DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN i PERNYATAAN ii ...

Click here to load reader

  • date post

    30-Dec-2016
  • Category

    Documents

  • view

    219
  • download

    2

Embed Size (px)

Transcript of DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN i PERNYATAAN ii ...

  • DAFTAR ISI

    Halaman

    PERSETUJUAN i

    PERNYATAAN ii

    PENGHARGAAN iii

    ABSTRAK iv

    ABSTRACT v

    DAFTAR ISI vi

    DAFTAR GAMBAR viii

    BAB

    1. PENDAHULUAN 1

    1.1. Latar Belakang Penelitian 11.2. Perumusan Masalah 31.3. Tinjauan pustaka 31.4. Tujuan penelitian 41.5. Manfaat penelitian 41.6. Metode penelitian 5

    2. 2-DIGRAPH PRIMITIF 6

    2.1. Notasi 62.2. Matriks Adjacency 122.3. Primitifitas Dari 2-Digraph Terhubung Kuat 142.4. Matriks tak negatif & Eksponen 2-digraph 192.5. Beberapa fakta tentang 2-digraph dengan loop 25

    3. 2-DIGRAPH DENGAN LOOP 27

    4. KESIMPULAN 34

    4.1. Kesimpulan 34

    vi

    Universitas Sumatera Utara

  • 4.2. Saran 35

    DAFTAR PUSTAKA 36

    vii

    Universitas Sumatera Utara

  • DAFTAR GAMBAR

    Gambar Halaman

    2.1 Representasi grafis dari Digraph 7

    2.2 Digraph dengan path, walk, cycle dan loop 8

    2.3 Representasi grafis dari 2-Digraph 10

    2.4 2-Digraph dengan path, walk, cycle dan loop 11

    2.5 Digraph dengan 4 vertex, 6 arc 12

    2.6 2-Digraph dengan 4 vertex, 3 arc merah, dan 4 arc biru 13

    2.7 (a) digraph terhubung kuat ;(b) digraph tidak terhubung kuat 15

    2.8 digraph terhubung kuat 16

    2.9 (a) 2-digraph terhubung kuat ;(b) 2-digraph tidak terhubung kuat 17

    2.10 2-digraph primitif 19

    2.11 Representasi digraph 3 vertex dan 7 arc 21

    2.12 Representasi 2-digraph dengan 3 vertex, 3 arc biru dan 3 arc merah 23

    4.1 Representasi 2-digraph dengan 2-eksponen 2n 35

    4.2 Representasi 2-digraph dengan 2-eksponen 2n-1 35

    viii

    Universitas Sumatera Utara

  • BAB 1

    PENDAHULUAN

    1.1 Latar Belakang Penelitian

    Dalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar atau melihat sistem jalan

    satu arah, arus listrik, jaringan kerja dll. Biasanya hal-hal tersebut diatas direpresen-

    tasikan secara grafik dengan titik dan garis berarah, hubungan garis dan titik yang

    demikian diamati oleh suatu objek di matematika yang disebut dengan digraph.

    Suatu digraph terdiri dari titik-titik yang dihubungkan oleh garis berarah.

    Secara formal, digraph adalah objek yang terdiri dari dua himpunan yaitu :

    1. Himpunan hingga yang tak kosong V , dimana unsurnya disebut vertex dari

    digraph D

    2. Himpunan E yang merupakan himpunan bagian dari pasangan berurut V XV ,

    unsurnya disebut arc dari digraph D

    vertex dalam digraph direpresentasikan oleh titik atau lingkaran kecil dan arc direp-

    resentasikan oleh garis berarah dari suatu vertex ke vertex lainnya.

    Suatu walk dari vertex u ke vertex v yang panjangnya m adalah suatu barisan

    arc dalam bentuk

    (u = v0, v1), (v1, v2), . . . , (vm1, vm = v)

    Universitas Sumatera Utara

  • 2

    walk diatas dapat direpresentasikan sebagai

    u = v0 v1 v2 . . . vm1 vm = v

    Suatu digraph D dikatakan terhubung kuat bila untuk setiap pasangan vertex u dan

    v di D terdapat walk dari u ke v. Digraph D dikatakan ministrong jika penghilangan

    satu arc dari D mengakibatkan D tidak terhubung kuat. Suatu digraph terhubung

    kuat D dikatakan primitif bila terdapat bilangan bulat k sehingga untuk setiap

    pasangan vertex u dan v di D terdapat walk dari u ke v dengan panjang tepat k.

    Bilangan bulat k terkecil yang demikian disebut disebut sebagai eksponen dari D

    dan dinotasikan oleh exp(D).

    Studi tentang eksponen digraph primitif diprakarsai oleh Wielandt[5] yang

    menyatakan bahwa untuk digraph primitif dengan n vertex, exp(D) (n 1)2 + 1.

    Holladay dan varga [4] memperlihatkan bahwa ila D adalah digraph primitif dengan

    q loop maka exp(D) 2n q 1. Selanjutnya, Liu dan Shao [1] memberikan syarat

    perlu dan bagi digraph terhubung kuat D dengan n vertex dan q loop yang mempunyai

    exp(D) = 2n q 1, sejalan itu dengan itu Dalimunthe dan Suwilo[10] memberikan

    syarat cukup untuk digraph agar mempunyai eksponen tepat exp(D) = 2n q 1.

