BAB I - Dwipurnomoikipbu's Blog | Just another … · Web viewBerdasarkan contoh di atas, tampak...

BAB IPENDAHULUAN

1.1 Sistem Bilangan RealSebelum diuraikan tentang sistem bilangan real, marilah kita

mengiingat kembali konsep tentang himpunan (set). Himpunan berperan penting dalam memahamai sistem bilangan real. Secara eksplisit himpunan didefinisikan sebagai sekumpulan objek, unsur atau sesuatu yang mempunyai ciri-ciri, kriteria dan syarat yang tertentu. Objek, unsur atau sesuatu suatu himpunan A dinamakan anggota. Anggota-anggota suatu himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf a, b, c, d, …, atau 1, 2, 3, 4, …. Tanda .sedangkan nama himpunan dinyatakan dengan huruf kapital A, B, C, D, dan seterusnya. Jika a anggota suatu himpunan A, maka dituliskan dan dibaca “a anggota A”. Jika a bukan anggota himpunan A, maka dituliskan dan dibaca “a bukan anggota A. Jika A suatu himpunan dan tidak memiliki anggota, maka A disebut himpunan kosong. Himpunan kosong dinotasikan dengan atau { }.

Untuk menyatakan keanggotaan suatu himpunan, dapat dilakukan dengan metode pencirian (ruler method) dan metode perincian (roster method). Cara penulisan himpunan dengan metode pencirian adalah dengan menuliskan syarat keanggotaan yang dimiliki oleh seluruh anggota suatu himpunan tetapi tidak dimiliki oleh unsur-unsur yang bukan anggota himpunan tersebut. ,Contoh: 1) B = {y|y bilangan prima kurang dari 10}2) C = { x|x faktor prima dari 24}3) D = {x|x2 < 0 } 4) W = {x|x2 – 3x – 4 = 0 }

5) P = {x|x = , a bilangan bulan b bilangan asli kurang dari 5}

6) Q = {x|x adalah pembagi prima dari 24}

Cara penulisan keanggotaan suatu himpunan dengan metode perincian adalah mendaftar seluruh anggota himpunan yang memenuhi syarat dan ketentuan yang diberikan dalam suatu himpunan. Contoh 1) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}2) B = {senin, selasa, rabu, kamis, jum’at, sabtu}3) C = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}4) D = {merah, kuning, hijau}5) E = { 0 }6) F = { } =

Misal A dan B suatu himpunan, himpunan A disebut himpunan bagian himpunan B, ditulis dengan notasi , jika setiap anggota A merupakan anggota B. Kiranya tidaklah sulit untuk dipahami bahwa

untuk sebarang himpunan A. Jika setiap anggota himpunan anggota A juga merupakan anggota setiap himpuna B maka dinotasikan dengan A B.

Berikut ini diberikan beberapa himpunan bilangan yang banyak ditemukan di Kalkulus Diferensial. Himpunan-himpunan bilangan tersebut adalah:1) Himpunan bilangan Asli (Natural) dan dinotasikan dengan N = {1,

2, 3, 4, 5, ...}. Bilangan asli tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, artinya untuk setiap a, b asli maka (a+b) dan (a.b) bilangan asli. Oleh karena itu, himpunan semua bilangan asli membentuk suatu sistem dan biasa disebut sistem bilangan asli.

Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo- 2

2) Bilangan cacah (whole) dengan notasi W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, … }3) Sistem bilangan asli bersama-sama dengan bilangan nol dan lawan

dari bilangan-bilangan bulat negatif membentuk Sistem Bilangan Bulat, ditulis dengan notasi Z (Zahlen). Z = { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…..}

4) Bilangan pecahan atau rasional (quotient) dan dinotasikan dengan Q.

Sehingga Q = a, b bilangan bulat dan b 0.

p =

q =

r =

Bilangan-bilangan rasional di atas, dapat dinyatakan dalam bilangan-bilangan desimal, yaitu

p = = 0,333333…

q = = -0,285714285714285714….

r = = 3,142857142657142857…

Jika kita cermati, bilangan bilangan desimal di atas selalu berulang angkanya, sehingga bilangan rasional juga disebut bilangan desimal berulang. Sebaliknya kita dapat menentukan bentuk rasional dari bilangan desimal berulang.Contoh:1. 0,12121212 .....

Bilangan 0,12121212..... adalah bilangan desimal dengan 2 angka berulang yaitu angka 1 dan angka 2. Misal banyaknya


angka berulang sebanyak n, maka kalikan bilangan semula dengan 10 , sehingga:Misal x = 0,1212121... 100 x = 12,12121212... 100x – x = (12,12121212…) – (0,12121212..) 99 x = 12

x =

Bentuk rasional dari bilangan 0,1212121… adalah

2. 1,41233333333.....Bilangan 1,41233333333..... adalah desimal dengan 1 angka berulang yaitu angka 3, sehingga Misal x = 1,412333333... 10 x = 14,123333333... 10x – x = (14,12333333...) – (1,412333333…) 9 x = 12,711

x = karena pembilang bukan bilangan bulat

maka

=

Bentuk rasional dari bilangan 1,41233333333..... adalah

3. -0,9826273273273.....Bilangan = -0,9826273273273..... adalah desimal dengan 3 angka berulang yaitu angka 2, angka 7, dan angka 3, sehingga Misal x = -0,9826273273273..... 1000x = -982,6273273273...... 1000x – x = (-982,6273273…) – (0,9826273273…) 999 x = -981,6447


x = , pembilang bukan bilangan bulat, maka:

=

Sehingga -0,9826273273273..... =

4. 0,0543254325432..... Bilangan = 0,0543254325432..... adalah bilangan desimal dengan 4 angka berulang yaitu angka 5, angka 4, angka 3, dan angka 2 sehingga

Misal x = 0,0543254325432..... 10000x = 543,254325432….. 10000x – x = (543,254325432…) - (0,054325432…) 9999 x = 543,2

x =

=

Sehingga 0,0543254325432..... =

5) Bilangan Ir-rasional ( ) yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan

dalam bentuk a,b dan b 0. Karena bilangan rasional dapat

dinyatakan dengan bilangan desimal yang angka-angkanya berulang, maka bilangan Ir-rasional adalah bilangan desimal yang angka-angkanya tidak ada yang berulang.

Dalam kehidupan nyata seringkali dijumpai adanya bilangan-bilangan Ir-rasional. Contoh bilangan irasional antara lain adalah

dan . Bilangan adalah panjang sisi miring segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisi tegaknya masing-masing adalah 1. Perhatikan gambar berikut.


Sedangkan bilangan merupakan hasil bagi antara keliling sebarang lingkaran dengan panjang garis tengah lingkaran tersebut. Perhatikan gambar berikut ini.

Contoh

1) = 1,41421356237... 2) = 1,73205080756...3) = 3,316625790355...4) π = 3.14159265358979….

5) e = 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352…

Berdasarkan contoh di atas, tampak bilangan-bilangan dalam bentuk akar umumnya adalah bilangan desimal yang angka-angkanya tidak ada yang berulang. Sehingga bilangan akar juga disebut bilangan Ir-rasional. Dengan demikian apa yang selama ini

dianggap sama yaitu = tidaklah selalu benar. Karena

adalah bilangan rasional, sedangkan adalah bilangan ir-rasional.

6) Himpunan semua bilangan Ir-rasional bersama-sama dengan bilangan rasional membentuk himpunan semua bilangan real (R).


d1

l1 l2

d2

Seperti telah diketahui, untuk menyatakan sebarang bilangan real seringkali digunakan cara desimal.

Contoh

bilangan-bilangan masing-masing dapat dinyatakan

dalam desimal sebagai Dapat ditunjukkan bahwa bentuk desimal bilangan-bilangan rasional adalah salah satu dari 2 tipe berikut:

i. berhenti ( ), atau

ii. berulang beraturan ( ).

Sifat-sifat Sistem Bilangan RealUntuk sebarang berlaku sifat-sifat

sebagai berikut:1) Sifat komutatif (i). 2) Sifat asosiatif

3) Sifat distibutif perkalian terhadap penjumlahan

4) (i).

(ii).

(iii).

5) (i). (ii).


(iii).

6) (i). , untuk setiap bilangan .

(ii). tak terdefinisikan.

(iii). , untuk setiap bilangan .

7) Hukum kanselasi (i). Jika dan maka .

(ii). Jika maka .

8) Sifat pembagi nol Jika maka atau .

Sifat-sifat terurut bilangan RealPrinsip adalah aturan atau sifat yang digunakan sebagai dasar

atau landasan dalam uraian yang berkaitan dengan bukti sesuatu. Prinsip dapat diambil dari definisi, aksioma, atau dalil-dalil yang “dimunculkan” kembali untuk digunakan pada bagian lain suatu konsep yang memerlukan. Diantara prinsip dalam matematika adalah prinsip urutan (Well Ordering Principle).

Prinsip urutan berkaitan dengan kepositipan dan ketaksamaan antara bilangan-bilangan real. Cara yang dapat dilakukan untuk melakukan sifat keterurutan adalah mengidentifikasi suatu subset khusus dari R dengan menggunakan gagasan “kepositipan”.

Definisi Misalkan P himpunan bagian R dan P . Untuk selanjutnya P disebut bilangan real positip kuat, maka berlaku sifat-sifat berikut ini:(1) Jika a,b P, maka (a+b) P(2) Jika a,b P, maka (a.b) P


(3) Jika a R, maka tepat dari salah satu yang berikut dipenuhi a P, a = 0, -a PDua sifat yang pertama menjamin kesesuaian dari urutan dengan operasi penjumlahan dan perkalian secara berurutan. Sifat (3) biasanya disebut sifat trikotomi karena membagi R menjadi 3 jenis unsur yang berbeda. Dinyatakan bahwa himpunan {-a: a P} dari bilangan real negatip tidak mempunyai unsur persekutuan dengan P, dan selanjutnya himpunan R merupakan gabungan dari tiga himpunan yang saling asing.Definisi 1) Jika a P, kita mengatakan bahwa a adalah suatu bilangan real

positip kuat (strictly positip) dan dituliskan dengan a > 0, Jika a P {0}, maka a disebut bilangan real tidak negatip dan dituliskan dalam bentuk a 0.

2) Jika -a P, kita mengatakan bahwa a adalah suatu bilangan real negatip kuat (strictly negatip) dan dituliskan dalam bentuk a < 0, Jika -a P {0}, maka a disebut bilangan real tidak positip dan dituliskan dalam bentuk a 0.

3) Jika a, b R dan jika a – b P maka dituliskan dalam bentuk a > b atau b < a.

