MODUL / BUKU SISWA MATEMATIKA KELAS X · PDF fileMenemukan Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat...

MODUL / BUKU SISWA

MATEMATIKA

KELAS X

Oleh:

Maya Kurniawati,S.Pd

SMA NEGERI 1 SUMBER

BAB 1

BENTUK PANGKAT (EKSPONEN), AKAR DAN LOGARITMA

Standar Kompetensi:

1. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma

Kompetensi Dasar:

1.1. Menggunakan aturan pangkat, akar, dan logaritma.

1.2. Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang melibatkan pangkat, akar, dan

logaritma.

A. Bilangan Berpangkat (Eksponen)

Kalian tentu masih ingat materi di kelas IX tentang perkalian berulang.

Uji Materi Prasyarat

Ingat!!

4222 2 644444 3

9333 2 ....................2 4

Sebelum mempelajari materi bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut:

1. Hitunglah:

a) 51 = …

b) 32 = …

2. Jika ,2p 3q , dan 1r , hitunglah:

a) rp22

b) qrp2

3. Sederhanakan:

a) 40

b) 256 4. Hitunglah:

a) 71072

b) 71072 5. Hitunglah:

a) 125log3

b) 64log2

Jika anda telah berhasil menyelesaikan latihan diatas dengan baik, maka anda akan

lebih mudah memahami materi selanjutnya.

1. Pangkat Bulat Positif

a. Pengertian Pangkat Bulat Positif

Jika a adalah bilangan riil dan n bilangan bulat positif maka na (dibaca "a pangkat n") adalah hasil

kali n buah faktor yang masing-masing faktornya adalah a. Jadi, pangkat bulat positif secara umum

dinyatakan dalam bentuk

dengan:

a = bilangan pokok (basis)

n = pangkat atau eksponen na = bilangan berpangkat

Contoh Soal

Tentukan nilai pemangkatan berikut.

a. 43 3 3 3 3 81 d. 5

1 1 1 1 1 1 1

b. 3

2 2 2 2 8

3 3 3 3 27

e.

34 4w w w w

c. 3 34 4 4 4 64w w w w w

b. Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat Bulat Positif

Untuk menemukan sifat-sifat bilangan berpangkat bulat positif, lakukanlah kegiatan berikut:

LEMBAR KEGIATAN SISWA

Menemukan Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat Bulat Positif

Lakukan kegiatan berikut secara berpasangan, untuk menyelidiki sifat perkalian, pembagian,

pangkat perkalian, pangkat bentuk pecahan, dan pangkat bilangan berpangkat. Kemudian

kemukakan hasilnya di depan kelas.

1. Bagaimana sifat perkalian bilangan berpangkat? Untuk mengetahuinya, hitunglah 35 aa

Tulis 5a dan 3a sebagai perkalian berulang!

......................5 a dan ..................3 a

aaaaaaa ......35

aaaaaa ...35 … (1)

Hitung banyaknya faktor a dalam ruas kanan persamaan (1). Kemudian, tulislah ruas kanan

dalam bentuk na . Jadi, .....35 aaa

Apakah sifat tersebut berlaku secara umum? Untuk itu, perhatikan perkalian berikut dengan a

sebarang bilangan real, dan m, n bilangan bulat.

aaaaaaa nm ......

= ............. aaaaa

Jadi, ......... aaa nm

2. Bagaiman sifat pembagian bilangan berpangkat? Untuk mengetahuinya, hitunglah ,3

7

a

adengan

0a

aaaaan ...

Sebanyak n faktor

….. faktor ... faktor

(….+….) faktor

….. faktor ... faktor

Tulis 5a dan 3a sebagai perkalian berulang!

aaa

aaaaaa

aa

aaa

a

a

....

...

...3

7

…. (2)

Sederhanakan faktor yang sama pada pembilang dan penyebut dalam ruas kanan persamaan

(2), hitung banyak faktor a yang tersisa dalam bentuk na

Jadi, ................