    Pada tahun 1997, fornasini dan Valcher[3] memperkenalkan konsep 2-digraph yakni

    digraph dimana setiap arcnya diwarnai dengan merah atau biru. Sejalan dengan itu

    Shader dan Suwilo[2] memperkenalkan konsep 2-eksponen dari 2-digraph. Shader

    dan Suwilo mendefinisikan 2-eksponen dari 2-digraph sebagai bilangan bulat terkecil

    h + k sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk dari u ke

    v dengan panjang h + k dan terdiri dari h arc merah dan k arc biru. Shader dan

    Suwilo memperlihatkan bahwa untuk 2-digraph D dengan n vertex, maka 2-eksponen

    terbesar terletak pada interval [(n3 5n2)/, (3n3 + 2n2 2n)/2]. Lebih lanjut Suwilo

    Universitas Sumatera Utara

  • 3

    secara eksplisit memberikan formula bagi 2-eksponen dari 2-digraph yang terdiri dari

    cycle (lihat[8]), dan memperlihatkan bahwa untuk 2-digraph yang asymetric maka

    2 exp2(D) 4 (lihat[9]). Sejalan dengan hasil dari Holladay dan Varga[4] perlu

    ditentukan 2-eksponen dari 2-digraph dengan loop.

    1.2 Perumusan Masalah

    Bula D adalah suatu 2-digraph primitif atas n vertex dan m 2 loop. Dap-

    atkah ditemukan batas atas yang cukup baik bagi 2-digraph dengan m 2 loop.

    1.3 Tinjauan pustaka

    Shader dan Suwilo [2] memperlihatkan bahwa 2-eksponen terbesar dari 2-

    digraph primitif terletak di interval [(n3 5n2)/2, (3n3 + 2n2 2n)/2]. Batas bawah

    pada interval tersebut ditemukan dengan menggunakan 2-digraph yang terdiri dari

    dua cycle dan batas atas ditemukan secara teoritis. Sehingga masih terdapat gap an-

    tara batas empiris dan batas teoritis. Suwilo[8] memberikan formula bagi 2-eksponen

    dari 2-digraph, yang terdiri atas cycle, dan memperlihatkan bahwa untuk 2-digraph

    yang asymetric maka 2 exp2(D) 4.

    Andaikan D adalah 2-digraph primitif yang terdiri dari dua cycle 1 dan 2

    dengan panjang masing-masing `(1) dan `(2). Untuk sebarang pasangan vertex u

    dan v, misalkan puv adalah sebuah path terpendek dari u ke v dan definisikan

    `r = limu,vV

    {b(2)r(puv) r(2)b(puv)}

    `b = limu,vV

    {r(1)b(puv) b(1)r(puv)}

    Suwilo[8] menyatakan bila D adalah 2-digraph primitif yang terdiri dari dua cycle

    Universitas Sumatera Utara

  • 4

    dengan sedikitnya terdapat satu arc untuk setiap warna, maka.

    exp2(D) = `(1)`r + `(2)`

    b

    Lee dan yang [7] secara khusus mendiskusikan 2-eksponen dari satu klas 2-digraph

    ministrong yang terdiri dari cycle 1 2 n 3 n 2 1 dan path

    n 3 n 1 n 1 Andaikan D adalah digraph ministrong dengan banyak

    vertex n 5 yang terdiri dari cycle 1 2 n 3 n 2 1 dan path

    n 3 n 1 n 1. Warnai paling sedikit satu arc untuk setiap warna, maka

    2-eksponen dari 2-digraph terletak pada interval :

    2n2 8n + 7 exp2(D) 2n2 5n + 3

    1.4 Tujuan penelitian

    Menentukan 2-eksponen bagi 2-digraph yang terdiri dari sebuah cycle dengan

    2 loop.

    1.5 Manfaat penelitian

    Penelitian ini bermanfaat untuk memperkaya literatur dibidang 2-eksponen

    dari 2-digraph

    Universitas Sumatera Utara

  • 5

    1.6 Metode penelitian

    Metodologi penelitian ini bersifat literatur atau kepustakaan dengan langkah

    - langkah sebagai berikut :

    1. Menggunakan Software sederhana untuk mendukung pengerjaan pengamatan.

    2. Mencari kelas-kelas dari 2-digraph kemudian membandingkannya

    3. Mencari bentuk umum dari masing-masing 2-eksponen dari 2-digraph

    4. Menentukan batas atas dan batas bawah dari 2-digraph

    Universitas Sumatera Utara

  • BAB 2

    2-DIGRAPH PRIMITIF

    Pada bab ini diberikan beberapa konsep dasar seperti teorema dan beberapa definisi

    sebagai landasan dalam penelitian ini. Konsep dasar ini berkaitan dengan masalah

    yang dibahas dalam tulisan ini seperti digraph, 2-digraph, terhubung kuat, 2-digraph

    primitif, dan 2-eksponen dari 2-digraph.

    2.1 Notasi

    Pada bagian ini akan dibahas beberapa notasi digraph yang akan dipergunakan

    dalam pembahasan 2-digraph.

