Chap 11a:Interaksi Kuat dan Transisi Fasa

Model Ising:Solusi Eksak 1DMetoda Mean FieldMetoda Transfer MatrixModel-model lainnya

Transisi Fasa

• Transisi fasa terjadi jika ada singularitas di fungsi energy bebas atau turunannya.

• Hal ini ditandai dengan perubahan drastic sifat-sifat bahan.

• Contoh: transisi dari cair ke gas, konduktor ke superkonduktor, paramagnet ke feromagnet

Note : sepanjang garis koeksitensi gas-cair kedua fasa tsb ada. Menyebrangi garis ini akan terjadi lonjakan perubahan rapat massa. Tapi ketika temperature naik, perbedaan rapat massa ini makin kecil. Di atas TC (temperature kritis) perbedaan ini 0

Order Parameter & Singularitas

Magnetisasi (M) sebagai fungsi temperature pada kondisi tanpa medan magnet luar. Di bawah TC terjadi magnetisasi spontan M(T), yang berfungsi sebagai order parameter.

Kalor jenis Argon, sebagai fungsi temperature. Pada TC terjadi singularitas.

Important Concepts of Criticality

• Order Parameter

• Critical Exponent

• Universality

• Transisi fasa order kesatu, kedua, dst.

Berbagai Order Parameter

Critical Exponent (magnetic System)

Critical Exponent (Fluid System)

Universality

Hubungan Mekstat – Thermo Untuk Sistem Magnetik

• Hukum 1 Thermo TdS = dU + Mdh

• Fungsi energi bebas Helmhotz A = U – TS

• dA = dU – TdS – S dT = -Mdh - SdT

A = - kT ln QN

T

kTAU

=

)/(

hT

AS

−=

Th

AM

−=

Th

M

−=

h

hT

UC

=

Definisi Model Ising

•Upaya menjelaskan perubahan yg dramatis sifat-sifat fisisbenda ketika berubah fasa•Korelasi skala mikroskopik mewujud pada skala makrodalam hal derajat keteraturan•Model paling sederhana untuk menjelaskan transisi fasa : Model Ising•Model Ising : Konfigurasi variabel spin yang bisa berhargahanya 2 (up/down) pada titik-titik kisi, dengan Hamiltonian sbb: •Model Ising Nearest Neigbour dg medan

magnet luar

−−= i

i

ij

ji hJH

•J konstanta•<> : hanya tetangga terdekat

J

J

JJ

Definisi Model Ising

−= i

i

ij

jiij hJH 2

1

•Jij konstanta kopling antar spin-i dan spin-j•h medan magnet luar•j variabel spin (=+1 atau -1)•<ij> tetangga-i dan tetangga-j yg dibolehkan terlibat dalaminteraksi•½ : koreksi double counting

Ising-NN : Ground State Solution

• Tinjau : Ising NN , di kisi Bujur sangkar. Solusi saat T=0 → Energi yang terendah

• Misal kasus h=0

• Kasus J>0 energi terendah (GS) bilaseluruh spin searah (up-up/down-down) → Ferromagnetik

• Kasus J<0 energi terendah bila spin berdekatan berlawanan (up-down) →AntiFerromagnetik

−=ij

jiJH

Kisi 1D & 2D

• Misal <ij> hanya antar tetangga terdekat (Nearest Neighbour).

• Energi total keadaan dasar (Groundstate):

1D: J>0 H0 = - J N

2D: Bujur sangkar J>0

H0 = - 4JN/2 = 2JN

(tiap spin 4 tetangga NN, /2 →double counting)

• Order parameter : magnetisasi M =

M → 0 ketika T → ( T > TC )

−=ij

jiJH

Ising NN 1D : Solusi Exact

• Tinjau kasus 1D, NN, h=0, dg syarat batasperiodik

• N+1 = 1

• Fungsi partisi kanonik :

• Tinjau Suku terakhir :

=

−

==

1 2 1}{

......

N

j

jiJH

N eeQ

=

= =

+

1

1

1

2 1

......

N

N

j

jjJ

N eQ

=−

−

=

+=

1

1

1

1

1

1

1

N

N

N

N

j

jj

JJ

N eeQ

( ) −+

=−

−

=

+

1 1

1

1

1

JJ

J

N eeeQN

N

j

jj

( ) −

+

=−

−

=

+

1

11

1

1

1

1

JJ

J

N eeeQN

N

j

jj

−=ij

jiJH

Ising NN 1D : Solusi Exact

−

−

=

+=

1 1

1

1

1

)cosh(2

JeQN

N

j

jjJ

N

)(cosh2 JQ NN

N =

• Selanjutnya dapat diperoleh energy bebas, energy rata-rata, magnetisasi rata-rata, susceptibility dll.

