BILANGAN DAN KETERBAGIAN BILANGAN BULAT · PDF fileAkar dari 979 terbesar mendekati ... 919,...

1 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

BILANGAN DAN KETERBAGIAN BILANGAN BULAT

A. Sistem Bilangan

Dalam matematika mempelajari urutan dan keberaturan di antara bilangan-bilangan merupakan suatu

bagian yang sangat fundamental. Dengan ditemukannya pola dalam suatu bilangan, maka kita dapat

tertolong dalam meramalkan perilaku bilangan itu selanjutnya. Berikut ini disajikan diagram pohon

bilangan.

1. Bilangan Abstrak

Suatu bilangan tidak diikat terutama pada sesuatu dinamakan bilangan abstrak (abstract number).

Contoh: satu, tiga, sepuluh, dan sebagainya.

2. Bilangan Konkrit

Suatu bilangan dari suatu satuan dinamakan bilangan konkrit (concrete number).

Contoh: 5 orang laki-laki, 15 kg beras, 23 menit, dan sebagainya

3. Angka

Semua bilangan ditulis dengan menggunakan simbol 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 yang

dinamakan angka (digit).

4. Bilangan Asli

Bilangan asli juga dinamakan bilangan alam atau bilangan bulat postif (natural number) yang

terdiri dari: 1, 2, 3, 4, 5, …

Ditinjau dari jumlah faktornya bilangan asli dapat dibagi menjadi 3 kelompok, yaitu:

a. Bilangan asli dengan satu faktor, yaitu 1.

b. Bilangan asli dengan dua faktor, yaitu: 2., 3, 5, 7, 11, 13, … yang dinamakan bilangan prima

(prime number).

Bilangan Genap

Bilangan Ganjil

Bilangan Rasional Bilangan Irasional

Bilangan Bulat Bilangan Pecahan

Bilangan Imajiner Bilangan Real

Bilangan Kompleks

Bilangan Negatif Bilangan Cacah

Bilangan Nol Bilangan Asli

Bilangan Satu Bilangan Prima Bilangan Komposit


Bilangan prima didefinisikan sebagai bilangan asli lebih dari 1 yang tepat mempunyai dua

faktor.

Bilangan prima kembar (twin prime) adalah bilangan prima yang berbeda atau berselisih

dua dinamakan bilangan prima kembar.

Contoh: (5,7), (11,13) , dan (17,19) .

Pendirian Goldbach (Statement Goldbach’s, 1690-1764):

Setiap bilangan genap yang lebih besar dari 4 adalah jumlah dari dua bilangan prima.

Contoh:

a. 8 = 3 + 5 c. 12 = 5 + 7

b. 10 = 3 + 7 d. 14 = 3 + 11

Metode Untuk Menentukan Bilangan Prima Kurang dari 100

Bilangan prima kurang dari 100 dapat ditentukan dengan Saringan Eratosthenes

(Metematikawan Yunani Kuno yang hidup sekitar 300 SM), dengan prosedur sebagai

berikut ini.

1. Buatlah daftar bilangan dari 1 sampai dengan 100.

2. Coret bilangan 1.

3. Lingkari bilangan 2 dan coret semua bilangan kelipatan 2.




7. Lingkari semua bilangan yang belum dilingkari dan belum dicoret.

8. Bilangan yang dilingkari adalah bilangan prima yg kurang dari 100.

Jadi, banyak bilangan prima kurang dari 100 adalah 26 buah, yaitu 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,

19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73. 79, 83, 89, 91, dan 97

Metode Pemeriksaan Bilangan Prima

Jika anda ingin memeriksa suatu bilangan, apakah bilangan itu prima atau bukan, maka

Anda dapat menempuh tahapan sebagai berikut.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 45 46 47 48 49 44 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

24


1. Ambillah bilangan bulat terbesar yang merupakan akar dari bilangan yang diberikan.

Misalnya bilangan yang diperoleh itu adalah x.

2. Tentukan bilangan prima yang kurang dari bilangan x.

3. Bagilah bilangan yang diberikan dengan bilangan-bilangan prima yang kurang dari x.

Jika bilangan yang diberikan tidak habis dibagi oleh bilangan-bilangan prima itu,

maka bilangan yang diberikan adalah bilangan prima; sebaliknya bilangan yang

diberikan adalah bilangan komposit.