    2.1.1 Digraph.

    Secara sederhana graph adalah kumpulan titik atau lingkaran kecil yang di-

    hubungkan oleh garis tak berarah, jika garis penghubung diberi arah, maka graph

    yang demikian disebut dengan digraph (directed graph).

    Andaikan V adalah suatu himpunan objek berhingga yang tak kosong, sebuah

    digraph adalah suatu objek yang dibentuk oleh himpunan V yang unsurnya disebut

    vertex dari digraph D, dan himpunan A V V yang unsurnya disebut dengan arc

    dari D. Jika diberikan a, b V dengan (a, b) A, maka terdapat arc dari vertex a

    ke vertex b di digraph D. Vertex a disebut sebagai vertex awal dan vertex b disebut

    sebagai vertex akhir.

    Universitas Sumatera Utara

  • 7

    Contoh 2.1.1 Himpunan vertex V = {1, 2, 3, 4, 5} bersama dengan himpunan arc

    merah A = {(1, 2), (1, 5), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 2), (5, 3)} adalah suatu digraph de-

    ngan 5 vertex dan 7 arc.

    Suatu digraph dapat direpresentasikan secara grafis dengan cara setiap vertex

    direpresentasikan sebagai sebuah titik dan setiap arc (u, v) direpresentasikan sebagai

    garis berarah dari titik u ke v.

    Representasi dari digraph yang diberikan pada contoh 2.1.1 diatas diberikan

    pada gambar berikut.

    Contoh 2.1.2 Representasi Grafis dari digraph

    Gambar 2.1 : Representasi grafis dari Digraph

    Diberikan D adalah digraph, u dan v adalah vertex di digraph D. Sebuah

    walk dengan panjang m dari u ke v didefinisikan sebagai barisan arc dan dituliskan

    sebagai berikut.

    (v0, v1), (v1, v2), . . . , (vm1,m)

    untuk m > 0, v0 = u dan vm = v. Sebuah walk juga biasa dinotasikan uw v dan

    panjangnya dinotasikan dengan `(w). Sebuah path didefinisikan sebagai sebuah walk

    yang vertexnya tidak boleh berulang kecuali mungkin vertex awal dan akhir. Sebuah

    Universitas Sumatera Utara

  • 8

    cycle didefinisikan sebagai sebuah path tertutup, dan sebuah loop didefinisikan seba-

    gai sebuah cycle dengan panjang satu. Berikut ini akan diberikan representasi dari

    digraph untuk menjelaskan beberapa definisi diatas.

    Contoh 2.1.3 Diberikan digraph di bawah ini

    Gambar 2.2 : Digraph dengan path, walk, cycle dan loop

    Digraph pada gambar 2.2 diatas memiliki walk, path, cycle dan loop sebagai

    berikut :

    1 3 2 adalah sebuah path terbuka.

    1 3 4 1 adalah sebuah path tertutup atau disebut cycle

    1 3 2 5 3 4 adalah sebuah walk tetapi bukan path karena ada

    perulangan vertex.

    3 4 1 3 2 5 3 adalah sebuah walk tertutup dari 3 ke 3 tetapi

    bukan cycle.

    2 2 adalah sebuah loop

    2.1.2 2-digraph.

    Sekarang akan dibahas notasi - notasi digraph yang dijelaskan diatas dan ditu-

    liskan kedalam notasi 2-digraph. Andaikan V adalah suatu himpunan objek berhingga

    Universitas Sumatera Utara

  • 9

    tak kosong, sebuah 2 digraph D adalah suatu objek yang dibentuk oleh himpunan

    V yang unsurnya disebut vertex dari D, bersama dengan himpunan A V V yang

    disebut arc merah dan himpunan B V V yang disebut arc biru dari D. Jika

    diberikan a, b, c, d V dengan a, b A dan c, d B maka terdapat arc merah dari

    vertex a ke vertex b dan terdapat arc biru dari vertex c ke vertex d. Vertex a dan

    c disebut vertex awal dan vertex b dan d disebut vertex akhir. Berikut ini diberikan

    sebuah contoh 2-digraph

    Contoh 2.1.4 Himpunan vertex V = {1, 2, 3, 4, 5} bersama dengan himpunan arc

    merah A = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (5, 1)} dan arc biru B = {(5, 2), (5, 3), (4, 5)} adalah

    suatu 2-digraph dengan 5 vertex, 4 arc merah dan 3 arc biru.

    Suatu 2-digraph dapat direpresentasikan secara grafis dengan cara sebagai

    berikut:

    Setiap vertex direpresentasikan sebagai suatu titik.

    Setiap arc merah (a, b) direpresentasikan sebagai garis berarah tak putus dari

    titik a ke b.

    Setiap arc biru (c, d) direpresentasikan sebagai garis berarah putus-putus dari

    titik c ke d

    Berikut ini akan diberikan contoh representasi 2-digraph pada Contoh 2.1.3

    diperlihatkan pada gambar di bawah ini.

    Universitas Sumatera Utara

  • 10

    Contoh 2.1.5 Representasi Grafis dari 2-digraph

    Gambar 2.3 : Representasi grafis dari 2-Digraph

    Suatu (h, k) walk dalam 2 digraph adalah sebuah walk yang memuat

    sebanyak h arc merah dan k arc biru.