4) Jika a,b R dan jika a – b P {0}, maka a b atau b aUntuk kesepakatan bersama kita akan menuliskan a < b < c yang berarti a < b dan b < c. Demikian juga jika a b dan b c maka a b

c dan seterusnya Berikut ini beberapa teorema yang berkaitan dengan prinsip keterurutan

Teorema 1Misalkan a,b,c R1. Jika a > b dan b > c maka a > c


2. Tepat dari salah satu pernyataan berikut ini dipenuhi a > b, a = b , a < b3. Jika a b dan b a maka a = bBukti 1) a > b maka menurut definisi a – b > 0 atau a – b P b > c maka menurut definisi b – c > 0 atau b – c P Karena a – b P dan b – c P maka menurut definisi diperoleh (a-b) + (b-c) P. Sehingga a – c P atau a > c2) Dengan sifat trikotomi dalam definisi, maka tepat salah satu dari

yang berikut mungkin terjadi a – b > 0, atau a-b = 0, atau –(a-b) = 0 sehingga a > b atau a = b atau a < b.

3) Jika a b, maka a – b 0, sehingga dari bukti (b) kita dapatkan a – b P atau b-a P yakni a > b atau b > a. Dalam kasus lainnya salah satu dari hipotesisi tersebut kontradiksi. Jadi haruslah a = b.

Teorema 21. Jika a R dan a 0, maka a2 > 0 2. 1 > 03. Jika n N, maka n > 0Bukti 1. Dengan sifat trikotomi jika a 0, maka a P atau –a P. Jika a P

maka dengan definisi kita mempunyai a2 = a, untuk a P. Dengan cara yang sama Jika -a P maka dengan definisi sebelumnya diperoleh bentuk (-a)2 = (-a)(-a) P. Dari teorema sebelumnya berakibat bahwa:(-a)(-a) = ((-1)a)((-1)a) = (-1)(-1)a2 = a2. Akibatnya bahwa a2 P. Jadi kita simpulkan bahwa jika a 0, maka a2 > 0.

2. Karena 1 = (1)2, menurut bukti di atas akan menyebabkan bahwa


1 > 0.3. Kita dapat menggunakan induksi matematika untuk membuktikan

pernyataan ini.Pernyataan tersebut benar untuk n = 1 yakni 1 > 0. Selanjutnya kita anggap benar untuk n = k, dengan k bilangan asli. Karena 1 > 0 dan 1 P, maka k + 1 P, sehingga pernyataan di atas benar adanya dengan menggunakan definisi sebelumnya.

Teorema 3Misalkan a,b,c R1. Jika a > b, maka a+c > b+c2. Jika a > b, dan c > d maka a+c > b+d3. Jika a > b, c>0 maka ca > cb4. Jika a > b, c<0 maka ca < cb5. Jika a >0 maka 1/a > 06. Jika a < 0 maka 1/a < 0.Bukti teorema di atas dapat dijelaskan sebagai berikut:1. Karena a > b berarti menurut definisi sebelumnya a – b > 0.

Karena a-b > 0 sehingga a – b P.(a – b ) = (a-b) + (c-c) (a – b ) + (c – c ) = (a+c) – (b+c)Sehingga (a+c) – (b+c) P. Dengan kata lain (a+c) – (b+c) > 0Karena (a+c) – (b+c) > 0 berarti (a+c) > (b+c)

2. Karena a > b, dan c > d berarti a – b > 0 dan c – d > 0.Hal ini berarti a - b P dan c – d P.Menurut definisi bilangan real positip kuat (1) diperoleh(a-b) + (c-d) P. Dengan kata lain (a-c) + (c-d) > 0, atau(a+c) – (b+d) > 0 sehingga berlaku (a+c) > (b+d)

3. Karena a > b, dan c > 0 berarti a – b > 0 dan c > 0.Hal ini berarti a - b P dan c P.


Menurut definisi bilangan real positip kuat (2) diperoleh(a-b) c P. Dengan kata lain (ac – bc) P, atau(ac) – (bc) > 0 sehingga berlaku ac > bd

4. Karena a > b, dan c < 0 berarti a – b > 0 dan c < 0 atau –(c) > 0.Hal ini berarti a - b P dan -c P.Menurut definisi bilangan real positip kuat (2) diperoleh(a-b)(-c) P. Dengan kata lain (bc – ac) P, atau(bc) – (ac) > 0 sehingga berlaku bc > ac

5. Jika a > 0, maka a 0 (berdasarkan sifat trikotomi). Karena a > 0, berdasarkan sifat sebelumnya maka berlaku 1/a 0. Jika 1/a < 0, berdasarkan teorema sebelumnya diperoleh 1 = a(1/a) < 0. Hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa 1 < 0. Jadi haruslah 1/a > 0.

6. Jika a < 0, maka a 0 (berdasarkan sifat trikotomi). Karena a < 0, berdasarkan sifat sebelumnya maka maka berlaku 1/a 0. Jika

1/a < 0, berdasarkan teorema sebelumnya diperoleh 1 = a(1/a) < 0.

Hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa 1 < 0. Jadi haruslah 1/a < 0.

Teorema 4

Jika a,b R, maka a > (a+b) > b.

Bukti.Karena a > b, maka dapat diperoleh a + a > a + b atau 2a > a + b. Demikian pula a > b maka dapat diperoleh a + b > b + b atau a + b > 2b Dari ketaksamaan 2a > a + b dan a + b > 2b didapatkan 2a > a+b > 2b

a=1/2(2a) > ½(a+b) > ½(2b)=b


a > ½(a+b) > b.Akibat dari teorema di atas adalah: jika a R dan a > 0 maka a > 1/2a > 0.