• Energi bebas helmhotz:𝐴 = −𝑘𝑇 ln𝑄𝑁

𝐴 = −𝑁𝑘𝑇 ln 2 cosh(𝛽𝐽)

• Berbagai besaran lain dapat diturunkan dari A.

Intermezo: Model Spin tanpa Interaksi

• Model : N spin tanpa interaksi. Tiap spin =1

• Hamiltonian di bawah medan luar h:

• Fungsi Partisi kanonik:

• Fungsi partisi kanonik 1 spin:

• Fungsi energy bebas 𝐴 = −𝑘𝑇 ln𝑄𝑁

• Magnetisasi rata-rata 𝑀 = −𝜕𝐴

𝜕ℎ 𝑇=

𝑀 =𝜕

𝜕ℎ𝑁𝑘𝑇 ln(2 cosh 𝛽ℎ

𝑇

= 𝑁 tanh(𝛽ℎ)

−=i

ihH

=}{

i

ih

N eQ

( ) NN

i

h

N QheQN

i

1cosh21

===

)cosh(21 heeQ hh =+= −

Intermezo: Model Spin tanpa Interaksi

• Cara lain :

• Fungsi partisi kanonik 1 spin:

• Rata-rata 1 spin:

• Magnetisasi M = N<> = N tanh h

• Untuk suhu tinggi, 𝑀 ≈𝑁ℎ

𝑘𝑇dan suceptibilitas magnetic:

• 𝜒 =𝜕𝑀

𝜕ℎ≈

𝑁

𝑘𝑇

)cosh(21 heeQ hh =+= −

he

e

h

h

tanh==

+

−==

3

3

1tanh

kT

h

kT

hNhNM

Solusi Mean Field Untuk Model Ising

• Tinjau kasus model Ising NN, pada kisibujur sangkar

• Strategi : ubah menjadi model kumpulanspin yang tidak saling berinteraksi, hanyaberinteraksi denga “medan effective”.

• Kuat medan effective (mean field ) akanditentukan secara self-consistent.

• Tinjau sebuah spin sbg pusat dg nilai 0

yg dikeliling 4 tetangga terdekatnya, maka Hamiltonian untuk cluster ini:

=}{

i

ieffh

N eQ

−−= i

i

ij

ji hJH

0

J

J

JJ

0

−−=−−=

==

hJhJHj

j

j

j

4

1

00

4

1

00 )(

Model Ising Umum : Solusi Mean Field

• Misal nilai rata-rata spin = m, maka dpt dituliskan:

• Pendekatan mean field : I - m diabaikan, sehingga,

Suku hMF = (4Jm-h) beraksi sebagai “efektive field” spt sebuah medan external. Hamiltonian mean field untuk central spin 𝜎0

• Kita telah berhasil men-decouple interaksi antar spin!

−+−−=

=

hJmmJHj

j

4

1

00 4)()(

( )hJmHMF −−= 4)( 00

MFMF hH 00 )( −=

Model Ising Umum : Solusi Mean Field

• Problem : bagaimana menentukan hMF ??

• JAWAB: sama seperti kasus non interacting spin!

• Fungsi partisi 1 spin :

• Spin rata-rata m=<>

• Dengan hMF = 4Jm – h, maka

Persamaan mean field

𝑚 = tanh 𝛽 4𝐽𝑚 − ℎ

• Solusi secara grafis dengan melihat titik potong 2 kurva:𝑦1 = 𝑚 𝑑𝑎𝑛 𝑦2 = tanh 𝛽 4𝐽𝑚 − ℎ

MFMF hheeQ

+=−

1

MFh

h

he

e

mMF

MF

tanh===

Analisa Solusi Persamaan Mean Field

• Solusi Persamaan mean field

• 𝑚 = tanh 𝛽 4𝐽𝑚 − ℎ

• Jika h0, selalu ada 3 solusi untuk m

• Jika h=0, maka banyak solusi bergantungpada slope 𝑦2 = tanh(4𝛽𝐽𝑚) di m=0.

– Jika slope 𝑦2 = tanh(4𝛽𝐽𝑚) >1 maka ada 3 solusi : m0 , 0

Non zero solution menggambarkan keadaan

ordered (feromagnetik), sedangkan 0 adalahparamagnetik.

– Jika slope 𝑦2 = tanh(4𝛽𝐽𝑚) <1 maka ada 1 solusi saja : yaitu 0 yg

menggambarkan keadaan paramagnetik (chaos)

h0

h=0

h=0

Temperatur Kritis Menurut Mean Field Theory

• Jadi slope=1 di m=0 dari fungsi 𝑦2 = tanh(4𝛽𝐽𝑚)menyatakan keadaan transisi.