    Dari definisi yang diberikan diatas, suatu (h, k) walk dari u ke v disebut

    sebagai uv walk, untuk sebuah walk w, r(w) dan b(w) adalah notasi jumlah dari

    arc merah dan arc biru. Vektor

    [r(w)b(w)

    ]disebut komposisi dari w

    Suatu path adalah suatu walk dengan semua vertex berbeda kecuali mungkin

    vertex awal dan vertex akhir. Suatu cycle adalah suatu path tertutup dan loop adalah

    suatu cycle dengan komposisi

    [01

    ]atau

    [10

    ]. Berikut ini akan diberikan representasi

    grafis dari sebuah 2-digraph seperti yang diperlihatkan pada contoh 2.1.6 berikut ini.

    Universitas Sumatera Utara

  • 11

    Contoh 2.1.6 Diberikan 2-digraph di bawah ini

    Gambar 2.4 : 2-Digraph dengan path, walk, cycle dan loop

    2-Digraph pada gambar 4 di atas memiliki path, walk, cycle dan loop sebagai

    berikut :

    1 b 3 r 2 adalah sebuah path terbuka dari 1 ke 2 dengan komposisi[11

    ].

    1 b 3 b 4 r 1 adalah sebuah path tertutup atau cycle dari 1 ke 1 dengan

    komposisi

    [12

    ].

    1 b 3 r 2 r 5 b 3 b 4 adalah walk dari 1 ke 4 dengan komposisi[23

    ], tetapi

    bukan suatu path karena path adalah walk tanpa melalui lebih dari satu vertex

    kecuali mungkin vertex awal dan akhir.

    3 b 4 r 1 b 3 r 2 r 5 b 3 adalah sebuah walk tertutup dari 3 ke 3 dengan

    komposisi

    [33

    ], tetapi bukan cycle.

    2 r 2 adalah sebuah loop dari 4 ke 4 dengan komposisi[10

    ].

    1 b 1 adalah sebuah loop dari 4 ke 4 dengan komposisi[01

    ].

    Universitas Sumatera Utara

  • 12

    Sebuah digraph atau 2-digraph dapat direpresentasikan kedalam sebuah ma-

    triks, berikut ini diberikan hubungan antara digraph dan 2-digraph dengan matriks.

    2.2 Matriks Adjacency

    Pada subbab ini akan dibahas hubungan antara digraph, 2-digraph dengan

    matriks. Sebuah digraph D dan 2-digraph D dengan n vertex dapat dinyatakan oleh

    matriks, yang entri dari matriks tersebut adalah bilangan 1 atau 0, matriks yang

    demikian disebut sebagai matriks adjacency.

    2.2.1 Matriks Adjacency dari digraph.

    Sebuah representasi grafis dari digraph D dapat dituliskan adjacency sebagai

    berikut.

    aij =

    1, jika terdapat arc dari i ke j

    0, jika sebaliknya

    Berikut ini diberikan contoh matriks adjacency dari sebuah representasi di-

    graph.

    Contoh 2.2.1 Representasi dari sebuah digraph

    Gambar 2.5 : Digraph dengan 4 vertex, 6 arc

    Universitas Sumatera Utara

  • 13

    Dari representasi digraph diatas didapat matriks adjacency sebagai berikut.

    1 1 0 00 0 1 10 0 0 11 0 0 0

    Berikut ini akan diberikan sebuah matriks adjacency dari 2-digraph.

    2.2.2 Matriks Adjacency 2-digraph.

    Pada 2-digraph matriks adjacency dari sebuah representasi grafis dapat dinya-

    takan sebagai berikut. Matriks adjacency merah, R = [rij] pada D adalah matriks

    n n dengan

    rij =

    1, jika terdapat arc merah

    0, jika sebaliknya

    matriks adjacency biru B = [bij] pada D adalah matriks n n, dengan

    bij =

    1, jika terdapat arc biru

    0, jika sebaliknya

    Berikut ini akan diberikan sebuah 2-digraph dan direpresentasikan kedalam

    matriks adjacency nya

    Contoh 2.2.2 Representasi dari sebuah 2-digraph

    Gambar 2.6 : 2-Digraph dengan 4 vertex, 3 arc merah, dan 4 arc biru

    Universitas Sumatera Utara

  • 14

    Dari representasi 2-digraph diatas, dapat dibuat sebuah matriks adjacency

    sebagai berikut.

    R =

    1 0 0 00 0 1 00 0 0 01 0 0 0

    . Adalah matriks adjacency merah

    B =

    0 1 0 00 1 0 10 0 0 10 0 0 0

    . Adalah matriks adjacency biru

    Berikut ini akan dibahas mengenai digraph dan 2-digraph terhubung kuat dan

    keterhubungan dengan digraph dan 2-digraph primitif.

    2.3 Primitifitas Dari 2-Digraph Terhubung Kuat

    Pada bagian ini akan dibahas tentang digraph dan 2-digraph terhubung kuat

    dan keterhubungan dengan primitifitas.