3

7

aaa

a

Apakah sifat tersebut berlaku secara umum? Untuk itu, lakukanlah perkalian berikut dengan

a sebarang bilangan real, 0a dan m, n bilangan bulat dengan nm .

aaa

aaaaaa

aaa

aaa

a

an

m

...

.......

...

... …. (2)

.................. aaaa

Jadi, nmaa

an

m

,..........

3. Bagaiman sifat pemangkatan perkalian? Untuk mengetahuinya, hitunglah 5ab .

Tulis 5ab sebagai perkalian berulang.

abababab ....5

Kumpulkan faktor a dan factor b dalam ruas kanan secara tersendiri

bbbaaaab ......5

….(3)

Hitung masing-masing banyak faktor a dan banyak faktor b dalam ruas kanan persamaan (3).

Kemudian, tulislah masing-masing dalam bentuk na dan nb

.............5baab


sebarang bilangan real, dan m, n bilangan bulat.

babababan

...

................. babbbaaa

Jadi, .......... baban

4. Bagaimana sifat pemangkatan bentuk pecahan? Untuk mengetahuinya, hitunglah 5

b

a, untuk

.0b

…..faktor

…..faktor

…..faktor …..faktor …..faktor

…..faktor

…..faktor …..faktor


(…. - ….) faktor

…..faktor …..faktor

…..faktor

Tulis 5

b

asebagai perkalian berulang.

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

...

5

…..(4)

Hitung masing-masing banyak factor a pada pembilang dan banyak faktor b pada penyebut

dalam persamaan (4). Kemudian, tulislah masing-masing dalam bentuk na dan nb .

.....

.....5

b

a

b

a

Apakah sifat tersebut berlaku secara umum? Untuk itu perhatikan perkalian berikut dengan a

sebarang bilangan real, 0b , dan n bilangan bulat.

.....

.....

...

......

b

a

bbb

aaa

b

a

b

a

b

a

b

an

Jadi, .....

.....

b

a

b

an

, 0b .

5. Bagaimana sifat pemangkatan bilangan berpangkat? Untuk mengetahuinya, hitunglah .52a

Tulis 52a sebagai perkalian berulang

22252 ... aaaa

aa ... ….(5)

Hitung banyaknya faktor a dalam ruas kanan persamaan (5). Kemudian, tulislah dalam

bentuk na . Jadi, .....52 .aa .


sebarang bilangan real dan m, n bilangan bulat.

mmmnm aaaa ...

aaaaaa ............

................. aaaa

Jadi, ........... aanm

Contoh Soal;

Tentukan operasi dari bilangan berikut.

a. 243 xx c. 3232 qp

…..faktor

…..faktor

…..faktor

…..faktor

.......... faktor

…..faktor


…..faktor

…..faktor

…..faktor

b. 0,3

4

5

xx

xx d. 0,

332

y

b

a

Penyelesaian:

a. 6242424 3333 xxxxxx sifat 1

b. 246

4

6

4

51

4

51

4

5

333333

xxx

x

x

x

x

xx

x

xx

sifat 1 dan 2

c. 32333323 22 qpqp sifat 3

693233 88 qpqp sifat 5

b

a

b

a

b

a

b

a 63233232 27333

sifat 4, sifat 3, dan sifat 5

2. Pangkat Bulat Nol

LEMBAR KEGIATAN SISWA

Menemukan Definisi Bilangan Berpangkat Nol

Lakukan tugas berikut secara perorangan. Kemudian, presentasikan di depan kelas.

Perhatikan sifat nm

n

m

aa

a untuk 0a . Sifat tersebut berlaku untuk nm . Jika diambil nm ,

apa yang Anda peroleh? Substitusikan nm pada kedua ruas persamaan tersebut (ganti m dengan

n). Misalnya kita ganti 3 nm , sehingga:

............

3

3 a

a

a ...(1)

Tulis 3a sebagai perkalian berulang

............

