Daftar Pustaka... · Web viewUTS/Mid Tes 20% UAS/Final Tes 30% Presentasi Materi berupa teori,...

MODUL PERKULIAHAN

Matematika BisnisPENDAHULUAN

Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh

EKONOMI BISNIS MANAJEMEN DAN AKUNTANSI 1 MK84006 DESMIZAR,SE,MM

Abstract KompetensiMata kuliah ini merupakan alat untuk menyederhanakan penyajian dan pemahaman masalah dengan menggunakan bahasa matematik, suatu masalah dapat menjadi lebih sederhana untuk disajikan, dipahami, dianalisa dan dipecahkan.

Mahasiswa diharapkan dapat

memahami konsep Himpunan dan

Bilangan dalam melakukan analisis

Bisnis dan Ekonomi.

MATEMATIKA EKONOMI BISNISPERTEMUAN 1

DESKRIPSI MATA KULIAH

Mata kuliah ini merupakan alat untuk menyederhanakan penyajian dan pemahaman

masalah dengan menggunakan bahasa matematik, suatu masalah dapat menjadi lebih

sederhana untuk disajikan, dipahami, dianalisa dan dipecahkan.

KOMPETENSI

Mahasiswa mampu menerapkan konsep-konsep matematika dalam bidang ekonomi.

METODE PEMBELAJARAN

1. Masing-masing mahasiswa diwajibkan membawa buku yang sama dengan buku

yang dipakai oleh dosen supaya transfer ilmu bisa berjalan lebih baik.

2. Mahasiswa diharapkan siap untuk berpartisipasi aktif dalam kuliah dan diharapkan

juga untuk secara mandiri aktif menemukan (discover) pengetahuan.

3. Di luar kelas, mahasiswa diharapkan aktif berdiskusi dengan teman-temannya.

4. Mahasiswa diwajibkan mempresentasikan hasil diskusi mengenai materi sesuai

dengan pembagian kelompok.

5. Dosen akan memberikan kuis mendadak di awal atau akhir kuliah.

6. Mahasiswa diwajibkan membuat seluruh tugas yang diberikan.

MATERI PERKULIAHAN

PERTEMUAN MATERI KULIAH

1 Kontrak Perkuliahan/Silabus

Kegunaan Matematika secara umum

Sistem Himpunan dan sistem Bilangan

2 Kegunaan Deret Hitung dan Ukur dalam Ekonomi dan Bisnis

3 Penerapan Deret dalam Kehidupan (Model Bunga Mejemuk dan

Pertumbuhan penduduk

‘13 2 Matematika Bisnis

Pusat Bahan Ajar dan eLearningDESMIZAR,SE,MM http://www.mercubuana.ac.id

4 Fungsi Linier dalam Ekonomi dan Bisnis

5 Penerapan Fungsi Linier dalam Ekonomi dan Bisnis

(keseimbangan pasar,pajak dan subsidi)

6 Penerapan Fungsi Linier dalam Ekonomi dan Bisnis (Analisis

break even point, fungsi konsumsi)

7 Penerapan Fungsi Non Linier dalam Ekonomi dan Bisnis

8 M I D T E S T

9 Fungsi Diferensial Sederhana dan Majemuk

10 Penerapan Fungsi Diferensial dalam Ekonomi dan Bisnis

(Analisis profit maksimum, elasistas dan optimasi bersyarat)

11 Fungsi Integral Tak Tentu dan Tentu

12 Penerapan integral (surplus konsumen dan produsen)

13 Fungsi Kaidah Matriks dan Determinan invers matriks

14 Penyelesaian persamaan linier dengan matriks

15 Fungsi Persamaan Optimalisasi (linier programming)

16 U A S

PENILAIAN

1. UTS/Mid Tes 20%

2. UAS/Final Tes 30%

3. Presentasi Materi berupa teori, contoh soal, dan jawaban 40%

4. Kehadiran 10%

PENUGASAN DAN OUTPUT

Tugas Presentasi Kelompok

Kelompok yang bertugas presentasi membuat :

1. Rangkuman materi untuk setiap topic bahasan yang berisi:

a. Teori



b. Contoh Soal dan Jawaban

2. Bahan presentasi dalam bentuk power point

3. Dikumpulkan dalam bentuk hardcopy (cetak) dan softcopy (melalui email:

[email protected]) paling lambat 1 hari sebelum presentasi

TATA TERTIB PERKULIAHAN

1. Perkuliahan dimulai tepat waktu sesuai dengan jadwal atau kesepakatan kelas.

a. Toleransi keterlambatan 15 menit.

b. Apabila mahasiswa terlambat tetap diperbolehkan masuk untuk mengikuti

perkuliahan namun dianggap tidak hadir tanpa alasan (bolos) dalam presensi.

c. Apabila dosen terlambat maka mahasiswa yang datang sebelumnya

mendapatkan point bonus 5.