    2.3.1 Digraph primitif.

    Suatu digraph D dikatakan terhubung kuat strongly connected jika untuk setiap

    walk berarah dari vertex u dan v dan walk berarah dari vertex v ke u. Berikut ini

    diberikan contoh digraph terhubung kuat dan digraph yang tidak terhubung kuat.

    Universitas Sumatera Utara

  • 15

    Contoh 2.3.1 Representasi dari 2 buah digraph.

    Gambar 2.7 : (a) digraph terhubung kuat ;(b) digraph tidak terhubung kuat

    Pada gambar2.7 diatas menunjukkan bahwa (a) adalah terhubung kuat karena

    terdapat walk dari satu vertex ke vertex lainnya, sedangkan (b) tidak terhubung kuat

    karena tidak terdapat walk dari 1 ke 2.

    Suatu digraph terhubung kuat dikatakan primitif jika terdapat bilangan bulat

    positif k sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat uv-walk yang

    panjangnya k.

    Lemma 2.3.1 Andaikan D adalah digraph terhubung kuat maka setiap vertex v di

    D terletak pada cycle.

    bukti : Ambil sebarang vertex v di D dan sebarang arc dari vertex u ke v di D.

    karena D terhubung kuat, maka terdapat path dari v ke n, akibatnya diperoleh suatu

    path tertutup di D yang dibentuk oleh arc dari vertex v ke u di D. Oleh definisi,

    path tertutup adalah suatu cycledari sebarang vertex di D, maka setiap vertex v di

    D terletak pada suatu cycle.

    Andaikan himpunan C = {c1, c2, . . . , ct} adalah himpunan semua cycle di D.

    Misalkan M adalah suatu matriks baris dengan kolom ke-i untuk i = 1, 2, . . . , t dari

    Universitas Sumatera Utara

  • 16

    M adalah panjang cycle ci(`(ci)) misalkan < M > sebagai subgrup dari grup bilangan

    bulat Z yang dibangun oleh kolom-kolom dari M yakni

    < M > = {z1`(c1) + z2`(c2) + . . . + zt`(ct) : zi Z, i = 1, 2, 3, . . . , t}

    Andaikan D adalah digraph imprimitif dengan indeks imprimitifitas k, dan k =

    gcd(`(c1), `(c2), , `(ct). Kemudian suatu digraph dikatakan primitif jika k = 1

    dan imprimitf jika k 6= 1

    Berikut ini diberikan representasi grafis digaph yang terhubung kuat dan pri-

    mitif.

    Contoh 2.3.2 Representasi dari digraph tehubung kuat

    Gambar 2.8 : digraph terhubung kuat

    Pada gambar 2.8 diatas, D adalah digraph terhubung kuat dengan dua cycle

    yaitu 1 2 3 4 5 1 dengan panjang 5 dan cycle 1 3 4 5 1

    dengan panjang 4. Oleh definisi diatas, maka pembagi persekutuan terbesar dari

    cycle dengan panjang 5 dan 4 adalah 1 sehingga D adalah primitif.

    Universitas Sumatera Utara

  • 17

    2.3.2 2-digraph primitif.

    Suatu 2-digraph D dikatakan terhubung kuat strongly connected jika untuk

    setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk berarah dari vertex u ke v dan walk

    berarah dari vertex v ke u, dengan mengabaikan komposisi arc yang ada. Berikut ini

    diberikan contoh 2-digraph yang terhubung kuat dan 2-digraph yang tidak terhubung

    kuat.

    Contoh 2.3.3 Representasi dari 2 buah 2-digraph.

    Gambar 2.9 : (a) 2-digraph terhubung kuat ;(b) 2-digraph tidak terhubung kuat

    Pada gambar di atas menunjukkan bahwa (a) adalah 2-digraph terhubung kuat

    karena terdapat walk dari satu vertex ke vertex lainnya. Sedangkan (b) adalah 2-

    digraph tidak terhubung kuat, karena tidak terdapat walk dari 1 ke 2.

    Lemma 2.3.2 Andaikan D adalah suatu 2-digraph terhubung kuat maka setiap vertex

    terletak pada cycle.

    Bukti. Ambil sebarang vertex v di D dan sebarang arc dari vertex u ke vertex v di

    D Karena terhubung kuat, maka terdapat path dari vertex v ke u dan dari vertex

    u ke v, akibatnya diperoleh suatu path tertutup di D, yang dibentuk oleh arc dari

    Universitas Sumatera Utara

  • 18

    vertex u ke v dan path dari vertex v ke u di D. Oleh definisi vertex v terletak pada

    suatu cycle.

    Suatu 2-digraph terhubung kuat D dikatakan primitif jika terdapat bilangan

    bulat tak negatif h dan k sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat

    (h, k) walk dari u ke v.

    Andaikan komponen C = {1, 2, , c} adalah himpunan semua cycle di D

    adalah matrik dengan c kolom. M =

    [r(1) r(2) r(c)b(1) b(2) b(c)

    ]untuk kolom j pada

    M adalah komposisi dari cycle j kita definisikan sebagai < M > subgroup dari grup

    bilangan bulat Z2 dibangun oleh kolom dari M .