Contoh:

1. Apakah 509 bilangan prima?

Solusi:

Akar dari 509 terbesar mendekati 23. Bilangan prima kurang dari 23 adalah 2, 3, 5, 7,

11, 13, 17, 19.

Jelaslah 509 tidak habis dibagi oleh salah satu bilangan prima itu. Jadi, 509 adalah

bilangan prima.


Solusi:


11, 13, 17, 19, 23, 29.

Jelaslah 857 tidak habis dibagi oleh salah satu bilangan prima itu. Jadi, 857 adalah

bilangan prima.


Solusi:


11, 13, 17, 19, 23, 29, 31.

Jelaslah 979 habis dibagi oleh salah satu bilangan prima itu, yaitu 11. Jadi, 979

adalah bilangan bukan prima.

4. Tugas untuk Anda: Cobalah tunjukkan bahwa bilangan-bilangan 349, 647, 649, 657,

659, 757, 881, 913, 919, 1003, dan 1009 masing-masing adalah bilangan prima!

c. Bilangan dengan lebih dari dua faktor, yaitu: 4, 6, 8, 9, 10, 12, … yang dinamakan bilangan

komposit atau tersusun (composite number).

5. Bilangan Cacah

Bilangan cacah (whole number) terdiri dari semua bilangan asli dab unsur (elemen) nol yang

diberi lambing 0, yaitu: 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

6. Bilangan Berurutan

Suatu seri atau deretan bilangan yangmana masing-masing bilangan berbeda 1 dari pada bilangan

yang mendahuluinya dinamakan bilangan berurutan (consecutive numbers). Contoh: 5, 6, 7 atau

14, 15, 16, 17 atau 103, 104, 105, 106, dan sebagainya.

7. Bilangan Bulat

Bilangan bulat (integer) memuat semua bilangan cacah dan lawan (negatif) bilangan asli, yaitu:

…, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Bilangan bulat dapat dibagi menjadi dua kelompok, yaitu:

a. bilangan bulat yang habis dibagi 2 atau kelipatan 2, yaitu: …, 8, 6, 4, 2, 0, 2, 4, 6, 8, …,

bilangan-bilangan ini dinamakan bilangan genap (even number), dan ditulis dengan lambang

x = 2n, dengan n bilangan bulat.

Kita dapat mengatakan bahwa suatu bilangan dapat dibagai 2 atau bilangan berakhiran 0, 2,

4, 6, atau 8 dinamakan bilangan genap.

Catatan:


Perhatikan 0 habis dibagi 2, karena pembagian 0 dengan 2 tidak memberikan sisa. Demikian

pula 0 habis dibagi oleh semua bilangan yang bukan 0 sendiri. Sedangkan 0

0 tidak

mempunyai arti.

b. Bilangan bulat yang tidak habis dibagi 2 atau bukan kelipatan 2, yaitu: …, 9, 7, 5, 3, 1,

1, 3, 5, 7, 9, …, bilangan-bilangan ini dinamakan bilangan ganjil (odd number), dan ditulis

dengan lambing x = 2n + 1, dengan n bilangan bulat.

Kita dapat mengatakan bahwa suatu bilangan tidak dapat dibagai 2 atau bilangan berakhiran

1, 3, 5, 7, atau 9 dinamakan bilangan ganjil.

8. Bilangan Rasional

Bilangan rasional (bilangan terukur) adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi

bilangan bulat dengan bilangan asli. Bentuknya b

ax , dengan a bilangan bulat dan b bilangan

asli.

Ada dua kemungkinan yang dapat terjadi, yaitu:

a. jika a habis dibagi b, maka x adalah bilangan bulat.

b. Jika a tidak habis dibagi b, maka x adalah bilangan pecahan.

Bilangan rasional yang merupakan bilangan pecahan b

ax , dengan a dinamakan pembilang dan

b dinamakan penyebut, biasanya dengan syarat pembilang dan penyebut tidak mempunyai faktor

persekutuan.

Contoh: pecahan 90

247 ditulis

15

47 , pecahan

81

450ditulis

3

18 .

Jadi, bilangan rasional dapat berupa bilangan bulat dan bilangan pecahan.

9. Bentuk Desimal Berulang dari Bilangan Rasional

Setiap bilangan rasional dapat dituliskan dalam bentuk desimal berulang.