2. Jumlah kehadiran minimal 75% dari tatap muka (tatap muka minimal 12 kali dan

maksimal 14 kali).

a. Apabila mahasiswa tidak dapat memenuhi maka tidak akan mendapatkan nilai (walaupun mengikuti seluruh perkuliahan).

Bolos (tidak masuk tanpa ijin) maksimal 3 kali

Tidak masuk karena sakit atau ijin menggunakan surat

b. Apabila dosen tidak dapat hadir maka perkuliahan tetap ada dengan diberikan

tugas yang dikerjakan oleh mahasiswa. Bagi mahasiswa yang masuk

(menandatangani daftar hadir) serta mengumpulkan tugas akan diberi point

bonus 10. Ketentuan ini berlaku apabila dosen sudah tidak hadir lebih dari 25%

tatap muka minimal (tatap muka minimal 12 kali dan maksimal 14 kali).

c. Menggunakan kemeja atau kaos berkerah, bercelana panjang atau rok,

bersepatu, dan tidak mengenakan topi selama perkuliahan berlangsung.

d. Dosen wajib menyerahkan nilai akhir sesuai dengan tanggal pengumuman nilai

di kalender akademik. Apabila ada pertanyaan mengenai nilai, dilayani sampai

dengan 1 (satu) minggu setelah tanggal tersebut.

e. Pengajuan ujian susulan, baik UTS maupun UAS, hanya dilayani apabila

mahasiswa mengajukan surat permohonan yang disetujui oleh Ketua Jurusan S-

1 Manajemen FE UMB. Alasan tidak dapat mengikuti ujian yang diterima adalah:

1. sakit (melampiri surat keterangan dokter atau bukti mondok di rumah sakit)

2. keluarga sakit keras/meninggal dunia (surat keterangan dari pengurus RT)



Pendahuluan

Dalam kehidupan sehari-hari, tentunya kita tidak akan pernah terlepas dari kegiatan

ekonomi. Beberapa istilah-istilah dalam perekonomian keuangan perlu dipahami diantaranya

bunga tunggal, diskonto tunggal, bunga majemuk, system kredit-cicilan, dan anuitas.

Sebelum membicarakan tentang bahasan bunga tunggal, bunga majemuk dan seterusnya

akan diberikan defenisi matematika dan pembahasan tentang prinsip-prinsip matematika

yang digunakan dalam ekonomi dan bisnis.

DEFENISI MATEMATIKA

ASAL KATA

Asal kata : MATHEIN artinya mempelajari atau belajar. Dengan mempelajari matematika,

seseorang akan terbiasa mengatur jalan pemikirannya dgn sistematis. Berpikir matematis: Seseorang yg hendak menem-puh jarak 2 mil akan MEMILIH naik mobil

dari pada jalan kaki, kecuali jika waktunya banyak terluang atau sedang berolah raga. Untuk

dapat mengenderai mobil, harus belajar menyupir. Untuk dapat supir mobil yang baik, dia

perlu pengetahuan matematika. Matematika, merupakan sarana = pendekatan untuk suatu

analisa. Dengan mempelajari matematika, membawa seseorang kepada kesimpulan dalam

waktu yang singkat.

DEFENISI EKONOMI

EKONOMI ATAU ECONOMIC BERASAL DARI BAHASA YUNANI YAITU KATA “OIKOS

ATAU OIKU” DAN “NOMOS”

OIKOS = HOUSE, NOMOS=LAW ATAU CUSTOM.

EKONOMI BERARTI ILMU SOSIAL YANG MEMPELAJARI TENTANG PRODUKSI,

DISTRIBUSI DAN KOMSUMSI BARANG DAN PELAYANANNYA.