    Proposisi 2.3.1 Andaikan D adalah 2-digraph terhubung kuat, dan misalkan u dan

    v adalah vertex di D dan misalkan w1 dan w2 adalah walk dari u ke v di D. maka[r(w1)b(w1)

    ]

    [r(w2)b(w2)

    ]< M >

    Bukti: Karena D adalah 2-digraph terhubung kuat, maka terdapat walk wvu dari

    v ke u. Misalkan w1 adalah walk tertutup yang dibentuk oleh uw1 v wvu u dan

    misalkan w2 adalah walk tertutup yang dibentuk oleh uw2 v wvu u. Karena untuk

    setiap walk tertutup dapat dikomposisi menjadi cycle,

    [r(w1)b(w1)

    ],

    [r(w2)b(w2)

    ]< M >

    sehingga

    [r(w1)b(w1)

    ]

    [r(w2)b(w2)

    ]=

    [r(w1)b(w1)

    ]

    [r(w2)b(w2)

    ]< M >.

    Diberikan D adalah sebuah 2-digraph dan z adalah vertex di D. Dua vertex

    u dan v di D dikatakan equivalent, di u 2 v, bila terdapat sebuah walk wzu dari

    z ke u dan sebuah walk wzv dari z ke v dengan komposisi yang sama. Dalam kasus

    vertex equivalent, definisi dari equivalent vertex adalah vertex di D yang dipilih

    secara bebas. Lebih lanjut, hal itu ditunjukkan oleh hubungan 2 adalah hubungan

    equivalent dengan himpunan dari vertex di D dan partisi dari himpunan vertex di D

    Universitas Sumatera Utara

  • 19

    kedalam kelas equivalent. Bilangan dari kelas equivalent k2 dari D disebut dengan

    index imprimitivity dari D. Sebuah 2-digraph terhubung kuat dikatakan primitif

    bila k2 = 1 dan imprimitif bila sebaliknya. Berikut ini kita berikan sebuah contoh

    2-digraph primitif.

    Contoh 2.3.2 Representasi 2-digraph primitif

    Gambar 2.10 : 2-digraph primitif

    Perhatikan gambar diatas, kita mulai dengan arc nomor 2. Walk 2b 3 dan

    2b 1, adalah walk dari 2 ke 3 dan dari 2 ke 1 dengan komposisi yang sama. Sehingga

    3 2 1. Walk 2b 1 r 2 b 3 dan 2 b 3 b 1 r 2 adalah walk dari 2 ke 3 dan

    dari 2 ke 2. Sehingga 3 2 2. Dengan sifat transitif kita peroleh 1 2 2 akibatnya, D

    adalah primitif. Berikut ini akan diperlihatkan hubungan antara entri matriks hasil

    representasi dengan eksponen dari 2-digraph.

    2.4 Matriks tak negatif & Eksponen 2-digraph

    Pada subbab ini akan dibahas pengertian matriks tak negatif dan keterhubun-

    gannya dengan 2-digraph.

    2.4.1 Matriks tak negatif.

    Sebuah matriks dikatakan sebagai matriks tak negatif bila untuk setiap entri

    matriksnya aij adalah bilangan tak negatif, sebuah matriks dikatakan sebagai matriks

    positif bila untuk setiap entri matriksnya aij adalah bilangan positif. Berikut ini

    Universitas Sumatera Utara

  • 20

    diberikan contoh dari matriks tak negatif dan matriks positif.[0 1 00 0 11 0 0

    ], matriks tak negatif;

    [1 2 12 1 11 1 2

    ], matriks positif

    Selanjutnya akan dilihat pengertian dari eksponen dari 2-digraph dan hubungannya

    dengan matriks tak negatif.

    2.4.2 Eksponen digraph.

    Pada digraph, eksponen dari digraph D didefinisikan sebagai bilangan bulat

    terkecil k, sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v terdapat walk berarah dari

    u ke v yang panjangnya k. Eksponen dari digraph D dinotasikan dengan exp(D).

    Proposisi 2.4.1 Andaikan A adalah suatu matriks adjacency dari digraph D. Entri

    Akij dari Ak menyatakan banyaknya walk dari vertex vi ke vj yang panjangnya k di

    digraph D

    Bukti: Andaikan A adalah suatu matriks adjacency dari digraph D, maka setiap

    entri (i, j) dari A menyatakan arc dari vertex vi ke vj di digraph D. Hal ini berakibat

    untuk k = 1, maka setiap entri a1ij dari A1 menyatakan banyaknya walk dari vertex

    vi ke vj yang panjangnya satu

    Asumsikan setiap entri a(k)i,j dari A

    k menyatakan banyaknya walk dari vertex vi

    ke vj yang panjangnya k di D, untuk k 1. Berikut ini diperlihatkan a(k+1)ij adalah

    banyaknya walk dari vertex vi ke vj yang panjangnya k + 1 di D, untuk k 1.

    Perhatikan setiap walk dari vertex vi ke vj di D dengan panjang k + 1 yang

    terdiri dari walk dari vi ke vl dengan panjang k untuk l = 1, 2, . . . , n. dan dilanjutkan

    dengan arc dari vertex vi ke vj. Sehingga a(k)il alj adalah menyatakan walk yang pan-

    jangnya k + 1 dari vertex vi ke vj di D untuk k = 1, 2, . . . , n. Jika tidak terdapat

    Universitas Sumatera Utara

  • 21

    walk yang panjangnya k dari vertex vi ke vj di D, maka a(k)il = 0 sehingga a

    (k)il alj = 0.