Contoh:

a. ...3333,03

1 ,ditulis 3,0 c. ...4545,0

11

5 , ditulis 45,0

b. ...5555,69

56 , ditulis 5,6 d. ...123123123,0

333

71 , ditulis 123,0

Metode Mengubah Bilangan Desimal Berulang Menjadi Pecahan Biasa

Metode 1:

Misalnya bilangan desimal berulang adalah x.

Untuk mengubah bilangan desimal berulang menjadi pecahan biasa, maka kalikan x dengan 10

pangkat banyaknya digit (angka) berulang kemudian kurangkan dengan x dan hasilnya dapat

dinyatakan sebagai pecahan biasa.

Metode 2:

Jika suatu bentuk desimal berulang telah terjadi sejak desimal pertama, maka bentuk pecahannya

adalah

110

terulangbilanganbulatBilanganpecahanBentuk

npengulanga

Contoh:

Tentukan pecahan biasa dari setiap bilangan decimal berulangan berikut ini.

a. 0,6666… c. 8,108108108…

b. 1,353535… d. 0,00225225225…


a. Solusi 1:

Misalnya x = 0,6666…

10x = 6,666…

x = 0.6666…

9x = 6

3

2

9

6x

Jadi, pecahan biasa dari bilangan decimal berulang 0,6666… adalah 3

2.

b. Solusi 1:

Misalnya x = 1,353535…

100x = 135,3535…

x = 1,353535…

99x = 134

99

351

99

134x


351 .

c. Solusi 1:

Misalnya x = 8,108108108…

1000x = 8108,108108…

x = 8,108108108…

999x = 8100

111

128

999

8100x


128 .

d. Solusi 1:

Misalnya x = 0,00225225225…

100000x = 225,225225…

100x = 0,225225225…

99900x = 225

444

1

99900

225x

Jadi, pecahan biasa dari bilangan decimal berulang 0,00225225225…adalah 444

1.

10. Bilangan Irrasional

Bilangan irrasional (bilangan tidak terukur) adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam

hasil bagi bilangan bulat dan bilangan asli, dan juga tidak dapat dituliskan dalam bentuk desimal

berulang. Jadi, x adalah bilangan irrasional, jika b

ax , dengan a bilangan bulat dan b bilangan

asli.

Contoh:

a. ...36067,25 c. ...141592654,3π

b. e = 2,71828… d. ...47712,03log

+

+

+

+

Solusi 2:

3

2

9

6

110

6

110

6...6666,0

1

Solusi 2:

99

351

1100

351

110

351...353535,1

2

Solusi 2:

11000

1088

110

1088...108108108,8

3

111

128

999

1088

Solusi 2:

100

...225225225,0...50022522522,0

100

999

225

100

110

2253

444

1

99900

225


11. Bilangan Real

Bilangan real (bilangan nyata) terdiri dari kumpulan bilangan rasional dan irrasional (positif dan

negatif) dan nol.

Contoh:

a. 5 c. 15

21 e. 3 π2

b. 12 d. 753 f. 5log24

1 3

12. Bilangan Kompleks

Akar dari suatu bilangan negative itu dinamakan bilangan imajiner (bilangan khayal). Bilangan

1 didefinisikan sebagai satuan imajiner yang dilambangkan dengan i. Jadi, i1 ,

sehingga 12 i , ii 3 , 14 i , dan seterusnya.

Contoh:

a. 3313 i b. i416116

Suatu bilangan kompleks dinyatakan dengan biaz , dengan a dan b bilangan real serta i

satuan imajiner. Bilangan a dinamakan bagian real dari z dan bilangan b dinamakan bagian

imajiner dari z.

Contoh:

Bilangan kompleks z = 5 – 4i, dengan 5 bagian real dari z dan 4 bagian imajiner dari z.

13. Bilangan Sempurna

Suatu bilangan yang sama dengan jumlah semua pembaginya (faktor-faktornya) kecuali dirinya

sendiri dinamakan bilangan sempurna (perfect number).

Contoh:

6 = 1 + 2 + 3 (faktor-faktor dari 6 adalah 1, 2, 3, dan 6. Dalam kasus ini 6 adalah bilangan

sempurna, maka 6 tidak disertakan dalam penjumlahan faktor-faktornya)

14. Bilangan Bersahabat

Dua bilangan dinamakan bersahabat jika bilangan yang satu memiliki jumlah faktor yang sama

dengan bilangan lain.