Soal-soal 1) Misalkan a,b.c. d R, buktikan pernyataan berikut:

a) Jika a < b, b < c maka ad+bc < ac+bdb) Jika a b dan c < d, maka a+c < b+dc) a2 + b2 = 0 jika dan hanya jika a=0 atau b=0

1) Carilah bilangan a,b,c,d R yang memenuhi 0 < a < b dan a < d < 0 dan berlakua) ac < bd

b) ac > bd.

2) Tentukan bilangan real x, sedemikian sehingga:a) x2 > 3x +4b) 1 < x2 < 4

c) < x

Garis BilanganSecara geometris, sistem bilangan real R dapat digambarkan

dengan garis lurus. Mula-mula diambil sebarang titik untuk dipasangkan dengan bilangan 0. Titik ini dinamakan titik asal (origin), ditulis dengan O. Pada kedua sisi dari O dibuat skala sama dan disepakati arah positif disebelah kanan O sedangkan arah negatif disebelah kiri O. Selanjutnya, bilangan-bilangan bulat positif 1, 2, 3, … dapat dipasangkan dengan masing-masing titik di kanan O dan bilangan-bilangan dengan titik-titik di sebelah kiri O.


Dengan membagi setiap segmen, maka dapat ditentukan lokasi untuk

bilangan-bilangan dst.

Perhatikan gambar berikut.

Dengan cara demikian, maka setiap bilangan real menentukan tepat satu titik pada garis lurus dan sebaliknya setiap titik pada garis lurus menentukan tepat satu bilangan real. Oleh sebab itu, garis lurus sering disebut pula Garis Bilangan Real.

1.2 Persamaan dan PertidaksamaanIstilah persamaan dan pertidaksamaan umumnya berhubungan

dengan peubah atau variabel. Peubah adalah lambang yang digunakan untuk menyatakan sebarang anggota suatu himpunan. Jika himpunannya real maka perubahnya disebut peubah real. Selanjutnya yang dimaksud dengan peubah dalam persamaan dan pertidaksamaan yang akan dibahas adalah peubah real.

Persamaan adalah kalimat terbuka dalam matematika yang memuat satu peubah atau lebih dengan tanda sama dengan (=). Contoh 1) 2x + 3 = 42) 2x3 + 2x2 = 73) x – y = 12 4) x2 – 3x – 4 = 0

5)

6)


2 1 0 1 2 3

Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka dalam matematika yang memuat satu peubah atau lebih dan tanda ketidaksamaan (<, >, , ). Contoh 1) 2x + 3 > 42) 2x3 + 2x2 73) 2x2 – x 12 4) x2 – 3x – 4<= 0

5)

6)

7)

Karena persamaan dan pertidaksamaan merupakan kalimat terbuka dan mempunyai peubah, maka peubah tersebut dapat ditentukan sehingga memenuhi persamaan atau pertidaksamaan dimaksud, sehingga persamaan atau pertidaksamaan mempunyai arti dan bernilai benar. Nilia peubah yang memenuhi persamaan atau pertidaksamaa disebut selesaian. Himpunan semua bilangan yang demikian ini disebut himpunan selesaian. Sifat-sifat dan hukum dalam R sangat membantu dalam menentukan selesaian persamaan atau pertidaksamaan.ContohTentukan selesaian persamaan dan pertidaksamaan di bawah ini. 1) 2x + 4 = -3

Penyelesaian:2x + 4 = -3


Jadi selesaian persamaan 2x + 4 = -3 adalah x =

2) x2 – 3x – 4 = 0Penyelesaian

x2 – 3x – 4 = 0

Jadi selesaian persamaan x2 – 3x – 4 = 0 adalah x = 4 atau x = -1

3) Tentukan selesaian pertidaksamaan . Penyelesaian

Jadi, selesaian pertidaksamaan .adalah x > -4Pertidaksamaan tipe lain mungkin lebih sulit diselesaikan dibandingkan pertidaksamaan-pertidaksamaan seperti pada contoh di atas. Beberapa contoh diberikan sebagai berikut.

4) Tentukan selesaian Penyelesaian: Dengan memfaktorkan ruas kiri pertidaksamaan, maka diperoleh:


Telah diketahui bahwa hasil kali 2 bilangan real positif apabila ke dua faktor positif atau ke dua faktor negatif. Oleh karena itu,

(i). Jika ke dua faktor positif maka:

Sehingga diperoleh: .(ii).Jika ke dua faktor negatif, maka:

Diperoleh: .Jadi, selesaian persamaan adalah x < 2 atau x > 3.

Selesaian pertidaksamaan di atas dapat pula diterangkan sebagai berikut: Ruas kiri pertidaksamaan bernilai nol jika . Selanjutnya, ke dua bilangan ini membagi garis bilangan menjadi 3 bagian: .

Pada bagian , nilai keduanya negatif, sehingga hasil kali keduanya positif. Pada segmen , bernilai positif sedangkan bernilai negatif. Akibatnya, hasil kali keduanya bernilai negatif. Terakhir, pada bagian , masing-masing bernilai positif sehingga hasil kali keduanya juga positif. Rangkuman uraian di atas dapat dilihat pada Tabel berikut.

Tanda nilaiKesimpulan

x < 2 - - + Pertidaksamaan dipenuhi2<x<3 + - - Pertidaksamaan tidak

dipenuhix>3 + + + Pertidaksaman dipenuhi


0 2 3 4

x<2 2<x<3 x>3

Jadi, selesaian pertidaksamaan adalah x < 2 atau x > 3.

