C - Dwipurnomoikipbu's Blog | Just another … · Web viewIntegral fungsi trigonometri berbentuk...

BAB II

METODE INTEGRASI

Standar Kompetensi

Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat

memahami metode-metode dalam integrasi dan sifat-sifat dari masing-masing

metode integrasi tersebut.

Kompetensi Dasar

1. Mahasiswa dapat menentukan antiturunan fungsi dengan menggunakan

metode substitusi.

2. Mahasiswa dapat menentukan antiturunan fungsi-fungsi trigonometri.

3. Mahasiswa dapat menentukan antiturunan suatu fungsi dengan menggunakan

metode substitusi fungsi trigonometri.


metode integral parsial.


metode integral fungsi rasional.


metode integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri.

Bab II dalam buku ini membahas enam hal pokok tentang metode integrasi

fungsi, antara lain: (1) metode substitusi, (2) integral fungsi trigonometri, (3)

metode substitusi fungsi trigonometri, (4) integral parsial (5) integral fungsi

rasional (6) integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri.

Antiturunan suatu fungsi dapat dilakukan dengan beberapa metode.

Metode-metode yang digunakan tersebut bertujuan untuk memudahkan dalam

menentukan antiturunan fungsi yang diketahui yang dalam hal ini adalah integran

dari bentuk integral yang diberikan. Selanjutnya dalam bab ini disajikan 6 metode

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 30

yang digunakan untuk menentukan integral fungsi dan masing metode

mempunyati ciri-ciri tertentu. Metode dalam integrasi dimaksud adalah:

1) Metode substitusi,

2) Integral fungsi trigonometri,

3) Metode subtitusi fungsi trigonometri,

4) Integral parsial

5) Integral fungsi rasional, dan

6) Integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri

2.1 Metode Substitusi

Metode substitusi disebut juga metode pemisalan. Metode ini pada

umumnya digunakan untuk memudahkan menentukan antiturunan fungsi

sehingga bentuk selesaiannya diubah dalam bentuk rumus dasar integral tak tentu

dan rumus dasar yabg diperumum yaitu;

a. asalkan n -1

b. asalkan n -1

Secara lebih khusus dapat dijelaskan bahwa metode substitusi digunakan

jika integrannya berbentuk fungsi berpangkat yaitu atau bentuk

lain yaitu variabel yang tidak sejenis dengan tanda diferensialnya atau tanda

integrasinya. Misalnya , variabelnya 2x sedangkan tanda

integrasinya dx. variabelnya (2x-1) sedangkan tanda

diferensialnya dx dan jenis yang lainnya.

Jika integrannya berbentuk n bilangan bulat maka yang

disubstitusi adalah selanjutnya gunakan diferensial pada masing-masing

bagian dan lakukan substitusi pada persoalan yang diberikan. Jika integrannya

n bilangan rasional maka yang disubstitusi adalah Selanjutnya

ubah pangkat menjadi bulat dan gunakan diferensial sebagaimana dijelaskan

di atas. Setelah substitusi dilakukan selanjutnya masing-masing bagian


didiferensialkan dan akhirnya dapat digunakan rumus umum seperti yang telah

disebutkan sebelumnya. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh di bawah

ini.

Tentukan integran berikut ini:

1.

Jawab

Substitusikan

Substitusi bentuk terakhir ke , diperoleh

Dengan rumus integral dasar di dapat

Karena

Sehingga

2.

Jawab

Substitusi


Sehingga

Karena

Sehingga

3.

Substitusi

Sehingga


Karena

Sehingga

4.

Jawab

Substitusikan

Sehingga

Karena

Sehingga

5.

Jawab

Substitusikan


Sehingga

Karena

Sehingga

6.

Jawab

Substitusi Misal

Sehingga

Karena

Sehingga

7.

Jawab


Substitusi

Sehingga

Karena

Sehingga

Akhirnya diperoleh

8.

Jawab

Substitusikan

Sehingga


Sehinggga

Soal-soal

Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.