...............

...............

a …(2)

Sederhanakan kedua ruas. ........... a …(3)

Ulangi langkah 1 sampai dengan langkah 3 diatas untuk nilai m dan n lainnya dengan nm .

Perhatikan persamaan (3) yang Anda peroleh.

Dari kegiatan diatas apa yang dapat Anda simpulkan tentang definisi bilangan berpangkat nol?

Jadi, ............a

Atau untuk menemukan nilai dari 0a bisa diperoleh dengan menemukan pola pangkat dari contoh

berikut. Isilah titik-titik berikut kemudian perhatikan pola pangkatnya:

162 4

82 3

.....2 2

.....2 1

.....2 0

Pada ruas kiri kebawah, pangkatnya ……………………………, dan pada ruas kanan kebawah

hasilnya selalu dibagi …..

Dari pola tersebut , 2� = ⋯

Dari kegiatan diatas apa yang dapat Anda simpulkan tentang definisi bilangan berpangkat nol?

dibagi …..

dibagi …..

dibagi …..

dibagi …..

Jika a bilangan real, 0a , dan n = 0, maka 10 a

Nah, bagaimana jika 0a ? Maka berapa nilai 00 ?

Dari sifat pembagian bilangan berpangkat yang sudah kita pelajari sebelumnya bahwa nm

n

m

aa

a .

Jika 0a dan nm, kita ganti sebarang bilangan misalnya 3 nm maka kita peroleh:

............

3

3

00

0 ...(1)

Tulis 30 sebagai perkalian berulang

............0...............

...............

…(2)

Sederhanakan kedua ruas. Ingat bahwa iterdefinistak0

0.

3. Pangkat Bulat Negatif

Anda telah memahami definisi bilangan berpangkat bulat positif dan nol. Bagaimana dengan definisi

bilangan berpangkat bulat negatit? Untuk memahaminya, lakukanlah kegiatan berikut.

LEBAR KEGIATAN SISWA

Menemukan Definisi Bilangan Berpangkat Nol

Lakukan kegiatan ini secara perseorangan. Kemudian, presentasikan hasilnya di depan kelas.

1. Perhatikan sifat pembagian bilangan berpangkat nm

n

m

aa

a untuk 0a dan nm .

2. Sifat pada langkah 1 hanya berlaku untuk nm . Jika ditetapkan bilangan m dan n dengan nm ,

misalnya 5m dan 7n maka sifat pada Langkah 1 memberikan:

................

7

5

aaa

a …(1)

3. Sekarang, hitunglah 7

5

a

a dengan menyatakan 5a dan 7a dalam perkalian berulang a.

aaa

aaa

a

a

...

...7

5

Sederhanakan factor yang sama pada pembilang dan penyebut di ruas kanan dan tulis hasilnya.

.....7

5 1

aa

a sifat …(2)

4. Ruas kiri persamaan (1) dan (2) adalah sama sehingga Anda dapat menyamakan ruas kanannya

dan diperoleh .....

..... 1

aa …(3)

5. Ulangi langkah 2 sampai dengan langkah 4 untuk nilai m dan n lainnya dengan nm . Perhatikan

persamaan (3) yang Anda peroleh.

Dari kegiatan diatas apa yang dapat Anda simpulkan tentang definisi bilangan berpangkat negatif?

Jika a bilangan real, 0a , dan n bilangan bulat positif, maka n

n

aa

1

ataun

na

a

1

…..faktor

…..faktor

......0.........................

Contoh Soal

Nyatakan bilangan berpangkat bulat negative berikut ke bilangan berpangkat bulat positif. Kemudian,

tentukan hasil pemangkatannya.

a. 52

b.

34

1

Penyelesaian:

a. 32

1

32

1

22222

12

5

b. 6444444

1 3

3

Uji Kompetensi 1.1

Kerjakan soal-soal berikut di buku latihan Anda!