Contoh:

Apakah pasangan bilangan 284 dan 220; 18.416 dan 17.296; dan 1.184 dan 1.210?.

Solusi:

Bilangan-bilangan 284 dan 220 adalah bersahabat (terkecil), karena faktor-faktor dari 220

adalah 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, dan 110, yang kesemuanya berjumlah 284. Demikian

juga dengan faktor-faktor dari 284 adalah 1, 2, 4, 71, dan 142, yang kesemuanya berjumlah

220.

Bilangan-bilangan 18.416 dan 17.296 adalah bersahabat, karena faktor-faktor dari 18.416

adalah 1, 2, 4, 8, 16, 1.151, 2.302, 4.604, dan 9.208, yang kesemuanya berjumlah 17.296.

Demikian juga dengan faktor-faktor dari 17.296 adalah 1, 2, 4, 8, 16, 23, 46, 47, 92, 94, 184,

188, 368, 376, 752, 1.081, 2.162, 4.324, dan 8.648, yang kesemuanya berjumlah 18.416.

Bilangan-bilangan 1.184 dan 1.210 adalah bersahabat, karena faktor-faktor dari 1.210 adalah

1, 2, 4, 8, 16, 32, 37, 74, 148, 296, dan 592, yang kesemuanya berjumlah 1.210. Demikian

juga dengan faktor dari 1.210 adalah 1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110, 121, 242, dan 605, yang

kesemuanya berjumlah 1.184.

Bilangan bersahabat 220 dan 284 ditemukan oleh Pythagoras sekitar 500 SM. Sampai tahun 1636

tidak ditemukan bilangan bersahabat yang baru, setelah itu seorang ahli teori bilangan dari

Perancis bernama Fermat menemukan bahwa bilangan 17.296 dan 18.416 adalah sepasang

bilangan bersahabat. Pada tahun 1750, setelah melakukan pengkajian sistematik, Euler

mempublikasikan lebih dari enampuluh pasang bilangan bersahabat. Sangat mengherankan ia


melalaikan pasangan kedua terkecil yaitu 1.184 dan 1.210, dan hal ini tidak ditemukannya sampai

pada tahun 1866. Pakar matematika dari Italia, Paganini seorang remaja laki-laki yang berumur 16

tahun yang menemukan pasangan bilangan bersahabat terkecil kedua itu. Kemudian pasangan

bilangan bersahabat yang terakhir ditemukan tahun 1976 yang salah satu bilangannya adalah

5.070.746.263.958.274.212.545.800.175.616.

Tugas Anda: Tunjukkan bahwa pasangan bilangan 2.620 dan 2.924; dan pasangan bilangan 6.232

dan 6.368 masing-masing adalah bilangan bersahabat.

B. UJI KETERBAGIAN BILNGAN BULAT

Kita dapat mengetahui cirri-ciri suatu bilangan bulat habis dibagi atau tidak habis dibagi dengan

suatu bilangan menggunakan alat bantu hitung seperti kalkulator dan pembagian panjang. Tetapi kita

dapat menentukannya menggunakan metode yang diberikan berikut ini.

1. Bilangan Yang Habis Dibagi 2

Suatu bilangan habis dibagi 2 jika angka terakhirnya itu genap atau nol.

Contoh:

6 : 2 = 3 (6 angka genap, maka 6 habis dibagi 2, tidak bersisa atau sisa 0)



336 : 2 = 168 (6 angka genap., maka 336 habis dibagi 2, tidak bersisa atau sisa 0)

5698 : 2 = 2.849 (5698 habis dibagi 2, tidak bersisa atau sisa 0)


751 : 2 (1 angka ganjil, maka 751 tidak habis dibagi 2, bersisa ≠ 0)


Jika jumlah dari angka-angka suatu bilangan habis dibagi 3, maka bilangan itu juga habis dibagi 3.

