Chap. Gas Fermi Idealfismots.fi.itb.ac.id/.../Mekstat-Chap-7-Gas-Fermi-Ideal.pdfPersamaan Keadaan...
Transcript of Chap. Gas Fermi Idealfismots.fi.itb.ac.id/.../Mekstat-Chap-7-Gas-Fermi-Ideal.pdfPersamaan Keadaan...
Gas Fermi pada Ground State
β’ Distribusi Fermi Dirac pada kondisi Ground State (T0) memiliki perilaku:
β’ ππ =1
ππ½ ππβπ +1 0 ππππ ππ > π
1 ππ < π
β’ Hasil ini berarti:
Seluruh level energy di bawah nilai energy fermi (ππΉ) terisi, sedangkan di atasnya kosong sama sekali. Kondisi seperti ini dikenal sebagai βdegenerasi kuantumβ.
β’ Apakah arti energy fermi?
β’ Berapakah energy fermi?
ππ
ππΉ ππ
1
0
Arti energi Fermi F
β’ Artinya : pada T=0 (Ground State), maka semua Fermion berusaha menempati level energi terendah, akan tetapikarena aturan Pauli, maka tidak semua bisa menempati level terendah!
β’ Sehingga Fermion akan menempati semua level terendahsampai dengan level dengan energy tertinggi yaitu F. Jadienergi Fermi adalah level energi tertinggi yg berisi Fermion pada kondisi Ground State.
β’ Berarti total partikel dengan energi di bawah F = N (untukkasus spinless Fermion, tiap level energi berisi 1).
Energi Fermi (Tingkat Fermi)
β’ ππΉ dapat ditentukan dari kondisi bahwa :
π = (2π + 1) π ππ , jika T0 , maka π = (2π + 1) πππΉ ππ
β’ Dengan ππΉ adalah momentum fermi yg terkait dengan energy fermi melalui:
β’ ππΉ =ππΉ
2
2π
β’ Pada ground state maka :
π = 2π + 1
π
ππΉ
1 =2π + 1 π
β3
0
ππΉ
4ππ2ππ
π =4π 2π + 1 π
3β3ππΉ
3 =4π 2π + 1 π
3β32πππΉ
32
Energi Fermi (Tingkat Fermi)
ππΉ =β2
2π
6π2π
π 2π + 1
2/3
=β2
2π
6π2π
2π + 1
2/3
Dimana n=N/V adalah rapat partikel.
β’ Energi internal pada Ground State :
π0 = (2π + 1)
πβ€ππΉ
ππ = (2π + 1)
πβ€ππΉ
π2
2π
π0 =2π + 1 π2π
πβ3
0
ππΉ
π4ππ = 2π + 1π2π
5πβ3ππΉ
5
Energi Rata-Rata Ground State
π0 =2π + 1 π2π
πβ3
0
ππΉ
π4ππ = 2π + 1π2π
5πβ3ππΉ
5
π0 =2π + 1 2ππ
5πβ32πππΉ
5/2
Energi dalam per partikel pada ground state: (tak bergantung S!)
π0
π=
2π + 1 2ππ5πβ3 2πππΉ
52
4π 2π + 1 π3β3 2πππΉ
32
=3
5ππΉ
Zero Point Pressure
β’ Tetapi berlaku persamaa PV = 2/3U, sehingga pada T=0 (Ground state) ini juga berlaku:
β’ P0V = 2/3 U0 atau:
π0π =2
3
3
5πππΉ β π0 =
2
5πππΉ
Dengan n=N/V adalah kerapatan partikel.
β’ Adanya tekanan pada temperatur NOL ini disebabkan karenahanya 1 (kasus spinless) Fermion yg bisa di energi NOL, sisanya mesti bergerak, memiliki momentum! Sehingga menimbulkan tekanan.
Zero Point Pressure
β’ Contoh : elektron di logam π β 7x1028./m3. Elektron spin s=1/2, maka energi ferminya :
β’ ππΉ =β2
2π
6π2
2π +1 π£
2/3
β 7ππ,
β’ sehingga tekanan temperature nolnya : P0 =3x84x1010 Pa
(besar atau kecilkah nilai ini?)
Suhu Fermi dan Eksitasi
β’ Suhu Fermi didefinisikan sbg ππΉ = ππΉ/π
β’ Pada logam nilai ππΉ β 2 ππ, yang terkait dengan ππΉ β2π₯104πΎ. Artinya pada suhu ruang boleh dibilang electron βmembekuβ pada ground state, kecuali sedikit yang dekat dengan tingkat fermi ππΉ yg mengalami eksitasi. Rata-rata energy eksitasi per partikel β ππ
β’ Hanya sekitar π
ππΉβ 1.5%
electron yang dekat tingkat Fermi yang pindah ke tingkat eksitasi lebih tinggi.
