BILANGAN KOMPLEKS

DifinisiBilangan kompleks dinyatakan sebagai :

a + bia, b bilangan nyatai satuan bilangan hayal, ,1−=i 12 −=ia + bi a disebut bagian nyata dan bi disebut bagian hayal.Dua bilangan kompleks a + bi dan a – bi dimana yang berbeda tandanya disebut seasal (conjugate). Dua bilangan kompleks iba 11 + dan iba 22 + adalah sama bila 21 aa = dan

21 bb = . Bilangan kompleks a + bi = 0 bila a = 0 dan b = 0

Representasi geometris

ϕ

ϕϕ

sincos

_

rbra

biaOA

==

+=

Bentuk trigoneometris

ab

bar

irirrbia

arctan

)sin(cossincos22

=+=

+=+=+

ϕ

ϕϕϕϕ

r disebut modulusϕ disebut argument

|| biar +=

Operasi dasar

Penambahan/ penguranganibbaaibaiba )()()()( 21212211 +±+=+±+

Perkalian12 −=i iii −=−= .13 11.14 =−−=i iii == .15 dan seterusnya.

Secara umum untuk suatu integral k :14 =ki ii k =+ 14 124 −=+ki ii k −=+ 34 144 =+ki ii k =+ 54

dan seterusnya.

ibaabbbaaibbibaiabaaibaiba )()())(( 212121212

212121212211 ++−=+++=++Dalam bentuk trigoneometri

)sin(cos)sin(cos 222111 ϕϕϕϕ irir ++= ]sinsinsincoscossincos[cos 21

221212121 ϕϕϕϕϕϕϕϕ iiirr +++

= )]sincoscos(sin)sinsincos[(cos 2121212121 ϕϕϕϕϕϕϕϕ ++− irr= )]sin()[cos( 212121 ϕϕϕϕ +++ irrUntuk bilangan kompleks yang conjugate

22))(( babiabia +=−+

Pembagian

22

22

21212121

22

22

22

11

22

11 )()(ba

ibaabbbaaibaiba

ibaiba

ibaiba

+−++

=−−

++

=++

Dalam bentuk trigoneometri

)]sin()[cos()sin(cos)sin(cos

21212

1

222

111 ϕϕϕϕϕϕϕϕ

−+−=++ i

rr

irir

. Untuk membuktikan kesamaan

ini, perkalikan =−+−+ )]sin()[cos()sin(cos 2121222 2

1 ϕϕϕϕϕϕ iir rr

)sin(cos 111 ϕϕ ir + .

Perhatiakan ! - Bahwa pada bilangan kompleks )sin(cos ϕϕ ir + sebagai hasil perkalian dari dua bilangan kompleks; moduli 21rrr = dan amplitudo =ϕ ( 21 ϕϕ + ), dimana 2,1 rr dan 21 ,ϕϕadalah moduli dan amplitudo berurut dari masing-masing bilangan kompleks yang diperkalikan.

- Bahwa pada bilangan kompleks )sin(cos ϕϕ ir + sebagai hasil pembagian dari dua

bilangan kompleks; moduli 2

1

rrr = dan amplitudo =ϕ ( 21 ϕϕ − ), dimana 2,1 rr dan 21 ,ϕϕ

adalah moduli dan amplitudo dari masing-masing bilangan kompleks yang menjadi pembilang dan penyebut.

- Operasi penambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian bialangan kompleks akan mengasilkan bilangan kompleks. Atuan perkalian bilangan kompleks akan sama dengan aturan perkalian pada bilangan biasa.

- Pada penetapan jumlah, selisih, hasil kali, dan hasil bagi bilangan kompleks mudah dilihat bahwa apabila masing-masing bilangan kompleks ditukar dengan conjugatenya, maka hasil dari operasi yang disebutkan sebelumnya akan menghasilkan bilangan conjugate.

Pangkat dan akarAmbil satu bilangan kompleks

)sin(cos ϕϕ ir + dipangkatkan dengan n dimana n adalah bilangan integer postif.[ =+ nir )]sin(cos ϕϕ )sin(cos ϕϕ ir + . )sin(cos ϕϕ ir + ....... )sin(cos ϕϕ ir +

[ )sin(cos)]sin(cos ϕϕϕϕ ninrir nn +=+ disebut theori DeMoivre.

