegangan pada balok akibat beban luar dapat direncanakan tidak

melampaui suatu nilai tertentu, misalnya tegangan ijin. Perancangan yang berdasarkan

batasan tegangan ini dinamakan perancangan berdasarkan kekuatan (designfor

strength).

Namun demikian, pada umumnya lendutan/defleksi balok perlu ditinjau agar

titik melampaui nilai tertentu. Dapat terjadi, dari segi kekuatan balok masih mampu

menahan beban, namun Iendutannya cukup besar sehingga tidak nyaman lagi.

Perancangan yang mempertimbangkan batasan lendutan dinamakan perancangan

berdasarkan kekakuan (design for stiffhess).

Pada bab ini akan dibahas mengenai beberapa metode untuk menghitung

lendutan balok. Dalam kenyataan, lendutan balok diakibatkan oleh momen lentur dan

gaya geser secara bersamaan. Namun lendutan balok yang diakibatkan oleh lentur

lebih dominan dibandingkan oleh geser. Pada uraian di bawah akan dibahas beberapa

cara perhitungan lendutan balok akibat lentur antara lain:

- metode integrasi ganda (double integration)

- metode luas momen (momen area)

- metode superposisi (superposition)

Oleh karena pengaruhnya cukup kecil, perhitungan lendutan akibat gaya geser tidak

diberikan pada buku ini.

6.2. Persamaan Diferensial Kurva Lendutan


Gambar 6.1. Defleksi balok akibat lentur murni

Pada Gambar 6. diperlihatkan kurva defleksi batang yang menenirna lentur.

Sebagaimana telah dibahas pada Bab 4, hubungan antara kelengkungan dan momen

lentur murni telah diperoleh. yaitu:

Sedangkan kurva suatu garis Iengkung dapat didefinisikan juga sebagai:

dengan x dan y adalah koordinat titik pada suatu kurva.

Umumnya defleksi balok sangat kecil dibandingkan dengan panjang bentangnya, maka

kemiringan dxdy

sangat kecil, sehingga 2

��

��

�

dxdy

juga sangat kecil. Persamaan (6.2) dapat

disederhanakan menjadi:

2

21dx

yd≈ρ

(6.3)

Jika Persamaan (6.3) disubstitusikan dalam Persamaan (6.1), dengan memperhatikan

tanda dan sumbu koordinatnva maka diperoleh:

≈

≈−=ElM

dxyd2

2

(6.4)

6.2.1. Persamaan-persamaan Diferensial Balok Secara Umum

Persamaan (6.4) juga dapat digunakan untuk balok secara umuni yang

menerima momen lentur yang tidak konstan atau penampang yang tidak prismatis.

Persamaan-persamaan terdiri dari (Iihat juga Gambar 6.2):

a. Syarat keseimbangan


b. Hubungan geometri dan penggunaan sifat material

2

2

)(,

)(dx

ydElxM x−= (6.7)

c. Kombinasi dari ketiga persamaan di atas didapatkan persamaan:

Gambar 6.2. Bagian balok yang mengalami momen lentur M(x),

geser V(x) dan beban q(x)

6.2.2. Syarat-syarat Batas

Dalam penyelesaian persamaan-persamaan defleksi balok perlu diperhatikan

syaratsyarat batas (boundary conditions). Syarat-syarat batas antara lain dapat

berupa:

a. Tumpuan jepit, terjadi defleksi dan kemiringan kurva lendutan yang sama dengan

nol

a adalah absis titik tumpuan yang terjepit.

b. Tumpuan sederhana (sendi atau rol) rnempunyai defleksi nol dan tidak dapat

menahan momen


c. Ujung bebas yang tidak menahan momen dan gaya lintang

6.3. Beberapa Contoh Hitungan Lendutan Balok

Contoh 6.1 : Lendutan balok terjepit pada ujung yang satu dibebani momen pada

ujung yang lain.

Momen pada setiap titik

(sembarang) absis x adalah

M(x) = -M

El = konstan

Gambar 6.3. Balok dengan salah satu ujung terjepit dengan beban momen pada

ujung lainnya

Untuk mencari C1, dan C2 digunakan syarat-syarat batas:


Jadi persamaan garis elastic:

Lendutan ujung balok sebelah kanan untuk x = / adalah

Contoh 6.2.: Balok terjepit pada salah satu ujung dengan beban terbagi rata q

Gambar 6.4. Balok terjepit pada salah satu ujung dengan beban terbagi rata q

Syarat batas:

Jadi persamaan garis elastik:


Maka lendutan ujung balok sebelah kanan untuk x =l adalah

Contoh 6.3 : Balok terjepit sebelah dengan beban titik pada ujungnya

Gambar 6.5. Balok terjepit sebelah dengan beban titik pada ujungnya

Syarat batas:

Persamaan garis lentur:

Untuk x = l


Lendutan El

Pf

3

3�=

Contoh 6.4 : Balok diatas dua tumpuan sederhana (sendi-rol) dengan beban terbagi

rata q

Gambar 6.6 Balok diatas dua tumpuan sederhana (sendi-rol)

dengan beban terbagi rata q

Syarat batas:


Atau

Lendutan balok maksimum (terjadi di tengah bentang), sebesar:

6.4. Metode Luas Momen

Untuk mendapatkan lendutan balok dengan metoda integrasi, seringkali dijumpai

persamaan yang rumit yang disebabkan oleh variasi dan diskontinuitas serta

penampang yang bervariasi (non prismatis). Berikut akan dibahas suatu cara lain untuk

mendapatkan lendutan balok yang dikenal dengan metode luas-momen (momen-area).