Persamaan Keadaan Gas Fermi Ideal(secara umum)
β’ Trick : Eliminasi z dalam pers. Gas fermi
π
ππ=
1
π3π5
2π§ πππ
1
π£=
1
π3π3
2π§ (1)
β’ Dengan π£ =π
ππππ π =
β
2ππππ
β’ Sebenarnya rumus (1) di atas adalah untuk kasus spinless(s=0)!!!
β’ Jikalau spin 0, maka mesti dimasukkan faktor koreksi (2s+1),
Sebab untuk setiap satu nilai momentum p terdapat ms=-s,-s+1,..,0,..,s yg berbeda bisa ditempati fermion dan semuanyamemiliki energi p yg sama.
Limit Klasik Gas Fermi
β’ Dengan koreksi ini mestinya bentuk yg lebih umum bagipasangan persamaan untuk Fermion adalah:
π
ππ=
(2π + 1)
π3π5
2π§ πππ
1
π£=
(2π + 1)
π3π3
2π§ (2)
β’ Limit klasik (non degenerate Fermi Gas), jika (T tinggi)
kasus π§ = ππ½π βͺ 1
β’ Dalam kondisi ini, maka distribusi FD menjadi MB:
< ππ > =1
π§β1ππ½ππ + 1β π§πβπ½ππ
Limit Klasik (non degenerate Fermi Gas)
β’ Mari kita tinjau kasus spinless Fermion:π
ππ=
1
π3 π52
π§ πππ1
π£=
1
π3 π32
π§ (1)
β’ Untuk kasus z kecil maka:
π3
2
π§ = π§ βπ§2
232
+β― ππππ5
2
π§ = π§ βπ§2
252
(2)
β’ Sub. Pers. (2) ke (1) :π
ππβ
1
π3 (π§ βπ§2
252
) 3π
1
π£=
1
π3 (π§ βπ§2
232
) (3π)
Limit Klasik (non degenerate Fermi Gas)
Tujuan kita mengeliminasi z dari (3a) dan (3b), dengan cara sbb:
Dari (3b)
π3
π£= π§ β
π§2
232
(4)
Pecahkan untuk z:
π§ = 2 1 Β± 1 β 2π§0 ππππππ π§0 =π3
π£(5)
Untuk kecil, dpt diekspansi
1 + Ξ π = 1 + πΞ +n n β 1
2Ξ2 + β―
Limit Klasik (non degenerate Fermi Gas)
Dengan mempertahankan sampai order ke2, diperoleh:
1 β 2π§0 = 1 β1
22π§0 β
1
4π§0
2 + β―
Sehingga dengan mengingat z>0, maka (5) menjadi:
π§ β 2 1 β 1 β1
22π§0 β
1
4π§0
2 + β―
= π§0 +1
232
π§02 + β― (6)
Limit Klasik (non degenerate Fermi Gas)
Memakai aproksimasi z ini, maka persamaan bagi P di (3a) menjadi:
π
ππ=
1
π3π§0 +
1
23/2π§0
2 β
π§0 +1
232
π§02
2
252
+ β―
Mempertahankan suku hingga kuadratis:
π
ππ=
1
π3π§0 +
1
23/2π§0
2 β1
25/2π§0
2 + β― (7)
Arti Limit Klasik
Atau dengan sub. Nilai z0:
ππ£
ππ= 1 +
1
252
π3
π£+ β― (8)
Bentuk terakhir ini dikenal sebagai ekspansi virial (variabelekspansinya (1/v). Pada orde-nol maka kembali diperolehhasil gas ideal:
ππ
ππ= π
Suku koreksi1
252
π3
π£bukan hasil potensial interaksi antar
partikel melainkan murni efek kuantum dari Fermion.
Arti Limit Klasik
β’ Kita bisa memakai z0 untuk memahami arti aproksimasiz<<1.
π§0 =π3
π£βͺ 1 berarti π/π£1/3 βͺ 1 .
Tetapi v1/3 = L: jarak rata-rata antar partikel.
β’ Berarti aproksimasi ini meminta panjang gelombang thermal jauh lebih kecil dibandingkan jarak rata-rata antar partikel.
β’ Artinya efek kuantum dapat diabaikan, jadi partikel terbedakan seperti di kasus gas ideal klasik.
β’ Jadi z<<1 analog dengan kasus klasik yaitu T tinggi
Arti Limit Klasik
β’ Berhubung 1/T, maka << berarti T>>, dan juga v>> berarti N/V << atau low density of particles.