)sin(cossin(cos φφρϕϕ iirn +=+ . Kalau sisi kanan dipangkatkan dengan n maka)sin(cos)sin(cos ϕϕφφρ irninn +=+

Dalam hal ini

moduli rn =ρ , n r=ρ dan amplitudo πϕφ kn 2+= atau nkϕϕφ 2+=

k adalah integer dan n r adalah real positif dari akar bilangan positif r)sin(cossin(cos 22

nk

nknn irir πϕπϕϕϕ ++ +=+

ϕϕϕϕϕϕϕϕ

sincos3sin3sinsincos3cos3cos

22

22

+−=−=

Contoh 1 : Harap dihitung semua harga 3 1Jawab : 1 = 1 + 0.i disini a = 1, b = 0, sehingga r = 1 dan )0sin0(cos11 i+=

320

320

320

320333 sincos)sin(cos10sin0cos1 ππππ kkkk iii ++++ +=+=+= . Untuk k =

0, 1, 2, didapat tiga nilai :

23

21

34

34

3

23

21

32

32

2

1

sincos

sincos

10sin0cos

iix

iix

ix

−−=+=

+−=+=

=+=

ππ

ππ

Ketiga hasil x1, x2, dan x3 tersebut secara geometri ditunjukkan sebagai titik-titik A, B, dan C dalam gambar berikut :

Penyelesaian persamaan binomialPersamaan dalam bentuk Ax n = disebut persamaan binomial.Mari kita hitung akar-akarnya.

)sin(cos)2sin2(cos 22nk

nknnn iAkikAAx ππππ +=+== ( =k 0, 1, 2, ........n-1)

Contoh 2 : Selesaikan persamaan 14 =x

Jawab : 42

42

42

4244 sincossincos12sin2cos ππππππ kkkk iikikx +=+=+=

Pilih k = 0, 1, 2, 3, 4 didapat

iiixix

iiixix

−=−=+=−=+−=+=

=+=+==+=+=

.10sincos101sincos

.10sincos1010sin0cos

46

46

4

44

44

3

42

42

2

1

ππ

ππ

ππ

Fungsi exponential)sin(cos ϕϕϕ irre i += , dalam hal ini r adalah modulus dan θ adalah argument

dalam satuan radian. Kita ulangi bahwa bilangan kompleks dapat digambarkandalam salah satu antara tiga : rectangular, polar atau exponential. Disini :

ϕϕϕ ireirbia =+=+ )sin(cosContoh :Nyatakan 2 + 2i dalam bentuk exponential2

o

r45,1tan

2222

22

22

===

=+=

ϕϕ

Bentuk polarnya adalah )45sin45(cos22 oo i+Untuk menulis dalam bentuk exponential o45=ϕ dirubah dalam bentuk radial

7854,0.4545 180 == πo sehingga ioo eii 7854,022)45sin45(cos2222 =+=+

Nyatakan 4e i6109,0 dalam bentuk polar dan rectangular.0,6109 = o35180 7854,0 =π sedang r = 4. Bentuk polarnya )35sin35(cos4 oo i+ .

277,38192,0.435cos4 === oa dan 294,25736,0.435sin.4 === ob . Sehingga bentuk rectangularnya adalah i294,2277,3 +

Soal-soal1. Diminta menghitung 3 i dan gambarkan

Penyelesaian : biai += 1,0 == ba 122 =+= bar

∞= arctanarctanabϕ o90=ϕ =

2π

32

sin32

cos 223 ππ ππ ki

ki

++

+=

0=k6

sin6

cos3 ππ ii +=2

3cos3 ii +=

1=k3

450sin3

450cos3 ii +=23cos3 ii +−=

2=k3

810sin3

810cos3 ii += ii −=3

2. Nyatakan i+1 dalam bentuk polar dan exponentsial.Jawab : bentuk polar )sin(cos2 44

ππ i+ bentuk exponensial ie 785,02