PENGGOLONGAN DAN JENIS ANALISA PADA ILMU EKONOMI

JENIS ANALISA PADA ILMU EKONOMI

1. ILMU DESKRITIF.

- GAMBARAN TENTANG SUATU KONDISI ATAU KEADAAN DENGAN

SEBENARNYA.

CONTOH : TURUN NILAI KURS RUPIAH TERHADAP US DOLLAR.

2. TEORI ILMU EKONOMI.(TEORI EKONOMI).

- DIDASARKAN PADA KONDISI NYATA YANG TERJADI PADA MASYARAKAT

TERUTAMA SIFAT-SIFAT HUBUNGAN EKONOMI.

CONTOH : PERMINTAAN BARANG AKAN NAIK, HARGA AKAN TURUN,

SEBALIKNYA PERMINTAAN AKAN TURUN, HARGA AKAN NAIK.

3. TEORI EKONOMI APLIKASI.

- MENGANALISA DAN MENELAAH TENTANG HAL-HAL YANG PERLU DILAKUKAN

MENGENAI SUATU KEJADIAN DALAM PEREKONOMIAN.

Ekonomi dan Matematika Ekonomi Analisis ekonomi tidak berbeda jika menggunakan pendekatan matematis dibanding dengan

tanpa pendekatan matematis. Bedanya/keuntungannya:

a. Dengan pendekatan matematis, persoalan atau pokok bahasan menjadi sederhana.

b. Dengan pendekatan matematis, berarti mengaktifkan logika dengan asumsi-

asumsinya.

c. Dapat memakai sebanyak n variabel dalam menggambarkan sesuatu (hubungan

antar variabel)

Mis Qd = f(Pr, Inc, Pi, … ), dimana:

Pr = harga komoditi yang bersangkutan

Inc = pendapatan,

Pi = harga komoditi substitusi



Kelemahannya pendekatan matematis:

a. Bahasa matematis tidak selalu mudah dimengerti oleh ahli ekonomi sehingga sering

menimbulkan kesukaran.

Contoh Y = f(X), dalam ilmu ekonomi bagaimana mengartikan persamaan matematis

tersebut, misal dalam: permintaan, produksi, pendapatan nasional, dan lain-lain

sehingga ahli ekonomi sulit memetik keuntungan dari matematika.

b. Seorang ahli ekonomi yang memiliki pengetahuan dasar matematika, ada

kecenderungan:

(1) membatasi diri dengan hanya memecahkan persoalan secara matematis

(2) Membuat beberapa asumsi yang kurang tepat demi memudahkan pendekatan

matematis atau statistis. Artinya, lebih banyak berbicara matematika dan

statistika dari pada prinsip/ teori ekonomi.

Kesimpulan dari bahasa adalah:

1. Matematika merupakan pendekatan bagi ilmu ekonomi.

2. Pendekatan matematis merupakan “ mode of transportation” yaitu membawa

pemikiran kepada kesimpulan dengan singkat (model)

PRINSIP-PRINSIP MATEMATIKA YANG DIGUNAKAN DALAM EKONOMI DAN BISNIS

Dalam ilmu matematika, dikenalkan konsep barisan dan deret aritmetika dan geometri.

Konsep dari barisan dan deret tersebut dalam bidang ekonomi antara lain digunakan dalam

membahas tentang: model perkembangan usaha, model pertumbuhan penduduk, bunga

majemuk, nilai masa datang dari anuitas, dan cadangan, nilai sekarang dari anuitas, dan

penyisihan pinjaman

Jika perkembangan variable variable tertentu dalam kegiatan usaha (misalnya: produksi,

biaya,pendapatan,penggunaan tenaga kerja,penanaman modal) berpola seperti barisan

aritmetika, maka prinsip-prinsip barisan aritmetika dapat digunakan untuk menganalisa

perkembangan variabel tersebut.



Penerapan deret ukur yang paling konvensional dibidang ekonomi adalah dalam hal

penghitungan pertumbuhan penduduk,karena penduduk dunia tumbuh mengikuti pola deret

ukur.

BEBERAPA KEGUNAAN MATEMATIKA EKONOMI BISNIS DALAM PERHITUNGAN

Kegunaan matematika ekonomi bisnis diterapkan untuk menghitung :

ANUITAS (RENTE)

Adalah barisan modal yang sama besarnya dan dibayarkan (atau diterima) dalam periode

waktu yang sama pula,besarnya dinamakan angsuran. Contohnya:santunan yang diterima

rutin dari sebuah asuransi,bunga yang diterima dari obligasi.

