BAB I

CONJUGATE BEAM

Conjugate beam (balok konjugasi) adalah penggunaan bidang momen yang

dijadikan sebagai beban untuk mengetahui defleksi pada balok.

Cara penentuannya :

- Bidang momen diperlukan sebagai beban

EI

- Momen pada suatu titik pada conjugate beam merupakan lendutan dititik tersebut.

Perhatikan balok dengan tumpuan sederhana dibebani dengan beban-beban sebagai

berikut :

Kondisi 1

Bentang sederhana dibebani dengan beban terpusat ditengah bentang

yc

A B

2

Menghitung gaya lintang dan momen :

0MA

-VB . L +

EI

PL

4

2

L

2

L = 0

-VB.L + EI

PL

16

3

= 0

EI

PLVB

16

2

EI

PLV

V

A16

0

2

0 CM

-MC + VA.2

L-

644

LL

EI

PL= 0

-MC + EI

PLL

EI

PL

962.

16

32

= 0

MC = EI

PL

EI

PL

9632

33

MC = EI

PL

48

3

A

3

ΣV = 0

VA - DA = 0

VA = DA

DA = EI

PL

16

2

DB = -EI

PL

16

2

jadi,

MC = yc yc= EI

PL

48

3

DA = GA θA = EI

PL

16

2

DB = GB θB = -EI

PL

16

2

Kondisi 2

Bentang sederhana dibebani dengan beban terpusat tidak tepat ditengah bentang

A B

4

ΣMC = 0

VA.a – MC = 0

MC = VA.a

MC = aL

Pb.

MC = L

Pab

maka:

MC = LEI

baP ..

ΣMA = 0

-VB.L + bLEI

Pabaab

LEI

Pabb 3

22

13

12

1 .

= 0

-VB.L + LEI

bPaab

LEI

Pab

32

3

31

2

= 0

VB = 23

223

126

aabbEIL

Pab

ΣMB = 0

VA.L - bLEI

Pabbba

LEI

Paba 3

22

13

12

1 .

= 0

VA.L - LEI

Pabba

LEI

bPa

32

3

31

2

= 0

VA = EIL

Pabba

EIL

bPa2

3

31

2

2

32

VA = 23

223

122

babaEIL

Pab

5

DA = θA = 23

223

122

babaEIL

Pab

DB = θB = - 23

223

122

aabbEIL

Pab

Pembuktian dengan beban terpusat.

Mis : Lba 21

θA = 23

223

122

babaEIL

Pab

=

2

21

32

21

21

2

21

31

2

21

21

2LLLL

EIL

LLP

= 26

124

12

121

2

2

8LLL

EIL

PL

= 22

1

8L

EI

P

A = EI

PL

16

2

cocok

23

223

122

aabbEIL

PabB

2

21

32

21

21

2

21

31

2

21

21

2LLLL

EIL

LLP

2

612

412

121

2

2

8LLL

EIL

PL

EI

PLB

16

2

cocok

6

Kondisi 3

Beban terbagi rata sepanjang bentang

A

B A

B

7

EI

qlqlMx

qlqlMx

xq

xqlMx

dxqx

dxqlx

Mx

dxqxqlx

Mx

Mxx

qxql

xxqMxxV

M

L

L L

L

A

A

126

32

32

22

22

2.

02

...

0

33

21

33

21

0

32

21

0 0

2

21

0

2

2

21

EI

qlMx

12

3

Mx dijadikan beban.

EI

qlV

EI

qlV

LEI

qlLV

M

A

B

B

A

24

24

012

.