Metode penyelesaian seperti pada contoh 4 di atas dapat pula diterapkan pada bentuk-bentuk pertidaksamaan yang memuat lebih dari 2 faktor maupun bentuk-bentuk pecahan.5) .Penyelesaian:

Apabila ke dua ruas pada pertidaksamaan di atas ditambah 1, maka diperoleh:

Jika , maka diperoleh: . Selanjutnya, perhatikan table berikut:

Nilai-nilai peubah x = -1, x = 1, x = 2 disebut titik kritis.

Tanda nilai/nilaiKesimpulan

x < -1 - - - - Pertidaksamaan dipenuhi

-1 < x < 1

+ - - + Pertidaksamaan tidak dipenuhi

1 < x < 2

+ + - - Pertidaksamaan dipenuhi

x > 2 + + + + Pertidaksamaan tidak dipenuhi

x = -1 0 -2 -3 0 Pertidaksamaan dipenuhi

x = 1 2 0 -1 0 Pertidaksamaan dipenuhi

x = 2 3 1 0 0 Pertidaksamaan dipenuhi

Jadi, penyelesaian adalah x atau 1 .


Cara lain untuk menentukan selesaian pertidaksamaan .

adalah dengan menggunakan garis bilangan

Dengan memilih satu titik sebarang disetiap interval diatas diperoleh:

- - - - - - - - - + + + + + + + - - - - - - - - - + + + + + + +

Berdasarkan garis bilangan di atas selesaian pertidaksamaan adalah x atau 1 .

6) .

PenyelesaianApabila pada ke dua ruas ditambahkan maka diperoleh:

Nilai nol pembilang adalah , sedangkan nilai nol penyebut adalah 2. Sekarang, untuk mendapatkan nilai x sehingga

diperhatikan tabel berikut:


Tanda nilai/nilaiKesimpulan

x < -2 - - - - Pertidaksamaan tidak dipenuhi

-2 < x < 2

+ - - + Pertidaksamaan dipenuhi

2 < x < 5 + + - - Pertidaksamaan tidak dipenuhi

x > 5 + + + + Pertidaksamaan dipenuhi

x = -2 0 -4 -7 0 Pertidaksamaan dipenuhi

x = 2 4 0 -3 Tidak terdefinisi

Pertidaksamaan tidak dipenuhi

x = 5 7 3 0 0 Pertidaksamaan dipenuhi

Jadi, selesaian pertidaksamaan adalah Berdasarkan contoh di atas, bahwa tampak selesaian suatu persamaan berupa titik (diskrit), sedangkan selesaian pertidaksamaan berupa selang/interval (kontinu).

SelangDiberikan sebarang dua bilangan real a dan b, dengan .

Berturut-turut didefinisikan:


1.3 Nilai Mutlak Misal x suatu bilangan real, nilai mutlak x dinotasikan dengan

dan didefinisikan sebagai panjang atau jarak bilangan tersebut dari bilangan 0. Definisi Misal x real maka:

Bentuk lain dari definisi di atas adalah sebagai berikut:.

Contoh

, , , , dst.

Selanjutnya, sifat-sifat nilai mutlak diterangkan sebagai berikut.

Sifat-sifat Nilai Mutlak1. Jika maka:a)b)c)

d)

e) (Ketaksamaan segitiga)f)

Secara geometris, nilai mutlak dapat diartikan sebagai jarak dari a ke x. Sebagai contoh, jika maka artinya x berjarak 7 unit di sebelah kanan atau di sebelah kiri 3 (lihat Gambar 1.1.5).


7 unit 7 unit

Jadi selesaian adalah .█

Dengan mengingat nilai mutlak sebelumnya kiranya mudah dipahami sifat berikut:

2. Jika , maka: .

Contoh,

Dengan cara yang sama

3. Jika , maka: a) .b) .

Contoh Tentukan selesaian pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak di bawah ini: 1) Selesaikan .Jawab


4 3 10

Gambar 1.1.5

Jadi selesaian pertidaksamaan adalah

2) Tentukan semua nilai x yang memenuhi .

Jawab

Selanjutnya, karena:

maka, diperoleh: .█

3) Tentukan selesaian .Jawab:(i). Apabila , maka selalu berlaku untuk setiap x.

Sehingga diperoleh: .(ii). Jika , maka:

Dari (i) dan (ii), diperoleh .█


4) Tentukan selesaian .

Penyelesaian: Berdasarkan nilai mutlak dperoleh:

Jadi selesaian pertidaksamaan adalah .

4.

Contoh Tentukan selesaian dari pertidaksamaana. Jawab Menurut sifat 4 di atas, maka:

Titik kritis pertidaksamaan adalah x = 7/3 dan x = 5 sehingga gambar garis bilangan

+++++++++++ - - - - - - - - - - - - - +++++++


Jadi selesaian pertidaksamaan adalah (-

Soal LatihanTentukan selesaian pertidakasamaan dibawah ini!1. 2. 3. 4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19. 20. 21.

Untuk soal 22 – 24 tentukan x sehingga masing-masing pernyataan mempunyai arti.

22. 23. 24.