10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

2.2 Integral Fungsi Trigonometri

Sebelum membahas metode integrasi pada fungsi trigonometri secara lebih

mendetail, berikut ini diberikan beberapa integral dasar fungsi trigonometri yang

menjadi acuan untuk menentukan hasil pengintegralan yang akan ditentukan

antiturunannya. Bentuk-bentuk dasar integral fungsi trigonometri adalah:

1)

2)

3)

4)

5)


6)

Berdasarkan bentuk-bentuk dasar integral fungsi trigonometri di atas,

selanjutnya diberikan beberapa metode integrasi fungsi trigonometri yang masing-

masing berbeda cara menyelesaikan. Bentuk integral fungsi trigonometri yang di

bahas adalah:

1. Bentuk

Integral fungsi trigonometri berbentuk dibedakan

dalam dua kasus, yaitu:

Kasus 1: m adalah bilangan ganjil

Jika m bilangan bulat positip ganjil, maka m diubah menjadi (m-1) + 1,

atau m digenapkan terdekat. Selanjutnya substitusi dengan menggunakan

kesamaan identitas dan diferensial atau

. Akhirnya dengan substitusi tersebut didapat kesamaan antara

integran dengan tanda integrasinya, sehingga pengintegralan mudah diselesaikan.

Contoh:

Tentukan integral berikut:

1.

Jawab

Sehingga

2.


Jawab

Sehingga

3.

Jawab:

Karena tanda integrasinya belum sama dengan vaiabel integral maka

gunakan substitusi terlebih dahulu.

Substitusikan dan atau

sehingga

Sehingga


Kasus 2: m adalah bilangan genap

Jika m bilangan bulat positip genap, selesaiannya dapat dilakukan dengan

menggunakan substitusi kesamaan setengah sudut

sehingga atau

Contoh:

Tentukan pengintegralan berikut ini.

1.

Jawab

Sehingga

2.

Jawab


Sehingga

3.

Jawab

Substitusikan Misal

diperoleh atau , sehingga

Sehingga

Soal-soal

Tentukan pengintegralan berikut ini.


1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

b. Bentuk

Integral fungsi trigonometri berbentuk dibedakan dalam

dua kasus, yaitu:

Kasus 1 : m atau n ganjil

Jika m atau n bilangan bulat positip ganjil, pilih yang ganjil m atau n. Jika

dipilih m, ubah m menjadi (m-1)+1 demikian pula jika yang dipilih n, ubah n

menjadi (n-1)+1. Pemilihan tidak boleh sekaligus. Selanjutnya gunakan kesamaan

identitas dan sifat diferensial dan

dan akhirnya pengintegralan dapat dilakukan dengan cara

sebelumnya.

Contoh

Tentukan integral berikut ini.

1.


Jawab

Karena salah satu pangkatnya 3 (ganjil), pilih yang ganjil dan ubah

menjadi (3-1)+1, dan gunakan kesamaan identitas diperoleh

Sehingga

2.

Jawab

Karena salah satu pangkatnya 3 (ganjil), pilih yang ganjil dan ubah

menjadi (3-1)+1, dan gunakan kesamaan identitas diperoleh

Sehingga

3.


Jawab

Karena kedua pangkatnya 3 (ganjil), pilih salah satu pangkat dan diubah

menjadi (3-1)+1, selanjutnya gunakan kesamaan identitas diperoleh

Atau

Sehingga

Kasus 2 : m dan n genap sekaligus.

Jika m dan n genap sekaligus, digunakan kesamaan setengah sudut

dan . Selanjutnya substitusikan kesamaan

pada integran dan akhirnya diperoleh hasil pengintegralannya.

Contoh

Tentukan integral berikut ini:

1.

Jawab

Kedua pangkat bilangan genap, sehingga diperoleh:


Sehingga

2.

Jawab

Karena kedua pangkatnya bilangan genap, untuk menentukan selesaiannya

gunakan kesamaan setengah sudut dan

.


Sehingga

c.

Integral fungsi trigonometri berbentuk

dibedakan dalam dua kasus.

Kasus 1: n bilangan ganjil

Jika n ganjil diubah menjadi (n-1)+1, selanjutnya gunakan kesamaan

atau dan sifat diferensial

atau

Contoh

Tentukan integral berikut ini

1.

Jawab

Karena pangkat integran ganjil maka ubah 3 = (3-1)+1, selanjutnya

gunakan kesamaan identitas dan

Sehingga diperoleh


Sehingga

2.