• Berarti di m=0, ekspansi di sekitar m=0,

tanh 𝑥 = 𝑥 −1

3𝑥3 +⋯ , suku pertama saja:

𝑦2 ≈ 4𝛽𝐶𝐽𝑚

• Pada temperature kristis, gradien garis ini :4𝐽

𝑘𝑇𝐶= 1 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑇𝐶 =

4𝐽

𝑘

• Temperature TC disebut temperatur transisi, dariparamagnetik ke feromagneetik

Mean Field Theory meramalkan Finite TC untuk 1D

• Tapi dalam teori mean field ini jelas terlihat bahwa nilai TC

hanya ditentukan jumlah tetangga (terdekat) dalam interaksi saja. Dan bukannya ditentukan oleh detail dari struktur kisi seperti dimensionalitasnya.

• Akibatnya secara salah mean field meramalkan adanya temperature transisi yang berhingga >0.

• Hal ini akan dilihat ketika kasus 1D Ising diselesaikan secara eksak/analitik.

Order Parameter

Dalam transisi fasa ada besaran yg didefinisikan sbg orderparameter yaitu yg nilainya berubah drastis ketika fasaberubah dari ordered-state ke dis-ordered state.

Dalam model ising ini, m : magnetisasi perspin (rata-rata spin) adalah order parameter, sebab m=1 ketika sistem fully ordered (feromagnetik) dan m=0 ketika disorder state (paramagnetik).

Untuk kasus h=0, maka :

𝑚 = tanh4𝐽𝑚

𝑘𝑇= tanh 𝑚

𝑇𝑐𝑇

Definisikan parameter kecil ketika 𝑇 → 𝑇𝐶 ∶ 1 + 𝑡 =𝑇

𝑇𝐶

Order Parameter

• Maka

𝑚 = tanh𝑚

1 + 𝑡

• Uraikan tanh 𝑥 = 𝑥 −𝑥3

3+⋯ , untuk x kecil maka

𝑚 =𝑚

1 + 𝑡−1

3

𝑚

1 + 𝑡

3

+⋯ .

• Karena t kecil, untuk 𝑚 ≠ 0

1 = 1 − 𝑡 −1

3𝑚2 1 − 3𝑡 +⋯ .

𝑚2 ≈−3𝑡

1 − 3𝑡≈ −3𝑡 1 + 3𝑡 ≈ −3𝑡

Dengann mengabaikan suku-suku 𝑡𝑛 untuk n>1.

Order Parameter

Jadi

𝑚 ≈ 3 1 −𝑇

𝑇𝑐

1/2

• Eksponen (1/2) disebut critical exponent, dipercaya bahwa critical exponent ini sesuatu yg berlaku umum hanya bergantung dimensionalitas dari model.

• Hal tsb di atas disebut Universality

SOLUSI Eksak Ising-NN 1DMetoda Transfer Matrix

( )=N

NJJJJ

N eeeeQ

1433221

1

Model Ising NN 1D, dapat dipecahkan secaraeksak tapi tidak meramalkan adanya transisifasa.

Model Ising NN 2D, dapat dipecahkan secaraeksak oleh Onsager dan meramalkan adanyatransisi fasa.

Fungsi partisi kanonik untuk model Ising 1D NNtanpa medan luar dapat ditulis ulang sbb (dg syarat batas periodin N+1 = 1

=

+−=N

i

iiJH1

1

= =

+

N

N

i

iiJ

N eQ

1

1

1

Metoda Transfer Matrix

=1

1433221 ,,,,

N

NPPPP

( ) =1

1433221

2

N

NJJJJ

N eeeeQ

Bentuk terakhir mengikutiperkalian matrixs:

Definisikan matrix P sbb:

=

=1i

ikjiij bac

Metoda Transfer Matrix

J

J

J

J

eP

eP

eP

eP

=−−

=−+

=+−

=++

−

−

11

11

11

11• Meminjam notasi mekanika kuantum bra-ket:

• Sehingga QN boleh ditulis ulang:

=

=

1

21

11

13221 ....................

N

NN

P

PPPQN

Metoda Transfer Matrix

• Hasil terakhir ini menyatakan QN = Trace (PN )

• Menurut sifat matrix Trace (PN ) :

• Dengan adalah eigenvalue dari P,

• Jadi fungsi partisinya (dalam limit thermodinamika N → dengan1

adalah nilai eigen TERBESARnya.

( ) NN

j

N

jNQ 21 +==

)sinh(2

)cosh(2

2

1

Jee

Jee

JJ

JJ

=−=

=+=

−

−

N

N

N

NQ 1

1

21 1

+=