β’ Jadi aproksimasi klasik berlaku baik bilamana : temperaturtinggi kerapatan partikel rendah.
Kasus : Suhu rendah (T<<) Kerapatan besar(3/v >>1) - Fermion pada T rendah
β’ Rezim ekstrim yg lainnya adalah jikaπ3
π£β« 1 atau berarti suhu
rendah dan kerapatan partikel besar. Akibatnya efek kuantum(eksklusi Pauli) menjadi nyata sekali. Fungsi f3/2 tidak bisadiaproksimasi dengan polynomial, akan tetapi mestidiekspansi dengan cara lain (spt dilakukan Sommerfeld, lih. K. Huang, atau appendix slide ini), yaitu :
π3
2
(π§) =4
3 πln π§
3
2 +π2
8
1
ln π§+ β― (9)
β’ Jika kita pertahankan suku ke satu saja (yang akan bagus jikaT0):
Kasus : Suhu rendah (T<<) Kerapatan besar(3/v >>1) - Fermion pada T rendah
π3
π£=
4
3 πln π§
32
Pecahkan bagi z, dan substitusi nilai akan diperoleh:
π§ = ππ½ππΉ (10)
Dengan F energi Fermi yang didefinsikan sbb (lihat Ground state):
ππΉ =β
2π
6π2
π£
2/3
(11)
Fermion Pada Temperatur Rendah
β’ Bagaimana perilaku Fermion pada T rendah tapi bukan ground state (T0). Telah diturunkan di (9)-(11), untuk order terendah(kasus spinless fermion):
π3
π£=
4
3 πln π§0
32
ln π§0 =3 π
4π£π3
2/3
= π½ππΉ =ππΉ
ππ=
ππΉ
π
β’ Dengan suhu Fermi didefinisikan sbg: F = kTF.
Fermion Pada Temperatur Rendah
β’ Untuk ketelitian yang lebih baik, maka:
π3
π£=
4
3 π[ ln π§
32 +
π2
8
1
ln π§+ β―]
Atau dapat dituliskan
ln π§0
32 = [ ln π§
32 +
π2
8
1
ln π§+ β― ]
Fermion Pada temperatur rendah
ππΉ
π
32
= [ ln π§32 +
π2
8
1
ln π§+ β― ]
Atau dapat disusun ulang menjadi:
ln π§32 =
ππΉ
π
32
βπ2
8
1
ln π§
Trick, suku ln π§ di ruas kanan di aproksimasi dengan ln π§0 =TF
T:
Sehingga menjadi :
ln π§32 β
ππΉ
π
32
βπ2
8
ππΉ
π
β12
βππΉ
π
32
1 βπ2
8
ππΉ
π
β2
Fermion pada temperatur rendah
Selanjutnya dengan aproksimasi : (1+x)n=1+nx+β¦, maka:
ln π§ βππΉ
π1 β
π2
12
π
ππΉ
2
Padahal z = e, maka untuk suhu rendah dekat ground state:
π π β ππΉ 1 βπ2
12
π
ππΉ
2
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.5 1 1.5
/F
TTF
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2
n
E/EF
T=0.1T=0.01
Energi Fermion Pada Suhu Rendah
β’ Energi total sistem Fermion diberikan oleh:
π = Ξ£πππππ =π
β3
0
β
π3πππππ =π
β3
0
βππ
ππ½ ππβπ + 1π3π
=4ππ
β3
0
βπ2ππ
ππ½ ππβπ + 1ππ
Dengan ππ =π2
2πdan integrasi parsial akan diperoleh:
π =π½π
20π2π2β2
0
βπ6 ππ½ ππβπ
ππ½ ππβπ + 12 ππ
Energi Fermion Pada Suhu Rendah
β’ Karena kita tidak jauh dari T=0, maka pengali p6 dalamintegrand akan berpuncak di sekitar = F saja. Faktor p6
diuraikan di sekitar pF, maka Sommerfeld (lihat misalnya K Huang) mendapatkan:*)
π =3
5πππΉ 1 +
5
12π2
ππ
ππΉ
2
+ β―
Untuk hasil ini telah dimanfaatkan ungkapan bagi (T) pada suhurendah.
*) atau alternative penurunan di slide bagian belakang
Energi Fermion Pada Suhu Rendah
β’ Persamaan keadaan segera diperoleh melalui:
ππ =2
3π =
2
5πππΉ 1 +
5
12π2
ππ
ππΉ
2
+ β―
β’ Hasil ini menunjukkan bahkan pada T=0 memang tekanantidak=0, sehingga perlu βmewadahiβ Fermion bahkan padaT=0.