Contoh:

54 : 3 = 9 (jumlah angkanya = 5 + 4 = 9 habis dibagi 3, maka bilangan 54 habis dibagi 3)

987 : 3 = 329 (jumlah angkanya = 9 + 8 + 7 = 24 habis dibagi 3, maka bilangan 987 habis dibagi 3)

4782 : 3 = 1594 (jumlah angkanya = 4 + 7 + 8 + 2 = 21 habis dibagi 3, maka bilangan 4782 habis

dibagi 3)

941 : 3 (jumlah angkanya = 9 + 4 + 1 = 14 tidak habis dibagi 3, maka bilangan 941 tidak habis dibagi

3)


Jika dua angka terakhir dari suatu bilangan habis dibagi 4, maka bilangan itu habis dibagi 4. Suatu

bilangan yang mempunyai dua atau lebih angka nol pada angka teakhir juga habis dibagi 4.

Contoh:

512 : 4 = 128 (12 habis dibagi 4, maka bilangan 512 juga habis dibagi 4)




67000 : 4 = 16750 (tiga angka terakhir 0 habis dibagi 4, maka bilangan 67000 juga habis dibagi 4)

5722 : 4 (22 tidak habis dibagi 4, maka bilangan 5722 tidak habis dibagi 4)


Jika suatu bilangan angka terakhirnya 5 atau 0, maka bilangan habis dibagi 5.

Contoh:

720 : 5 = 144 (angka terakhirnya 0, maka bilangan 720 habis dibagi 5)


1943 : 5 (angka terakhirnya 3, buka 0 atau 5, maka bilangan 1943 tidak habis dibagi 5)



Jika suatu bilangan yang habis dibagi 3 dan 2, maka bilangan itu juga habis dibagi 6. Demikian untuk

suatu bilangan habis dibagi 6, jika

1) bilangan itu mempunyai suatu angka akhir genap.

2) jumlah angka-angkanya habis dibagi 3.

Contoh:

936 : 6 = 156 (kondisi pertama dipenuhi sebagai angka akhir (6) adalah angka genap dan juga jumlah

angkanya 9 + 3 + 6 = 18 habis dibagi 3; maka bilangan 936 habis dibagi 6).

2340 : 6 = 390 (kondisi pertama dipenuhi sebagai angka akhir (0) adalah angka genap dan juga

jumlah angkanya = 2 + 3 + 4 + 0 = 9 habis dibagi 3, maka bilangan 2340 habis dibagi 6)

254 : 6 (kondisi pertama dipenuhi sebagai angka akhir (4) adalah angka genap tetapi kondisi kedua

tidak, maka bilangan 254 tidak habis dibagi 6)

361 : 6 (kondisi pertama tidak dipenuhi, maka kita tidak perlu lagi memeriksa untuk kondisi kedua)


Bilangan yang habis dibagi 7 mempunyai keunikan tersendiri. Cirinya dapat dilihat dalam operasi

bilangan berikut ini.

Contoh:

1) Apakah 196 dapat dibagi 7?

Solusi:

Tahap 1: 19 6: 19 – 6 × 2 = 7 (2 adalah negative osculator)

Kerena 7 habis dibagi 7, maka bilangan 196 juga habis dibagi 7.

Hasil pembagian itu adalah 196 : 7 = 28


Solusi:

Tahap 1: 296 1: 296 – 1 × 2 = 294

Tahap 2: 29 4: 29 – 4 × 2 = 21


Hasil pembagian itu adalah 2961 : 7 = 423


Solusi:

Tahap 1: 5072776 8: 5072776 – 8 × 2 = 5072760

Tahap 2: 507276 0: 507276 – 0 × 2 = 507276

Tahap 3: 50727 6: 50727 – 6 × 2 = 50715

Tahap 4: 5071 5: 5071 – 5 × 2 = 5061

Tahap 5: 506 1: 506 – 1 × 2 = 504

Tahap 6: 50 4: 50 – 4 × 2 = 42


Hasil pembagian itu adalah 50727768 : 7 = 7246824.


Jika tiga angka terakhir dari suatu bilangan habis dibagi 8, maka bilangan itu juga habis dibagi 8.

Juga, jika tiga angka terakhir dari suatu bilangan adalah nol, maka bilangan itu habis dibagi 8.