Metode ini mempunvai pendekatan dan pembatasan yang sama dengan yang

dipelajari selama ini, dimana hanya memperhitungkan lenturan balok (geser

diabaikan). Metode ini dapat digunakan untuk menentukan defleksi dan perputaran

sudut suatu titik tertentu pada balok.

Perhatikan balok AR pada Gambar 6.7. Akibat sembarang beban, terjadi lendutan

seperti diperlihatkan oleh garis putus-putus. Titik 1 dan 2 terletak pada balok. Jika

dibuat garis singgung pada kurva lendutan di kedua titik tersebut, akan didapatkan

sudut yang dibentuk oleh kedua garis singgung tersebut sebesar 12θ .


Gambar 6.7. Metode Luas Mornen

Besarnya kelengkungan pada titik X yang berjarak x dari tumpuan sebelah kiri, seperti

telah dibicarakan pada Bab 4.2, adalah sebagai berikut:

Untuk menurunkan persamaan-persamaan metode ini dapat digunakan lagi

Persamaan (6.4) yaitu:

Jika ditinjau bagian kecil dx akan terjadi perubahan sudut dθ Untuk dv yang sangat

kecil didapatkan pula dxd

dxdy θ=

Sebagai kesepakatan, digunakan tanda negatif jika garis singgung yang disebelah

kanan berputar berlawanan dengan arah jarum jam atau:

EldxxM )(

adalah luas bagian yang terarsir pada diagram ElM

. Untuk mendapatkan

sudut 12θ dilakukan dengan cara mengintegralkan luasan tersebut dan titik 1 sampai

dengan titik 2:


Tergantung pada macam balok dan titik yang ditinjau, luas diagram ElM

adalah

besaran aljabar yang dapat bernilai positif, negatif atau nol. Jika nilainya positif maka

garis singgung pada titik disebelah kanannya akan berputar berlawanan arah jarum

jam, jika nilainya negatif, gans singgung yang kanan berputar berlawanan arah jarum

jam. Apabila nilainya nol, maka kedua garis singgung tersebut sejajar satu sama lain.

Selanjutnya metode luas momen cocok dipergunakan untuk menghitung lendutan

disuatu titik pada balok. Besarnya lendutan vertikal 21δ antara titik 2 dan titik 2’ yang

terletak pada garis singgung yang melalui titik 1 (lihat Gambar 6.8).

Gambar 6.8. Kurva lendutan balok

Dengan anggapan bahwa sudut dθ sangat kecil, maka besarnya dδ adalah:

Selanjutnya lendutan 21δ , didapat dengan mengintegralkan Persamaan (6.13)

tersebut, sehingga menjadi:

Ruas kanan tidak lain sama dengan momen statis luasan ElM

antara titik 1 dan 2

terhadap titik 2. Persamaan tersebut dapatjuga dituliskan sebagai berikut:


El

S 21221

−=δ (6.15)

dengan,

S12-2 = momen statis luasan M yang dibatasi oleh titik 1 dan 2 terhadap titik 2.

6.5. Beberapa Contoh Hitungan Lendutan Balok dengan Metode Luas Momen

Lendutan ujung sebelah kanan:

Gambar 6.9

Contoh 6.6 : Mencari θ dan δ pada balok diatas dua tumpuan dengan beban titik.

a) Mencari aθ dan bθ :

��


Gambar 6.10. b : jarak dan resultan beban bidang M

kepada titik B

Agar didapatkan rumus yang Iangsung dalam P. a, b dan � maka dapat diteruskan

menjadi:


b) Mencari lendutan disembarang titik x yang berada disebelah kiri dan kanan beban.

b. 1) Ditinjau pada potongan x disebelah kiri beban P:


Dengan cara yang sama dapat dicari lendutan balok di sebelah kanan beban titik P,

yaitu :

c) Dengan menggunakan rumus di atas, maka besarnya lendutan di bawah beban

terpusat P adalah:

d) Letak dan besarnya maksδ


Rumus berlaku jika 0 <x < b

� maksδ terjadi pada bagian yang panjang.