1. Tulislah dalam notasi bilangan berpangkat

a. pp 555 b. aaa 222

2. Tulislah tanpa menggunakan notasi pangkat

a. 33b

b. 33 yx

c. 42q

3. Sederhanakan dan tulislah tanpa pangkat negative.

a. 0,0,452 yxxy d. 0,0,

325 baba

b. 0,2

3

8

yy

y e. yxyxxy 33 42

c. 0,0,2

4

28

qpqp

qp

4. Hitunglah nilainya, jika 5x dan 3y

a. 223 x c. 1 yx

b. b

a 2

d. 224 qp

5. Sederhanakan dan tulislah tanpa pangkat negative.

a. 2321

3422

2

3

rqp

rqp b.

31

2321

4

2

cb

cba

6. Nyatakan dalam pecahan sederhana

a. 11

22

ba

ba b.

1

11

1

yx

x

Soal aplikasi

7. Hambatan total R dari sebuah rangkaian seri-paralel diberikan persamaan

3

1

21

11R

RRR

Tentukan R jika 75,01R , 50,02R dan 60,03R

8. Energy diam E sebuah proton dengan massa diam m dinyatakan dengan persamaan Einstein 2cmE , dengan c = kecepatan cahaya. Tentukan E jika kgm 27107,1 dan

ikmc det/100,3 8 . Nyatakan jawaban Anda dalam notasi ilmiah.

9. Satu atomic mass unit (amu) sama dengan kg271066,1 . Berapakah massa 15.000.000 atom

karbon (dalam kg) jika massa 1 atom karbon sama dengan 12,0 amu?

10. Massa bumi kira-kira kg241098,5 dan volumenya kira-kira 3211008,1 m . Gunakan notasi ilmiah

untuk menghitung massa jenis rata-rata bumi.

11.

1222

12

1

xyx

xyyy

12. Jika 1rqp , hitunglah nilai dari

111 1

1

1

1

1

1

prrqqp

13. Jika 2a dan 3b maka nilai dari

11

11

1

ab

adalah …

B. Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Pecahan

1. Konsep Bilangan Irasional

Sebelum kita mendiskusikan apa itu bilangan irasional, perlu diingat kembali definisi dari bilangan

rasional. Bilangan yang dapat dinyatakan sebagai bentuk pecahan decimal berulang ataupun pecahan

biasa (q

pdengan Rqp , dan 0q ) disebut bilangan rasional. Sedangkan bilangan irasional

adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai bentuk pecahan decimal berulang atau pecahan

biasa.

Contoh bilangan rasional:

a. ...171717,099

17

b. ...000,39

c. 4

d. ...66666,19

15

Contoh bilangan irasional:

a. ...414213,12

b. ...6457,27

c. ...718281,2e

d. ...141592,3

Buktikan bahwa 2 bukan bilangan rasional

Bukti:

Misalkan q

p2 …(1)

========= GOOD LUCK =========

Dimana p dan q tidak mempunyai factor yang sama kecuali 1. Dengan mengkuadratkan kedua

ruas pada persamaan (1) diperoleh:

2

2

2q

p atau

22 2qp …(2)

Karena 22 2qp maka

2p bilangan genap dan p juga genap.

Andaikan rp 2 , dimana r bilangan bulat dan disubtitusikan ke persamaan (2) maka:

22 24 qr

222 qr …(3)

Karena 22 2 rq maka q bilangan genap

Jika p dan q bilangan genap maka memiliki factor perkalian yang sama yaitu 2. Hal ini

bertentangan dengan pemisalan, jadi 2 bukan bilangan rasional.

Nyatakan pecahan decimal 3,242424… dalam q

p; p dan q bilangan bulat

Jawab:

Misalkan ...242424,3x kalikan 100 pada kedua ruas

...2424,324100 x _

32199 x

Maka .99

321x atau

33

107

2. Bentuk Akar

a. Pemahaman Definisi Bentuk Akar

Bentuk akar adalah akar dari bilangan rasional yang hasilnya merupakan bilangan irasional.