25. Jika dan maka tunjukkan .

26. Jika maka tunjukkan bahwa . Bilangan disebut

rata-rata aritmatika dari bilangan a dan b.27. Jika maka tunjukkan bahwa . Bilangan disebut

rata-rata geometri dari bilangan a dan b. Tunjukkan pula bahwa rata-rata geometri dari bilangan a dan b kurang dari rata-rata aritmatikanya.

28. Tunjukkan bahwa .

29. Jika dan maka tunjukkan .


30. Jika dan , tunjukkan .

1.4 Sistem KoordinatSistem koordinat adalah suatu cara/metode untuk menentukan

letak suatu titik. Ada beberapa macam sistem koordinat: Sistem Koordinat Cartesius, Sistem Koordinat Kutub, Sistem Koordinat Tabung, dan Sistem Koordinat Bola. Pada bagian ini hanya akan dibicarakan Sistem Koordinat Cartesius dan Sistem Koordinat Kutub saja.

Sistem Koordinat Cartesius

Pada gambar di atas, terdapat 4 bidang simetris yang dibatasi oleh sumbu-sumbu koordinat (sumbu X dan Y), masing-masing bidang yang dibatasi oleh bidang dinamakan kwadran. Terdapat 4 kwadran,


yaitu kuadran I (x>0, y>0), kwadran II (x<0, y>0), kwadran III (x<0, y<0), dan kwadran IV (x>0, y<0)Misalkan P(x,y) sebarang titik pada bidang XOY, maka titik tersebut posisinya dapat dikwadran I, atau II, atau III, atau kwadran IV tergantung besaran x dan y. Misal P(x,y), maka x disebut absis, y disebut ordinat dan P(x,y) disebut koordinat. Perhatikan gambar berikut ini. Misal P(x1,y1) dan terletak di kwadran I hal ini berarti x1 >0 dan y1 >0

Dari gambar di atas, terdapat segitiga yang salah satu sudutnya situ-siku dititik M ( . Menurut teoram PythagorasOP2 = OM2 + MP2

= (x1-0)2 + (y1-0)2

= x12 + y12

=


Bentuk ini dinamakan humus jarak dua titik yang menghubungkan titik O(0,0) dengan titik P(x ,y )

Jarak antara Dua Titik pada Bidang Misal titik P( dan titik Q( terletak pada bidang, maka jarak dua titik P dan Q dapat dinyatakan dengan rumus

Untuk membuktikan rumus tersebut dapat dilakukan dengan menggunakan teorema Pythagoras.Selanjutnya perhatikan gambar berikut ini!

Berdasarkan gambar di atas, pandang PSQ, dengan menggunakan teorma Pythagoras PQ = PS + SQ

=

=


SelanjutnyaPada gambar di atas M adalah sebarang titik pada garis PQ dengan perbandingan PM:MQ = m : nKarena PM : MQ = m : n, maka diperoleh PM’ : MQ’ = m : n dan MM’ : QQ’ = m : n Selanjutnya akan dicari koordinat M.Karena

maka =

n(x(m+n)x

x = =

Dengan cara yang sama

maka =

n((m+n)y

y =

Diketahui P(x1,y1) dan Q(x2,y2) M(x,y) titik tengah PQ maka Koordinat M dapat ditentukan dengan humus

dan

Contoh 1) Tentukan jarak titik P(3,5) dan Q(1,-6). Jawab Untuk menentukan jarak titik P dan Q dapat digunakan rumus


= = = = 5

2) Tunjukkan bahwa titik-titik A(3,8), B(-11,3), dan (-8,-2) adalah titik-titik sudut dari segitiga sama kaki ABC.

Jawab Dengan menggunakan rumus jarak dua titik, diperoleh = dan =

3) Tunjukkan bahwa titik A(-3,-2), B(5,2) dan C(9,4). Jawab Terlebih dahulu dicari panjang AB, BC, dan AC Dengan humus jarak dua titik diperoleh AB = 54 , BC = 2 dan

AC = 6 , sehingga AC + BC = AC, hal ini berarti titik A, B, dan C terletak pada satu garis lupus

Gradien Garis Lurus


Selanjutnya jika garis PQ diperpanjang, maka garis tersebut akan memotong sumbu X atau sumbu Y. Sudut yang dibentuk oleh garis PQ dengan sumb X disebut disebut inklinasi.Selanjutnya perhatikan PQR, menurut perbandingan goniometri diperoleh

tan =

=

Perbandingan goniometri tersebut selanjutnya disebut kemiringan atau gradien atau tangensial dan dinotasian dengan

m = tan = = .

Dengan demikian gradien garis lurus didefinisikan sebagai tangen dari sudut inklinasi. Misal l dan l dua garis yang terletak pada sumbu koordinat, maka beberapa hal yang mungkin adalah kedua garis sejajar, berpotongan, atau saling tegak lurus. Jika l dan l sejajar maka m( l ) = m(l ). Jika l dan l tegak lurus maka, perhatikan gambar di bawah ini


Karena l dan l saling tegak lurus, maka , sehinggatan = ( )

=

=

=

=

=

Karena l dan l saling tegak lurus, maka , sehingga haruslah 1 + m m = 0 atau m m = -1

Luas Poligon yang Titik Sudutnya DitentukanPerhatikan gambar berikut!Misal P , Q , dan R . Adalah titik sudut segitiga yang terletak pada bidang XOY seperti berikut.