Aplikasi: Distribusi Fermion
β’ Teori Bintang Katai
β’ Diamagnetism Landau
β’ Paramagnetism Pauli
β’ De Haas-Van Alphen effect
β’ dll
Apendix: Fungsi Fermi
β’ Untuk suhu rendah (π§ = ππ½π besar! ), maka π3
2
(π§) tak dapat
diuraikan dengan deret kuasa yg biasa.
β’ Tinjau kembali bentuk integralnya:
π32
π§ =4
π
0
β
ππ₯π₯2
π§β1ππ₯2+ 1
β’ Substitusi : π¦ = π₯2 π§ = ππΌ ππ‘ππ’ πΌ = ln(π§)
β’ Maka :
π32
π§ =2
π
0
β
ππ¦π¦
ππ¦βπΌ + 1
Apendix: Fungsi Fermi
β’ Fungsi 1
ππ¦βπΌ+1untuk suhu rendah akan mendekati fungsi
tangga di sekitar π¦ = πΌ. Jadi derivativenya akan serupa delta dirac di sekitar π¦ = πΌ. Sifat ini akan dimanfaatkan.
β’ Integrasi parsial
ππ = π¦ππ¦ π =1
ππ¦βπΌ + 1
0
β
ππ¦π¦
ππ¦βπΌ + 1=
23π¦
32
ππ¦βπΌ + 10
β
β2
3
0
β
ππ¦π¦
32ππ¦βπΌ
ππ¦βπΌ + 1 2
β’ Integrand berpuncak sekitar π¦ = πΌ
Apendix: Fungsi Fermi
0
β
ππ¦π¦
ππ¦βπΌ + 1= β
2
3
0
β
ππ¦π¦
32ππ¦βπΌ
ππ¦βπΌ + 1 2
β’ Substitusi lagi π¦ β πΌ = π‘
0
β
ππ¦π¦
32ππ¦βπΌ
ππ¦βπΌ + 1 2= πΌ3/2
βπΌ
β
ππ‘1 +
π‘πΌ
3/2
ππ‘
ππ‘ + 1 2
β’ Jika πΌ πππ ππ β β
ββ
β
ππ‘1 +
π‘πΌ
3/2
ππ‘
ππ‘ + 1 2
Apendix: Fungsi Fermi
β’ Ekspansikan 1 + π₯ π = 1 + ππ₯ +π πβ1
2!π₯2 + β― .
ββ
β
ππ‘ 1 +3
2
π‘
πΌ+
3
8
π‘
πΌ
2
+ β― .ππ‘
ππ‘ + 1 2
β’ Karena fungsi ππ‘
ππ‘+1 2 adalah fungsi genap (simetrik thd x -
x), maka hanya suku suku terkait tn untuk n genap yang tak NOL.
β’ Definisikan
πΌ0 =
ββ
β
ππ‘ππ‘
ππ‘ + 1 2= 1
Apendix: Fungsi Fermi
β’ Selanjutnya:πΌ1 = πΌ3 = β― .= 0
Dan
πΌπ = 2 0β π‘πππ‘
ππ‘+1 2 ππ‘ untuk n: genap.
Misalnya πΌ2 =π2
3
Sebagai catatan πΌπ bisa dinyatakan dengan fungsi terkenal Riemann Zeta. Dengan uraian ini maka :
π32
π§ =3
4 πln π§ 3/2 +
π2
8
1
ln π§+ β¦ .
Apendix: Fungsi Fermi
π32
π§ =3
4 πln π§ 3/2 1 +
π2
8(ln π§)β2 + β¦ .
β’ Dengan cara serupa dapat diturunkan bahwa:
π52
π§ =8
15 πln π§ 5/2 1 +
5π2
8(ln π§)β2 + β¦ .
Apendix: Fungsi Fermi
β’ Energi rata-rata system
π = βπ
ππ½ln π = ππ2
π
ππln π = ππ2
π
ππ
π
π3π5
2π§
π =3
2ππ
π
π3π5
2(π§)
Dengan bantuan:
π =π
π3π3
2(π§)
Maka :
π =3
2πππ π5
2(π§)/π3
2π§
Apendix: Fungsi Fermi
β’ Dengan bantuan uraian orde pertama f3/2 dan f5/2 maka :
π =3
5πππ ln π§ 1 +
π2
2ln π§ β2+. .
Mengingat bahwa :
π = ππ ln π§ β ππΉ 1 βπ2
12
ππ
ππΉ
2
Maka eliminasi ln z, menghasilkan :
π =3
5π ππΉ 1 +
5π2
12
ππ
ππΉ
2
+ β―