Contoh:

1) ...414213,12 ( 2 merupakan bil rasional, namun 1,414213… bilangan irasional)

2) ...6457,27 ( 7 merupakan bil rasional, namun 2,6457… bilangan irasional)

3) 9 bukan bentuk akar sebab 39 (bil rasional)

4) 25,0 bukan bentuk akar sebab 5,025,0 (bil rasional)

Bentuk umum bentuk akar ditulis:

n a

dengan: n a disebut bentuk akar (radikal)

disebut lambing bentuk akar

n disebut indeks (pangkat akar)

a disebut radikan (bilangan dibawah tanda akar) dengan a bilangan riil positif untuk n

bilangan asli dan untuk n bilangan ganjil, a dapat berupa bilangan riil negatif.

b. Pangkat Pecahan atau Pangkat Rasional

Definisi Pangkat Pecahan atau Pangkat Rasional Untuk mempelajari definisi sifat-sifat pecahan pelajarilah uraian berikut. Misalkan:

a22

22

22 a

a222 a21 22

a21

2

1a

Jadi, 2

1

22

Uraian tersebut menggambarkan definisi bilangan berpangkat pecahan sebagai berikut.

Jika 0a , m dan n bilangan bulat positif (bilangan asli), maka

n mn

m

aa atau n

mn m aa

Catatan: a boleh diganti negative jika n bilangan ganjil, sebagai contoh:

111 3 33

2232 5 55

Akan tetapi untuk n bilangan genap diperoleh

112 tak terdefinisi untuk bilangan real

Sifat-sifat Bilangan Pangkat Pecahan Sifat-sifat pada bilangan berpangkat bulat juga berlaku bagi bilangan berpangkat pecahan.

1) nmnm aaa

2) nmnm aaa

3) nmnm aa

4) mmmbaba

5) m

mm

b

a

b

a

, untuk 0b

6) 10 a , untuk 0a

7) m

m

aa

1 , untuk 0a

8) nn aa 1

, untuk Ra , 2n , dan n bilangan asli

9) n mmnn

m

aaa , untuk Ran , m bilangan bulat, 2n , dan n bilangan asli

Contoh

Tentukan nilai dari:

a) 3

1

27 d) 3

2

2

11

825

b) 3

4

3

2

aa e) 4

1

2

12

164

c) 3

2

64

f) 2

1333 321

Penyelesaian:

a) 33327 13

133

1

b) 23

6

3

4

3

2

3

4

3

2

aaaaa

c) 16

1

2

12264

4

43

263

2

d) 50041252525825 233

232

323

2

2

11

e) 342322222164 154

142

524

1

2

12

f) 332212781321321321 2 32 32 32

3

2

3

2

3

2

1333

Latihan Soal

Kerjakan soal-soal berikut.

1) Nyatakan bilangan berikut ke dalam bentuk pangkat rasional:

a) 3 2ab c) 3x

b) 64xy d) 4 6816 yx

2) Nyatakan bilangan berikut ke dalam bentuk akar:

a) 3

2

5

c) 4

1

43

2

ba

b) 3

1

22 qp d) 2

12 8

x

3) Tentukan hasil operasi dari:

a)

2

5

2

13

1

3

2

425

10827

b) 2

5

4

3

3

1

3

2781125

4) Jika x = 25 dan y = 64, tentukan nilai dari

2

1

3

1

3 22

3

xy

yx

5) Tentukan bentuk sederhana dari:

a) 5 3 4416

b) 444 04,0625

1255

5

1

c. Jenis-Jenis Bentuk Akar

Bentuk akar terdiri atas 2 jenis:

1) Akar senama

Suatu bentuk akar dikatakan akar senama jika indeks (pangkat akar) nya sama.

Contoh:

a) 5,3,2 mempunyai indeks 2

b) 333 11,10,5 mempunyai indeks 3

2) Akar sejenis

Suatu bentuk akar dikatakan akar sejenis jika indeks dan radikannya sama.