Jawab

Karena pangkat integran ganjil maka ubah 3 = (3-1)+1, selanjutnya

gunakan kesamaan identitas dan

diperoleh

Sehingga

Kasus 2: n bilangan genap

Jika n bilangan genap, maka digunakan kesamaan identitas dan

. Selanjutnya dengan menggunakan sifat diferensial

atau

Contoh


1.

Jawab


Sehingga

2.

Jawab

Sehingga

d. , dan

Integral fungsi trigonometri berbentuk dan

dibedakan menjadi dua kasus.

Kasus 1: m atau n genap

Jika m atau n genap, pilih salah satu yang genap dan selanjutnya

digunakan kesamaan atau dan sifat diferensial

atau


Contoh


1.

Jawab

Karena salah satu pangkat bilangan genap, maka langsung gunakan

kesamaan identitas 1+tan , sehingga diperoleh

Sehingga

2.

Jawab

Karena keduanya genap, pilih salah satu pangkat bilangan genap dan

digunakan kesamaan atau dan sifat

diferensial atau , sehingga diperoleh

Sehingga

Kasus 2: m atau n ganjil

Dalam kasus ini pilih yang ganjil dan gunakan atau

dan digunakan kesamaan atau

.


Contoh:


1.

Jawab

Sehingga

2.

Jawab

Sehingga

e. ,

Integral bentuk ini juga sering muncul, untuk menyelesaikannya

digunakan rumus kesamaan hasil kali, yaitu:


Contoh


1.

Jawab

Sehingga

2.

Jawab

Sehingga

3.

Jawab


Sehingga

Soal-soal

Tentukan hasil integral berikut ini.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.


17.

18.

19.

20.

2.3 Metode Substitusi Fungsi Trigonometri

Metode substitusi fungsi trigonometri digunakan untuk menyelesaikan

integral fungsi jika integrannya memuat bentuk-bentuk:

1.

2.

3.

atau bentuk lain yang dapat diubah menjadi bentuk di atas, misalnya

1.

2.

3.

4. yang dapat diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna.

Untuk memudahkan memahami, dalam bab ini dibahas tiap-tiap kasus yang ada.

1. Integrannya memuat atau bentuk lain yang dapat diubah

menjadi sejenisnya.

Selesaiannya menggunakan substitusi

dengan .


Karena

Selanjutnya perhatikan gambar segitiga siku-siku berikut ini.

Karena maka

Selanjutnya bentuk dan substitusikan ke dalam

integral semula, sehingga dapat ditentukan antiturunannya.

Contoh:

Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:

1.

Jawab

substitusi

Sehingga


Sehingga

Atau

2.

Jawab

Substitusikan

, sehingga


Sehingga

3.

Jawab

Substitusikan

dan

4.

Jawab

Substitusi

s

, sehingga


Soal-soal

Kerjakan soal berikut sebagai latihan bagi pembaca

1.

2.

3.

4.

5.

6.


7.

8.

9.

2. Integrannya memuat atau bentuk lain yang dapat

diubah menjadi sejenisnya.

Selesaiannya menggunakan substitusi atau sehingga

didapatkan dan , dengan


Karena maka

Selanjutnya bentuk dan substitusikan ke dalam

integral semula dan akhirnya dapat ditentukan selesaian integral yang diketahui.

Contoh:

Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini.

1.

Jawab

Substitusikan


, sehingga

2.

Jawab

Substitusikan

= sec t,

sehingga

Soal-soal


Kerjakan soal berikut sebagai latihan

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

3. Integrannya memuat atau bentuk lain yang dapat diubah

menjadi sejenisnya.

Selesaiannya menggunakan substitusi sehingga ,

dengan .


Karena maka

Selanjutnya bentuk dan disubtitsusikan ke

dalam integral semula sehingga dapat ditentukan antiturunannya.


Contoh:


1.

Jawab

Substitusikan

sehingga

2.

Jawab

Substitusikan

Sehingga


Sehingga

Soal-soal

Kerjakan pengintegralan berikut sebagai latihan.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

2.4 Integral Parsial

Integral parsial secara umum digunakan untuk menentukan selesaian

integral fungsi yang integrannya merupakan perkalian dua fungsi dan


Karena , maka menurut definisi diferensial dan turunan fungsi

diperoleh

Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh

Bentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial. Prinsip yang digunakan

dalam integral parsial adalah integran yang berbentu uv di manipulasi menjadi

udv dan dalam menentukan udv tidak boleh memunculkan persoalan yang lebih

sulit dibandingkan dengan tersebut.