Contoh:

4128 : 8 = 516 (karena 128 habis dibagi 8, maka bilangan 4128 juga habis dibagi 8)

765240 : 8 = 95655 (karena 240 habis dibagi 8, maka bilangan 765240 habis dibagi 8)

239000 : 8 = 29875 (karena tiga angka terakhir adalah nol, maka bilangan 239000 habis dibagi 8)


Jika jumlah semua angka dari suatu bilangan habis dibagi 9, maka bilangan itu juga habis dibagi 9.

Contoh:

81 : 9 = 9 (jumlah angkanya = 8 + 1 = 9 habis dibagi 9, maka bilangan 81 habis dibagi 9)

495 : 9 = 48 (jumlah angkanya = 4 + 9 + 5 = 18 habis dibagi 9, maka bilangan 495 habis dibagi 9)


3798 : 9 = 422 (jumlah angkanya = 3 + 7 + 9 + 8 = 27 habis dibagi 9, maka bilangan 3798 habis

dibagi 9)

992610 : 9 = 110290 (jumlah angkanya = 9 + 9 + 2 + 6 + 1 + 0 = 27 habis dibagi 9, maka bilangan

992610 habis dibagi 9)

89793 : 9 = 9977 (jumlah angkanya = 8 + 9 + 7 + 9 + 3 = 36 habis dibagi 9, maka bilangan 89793

habis dibagi 9)


Suatu bilangan dengan angka terakhir nol habis dibagi 10.

Contoh:

20 : 10 = 2 (angka akhir 0, maka bilangan 20 habis dibagi 10)



9008 : 10 (angka akhir bukan 0, yaitu 8; maka bilangan 9008 tidak habis dibagi 10)


Jika jumlah angka-angka pada urutan ganjil dan jumlah angka-angka pada urutan genap adalah sama

atau mempunyai perbedaan kelipatan 11, maka bilangan itu habis dibagi 11.

Contoh:

572 : 11 = 52 ( 7251 S dan 72 S . Karena 21 SS , maka bilangan 572 habis dibagi 11)

4675 : 11 = 425 ( 11741 S dan 11562 S . Karena 21 SS , maka bilangan 4675 habis

dibagi 11)

3190 : 11 = 290 ( 12931 S dan 1012 S . Karena 1111221 SS adalah habis dibagi

11, maka bilangan 3190 juga habis dibagi 11)

85619272948 : 11 = 7783570268 ( 478979681 S dan 14422152 S .

Kerena 33144721 SS adalah habis dibagi 11, maka bilangan 85619272948 habis dibagi 11)

180928 : 11 = 44174 ( 32011 S dan 258982 S . Karena

2225321 SS adalah habis dibagi 11, maka bilangan 180928 juga habis dibagi 11)


Suatu bilangan habis dibagi 4 dan 3, maka bilangan itu juga habis 12.

Untuk memeriksa pembagian dengan 12, kita

1) pertama membagi bilangan dua angka terakhir. Jika bilangan ini tidak dapat dibagai 4, maka

bilangan itu tidak dapat dibagi 12. Jika bilangan ini dapat dibagi 12, maka

2) periksa bilangan itu apakah dapat dibagi 3 atau tidak.

Contoh:

72 : 12 = 6 (72 habis dibagi 4 dan juga jumlah angkanya = 7 + 2 = 9 habis dibagi 3, maka bilangan 72

habis dibagi 12)

648 : 12 = 54 (48 habis dibagi 4 dan juga jumlah angkanya = 6 + 4 + 8 = 18 habis dibagi 3, maka

bilangan 648 habis dibagi 12)

9960 : 12 = 830 (60 habis dibagi 4 dan juga jumlah angkanya = 9 + 9 + 6 + 0 = 24 habis dibagi 3,

maka bilangan 9960 habis dibagi 12)

8960784 : 12 = 746732 (84 habis dibagi 4 dan juga jumlah angkanya = 8 + 9 +6 + 0 + 7 + 8 + 4 = 42

habis dibagi 3, maka bilangan 8960784 habis dibagi 12)


Bilangan yang habis dibagi 13 mempunyai keunikan tersendiri. Osculator 13 adalah 4. Cirinya dapat

dilihat dalam operasi bilangan berikut ini.

Contoh:

1) Apakah 351 habis dibagi 13?

Solusi 1:

35 1: 35 + 1 × 4 = 39



Hasil pembagiannya adalah 351 : 13 = 27.