CICILAN (ANGSURAN)

Seseorang dapat meminjam sejumlah uang atau membeli suatu barang dengan

membayarnya kembali dalam jangka waktu tertentu dan dengan bunga tertentu atas dasar

kesepakatan. Pembayaran dengan cara ini disebut kredit. Besar uang yang dibayarkan

setiap periode pembayaran disebut angsuran. Cara pembayaran dan besar bunga maupun

suku bunganya disepakati antara pemberi pinjaman dan peminjam. Berdasarkan cara

perhitungan bunganya, terdapat beberapa cara pembayaran dengan cara kredit, yaitu:

SISTEM BUNGA FLAT (FLAT RATE): BESAR BUNGA MERATA DAN ANGSURAN

TETAP

SISTEM BUNGA EFEKTIF ( EFFECTIVE RATE/ SLIDING RATE ): ANGSURAN

POKOK TETAP, BUNGA MENURUN

SISTEM ANGSURAN MERATA DENGAN BUNGA MENURUN

Bunga Sederhana dan Potongan SederhanaBunga merupakan suatu balas jasa yang dibayarkan bilamana kita menggunakan uang.Jika

kita meminjam uang dari bank maka kita membayar bunga kepada pihak bank tersebut Jika

kita menginvestasikan uang berupa tabungan atau deposito di bank maka bank membayar

bunga kepada kita. Jumlah uang yang dipinjamkan atau diinvestasikan di bank disebut

modal awal atau pinjaman pokok (principal). Bunga dilihat dari satu pihak merupakan

pendapatan tetapi di lain pihak merupakan biaya. Di pihak yang meminjamkan merupakan

pendapatan, sedang di pihak yang meminjam merupakan biaya.



DERET ARITMETIKABarisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan yang selisih setiap dua suku berturutan

selalu merupakan bilangan tetap (konstan). Beberapa Variabel dalam Ekonomi berubah

mengikuti pola-pola DERET dan BARISAN. Solusi persoalan yang muncul bisa

menggunakan analasis deret dan barisan.

DERET GEOMETRIBarisan Geometri adalah susunan bilangan yang dibentuk menurut urutan tertentu, di mana

susunan bilangan di antara dua suku yang berurutan mempunyai rasio yang tetap

(dilambangkan dengan huruf r).

Elastisitas Permintaan dan PenawaranKonsep keofisien elastisitas secara umum dapat didefinisikan sebagai perubahan

persentase suatu variabel terikat sebagai akibat adanya perubahan persentase suatu

variabel bebas.

Elastisitas permintaan perubahan persentase jumlah yang diminta oleh konsumen sebagai

akibat adanya perubahan persentase pada harga barang itu sendiri dan variabel – variabel

bebas lain yang mempengaruhinya secara parsial.

Elastisitas penawaran : perubahan persentase jumlah yang ditawarkan oleh produsen

sebagai akibat adanya perubahan persentase pada harga barang itu sendiri dan variabel –

variabel bebas lain yang mempengaruhinya secara parsial.

Elastistias terdiri dari tiga macam :

1. Elastisitas harga dari permintaan

2. Elastisitas silang dari permintaan

3. Elastisitas pendapatan dari permintaan

Elastisitas penawaran hanya ada satu yaitu elastisitas harga dari penawaran

PERSAMAAN LINIERPersamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan sama

dengan dan hanya memiliki satu variabel berpangkat satu. Bentuk umum persamaan linear

satu variabel adalah

ax + b = c, dengan a,b,c ÎR dan a ¹ 0

Persamaan linear dua variabel adalah persamaan yang mengandung dua variabel dengan

pangkat masing-masing variabel sama dengan satu. Bentuk umum persamaan linear dua

variabel adalah

ax + by = c, dengan a,b,c ÎR dan a ¹ 0, b ¹ 0



HIMPUNAN DAN BILANGAN

Tujuan Kegiatan Belajar Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, diharapkan Anda dapat:

1) Megelompokkan bilangan-bilangan ke dalam berbagai himpunan bilangan

2) Melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan pada bilangan real

3) Melakukan operasi perkalian dan pembagian pada bilangan rel

4) Melakukan konversi bilangan pecahan ke persen dan sebaliknya

5) Menghitung perbandingan skala

DEFENISI

Suatu himpunan adalah suatu kumpulan, atau koleksi, dari objek. Masing-masing objek

disebut elemen atau anggota ,dari himpunan.Dapat dicatat bahwa tidak ada spesifikasi

tertentu tentang keadaan dari elemen, ataupun tentang banyaknya elemen himpunan.