Contoh

Tentukan integral persial berikut ini

1.

Jawab

Bentuk diubah menjadi

misal dan sehingga

dan

Akibatnya

Dengan rumus integral parsial

, diperoleh

Sehingga


2.

Jawab

Bentuk diubah menjadi

misal dan sehingga

dan

Sehingga dx =

Berdasarkan rumus integral parsial

, diperoleh

Sehingga

3.

Jawab

Pilih maka

, , sehingga:

Diperoleh bentuk yang juga diselesaikan dengan metode

parsial


Pilih maka

, , sehingga:

Akhirnya diperoleh

4.

Jawab

Pilih maka

, , sehingga:

Selanjutnya diperoleh


5.

Jawab

Pilih maka

, , sehingga:

Selanjutnya diperoleh

Berdasarkan contoh di atas kerjakan soal di bawah ini sebagai latihan.

1.

2.

3.

4.


5.

6.

7. dx

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

2.5 Integral Fungsi Rasional.

Fungsi rasional adalah fungsi yang bentuk umumnya dinyatakan dalam

bentuk , dimana adalah fungsi pangkat banyak

(polinomial) dan .

Fungsi pangkat banyak adalah suatu fungsi yang secara umum dinyatakan dalam

bentuk:


dengan sehingga fungsi

rasional adalah fungsi berbentuk yang pembilang dan penyebutnya

polinomial.

Contoh

.......... fungsi rasional sejati

.......... fungsi rasional tidak sejati

.......... fungsi rasional tidak sejati

Berdasarkan contoh di atas, (1) disebut fungsi rasional sejati, karena

derajat pembilang lebih kecil dari derajat penyebut, (2) dinamakan fungsi rasional

tidak sejati karena derajat pembikang dan penyebu sama, dan (3) disebut fungsi

rasional tidak sejati, karena derajat pembilang lebih besar dari derajat penyebut.

Untuk langkah selanjutnya jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati,

maka fungsi tersebut diubah menjadi fungsi rasional sejati. Melalui proses

pembagian panjang akan diperoleh fungsi rasional sejati. Sehingga:

Dalam menentukan integral fungsi rasional , langkah yang

ditempuh adalah:

1. Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati.

2. Faktorkan penyebut g(x) dari fungsi rasional sampai

tidak dapat difaktorkan lagi.

3. Dalam hal langkah nomor 2 di atas, g(x) dapat berupa kombinasi antara:


1. fungsi linear berbeda,

2. fungsi linear berulang,

3. fungsi liner dan kuadrat,

4. fungsi kuadrat berbeda,

5. fungsi kuadrat berulang, dan seterusnya.

4. Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan n-pecahan parsial sehingga

integran dapat ditentukan antiturunannya,

Misal :

(penyebut kombinasi liner berbeda)

(kombinasi lenear berulang)

(kombinasi kuadrat berbeda)

(kombinasi linear dan kuadrat)

Integralkan secara keseluruhan jumlah n-pecahan parsial tersebut yang

merupakan hasil akhir pengintegralan dengan terlebih dahulu menentukan

konstanta dan Berdasarkan kombinasi faktor

dari penyebut pada integran, maka hasil integralnya dapat ditentukan dengan

menggunakan metode sebelumnya setelah diperoleh masing-masing konstanta.

Untuk lebih jelasnya integral fungsi rasional dibedakan dalam beberapa kasus.

Kasus 1: Penyebut dapat difaktorkan menjadi fungsi linear berbeda.

Contoh:

Tentukan integral di bawah ini

1.

Karena intergran adalah fungsi rasional sejati, selanjutnya faktorkan

integran:


Diperoleh A + B = 0 , A – B = 2 atau A = 1, B = -1 sehingga:

Sehingga

2.

Jawab

Karena integran fungsi rasional tidak sejati, maka disederhanakan

terlebih dahulu sehingga diperoleh:

Sehingga

3.

0 Jawab


Diperoleh

A + B + C = 0

A + 3B – 2C = 1

-6A = 1

Atau

Sehingga

Soal-soal

Tentukan hasil pengintegralan berikut:

1.