Pada gambar di atas, luas PQR adalah= (Luas trapesium PP’Q’Q + luas trapesium QQ’R’R)- luas trapesium P’R’RP= ½ (y +y )( - x ) + ½ (y + )(x -x ) – ½ (y +y )(x - x 1 )= ½{ (y +y )( - x ) + (y + )(x -x ) – (y +y )(x - x 1 )}=½{

=½{Bentuk di atas dapat dinyatakan dalam bentuk determinan matrik ordo 3 x 3

A = ½

Soal-soal 1. Buatlah ruas garis dan tentukan jarak antara pasangan titik yang

diketahui berikut ini:a. P(4,5) dan Q(-1,3)b. P(8,-2) dan Q(3,-1) c. P(-1,-2) dan Q(-3,-8) d. P(5,3) dan Q(2,-5)

2. Gambarlah luas suatu poligon (segi banyak) yang titik-titik sudutnya adalah

a. (-3,2), (1,5), (5,3), (1,-2)b. (-5,0), (-3,-4), (3,-3), (7,2), (1,6)

3. Tunjukkan bahwa segitiga yang titik-titik sudutnya dibawah ini adalah sama sisi.

a. A(2,-2), B(-3,-4) dan C(1,6)


b. K(-2,2), L(6,6) dan M(2,-2) c. P(6,7), Q(-8,-1) dan R(-2,-7)d. U(2,4), V(5,1) dan W(6,5)

4. Tunjukkan bahwa segitiga berikut adalah siku-siku dan tentukan luasnya dengan menggunakan aturan yang ada.

a. A(0,9), B(-4,-1), dan C(3,2)b. P(10,5), B(3,2), dan C(6,-5)c. A(3,-2), B(-2,3), dan C(0,4)d. K(-2,8), L(-6,1), dan N(0,4)

5. Buktikan bahwa titik-titik berikut ini adalah paralelograma. (-1,-2), (0,1), (-3,2), dan (-4,-1)b. (-1,-5), (2,1), (1,5), dan (-2,-1)c. (2,4), (6,2), (8,6), dan (4,8)

6. Tunjukkan bahwa titik-titik berikut terletak pada satu garis lurus dengan menggunakan metode jarak.

a. (0,4), (3,-2), dan (-2,8)b. (-2,3), (-6,1), (-10,-1)c. (1,2), (-3,10), (4,-4)d. (1,3), (-2,-3), (3,7)

7. Tentukan sebuah titik yang berjarak 10 satuan dari titik (-3,6)8. Tentukan koordinat titik P(x,y) yang membagi ruas garis dengan

perandingan diketahui:a. A(4,-3), B(1,4) dengan AP:PB = r = 2b. A(2,-5), (6,3) dengan AP:PB = r = ¾c. A(-5,2), B(1,4) dengan AP:PB = r = -5/3d. A(0,3), B(7,4) dengan AP:PB = r = -2/7e. A(-2,3), P(3,-2) dengan AP:PB = r = 2/5

9. Jika M (9,2) membagi ruas garis yang melalui P(6,8) dan Q(x,y) dengan perbandingan 3/7. Tentukan koordinat titik Q.


10. Tentukan titik pusat (centroid) setiap segitiga diketahui titik-titik sudutnya di bawah ini:

a. (5,7), (1,-3), (-5,1)b. (2,-1), (6,7), (-4,-3)c. (3,6), (-5,2), (7,-6) d. (7,4), (3-6), (-5,2)e. (-3,1), (2,4), (6,-2)

11. Tentukan luas poligon yang titik sudutnya adalah:a. (-3,2), (1,5), (5,3), (1,-2)b. (-5,0), (-3,-4), (3,-3), (7,2), (1,6)

12. Tentukan koordinat titik-titik suatu segitiga, jika titik-titik tengah sisi-sisinya adalah:

a. (-2,1), (5,2), (2,-3)b. (3,2), (-1,-2), dan (5,-4)

13. Gradien dari garis lurus yang melalui titik A(3,2) adalah ¾. Lukislah titik-titik pada garis yang berjarak 5 satuan dari A.

14. Tentukan gradien suatu garis lurus yang membuat sudut 45o dengan titik (2,-1) dan (5,3).

15. Garis p membentuk sudut 60o dengan garis s, Jika gradien p = 1, tentukan gradien garis s.

16. Sudut yang dibentuk oleh garis l yang melalui titik A(-4,5), B(3,y) dan garis u yang melalui titik P(-2,4), Q(9,1). Tentukan konstanta y tersebut.

Sistem Koordinat Kutub (Polar)Pada sistem koordinat Cartesius, letak titik pada bidang

dinyatakan dengan pasangan , dengan x dan y masing-masing menyatakan jarak berarah ke sumbu-y dan ke sumbu-x. Pada sistem koordinat kutub, letak sebarang titik P pada bidang dinyatakan dengan pasangan bilangan real , dengan r menyatakan jarak titik


P ke titik O (disebut kutub) sedangkan adalah sudut antara sinar yang memancar dari titik O melewati titik P dengan sumbu-x positif (disebut sumbu kutub) (lihat Gambar 1.2.3).

Berbeda dengan sistem koordinat Cartesius, dalam koordinat kutub letak suatu titik dapat dinyatakan dalam tak hingga banyak koordinat. Sebagai contoh, letak titik dapat digambarkan dengan cara terlebih dulu melukiskan sinar yang memancar dari titik

asal O dengan sudut sebesar radian terhadap sumbu mendatar

arah positif. Kemudian titik P terletak pada sinar tadi dan berjarak 3 satuan dari titik asal O (lihat Gambar 1.2.4 (a)). Titik P dapat pula dinyatakan dalam koordinat , dengan k bilangan bulat (lihat Gambar 1.2.4 (b)). Mudah ditunjukkan pula bahwa koordinat

pun juga menggambarkan titik P (lihat Gambar 1.2.4 (c)). Pada koordinat yang terakhir, jarak bertanda negatif. Hal ini dikarenakan titik P terletak pada bayangan sinar .