Kumpulan benda atau objek yang didefinisikan (diterangkan) dengan jelas. Himpunan

dilambangkan dengan huruf kapital misalnya A, B, C, D, …,Z dan objek-objek dari himpunan

itu ditulis diantara dua kurung kurawal dan dipisahkan dengan tanda koma. Yang dimaksud

diterangkan dengan jelas adalah benda atau objeknya jelas mana yang merupakan anggota

dan mana yang bukan anggota dari himpunan itu. Tanda kurung kurawal { } digunakan

mengapit elemen dari suatu himpunan. Misalnya suatu himpunan S berisi lima objek a, b, c,

x, clan y, dapat ditulis S = {a,b,c,x,y}.Karena urutan penulisan elemen dalam himpunan tidak

berpengaruh, kita dapat menuliskan himpunan di atas, sebagai S = {x,b,a,y,c }.

Contoh lain:

A adalah himpunan bilangan asli kurang dari 10

A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 }

Soal : Nyatakan himpunan berikut dalam bentuk notasi pembentuk himpunan

1. B adalah bilangan Asli yang lebih dari 3 dan kurang atau sama dengan 15

2. C adalah bilangan bulat lebih dari atau sama dengan -5 tetapi kurang dari10

3. D adalah bilangan ganjil kurang dari 20



Jawaban :

1. B = { x | 3 < x ≤ 15 , x Î A}

2. C = { x | -5 ≤ x < 10 , x Î B }

3. D = { x | x < 20 , x Î A }

Keanggotaan Suatu Himpunan

Contoh:

A = { 1, 3, 5, 7, 9 } B = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 }

1 Î A 1 Ï B 2 Î B 2 Ï A

Banyaknya anggota himpunan A dilambangkan dengan n(A) = 5

Banyaknya anggota himpunan B dilambangkan dengan n(B) = 6

DImana:

Lambang Î dibaca “elemen” atau anggota

Lambang Ï dibaca “bukan elemen” atau bukan anggota

Lambang n(A), n(B) disebut bilangan kardinal

HIMPUNAN KOSONG

Himpunan Kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota dan dilambangkan dengan

{ } atau Æ contoh: D = { x | x orang yang tingginya lebih dari 5 m}

F = { x | x bilangan prima antara 7 dan 11 }

Pada contoh di atas adakah saat ini orang yang tingginya lebih dari 5 meter dan adakah

bilangan prima diantara 7 dan 11 ?

Himpunan Lepas

Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika kedua himpunan itu tidak

mempunyai satupun anggota yang sama



Contoh: L = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 } G = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 }

Coba kita perhatikan, adakah anggota himpunan L dan G yang sama ?

Karena tidak ada anggota himpunan L dan G yang sama maka himpunan L dan G adalah

dua himpunan yang saling lepas, jadi L // G.

Himpunan Tidak Saling Lepas

Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan tidak saling lepas (berpotongan) jika kedua

himpunan itu mempunyai anggota yang sama. Contoh:

P = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } Q = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 }

Himpunan P dan himpunan Q tidak saling lepas karena mempunyai anggota yang sama

(persekutuan) yaitu 2, 4, 6, dan 8, jadi P Ë Q.

Himpunan Semesta

Himpunan Semesta adalah himpunan yang memuat semua objek yang dibicarakan.

A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 B = { -3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 }

C = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 D = { 2,3,5,7,11 } E = { 0, 2, 4, 6 }

Perhatikan setiap anggota himpunan A, B, C, D, dan E

1. Apakah setiap anggota himpunan D ada di dalam himpunan A, B, dan C ?

2. Apakah setiap anggota himpunan E ada di dalam himpunan A, B, dan C ?

Setiap anggota himpunan D yaitu 2,3,5,7,11 ada di dalam Himpunan A, B, C. Oleh karena

itu Himpunan A,B,C adalah Himpunan Semesta dari Himpunan D.