Contoh: 333 25,22,2 mempunyai indeks 3, radikannya 2

d. Sifat-Sifat Bentuk Akar

1) 0;2 aaa

2) 0; ababa dan 0b

3) 0; ab

a

b

a dan 0b

4)

ganjilnjikaa

genapnjikaaa

nn

,

,

5) nnn abba

6) nn

n

b

a

b

a

7) mnm n aa

Contoh:

Dengan menggunakan sifat-sifat bentuk akar, sederhanakan bentuk akar berikut.

1) 54 4) 25

2

2) 72 5) 3 128

3) 81

Penyelesaian:

1) 63696954

2) 2623623672

3) 999981 2

4) 5

2

25

2

25

2

5) 33333 24264264128

e. Menyederhanakan Bentuk Akar

Syarat-syarat yang harus dipenuhi agar bentuk akar dikatakan paling sederhana .

1) Tidak memuat faktor yang pangkatnya lebih dari satu, contohnya

0, xx bentuk paling sederhana

5x dan 2x bukan bentuk sederhana

2) Tidak ada bentuk akar pada penyebut, contohnya

x

1 bukan bentuk sederhana

x

x bentuk sederhana

3) Tidak mengandung pecahan, contohnya

2

5 bukan bentuk sederhana

2

10 bentuk sederhana

Contoh:

Sederhanakan bentuk akar berikut!

a) 12 c) ;539

x dengan 053 x

b) ;48 134 yx dengan 0y

Penyelesaian:

a) 32343412

b) 1124134 31648 yyxyx

yyxyyx 34316 62124 karena 262124 416 yxyx

c) 189535353 xxx

5353535348

xxxx karena 2485353 xx

f. Operasi Aljabar Bentuk Akar

1) Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Ingat kembali !! Operasi aljabar dan sSuku-suku sejenis di kelas VIII

Contoh:

aaaa 52323

bbbb 34747

ba 35 tidak dapat dijumlahkan

Begitu pula pada penjumlahan dan pengurangan bentuk akar, variable pada bentuk akar dapat

dijumlahkan atau dikurangkan jika sejenis.

Jika Rqp , dan 0a , maka

aqpaqap

aqpaqap

Misal:

2352 tidak dapat dijumlahkan

56512755257

2) Perkalian Bentuk Akar

Berdasarkan sifat bentuk akar baba maka,

Untuk Rqp , dan 0a dan 0b , berlaku:

abpqbqap

Misal

61532533523

5451651680108108

3) Pembagian Bentuk Akar

Untuk Rba , dan 0a dan 0b , berlaku: b

a

b

a

Misal

36

18

6

18

24222242242825

40

3

6

53

406

Contoh:

Selesaikan operasi aljabar berikut

a) 833225 b) 5325334

Penyelesaian:

a) 24321625833225

2232425

262425

232645

b) 53253532345325334

55332535343234

553356534338

5315615438

152915156424

g. Merasionalkan Penyebut

1) Merasionalkan Penyebut ;b

a0b

Untuk merasionalkan penyebut dalam pecahan b

a, pecahan tersebut harus anda kalikan

dengan b

b. Dengan demikian, proses merasionalkan penyebut dalam pecahan

b

a adalah

b

a= b

b

a

b

b

b

a

b

a

Contoh

Sederhanakan pecahan-pecahan berikut dengan merasionalkan penyebutnya

a) 10

6 b) 0;

35

4x

x

Penyelesaian:

a) 105

310

10

6

10

106

10

10

10

6

10

6

b) xxx

x

x

x

xx3

15

4

35

34

3

3

35

4

35

4

Tugas

1) Sederhanakan perkalian berikut

a) 22 xx c) yxyx

b) 55 xx d) yxyx

2) Pola apakah yang anda temukan dari hasil pada langkah 1 diatas? Dengan melihat pola

tsb, dapatkah anda menyederhanakan bentuk berikut?