0

3

3

21

3

Jadi,

EI

qlA

24

3

EI

qlB

24

3

8

Kondisi 4

Beban terbagi rata tidak disepanjang bentang

.

a) d A=

EIL

xLLxLqdx

6

22

A =

dxEIL

xLLxLq

a

a6

222

1

= dxxLxLLxLEIL

qa

a

222

2

1

26

= dxxLxxLEIL

qa

a

2

2

1

26

= dxxLxLxxLxLEIL

qa

a

3222

2

1

226

Maka

A = 2

1

4322

43

3

2

2

6

a

a

xLxxL

EIL

q

A = 4

1

4

241

3

1

3

2

2

1

2

2

2

6aaaaLaaL

EIL

q . . . . . . (1)

A B

9

b) d B= EIL

xLxqdx

6

22

B= dxxLxEIL

qa

a

2

2

16

= dxxLEIL

qa

a

32

2

16

=

dxxxL

EIL

q

426

422

B =

4

1

4

241

2

1

2

2

2

26aaaa

L

EIL

q . . . . . . . . . . . . . . .(2)

Cek/periksa dengan beban merata penuh :

a1 = 0, 2a = L

A = 444

133222 0006

LLLLLEIL

q

A =EI

qL

24

3

cocok

B =

444

1222

0026

LLL

EIL

q

B =EI

qL

24

3

cocok

A B

10

Kondisi 5

Beban merata yang terletak mulai dari tumpuan.

a1 = 0

a2 = ½ L

Maka : A =EI

qLq 33

384

B =EI

qL

24384

7 3

Untuk kondisi beban-beban merata yang lain dapat ditentukan sendiri dengan

menggunakan persamaan (1) & (2).

Kondisi 6:

Bentang sederhana dibebani dengan beban momen pada tiap-tiap tumpuan

- Beban momen di tumpuan A

A B

A B

11

0MA

-VB . L + ½L . .

EI

MA1/3 L = 0

VB = LEI

LMA

6

. 2

VB = EI

LMA

6

.

0MA

VA . L - ½L . .

EI

MA2/3 L = 0

VA = EI

LMA

3

.

Jadi,

AEI

LMA

3

.

B - EI

LMA

6

.

Kondisi7:

Bentang sederhana dibebani dengan beban momen pada tiap-tiap tumpuan

- Beban momen di tumpuan A

12

0MA

-VB . L + ½L . .

EI

MB(2/3 L) = 0

VB = EI

LMB

3

.

0MA

VA . L - ½L . .

EI

MA(1/3 L) = 0

VA = EI

LMB

6

.

Jadi,

AEI

LMB

6

.

B - EI

LMB

3

.

A B

13

Untuk mempermudah pembaca, seluruh bentuk perputaran sudut (θ) akibat dari

berbagai kondisi beban, maka nilai θ secara keseluruhan dapat dilihat pada tabel dibawah

ini :

No Kondisi beban Perputaran sudut (θ)

1.

θA = EI

PL

16

2

θB = -EI

PL

16

2

2.

θB = - 23

223

122

aabbEIL

Pab

θB = - 23

223

122

aabbEIL

Pab

3.

EI

qlA

24

3

EI

qlB

24

3

4.

A = 4

1

4

241

3

1

3

2

2

1

2

2

2

6aaaaLaaL

EIL

q

B =

4

1

4

241

2

1

2

2

2

26aaaa

L

EIL

q

14

No Kondisi beban Perputaran sudut (θ)

5.

A =EI

qLq 33

384

B =EI

qL

24384

7 3

6.

AEI

LMA

3

.

B - EI

LMA

6

.

7.

AEI

LMB

6

.

B - EI

LMB

3

.

FIXED END MOMEN (FEM) / MOMEN PRIMER

FEM adalah momen-momen tumpuan terjepit dengan berbagai kondisi beban.

Nilai-nilai FEM untuk berbagai kondisi beban dapat dilihat pada tabel berikut ini :

15

No Kondisi beban Momen Primer (FEM)

1.

M0

AB =

8

PL ,

M0

BA = -

8

PL

2.

2

2

210

L

lPlM AB

2

2

2

10

L

lPlM BA

3.

M0

AB =

12

2qL ,

M0

BA = -

12

2qL

4.

24

3

22

11

2

4

2

1

20 343861

12lL

L

llLlL

L

lqLM AB

2

22

2

4

2

214

3

1

20 386341

12lLlL

L

llL

L

lqLM BA

16

5.

122

20 2ll

L

PlM AB

212

10 2llL

PlM BA