Setiap anggota Himpunan E yaitu 0,2,4,6 ada di dalam himpunan B dan C, tetapi angka 0

tidak ada di dalam himpunan A. Oleh karena itu Himpunan B dan C merupakan Himpunan

semesta dari himpunan E, dan Himpunan A bukan himpunan semesta dari himpunan E.

HIMPUNAN BAGIAN



A adalah himpunan bagian dari himpunan B apabila setiap anggota himpunan A juga

menjadi anggota himpunan B dilambangkan dengan A Ì B.

Contoh:

S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } ; B = { 1, 2, 3, 4 } ; C = { 6, 7, 8, 9 }

a. Apakah himpunan B merupakan himpunan bagian dari himpunan A ?

b. Apakah himpunan C merupakan himpunan bagian dari himpunan A ?

Perhatikan setiap anggota himpunan A, B, C

a. Karena setiap anggota himpunan B juga merupakan anggota himpunan A maka

himpunan B merupakan himpunan bagian dari himpunan A, jadi B Ì A

b. Karena ada anggota himpunan C yaitu 8 dan 9 tidak terdapat di dalam himpunan A

maka himpunan C bukan himpunan bagian dari himpunan A, jadi C Ë A

Rumus Banyaknya Himpunan Bagian

Jika suatu himpunan mempunyai anggota sebanyak n(A) maka banyaknya himpunan bagian

dari A adalah sebanyak 2n(A)

contoh: Tentukan banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari himpunan berikut

1. A = { a, b, c }

2. B = { 1, 2, 3, 4, 5 }

3. C = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

Jawab:

1. n(A) = 3 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari A adalah 23 = 2 x 2 x 2 = 8

2. n(B) = 5 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari B adalah 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

3. n(C) = 7 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari C adalah 27 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128

Irisan Dua Himpunan (Interseksi)



Irisan himpunan A dan B ditulis A Ç B adalah himpunan semua objek yang menjadi anggota

himpunan A sekaligus menjadi anggota himpunan B. Contoh; Bila P = {a, b, c, d, e } dan Q

= {d, e, f, g, h }. Tentukan P Ç Q. Jawab: P Ç Q = { d, e }.

Gabungan Dua Himpunan ( Union)

Gabungan himpunan A dan B ditulis A È B adalah himpunan semua objek yang menjadi

anggota himpunan A atau menjadi anggota himpunan B. Contoh: Bila P = {a, b, c, d, e } dan

Q = {d, e, f, g, h }. Tentukan P È Q. Jawab: P È Q = { a, b, c, d, e, f, g, h }

Selisih Himpunan

Selisih himpunan A dan B ditulis A - B = A/B himpunan yang beranggotakan objek-objek

milik A yang bukan milik B. contoh: jika P = {a, b, c, d, e } dan Q = {d, e, f, g, h }. Tentukan P

- Q. Jawab: P - Q = { a, b, c}

Pelengkap (complement)

Pelengkap (complement) adalah himpunan yang beranggotakan objek-objek yang tidak

dimiliki oleh A, dengan kata lain, A adalah sama dengan selisih antara himpunan universal U

dan himpunan A, ditulis U – A = A Contoh: U = {a, b, c, d, e, f, g,h } dan A = {d, e, f} maka U

– A = {a, b, c, g, h}

Diagram Venn

Langkah-langkah menggambar diagram venn:

1. Daftarlah setiap anggota dari masing-masing himpunan

2. Tentukan mana anggota himpunan yang dimiliki secara bersama-sama

3. Letakkan anggota himpunan yang dimiliki bersama ditengah-tengah

4. Buatlah lingkaran sebanyak himpunan yang ada yang melingkupi anggota bersama tadi

5. Lingkaran yang dibuat tadi ditandai dengan nama-nama himpunan

6. Selanjutnya lengkapilah anggota himpunan yang tertulis didalam lingkaran sesuai

dengan daftar anggota himpunan itu



7. Buatlah segiempat yang memuat lingkaran-lingkaran itu, dimana segiempat ini

menyatakan himpunan semestanya dan lengkapilah anggotanya apabila belum lengkap

Contoh:

Dari 32 siswa terdapat 21 orang gemar melukis, 16 orang gemar menari dan 10 orang

gemar keduanya.