Besarnya maksδ :

Contoh 6.7 : Oleh karena maksδ terjadi pada jarak �21≈x , maka sering karena

pertimbangan praktis maksδ dihitung pada ��2

121 δδ ≈→≈ mazx . Pada tabel di bawah

diperlihatkan a (letak beban a dari tumpuan sebelah kiri) dan x (letak terjadinya

lendutan maksimal).

A ( )22

31

ax −= �

0,5 �

0,4 �

0,3 �

0,2 �

0,1 �

0,50 �

0,53 �

0,55 �

0,56 �

0,575 �


Contoh 6.8 : Berapakah besarnya max2

1 δδ ≈� jika dinyatakan dalam µ , seperti

gambar di bawah:

6.3. Asas Superposisi

Dalam praktek, sering dijumpai pembebanan yang bennacam-macam. Karena dibatasi

bahwa balok masih dalam kondisi elastik, maka berlaku asas superposisi. Sebagai

contoh balok yang dibebani dengan beban merata q dan beban terpusat P seperti

pada Gambar 6.12, maka untuk menghitung defleksi yang terjadi pada suatu titik dapat

dipisahkan menjadi 3 kasus pembebanan.

Gambar 6.12. Metode superposisi

Secara umum dapat digunakan asas superposisi untuk menghitung defleksi balok di

tengah bentang akibat beberapa beban, masing-masing berjarak u dan tengah

bentang (lihat Contoh 6.8):


Gambar 6.13. Balok dengan

beberapa beban terpusat

Sedangkan rumus umum untuk mencari lendutan maksimumnya, jika balok dibebani

terbagi merata adalah:

Gambar 6.14. Balok dengan beban terbagi

Merata

21

max δδ ≈ =

6.4. Balok Non Prismatis

Sering terjadi, balok dengan profil tertentu cukup kuat, namun lendutan yang terjadi

melebihi lendutan maksimum yang disyaratkan. Untuk memperkecil lendutan dapat

digunakan ukuran balok yang lebih besar, namun dapat berakibat harga menjadi Iebih

mahal atau ukuran tersebut sulit didapat dipasaran. Untuk mengatasi hal ini dapat

digunakan tambahan pada bagian tertentu saja (tidak pada seluruh bentang balok,

misalnya hanya bagian tengah saja agar diperoleh penampang yang Iebih besar).

Selain pertimbangan lendutan, pemilihan penampang dalam satu balok disesuaikan

dengan momen lentur yang harus ditahan, misalnya digunakan balok tirus. Berikut

akan digunakan metode luas momen untuk menghitung lendutan balok non prismatis.


Sebagai contoh balok dengan momen inersia bagian tengah 2 kali dibandingkan

dengan bagian tepi seperti diperlihatkan pada Gambar 6.15.

Gambar 6.15. Balok dengan penampang non prismatis

Dari Gambar 6.15.(c) didapatkan sudut kelengkungan dititik a:

Lendutan balok pada titik C:

fc= momen statis dan terhadap titik C


6.8. Rangkuman

Ada beberapa kesimpulan penting yang dapat diambil dan bahasan mengenai defleksi

elastik balok, yaitu:

1. Dalam suatu perencanaan balok, lendutan merupakan suatu batasan yang perlu

diperhatikan. Sedangkan untuk mencari lendutan dapat digunakan beberapa

metode antara lain: metode integrasi ganda, luas momen dan superposisi.

2. Untuk metode integrasi ganda, prsamaan kurva balok yang melendut didapat

dengan cara mengintegralkan dua kali persamaan lentur murni, yaitu:

� � ===

ElM

y

memperhatikan kondisi-kondisi batas balok yang ditinjau.

3. Metode luas momen lebih cocok untuk menentukan lendutan pada suatu titik

dengan beban sembarang, momen inersia penampang balok konstan atau

bervariasi dengan cara menghitung besarnya momen statis luasan bidang momen

yang dibatasi oleh titik-titik yang ditinjau terhadap titik yang dicari lendutannya.

4. Jika variasi dan jumlah beban cukup banyak, dapat digunakan prinsip superposisi,

yaitu dengan menjumlahkan besaran lendutan pada titik yang ditinjau akibat

beban-beban tersebut yang telah dihitung secara terpisah.

6.9. Soal-soal

1. Balok dengan ketentuan seperti pada gambar di bawah, hitungan lendutan yang

terjadi pada titik C.


2. Sebuah balok sederhana menerima beban terpusat seperti terlihat pada gambar di

bawah. Penampang yang digunakan pada bagian tengah bentang dan perletakan

seperti terlihat pada gambar tersebut. Jika tegangan lentur yang diizinkan adalah

120 MPa, berapakah beban P yang maksimum yang diijinkan. Berapakah lendutan

yang terjadi pada titik C.

3. Balok kantilever yang dibebani merata, q = 15 kN/m seperti diperlihatkan pada

gambar di bawah

Ditanyakan: Lendutan maksimum balok tersebut (Ebeton 2,5. 104 MPa).

Defleksi Elastik Balok

Documents

Transcript of Defleksi Elastik Balok