    Hal ini berarti tidak terdapat walk yang panjangnya k + 1 dari vertex vi ke vj yang

    melalui vertex vl di D. Sehingga diperoleh banyaknya walk yang panjangnya k + 1

    dari vertex vi ke vj di D adalah.

    a(k)i1 a1j + a

    (k)i2 a2j + + a

    (k)in anj =

    n

    l=1

    a(k)il alj

    Karena

    Ak+1 = AkA

    maka

    a(k)ij =

    n

    l=1

    a(k)il alj

    hal ini berakibat a(k+1)ij adalah benar menyatakan banyaknya walk dari vertex vi ke

    vj yang panjangnya k + 1 di D.

    Berikut ini diberikan contoh representasi grafis digraph yang akan dicari ek-

    sponennya dengan menggunakan proposisi 2.4.1 diatas.

    Contoh 2.4.1 representasi digraph dengan 3 vertex dan 5 arc.

    Gambar 2.11 : Representasi digraph 3 vertex dan 7 arc

    Dari representasi grafis digraph diatas didapat matriks adjacency A sebagai

    berikut. A =

    [0 1 00 1 11 0 1

    ], dari teorema diatas untuk mencari banyak walk dari vertex

    Universitas Sumatera Utara

  • 22

    vi ke vj dengan panjang k adalah entri dari matriks A(k)ij dari A

    k. Dengan demikian

    nilai k adalah eksponen dari digraph, bila matriks Ak adalah matriks positif. Per-

    hatikan matriks Ak untuk k :

    a. k = 1;A =

    [0 1 00 1 11 0 1

    ]

    bukan eksponen dari digraph pada contoh 2.4.1 diatas, karena tidak terdapat

    walk dengan panjang satu, dari 1 ke 1, dari 1 ke 3, dari 2 ke 1 dan dari 3 ke 2

    b. k = 2 ;A2 =

    [0 1 11 1 21 1 1

    ]

    bukan eksponen dari digraph contoh 2.4.1 diatas, karena tidak terdapat walk

    dengan panjang dua, dari 1 ke 1.

    c. k = 3;A3 =

    [1 1 22 2 31 2 2

    ]

    Eksponen dari digraph pada contoh 2.4.1 diatas adalah 3, karena terdapat walk

    dengan panjang tiga dari tiap pasangan vertex pada digraph D.

    2.4.3 2-eksponen dari 2-digraph.

    Pada 2-digraph D, eksponen didefisikan sebagai bilangan bulat terkecil h + k

    sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk dari u ke v dengan

    panjang h+ k yang terdiri dari h arc merah dan k arc biru. Eksponen dari 2-digraph

    D dinotasikan oleh exp2(D).

    Lemma 2.4.1 Jika (R,B) adalah matriks adjacency dari 2-digraph D. Maka entri

    (i, j) dari (R,B)(h,k) adalah jumlah (h, k)-walk dari 2-digraph D

    Bukti . Akan dibuktikan dengan induksi pada (h+k) dan (h+k+1), jika h = 0 maka

    k = 1 atau jika h = 1 maka k = 0. Jika h = 0 maka entri (i, j) dari (R,B)(0,1) = B

    Universitas Sumatera Utara

  • 23

    adalah walk dengan komposisi

    [01

    ]di 2-digraph D. Dengan cara yang sama, jika

    k = 0 maka (R,B)(1,0) = A adalah walk dengan entri (i, j) menyatakan walk dengan

    komposisi

    [10

    ]di 2-digraph D.

    Andaikan lemma 2.4.1 benar untuk semua bilangan bulat tak negatif h dan

    k dengan h + k h + k akan diperlihatkan untuk h + k + 1 adalah benar, dengan

    catatan sebagai berikut.

    (R,B)(h+1,k) = R(R,B)(h,k) + B(R,B)(h+1,k1)

    dengan induksi entri (i, j) pada R(R,B)(h,k) adalah walk dari i ke j diikuti de-

    ngan sebuah arc merah dan diikuti oleh sebuah (h, k)-walk dari entri (i, j) pada

    B(R,B)(h+1,k1) adalah jumlah walk dari i ke j yang dimulai dengan sebuah arc

    biru dan dikuti oleh sebuah (h + 1, k 1)-walk sedemikian hingga entri (i, j) dari

    (R,B)(h+1,k) adalah jumlah (h + 1, k)-walk dari i ke j

    Berikut ini diberikan representasi grafis 2-digraph yang akan dicari eksponen-

    nya.

    Contoh 2.4.2 Representasi 2-digraph dengan 3 vertex, 3 arc biru dan 3 arc merah

    Gambar 2.12 : Representasi 2-digraph dengan 3 vertex, 3 arc biru dan 3 arc merah

    Universitas Sumatera Utara

  • 24

    Dari representasi 2-digraph diatas didapat matriks adjacency sebagai berikut.

    Matriks adjacency merah R =

    [0 1 00 0 01 1 0

    ]

    dan

    Matriks adjacency biru B =

    [0 0 11 0 10 0 0

    ]

    Dari contoh 2.4.2 kita cari eksponennya, yaitu dengan melihat penjumlahan h arc

    biru dan k arc merahnya, dengan cara sebagai berikut:

    a. untuk h + k = 1

    1. (R,B)(1,0) = R =

    [0 1 00 0 01 1 0

    ]

    2. (R,B)(0,1) = B =

    [0 0 11 0 10 0 0

    ]

    b. untuk h + k = 2

    1. (R,B)(2,0) = RR =

    [0 0 00 0 00 1 0

    ]

    2. (R,B)(1,1) = RB + BR =

    [2 1 11 2 01 0 2

    ]

    3. (R,B)(0,2) = BB =

    [0 0 00 0 10 0 0

    ]

    c. untuk h + k = 3

    1. (R,B)(3,0) = RR2 =

    [0 0 00 0 00 0 0

    ]

    2. (R,B)(2,1) = R(R,B)(1,1) + BR2 =

    [1 3 00 1 03 3 1

    ]

    3. (R,B)(1,2) = RB2 + B(R,B)(1,1) =

    [2 0 33 1 30 0 1

    ]

    Universitas Sumatera Utara

  • 25

    4. (R,B)(0,3) = BB2 =

    [0 0 00 0 00 0 0

    ]

    d. untuk h + k = 4

    1. (R,B)(4,0) = RR3 =

    [0 0 00 0 00 0 0

    ]

    2. (R,B)(3,1) = R(R,B)(2,1) + BR3 =

    [0 1 00 0 01 4 0

    ]

    3. (R,B)(2,2) = R(R,B)(1,2) + B(R,B)(2,1) =

    [6 4 44 6 15 1 4

    ]

    Untuk h+k = 4 dengan komposisi arc

    [22

    ], 2 arc merah dan 2 arc biru, terdapat walk

    dari tiap pasangan vertex u dan v di 2-digraph D sehingga 2-digraph pada contoh

    2.4.2 diatas memiliki eksponen 4 dengan komposisi arc

    [22

    ], 2 arc merah dan 2 arc

    biru.

    2.5 Beberapa fakta tentang 2-digraph dengan loop

    Dalam subbab ini akan diperlihatkan batas atas dan batas bawah dari eksponen

    2-digraph exp2(D) dengan dua buah loop, satu dari masing-masing warna.

    Teorema 2.5.1 Jika D adalah 2-digraph dengan n 2 vertex yang memuat sebuah

    loop merah dan sebuah loop biru, maka exp2(D) 3n 3

    Bukti. Diberikan i dan j vertex di 2-digraph D yang saling berhubungan di D,

    terdapat loop merah dan loop biru di 2-digraph D. Untuk setiap pasangan vertex

    u dan v di D, selanjutnya walk wuv, upui i pij j pjv v, adalah walk dari u ke v.

    Untuk pui adalah path dari u ke i, pij adalah path dari i ke j dan pjv adalah path

    Universitas Sumatera Utara

  • 26

    dari j ke v. Diberikan

    lr = maxuV

    {r(pui)} dan lb = maxuV

    {b(pui)}

    lr = maxvV

    {r(pjp)} dan lb = maxvV

    {b(pjv)}

    maka untuk setiap pasangan vertex u dan v adalah walk wuv dari u ke v dengan[r(wuv)b(wuv)

    ]

    [lr + r(pij) + l

    r

    lb + b(pij) + lb

    ]

    adalah kejadian loop merah dan loop biru, karena walk wuv adalah kejadian loop

    merah dan loop biru, walk wuv adalah sebuah walk dari u ke v dengan komposisi[lr + r(pij) + l

    r

    lb + b(pij) + lb

    ]disekitar loop merah dan loop biru adalah bilangan hasil perkalian,

    sedemikian hingga

    lr + lb, lr + l

    b, r(pij) + b(pij) n 1

    akibatnya exp2(D) 3n 3

    Teorema 2.5.2 Jika 2-digraph D terhubung kuat dengan n vertex, sebuah loop merah

    dan sebuah loop biru pada vertex yang sama maka exp2(D) 2n 2.

    Bukti. Andaikan kedua loop berada pada vertex s, untuk 1 s n, dari setiap

    pasangan vertex i dan j di 2-digraph D, didapat Pis adalah path dari i ke s dan Psj

    adalah path dari s ke j, jika :

    lr = maxi

    {r(pui)} dan lb = maxi

    {b(pui)}

    lr = maxj

    {r(pjp)} dan lb = maxj

    {b(pjv)}

    untuk setiap pasangan vertex i dan j di D didapat walk dari i ke j dimulai dari

    vertex i, kemudian melalui path Pis sampai di vertex s kemudian diikuti path Psj

    sampai ke vertex j maka :

    [r(wij)b(wij)

    ]

    [lr + l

    r

    lb + lb

    ]karena walk wij melalui kedua loop,

    maka terdapat sebuah (lr + lr, lb + l

    b)-walk dari i ke j, sehingga exp2(D) 2n 2

    Universitas Sumatera Utara