Solusi 2:

Langkah 1: 3 5 1

9 [4 × 1 (dari 351) + 5 (dari 351) = 9]

Langkah 2: 3 5 1

39/9 [4 × 9 (dari 9) + 3 (dar 351) = 39] atau

39/9 [4 × 9 (dari 9) + 0 (dari 09) + 3 (dar 351) = 39]

Karena 39 habis dibagi 13, maka bilangan 351 juga habis dibagi 13)



Solusi 1:

24 7: 24 + 7 × 4 = 52



Solusi 2:

Langkah 1: 2 4 7

32 [4 × 7 (dari 247) + 4 (dari 247) = 32]

Langkah 2: 2 4 7

13/32 [4 × 2 (dari 32) + 3 (dari 32) + 2 (dari 247) = 13]

Karena 13 habis dibagi 13, maka bilangan 247 juga habis dibagi 13)


Perhatikan dari kedua solusi tersebut, untuk selanjutnya kita akan menggunakan solusi 2.


Solusi:

2 1 5 6 7

39/19/24/34 [4 × 7 (dari 21567) + 6 (dari 21567) = 34]

[4 × 4 (dari 34) + 3 (dari 34) + 5 (dari 21567) = 24]

[4 × 4 (dari 24) + 2(dari 34) + 1 (dari 21567) = 19]

[4 × 9 (dari 19) + 1 (dari 19) + 2 (dari 21567) = 39]



Setelah kita memahami pemaparan di atas, selanjutnya kita dapat menyelesaikan masalah itu

dengan perhitungan yang sistematis seperti berikut ini.

2 1 5 6 7

39/19/24/34

4 × 7 + 6 = 34

4 × 4 + 3 + 5 = 24

4 × 4 + 2 + 1 = 19

4 × 9 + 1 + 2 = 39




Solusi:

6 9 2 1 4 0 8

39/18/12/22/15/32

4 × 8 + 0 = 32

4 × 2 + 3 + 4 = 15

4 × 5 + 1 + 1 = 22


4 × 2 + 2 + 2 = 12

4 × 2 + 1 + 9 = 18

4 × 8 + 1 + 6 = 39




Suatu bilangan yang habis dibagi 2 dan 7, maka bilangan itu juga habis 14. Bilangan itu mempunyai

angka akhir genap dan pada waktu yang sama bilangan itu habis dibagi 7.

Contoh:


Solusi:

Bilangan 238 habis dibagi 2, karena 8 sebagai angka akhirnya adalah genap.

Tahap 1: 23 8: 23 – 8 × 2 = 7


Jadi, bilangan 238 habis dibagi 2 dan 7, maka bilangan 238 juga habis dibagi 14.



Solusi:


Tahap 1: 358 4: 358 – 4 × 2 = 350

Tahap 2: 35 0: 35 – 0 × 2 = 35





Solusi:


Tahap 1: 32870 6: 32870 – 6 × 2 = 32858

Tahap 2: 3285 8: 3285 – 8 × 2 = 3269

Tahap 3: 326 9: 326 – 9 × 2 = 308

Tahap 4: 30 8: 30 – 8 × 2 = 14





Suatu bilangan yang habis dibagi 3 dan 5, maka bilangan itu juga habis 15.

Contoh:


Solusi:

435 : 3 = 145 (jumlah angkanya = 4 + 3 + 5 = 12 habis dibagi 3, maka bilangan 435 juga habis

dibagi 3)





Solusi:

3720 : 3 = 1240 (jumlah angkanya = 3 + 7 + 2 + 0 = 12 habis dibagi 3, maka bilangan 3720 juga

habis dibagi 3)






Solusi:

148095 : 3 = 49365 (jumlah angkanya = 4 + 9 + 3 + 6 + 5 = 27 habis dibagi 3, maka bilangan

148095 juga habis dibagi 3)





Jika suatu bilangan yang mempuyai empat angka terakhir habis dibagi 16, maka bilangan itu juga

habis dibagi 16.

Contoh:

51024 : 16 = = 1240 (1024 habis dibagi 16, maka bilangan 51024 juga habis dibagi 16)

9651568 : 16 = 603223 (1568 habis dibagi 16, maka bilangan 9651568 habis dibagi 16)


Bilangan yang habis dibagi 17 mempunyai keunikan tersendiri. Cirinya dapat dilihat dalam operasi

bilangan berikut ini.