2.

3.


4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Kasus 2: Penyebut dapat difaktorkan menjadi fungsi linear berulang.

Contoh

Tentukan integral fungsi rasional berikut ini.

1.

Jawab

Sehingga diperoleh


A = 1 , B – 2A = 1 atau A = 1 dan B+ 3, sehingga

2.

Jawab

Integran di atas bukan fungsi rasional sejati, untuk menentukan

selesaiannya ubah integran menjadi fungsi rasional sejati. Sehingga:

Selanjuntnya

Diperoleh A = 5, 2A + B = 4 atau A = 5, B = -6, sehingga:


3.

Jawab

Diperoleh

A+ B = 0, C-2A = 3, A-B+C = 5 atau A = ½, B = -1/2, C = 4, sehingga

4.

Jawab

Integran bukan fungsi rasional sejati, untuk menentukan faktor dari


pembilang integran dibuat menjadi fungsi rasional sejati

Selanjutnya dicari

Sehingga didapat

atau

Hasil akhir pengintegralan

Soal-soal

Tentukan

1.

2.

3.


4.

Kasus 3: Penyebut dapat difaktorkan dalam kombinasi linear dan kuadrat.

Artinya penyebut dapat difaktorkan dalam bentuk kombinasi linear dengan

kuadrat atau kuadrat dengan kuadrat.

Selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijadikan jumlah pecahan n parsial

, berdasarkan jumlah tersebut dapat ditentukan A,B,

dan C.

Contoh


1.

Jawab

Karena integran fungsi rasional sejati maka

Diperoleh

A+4B = 6, (B+4C) = -3, (A+C) = 1 atau A = 2, B = 1, dan C = -1

sehingga:


2.

Jawab

Integran merupakan fungsi rasional sejati, sehingga

Diperoleh

A+C = 1, B+D = 1, 2A+C= 1, 2B+D = 2 atau A=0, B=1, C=1, D=0

sehingga:

3.

Jawab

Jawab: Penyebut adalah kombinasi linear berbeda dan

dengan kuadrat sehingga:


Maka diperoleh

A + B + C = 1, -2A+3B+C+D = -8, A+B+D-6C = 0, -2A+3B-6D = -1

atau

A = 2, B = -1, C = 0, D = -1

Jadi

4.

Jawab

Didapat A+B = 2, C = 1, 4A = -8 atau A = -2, B = 4, dan C = 1


Didapat

5.

Didapat

Soal-soal


1.

2.

3.


4.

5.

6.

2.6 Integral Fungsi Rasional yang Memuat Fungsi Trigonometri

Fungsi mememuat fungsi trigonometri

dapat juga dikategorikan sebagai fungsi rasional, hanya saja tidak dapat disebut

sejati atau tidak sejati. Hal ini dikarenakan dan tidak

mempunyai derajat seperti halnya dengan fungsi polinomial. Pengintegralan jenis

ini menggunakan metode substitusi.

Berikut ini diberikan beberapa contoh fungsi rasional yang pembilang dan

penyebutnya memuat atau

1.

2.

3.

4.

5.

Sehingga dalam bentuk pengingtegralan fungsi rasional yang pembilang dan

penyebutnya memuat fungsi trigonometri adalah:

1.


2.

3.

4.

5.

Selesaian integral bentuk-bentuk di atas adalah menggunakan metode substitusi

sehingga .

Selanjutnya sin x dan coc x di substitusi ke bentuk variabel z.

Karena maka diperoleh

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri yang lain

, sehingga didapat

Dengan rumus jumlah cosinus didapat:


Dengan rumus jumlah sinus didapat:

Dengan demikian integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri dapat

diselesaikan dengan menggunakan substitusi

, ,

Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh di bawah ini.

Contoh


1.

Jawab


Didapat

2.

Jawab

Didapat


3.

Jawab

Didapat

Soal-soal

Selidiki kebenaran hasil pengintegralan berikut ini!

1.

2.

3.


4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.


C - Dwipurnomoikipbu's Blog | Just another … · Web viewIntegral fungsi trigonometri berbentuk...

Documents

Transcript of C - Dwipurnomoikipbu's Blog | Just another … · Web viewIntegral fungsi trigonometri berbentuk...