3 3

r

O

Secara umum, jika menyatakan koordinat kutub suatu titik maka koordinat titik tersebut dapat pula dinyatakan sebagai berikut:

atau dengan k bilangan bulat.Kutub mempunyai koordinat dengan sebarang bilangan.

Hubungan Antara Sistem Koordinat Cartesius dan Sistem Koordinat Kutub

Suatu titik P berkoordinat dalam sistem koordinat Cartesius dan dalam sistem koordinat kutub. Apabila kutub dan titik asal diimpitkan, demikian pula sumbu kutub dan sumbu-x positif juga diimpitkan, maka kedudukan titik dapat digambarkan sebagai berikut:


(b)(a)

(c)

3

3

O

r

y

y

Dari rumus segitiga diperoleh hubungan sebagai berikut:(1.1)atau:

(1.2)

Contoh1) Nyatakan ke dalam system koordinat Cartesius.

a. b. c.

Jawab Dengan menggunakan persamaan (1.1):

a. .

Jadi, .

b. .

Jadi, dalam system koordinat Cartesius .


x

O x

Gambar 1.2.5

c. .

Jadi, .█

Apabila maka persamaan (1.2) dapat dinyatakan sebagai:

(1.3)

Hati-hati apabila menggunakan persamaan (1.3), karena

akan memberikan 2 nilai yang berbeda, . Untuk menentukan nilai yang benar perlu diperhatikan letak titik P, apakah di kwadran I atau II, ataukah dikwadran II atau IV. Apabila dipilih nilai yang lain, maka .2) Nyatakan ke dalam sistem koordinat kutub:a. b. Penyelesaian: Dari persamaan (1.3), diperoleh:a.

Selanjutnya, karena letak titik P di kwadran IV, maka:

, atau

.

Jadi, atau .

b.

Selanjutnya, karena letak titik Q di kwadran II, maka:


, atau

.

Jadi, atau .█

3) Nyatakan persamaan ke dalam sistem koordinat Cartesius.

Jawab Jika ke dua ruas persamaan di atas dikalikan dengan r maka diperoleh:

Selanjutnya, karena dan maka:

yaitu persamaan lingkaran dengan pusat dan jari-jari .█

4) Nyatakan ke dalam system koordinat kutub.Penyelesaian: Dengan substitusi maka diperoleh:

█

Soal LatihanUntuk soal 1 – 8, nyatakan masing-masing dengan dua koordinat yang lain, satu dengan dan yang lain dengan .1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Untuk soal 9 – 16, nyatakan dalam sistem koordinat Cartesius.9. 10. 11. 12.


13. 14. 15. 16.

Untuk soal 17 – 23, ubahlah ke dalam sistem koordinat kutub.17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. Untuk soal 24 – 29, nyatakan masing-masing persamaan ke dalam sistem koordinat Cartesius.

24. 25. 26.

27. 28. 29.

Nyatakan persamaan pada soal 30 – 32 ke dalam sistem koordinat kutub.30. 31. 32. 33. Tunjukkan bahwa jarak titik dan adalah:

1.5 Persamaan Garis Lurus

`


Menurut definisi kemiringan (gradient), garis PQ pada gambar diatas mempunyai kemiringan

tan = m = ,

Misal M(x,y) Semarang titik pada garis lupus PQ, maka dengan cara yang sama dapat ditentukan gradien garis mlupus PM.

tan = m = ,

y - y = m(x- ) y = mx - mx + y

Karena m, x , dan y R, maka persamaan tersbut dapat ditulis dalam bentuk y = mx + c.Dengan kata lain, persamaan garis lurus yang melalui dua titik dengan gradien m dapat dinyatakan dengan y = mx + c.Atau secara umum ditulis dalam bentuk Ax + By + C = 0 dengan gradien

m =

Soal-soal1) Tentukan gradien dan persamaan garis lurus yang melalui titik-titik

a) (1,2) dan (2,3)b) (3,5) dan (7,-1)c) (3,0) dan (3,3)d) (3,5) dan (6,5)e) (2,-4) dan (4,9)

2) Buktikan bahwa segitiga yang titik-titik sudutnya (5,3), (-2,4), dan (10,8) adalah segitiga sama sisi.


3) Tunjukkan bahwa segitiga yang titik-titik sudutnya (2,-4), (4,0), dan (8,2) adalah segitiga siku-siku.

4) Tentukan nilai k sedemikian rupa sehingga garis 3x + ky = 5 a) melalui titik (3,1)b) sejajar sumbu xc) sejajar garis 2x + y = -1d) tegak lurus garis y-2 = 3(x+3)

5) Carilah nilai c sedemikian sehingga persamaan cx – 3y = 10a) sejajar garis y = 2x + 4b) tegak lurus garis 2x – y – 4 = 0c) tegak lurus garis 2x + 3y = 6


BAB I - Dwipurnomoikipbu's Blog | Just another … · Web viewBerdasarkan contoh di atas, tampak...

Documents

Transcript of BAB I - Dwipurnomoikipbu's Blog | Just another … · Web viewBerdasarkan contoh di atas, tampak...