Contoh:


Solusi:

Tahap 1: 47 6: 47 – 6 × 5 = 17 (5 adalah negative osculator)




Solusi:

Tahap 1: 9054 2: 9054 – 2 × 5 = 9044

Tahap 2: 904 4: 904 – 4 × 5 = 884

Tahap 3: 88 4: 88 – 4 × 5 = 68




Solusi:

Tahap 1: 912286: 912286 – 3 × 5 = 912271

Tahap 2: 91227 1: 912271 – 1 × 5 = 91222

Tahap 3: 9122 2: 9122 – 2 × 5 = 9112

Tahap 4: 911 2: 911 – 2 × 5 = 901

Tahap 5: 90 1: 90 – 1 × 5 = 85




Suatu bilangan yang habis dibagi 9 dan mempunyai angka akhir (angka satuan) genap atau nol adalah

habis dibagi 18.

Contoh:


Solusi:

922968 : 9 = 102552 (jumlah angkanya = 9 + 2 + 2 + 9 + 6 + 8 = 36 habis dibagi 9, maka

bilangan 922968 juga habis dibagi 9) dan angka satuannya 8 adalah genap. Maka dari itu 922968

habis dibagi 18.




Solusi:

297810 : 9 = 33090 (jumlah angkanya = 2 + 9 + 7 + 8 + 1 + 0 = 27 habis dibagi 9, maka

bilangan 297810 habis dibagi 9) dan angka satuannya 0. Maka dari itu 297810 habis dibagi 18.



Bilangan yang habis dibagi 19 memiliki keunikan tersendiri. Cirinya dapat dilihat dalam operasi

bilangan berikut ini. Osculator dari 19 adalah 2. Metodenya sama seperti bilangan yang habis dibagi

13.

Contoh:


Solusi:

5 1 3

13 [2 × 3 (dari 513) + 1 (dari 513) = 7] (osculator 2)

19/13 [2 × 7 (dari 7) + 5 (dari 513) = 19]





5 1 3

19/7

2 × 3 +1 = 7

2 × 7 + 5 + 5 = 19




Solusi:

1 8 7 2 6 4

19/9/10/11/14 [2 × 4 (dari 187264) + 6 (dari 187264) = 14]

[2 × 4 (dari 14) + 1 (dari 14) + 2 (dari 187264) = 11]

[2 × 1 (dari 11) + 1 (dari 11) + 7 (dari 187264) = 10]

[2 × 0 (dari 10) + 1 (dari 10) + 8 (dari 187264) = 9]

[2 × 9 (dari 9) + 1 (dari 187264) = 19]





1 8 7 2 6 4

19/9/10/11/14

2 × 4 + 6 = 14

2 × 4 + 1 + 2 = 11

2 × 1 + 1 + 7 = 10

2 × 0 + 1 + 8 = 9

2 × 9 + 1 = 19



C. Uji Keterbagian Untuk Semua Bilangan


1. Bilangan real 110 n adalah selalu habis dibagi dengan 9, di mana n adalah bilangan asli. dan

habis dibagi dengan 11 jika n adalah genap.

Contoh:

a. Untuk n = 1, maka 91101 habis dibagi 9.

b. Untuk n = 2, maka 991102 habis dibagi 9 dan 11.

c. Untuk n = 3, maka 9991103 habis dibagi 9.

d. Untuk n = 4, maka 99991104 habis dibagi 9 dan 11.

2. Bilangan mmn selalu habis dibagi n untuk semua nilai m kecuali nol.

Contoh:

a. Untuk m = 3 dan n = 2, maka 6332 adalah habis dibagi 2.

b. Untuk m = 4 dan n = 3, maka 60443 adalah habis dibagi 3.

c. Untuk m = 5 dan n = 4, maka 620554 adalah habis dibagi 4.

d. Untuk m = 6 dan n = 3, maka 210663 adalah habis dibagi 3.

e. Untuk m = 2 dan n = 5, maka 30225 adalah habis dibagi 5.

BILANGAN DAN KETERBAGIAN BILANGAN BULAT · PDF fileAkar dari 979 terbesar mendekati ... 919,...

Documents

Transcript of BILANGAN DAN KETERBAGIAN BILANGAN BULAT · PDF fileAkar dari 979 terbesar mendekati ... 919,...