a) .... baba c) baba

b) .... baba d) baba

3) Rasionalkan penyebut dari 7

2

x dengan melakukan perkalian berikut:

....7

7

7

2

x

x

x

4) Rasionalkan penyebut dari pecahan 5

2

x

5) Dari hasil pada langkah 3 dan langkah 4, jelaskan bagaimana merasionalkan penyebut

yang melibatkan bentuk akar berikut:

ba

c

ba

c

ba

c

ba

c

;;;

2) Merasionalkan Penyebut bentuk ba

c

atau

ba

c

Dari tugas diatas, dengan menggunakan sifat perkalian 22 bababa atau

22 bababa selalu menghasilkan bilangan rasional. Bentuk ba merupakan

kawan dari ba begitu juga sebaliknya.

babababa 222 dan

babababa 22

Berdasarkan dua hal diatas maka untuk merasionalkan penyebut yang bentuk akarnya berupa

jumlah atau selisih dari dua bilangan adalah dengan mengalikan baik pembilang maupun

penyebut dari pecahan tersebut dengan pasangan bentuk sekawannya seperti yang telah

dikerjakan pada tugas 1.3 langkah 5:

ba

bac

ba

bac

ba

ba

ba

c

ba

c

222

ba

bac

ba

bac

ba

ba

ba

c

ba

c

222

ba

bac

ba

bac

ba

ba

ba

c

ba

c

22

ba

bac

ba

bac

ba

ba

ba

c

ba

c

22

Contoh

1) Sederhanakan pecahan-pecahan berikut dengan merasionalkan penyebutnya

a) 64

10

b)

105

6

2) Jika 32

32

p dan

32

32

q , hitunglah operasi berikut

a) qp b) qp c) qp d) q

p

Penyelesaian:

1) a) Pasangan sekawan dari 64 adalah 64 , sehingga untuk merasionalkan

penyebutnya, kalikan pecahan tersebut dengan 64

64

64

64

64

10

64

10

10

6410

616

6410

64

641022

64

b) Pasangan sekawan dari 1015 adalah 1015 , sehingga untuk

merasionalkan penyebutnya, kalikan pecahan tersebut dengan 1015

1015

.

1015

1015

1015

6

1015

6

1015

6090

1015

1015622

5

154109

1015

154109

155

210

5

3

5

152103

2) a) 32

32

32

32

qp

3232

32323232

22

22

32

3232

b)

34

33443344

qp

141

14

c)

3232

32323232

32

32

32

32

qp

34

33443344

32

323222

22

381

38

1

347347

d) 132

32

32

32

qp

e) 32

32

32

32

32

32

32

32

q

p

347

347

3344

3344

32

322

2

347

347

347

347

356971

35697

4849

4835649

347

34722

2

h. Menyederhanakan Bentuk ba 2 dengan 02 ba

Bentuk ba 2 dapat diubah menjadi bentuk lain yang sederhana misalnya qp atau

qp . Untuk lebih jelasnya pelajari contoh berikut.

Contoh

Sederhanakan bentuk akar berikut

a) 826 b) 245

Penyelesaian:

a) Misalkan, 826 x dengan 0x . Kuadratkan kedua ruas sehingga diperoleh

8262 x

2242424224

22

2242422424

22 24 x sehingga 24 x karena 222 2 bababa

Jadi, 2224826

b) Misalkan, 245 x dengan 0x . Kuadratkan kedua ruas sehingga diperoleh

2452 x

645

23223625

222 2232322323 x

223 sehingga 23 x

Jadi, 23625245

Tugas

Lakukan tugas ini dengan teman sebangku. Kemukakan hasilnya di depan kelas

1) Perhatikan hasil penyederhanaan bentuk akar ba 2 dengan 02 ba yang

anda peroleh pada contoh diatas:

24826 …(*)

23625 …(**)

2) Perhatikan kesamaan (*). