Contoh makalah-ekonomi-manajerial

EKONOMI MANAJERIAL

Optimasi Ekonomi Tanpa Kendala

MODUL 2

Oleh :

Ir. Sahibul Munir, SE., MSi.

FAKULTAS EKONOMI PROGRAM KELAS

KARYAWAN

UNIVERSITASMERCU BUANA

2007/2008

Menggambarkan Hubungan Ekonomi

Untuk menggambarkan hubungan ekonomi, dapat disajikan dalam bentuk persamaan

tabel atau grafik. Jika bentuk hubungan ekonomi tersebut sederhana, maka tabel dan

grafik sudah cukup untuk menggambarkan hubungan tersebut harus menggunakan

persamaan matematis. Penggambaran hubungan ekonomis dengan persamaan

matematis juga sangat berguna dalam menentukan solusi optimal dari suatu

masalah. Sebagai contoh, misalnya hubungan antara hasil penjualan (Total Revenue,

TR) dengan jumlah output (Q) yang dijual dapat disajikan dalam bentuk persamaan

(fungsi) sebagai berikut :

TR = 100Q – 10Q2 .............................................................. (1)

Dengan mensubstitusikan berbagai nilai hipotetis dari jumlah output (Q) barang yang

terjual ke persamaan (1) diatas, akan diperoleh skedul (daftar) hasil penjualan total

(Total Revenue) yang diterima oleh perusahaan sebagai berikut :

Tabel 1. Skedul Penerimaan Total Perusahaan

Q 100Q – 10Q2 Penerimaan Total (TR)

0

1

2

3

4

100 (0) – 10 (0)2

100 (1) – 10 (1)2

100 (2) – 10 (2)2

100 (3) – 10 (3)2

100 (4) – 10 (4)2

$ 0

$ 90

$ 160

$ 210

$ 240

Hubungan Total, Rata-Rata, dan Marjinal

Konsep hubungan antara ukuran total, rata-rata dan marjinal adalah penting dalam

analisis optimasi. Hubungan ini pada dasarnya sama, baik itu menyangkut tentang

penerimaan, produksi biaya maupun laba. Dalam menganalisis bagaimana cara suatu

perusahaan memaksimalkan keuntungannya, kita perlu mempelajari hubungan antara

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Ir. Sahibul Munir SE, M.Si EKONOMI MANAJERIAL

biaya total, biaya rata-rata, dan biaya marjinal bersama-sama dengan konsep

penerimaan (revenue).

Biaya Total, Rata-Rata dan Marjinal

Biaya Total (Total Cost, TC) : seluruh biaya yang dikeluarkan oleh suatu perusahaan

dalam memproduksi sejumlah output.

Biaya total yang dikeluarkan oleh suatu perusahaan terdiri dari : Biaya Tetap Total

(Total Fixed Cost, TFC) dan Biaya Variabel Total (Total Variabel Cost, TVC).

TC = TFC + TVC

TFC : Biaya produksi yang jumlah tetap (tidak berubah) berapapun jumlah output

yang diproduksi.

TVC : Biaya produksi yang jumlahnya berubah-ubah sesuai / mengikuti perubahan

jumlah output.

Biaya Rata-Rata (Average Cost)

Biaya rata-rata (Average Cost) : adalah jumlah biaya yang dikeluarkan oleh

perusahaan untuk menghasilkan 1 (satu) unit output (Q).

Average Cost (AC) = , sebagaimana biaya total, maka biaya rata-rata juga dapat

dibedakan menjadi biaya tetap rata-rata (Average Fixed Cost), dan biaya variabel

rata-rata (Average Variabel Cost).

Average Fixed Cost (AFC) : adalah biaya tetap yang dikeluarkan oleh perusahaan

untuk setiap unit output yang diproduksinya.

Average Variable Cost (AVC) : adalah biaya variabel yang dikeluarkan oleh

perusahaan untuk setiap unit output yang diproduksinya.


Karena TC = TFC + TVC, maka :

AC = AFC + AVC

Biaya Marginal (Marginal Cost)

Marginal Cost (MC) : adalah tambahan biaya dikeluarkan oleh perusahaan, akibat

adanya tambahan output yang diproduksi sebanyak 1 (satu) unit.

Tabel Biaya Total, Rata-Rata, Marjinal suatu Perusahaan

Kuantitas (Q) Biaya Total (TC) Biaya Rata-Rata (AC) Biaya Marjinal (MC)

0

1

2

3

4

5

$ 20

140

160

180

240

480

-

$ 140

80

60

60

96

-

$ 120

20

20

60

240

Fungsi Dan Diferensiasi

Fungsi : suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan

ketergantungan antara suatu variabel dengan satu atau beberapa variabel yang lain.

Sebuah fungsi dibentuk oleh beberapa unsur, yaitu variabel, koefisien dan konstanta.

Namun demikian sebuah fungsi tidak harus mengandung sebuah konstanta, jadi


mungkin sekali mengandung konstanta dan mungkin juga tidak. Tetapi keadaan ini

sama sekali tidaklah mengurangi arti dari sebuah fungsi.

Variabel pembentuk sebuah fungsi dapat dibedakan menjadi variabel bebas dan

variabel tidak bebas.

Variabel bebas (independent variable) : adalah variabel yang nilainya tidak

tergantung (tidak ditentukan) oleh variabel lain.

Variabel tidak bebas (dependent variable) : adalah variabel yang nilainya

tergantung (dipengaruhi) oleh variabel lain.

Notasi sebuah fungsi secara umum dinyatakan sebagai :

Y = (x)

Contoh kongkritnya :

(1) Fungsi linear dan univariat : Y = 5 + 0.7 x

atau dapat pula dinyatakan : (x) = 5 + 0.7 x

(2) Fungsi non linear dan univariat : Y = 8 – 4x + x2, atau

(x) = 8 – 4x + x2

Turunan

Turunan adalah mengukur tingkat perubahan seketika dari suatu fungsi, yaitu

bagaimana variabel tidak bebas berubah sehubungan dengan suatu perubahan unit

yang sangat kecil dalam variabel bebas.

Terminologi untuk turunan adalah :

= turunan y berkenaan dengan x, nilainya sama dengan limit dari rasio x / y saat

x mendekati nol.

Selain , notasi turunan umumnya dinyatakan dengan y’ dan’(x).


Aturan Diferensiasi (Rules of Differentiation)

Diferensiasi : adalah proses penentuan turunan dari suatu fungsi, yaitu mencari

perubah y berkenaan dengan suatu perubah x apabila perubahan x (x) mendekati

nol.

Berdasarkan pengertian diatas, kita dapat mendiferensialkan berbagai macam bentuk

fungsi dengan aturan sebagai berikut :

1. Turunan dari fungsi y = C ; dimana C = konstanta

= y’ = 0

y = 10, maka = y’ = 0

2. Turunan dari fungsi pangkat y = ax”

= y’ = n a xn-1

contoh : y = 4x3, maka y’ = 3(4)x3-1 = 12x2

3. Turunan dari penjumlahan (pengurangan)

Jika y = u ± v, dimana u dan v masing-masing fungsi dari x, maka :

4. Turunan dari hasil kali suatu fungsi

Jika y = u (x).v (x) maka :

Atau y’ = u v ’ + v u ’

Contoh : y = 3x4 (2x – 5)

y’ = 3x4(2) + (2x – 5).(12x3)

y’ = 6x4 + 24x4 – 60x3 = 30x4 – 60x3

5. Turunan dari hasil bagi suatu fungsi


Jika y = ; dimana u = g(x) dan v = h(x) maka :

Contoh : , maka

6. Turunan fungsi dari fungsi (fungsi berantai)

Jika y = (u) dimana u = g(x) maka

Contoh : y = (2x2 + 3)4 ; dimana u = 2x2 + 3

y’ =

Turunan Kedua

Turunan kedua mengukur tingkat perubahan turunan pertama atau turunan

kedua adalah turunan pertama dari turunan pertama.

Notasi turunan kedua dapat dinyatakan dengan ” (x) dan y”

Contoh : y = 2x4 + 5x3 + 3x2


Maksimasi dan Minimisasi Suatu

Fungsi

Suatu fungsi untuk mencari suatu maksimum atau minimum relatif maka fungsi

tersebut harus berada pada suatu dataran (yaitu tidak menaik juga tidak menurun

pada titik tersebut.

Jika suatu fungsi tidak menaik juga tidak menurun, maka turunan dari fungsi

tersebut pada titik tersebut sama dengan nol.

Syarat pertama dan penting (necessary condition) agar suatu fungsi mencapai

maksimum atau minimum relatif adalah turunan pertama dari fungsi tersebut harus

sama dengan nol.

Sedangkan syarat kedua yang mencukupi (sufficient condition) adalah turunan kedua

harus negatif untuk maksimum relatif dan turunan kedua harus positif untuk minimum

relatif.

Untuk suatu maksimum relatif :

Untuk suatu minimum relatif :

Sebuah masalah dapat timbul ketika derivatif dipergunakan untuk menentukan

maksimum dan minimum. Derivatif pertama dari fungsi total memberikan ukuran

apakah fungsi tersebut menaik atau menurun di setiap titik. Untuk dimaksimumkan

atau diminimumkan, fungsi tersebut harus tidak menaik dan tidak pula menurun ; yaitu,

kemiringan seperti diukur oleh derivatif pertama harus nol. Tetapi, karena nilai marginal

atau derivatif akan nol baik untuk nilai maksimum maupun nilai minimum dari sebuah

fungsi, analisis lebih lanjut diperlukan untuk menetapkan apakah nilai maksimum atau

minimum yang ditentukan.

Jika laba total ditetapkan dengan persamaan = a – bQ + cQ2 = dQ3, maka derivatif

pertama mendefinisikan fungsi laba marginal sebagai :


Menemukan Nilai Maksimum dan

Minimum dari Sebuah Fungsi

Derivatif kedua dari sebuah fungsi selalu negatif ketika mengevaluasi titik maksimum

dan positif di titik minimum.

Derivatif kedua dari fungsi laba total tersebut adalah derivatif dari fungsi laba marginal

ini, Persamaan 2.7 :

Sama seperti derivatif pertama mengukur kemiringan fungsi laba total, derivatif kedua

mengukur kemiringan derivatif pertama atau, dalam kasus ini, kemiringan kurva laba

marginal. Kita dapat menggunakan derivatif kedua untuk membedakan titik maksimal

atau titik minimal, yaitu positif jika minimal dan negatif jika maksimal.

Contoh lain dapat memperjelas konsep ini. Asumsikan bahwa fungsi laba total

ditunjukan oleh persamaan berikut ini :

Laba Total = = -$3.000 - $2.400Q + $350Q2 - $8.333Q3

Laba Marginal diketahui berdasarkan derivatif pertama dari fungsi laba total

tersebut.

Laba Marginal

Laba total dapat dimaksimumkan atau diminimumkan di titik dimana derivatif pertama

(laba marginal) adalah nol yaitu, dimana


Jumlah keluaran sebesar 4 dan 24 unit memenuhi Persamaan 2.10 dan karena itu

merupakan laba maksimum atau minimum.

Evaluasi derivatif kedua dari fungsi laba total tersebut di setiap tingkat keluaran ini

akan menunjukkan apakah turunan kedua itu minimum atau maksimum. Derivatif

kedua dari fungsi laba total ditentukan dengan mengambil derivatif dari fungsi laba

marginal, Persamaan 2.9 :

Misalnya, pada jumlah keluaran Q = 4 :

Karena derivatif kedua ini positif, yang menunjukkan bahwa laba marginal menaik, laba

total diminimumkan pada Q = 4 unit.

Dengan mengevaluasi derivatif kedua Q = 24 unit, kita memperoleh :

Karena derivatif kedua ini negatif pada Q = 24 unit, yang menunjukkan bahwa laba

marginal menurun, fungsi laba total tersebut mencapai maksimum pada tingkat output

Q=24.

Menggunakan Marginal untuk Memaksimumkan Selisih antara Dua Fungsi

Contoh lain dari pentingnya konsep marginal dalam ekonomi manajerial diberikan oleh

kesimpulan mikroekonomi yang penting dan terkenal bahwa penerimaan marginal

(MR) sama dengan biaya marginal (MC) di titik maksimisasi laba.

Sebuah contoh akan membantu menjelaskan penggunaan marginal ini. Pertimbangan

fungsi pendapatan, biaya, dan laba berikut ini :

Pendapatan Total = TR = $41,5Q - $1,1Q2

Biaya Total = TC = $150 + $10Q - $0,5Q2 + $0,02Q2

Laba Total = = TR – TC


Keluaran yang memaksimumkan laba dapat ditemukan dengan mensubstitusi fungsi

pendapatan total dan fungsi biaya total ke dalam fungsi laba, lalu menganalisis derivatif

pertama dan kedua dari persamaan itu :

= TR - TC

= $41,5Q - $1,1Q2 – ($150 + $10Q - $0,5Q2 + $0,03)

= $41,5Q - $1,1Q2 - $150 + $10Q - $0,5Q2 + $0,02Q3

= - $150 + $31,5Q - $0,6Q2 + $0,02Q3

Laba marginal, derivatif pertama dari fungsi laba tersebut, adalah :

Dengan menetapkan laba marginal sama dengan nol dan menggunakan persamaan

kuadrat untuk memecahkan kedua akar, kita memperoleh Q1 = -35 dan Q2 = +15.

Karena jumlah keluaran negatif tidak mungkin, Q1 merupakan tingkat keluaran yang

tidak layak dan dapat ditolak.

Evaluasi terhadap derivatif kedua dari fungsi laba tersebut di Q = 15 akan

menunjukkan apakah ini merupakan titik maksimisasi laba atau minimisasi laba.

Derivatif kedua tersebut diketahui :

Pendapatan Total, Biaya Total, dan

Maksimisasi Laba

Hubungan pendapatan marginal dan biaya marginal dengan maksimisasi laba dapat

juga diperlihatkan dengan mempertimbangkan ekspresi laba umum = TR – TC. Laba

marginal, derivatif dari fungsi laba total, adalah :


Dengan diketahui bahwa dTR/dQ berdasarkan definisi merupakan ekspresi dari

pendapatan marginal MR, dan dTR/dQ mewakili biaya marginal MC, kita memiliki :

Karena maksimisasi setiap fungsi mengharuskan bahwa derivatif pertama harus sama

dengan nol, maksimisasi laba akan terjadi ketika :

atau dimana

Dengan melanjutkan contoh menarik di atas, pendapatan marginal dan biaya marginal

ditemukan dengan menghitung diferensial dari fungsi pendapatan total dan biaya total :

Ditingkat keluaran yang memaksimumkan laba, MR = MC ; jadi,

Dengan menggabungkan bagian-bagian ini, kita memperoleh :

yang merupakan ekspresi yang sama dengan yang diperoleh ketika derivatif pertama

dari fungsi laba ditetapkan di nol.

Mencari akar dari persamaan ini (sekali lagi dengan menggunakan rumus kuadrat)

menghasilkan Q1 = -35 dan Q2 = 15, nilai-nilai yang sama yang ditentukan sebelumnya.

Hal ini mengkonfirmasikan bahwa pendapatan margin sama dengan biaya marginal di

tingkat keluaran di mana laba dimaksimumkan. Contoh ini juga mengilustrasikan

bahwa walaupun MR harus sama dengan MC di tingkat kegiatan yang


memaksimumkan laba, sebaiknya tidak berlaku. Laba tidak pasti dimaksimumkan di

setiap titik di mana MR = MC, seperti dalam contoh di Q = -35 dalam masalah ini.

Untuk menyimpulkan contoh ini, Gambar 2.8 menyajikan grafik fungsi pendapatan,

biaya dan laba. Bagian atas dari grafik ini memperlihatkan fungsi pendapatan dan

fungsi biaya; pada 15 unit keluaran, kemiringan kedua kurva sama, dan MR = MC.

Bagian bawah Gambar ini memperlihatkan fungsi laba, dan keluaran yang

memaksimumkan laba diperlihatkan sebesar 15 unit, dimana keluaran d/dQ = 0 dan

d2/dQ2 < 0. Laba dimaksimumkan di Q = 15, dimana MR = MC = $8.50 dan M =

0.

Optimisasi Multivariat

Karena banyak hubungan ekonomi melibatkan lebih dari dua variabel, berguna bagi

kita untuk meneliti konsep optimisasi multivariat untuk persamaan-persamaan dengan

tiga variabel atau lebih. Pertimbangan fungsi permintaan untuk sebuah produk dimana

jumlah yang diminta, Q, ditentukan oleh harga yang dikenakan, P, dan tingkat

pengeluaran periklanan, A. Fungsi seperti ini akan ditulis sebagai berikut.

Ketika menganalisis hubungan multivariat, seperti dalam persamaan 2.11, kita harus

mengetahui pengaruh marginal dari setiap variabel independen terhadap variabel

dependen. Dengan kata lain, optimisasi dalam kasus ini memerlukan analisis tentang

bagaimana perubahan dalam setiap variabel independen mempengaruhi variabel

dependen, sambil mempertahankan pengaruh semua variabel independen lainnya

tetap konstan. Derivatif parsial adalah konsep yang dipergunakan untuk analisis

marginal seperti ini.

Dengan menggunakan fungsi permintaan dalam Persamaan 2.11, kita dapat meneliti

dua derivatif parsial :

1. Parsial dari Q dalam kaitannya dengan harga

2. Parsial dari Q dalam kaitannya dengan pengeluaran periklanan =

Peraturan untuk menetapkan derivatif parsial pada dasarnya sama dengan peraturan

untuk derivatif sederhana. Karena konsep derivatif parsial melibatkan asumsi bahwa

semua variabel tidak berubah, kecuali variabel yang bersangkutan dimana derivatif


tersebut diambil, variabel-variabel tersebut diperlakukan sebagai konstanta dalam

proses perhitungan diferensial. Pertimbangan persamaan :

2.12

Dalam fungsi ini, terdapat dua variabel independen, P dan A, sehingga dua derivatif

parsial dapat dievaluasi. Untuk menetapkan parsial dalam kaitannya dengan P, catat

bahwa fungsi tersebut dapat ditulis ulang sebagai :

2.12a

Karena A diperlakukan sebagai sebuah konstanta, derivatif parsial dari Q dalam

kaitannya dengan P adalah :

= - 50 + 0,25A

Dalam menetapkan turunan parsial dari Q dalam kaitannya dengan A, P diperlakukan

sebagai sebuah konstanta, sehingga kita dapat menulis :

2.12b

dan derivatif parsial dalam kaitannya dengan A adalah :

= 39 + 0,25P – 0,2A

(1)

(2)

0,25A = 50 A = = 200 substitusikan


ke persamaan (2) 39 + 0,25P – 0,2(200) = 0

39 + 0,25P – 40 = 0 0,25P = 1 P = = 4

untuk melihat maximum/minimum :

Q maksimum = 3200 – 50(4) + 39(200) + 0,25(4) (200) – 0,1 (200)2 = 7000


Contoh makalah-ekonomi-manajerial

Documents

Transcript of Contoh makalah-ekonomi-manajerial