Ada berapa orang siswa yang hanya gemar melukis?

Ada berapa orang siswa yang hanya gemar menari?

Ada berapa orang siswa yang tidak gemar keduanya?

Gambarlah diagram Venn untuk menyatakan himpunan di atas

Jawab: N(S) = 32 Misalnya : A = {siswa gemar melukis} maka N(A) = 21

B = {siswa gemar menari} maka N(B) = 16

A Ç B = {siswa gemar keduanya} Maka n(A Ç B) = 10

S A

B

5

a. Ada 11 siswa yang hanya gemar melukis

b. Ada 6 siswa yang hanya gemar menari

c. Ada 5 siswa yang tidak gemar keduanya

Himpunan-himpunan bilangan secara skematis terlihat seperti pada bagan berikut:

Himpunan bilangan kompleks

Himpunan Bilangan Real Himpunan Bilangan Imajiner



1110

6

11666

Himpunan Bilangan Rasional Himpunan Bilangan Irasional

Himpunan Bilangan Bulat Himpunan Bilangan Pecahan

Himpunan Bilangan cacah Himpunan Bilangan Bulat negatif

HimpunanBilangan Asli

Himpunan Bilangan Prima

Sistem matematika adalah himpunan unsur-unsur dengan operasi yang didefinisikan.

Operasi-operasi yang telah kita kenal antara lain:"+","−","×","÷"," ", dan logaritma.

Sedangkan sebagian himpunan dalam aljabar adalah himpunan-himpunan bilangan.

Operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian

a) Operasi penjumlahan a b c

Contoh:

1. 4 + 6 =10

2. 4 + (−6) = −2

3. −4 + 6 = 2

4. −4 + (−6) = −10



b) Operasi pengurangan a b catau a bc

Contoh:

1. 6 - 4 = 2

2. 6 - (-4) = 6 + 4 =10

3. -6 - 4 = -6 + (-4) = -10

c) Operasi perkalian a xb c

Contoh:

1. 6 x 4 = 24

2. 6 x (−4) = −24

3. (−6) x (−4) = 24

d) Operasi pembagian a = a x 1 = c

b b

Contoh:

1. 8 = 8 x 1 = 24 4

2. 4 = 4 : 1 = 4 x 5 = 201 55

Sifat-sifat operasi bilangan real

Untuk setiap a,b,c ı , berlaku sifat-sifat berikut;∈

Penjumlahan:



1. Sifat tertutup pada penjumlahan;

a + b = r, r ı∈

2. Sifat komutatif pada penjumlahan

a + b = b + a

3. Sifat asosiatif pada penjumlahan

(a + b) + c = a + (b + c)

4. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

a ( b + c ) = ab + ac (distributif kiri)

( b + c ) a = ba + ca (distributif kanan) jika ada operasi perkalian

5. Sifat identitas pada penjumlahan (0 adalah elemen identitas atau elemen netral)

a + 0 = 0 + a = a

6. Sifat invers pada penjumlahan

a + (−a) = (−a) + a = 0

Perkalian:

1. Sifat tertutup pada perkalian

a x b = r, r ı∈

2. Sifat komutatif pada perkalian

a×b = b× a

3. Sifat asosiatif pada perkalian

(a×b)×c = a×(b×c)

4. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

a ( b + c ) = ab + ac (distributif kiri)

( b + c ) a = ba + ca (distributif kanan) jika ada operasi penjumlahan



5. Sifat identitas pada perkalian (1 adalah elemen identitas perkalian)

a×1 =1× a = a

6. Sifat invers pada perkalian tidak berlaku, sebab 0 tidak mempunyai invers.

a x 1/a = 1/a x a = 1

0 x 1/0 = 0 (tidak ada/tidak didefinisikan)

Daftar PustakaDumairy.1999.Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi, Yogyakarta, BPFE UGM

Joseph Kalangi, Matematika Ekonomi dan Bisnis, Penerbit Salemba Empat, 2002



Daftar Pustaka... · Web viewUTS/Mid Tes 20% UAS/Final Tes 30% Presentasi Materi berupa teori,...

Documents

Transcript of Daftar Pustaka... · Web viewUTS/Mid Tes 20% UAS/Final Tes 30% Presentasi Materi berupa teori,...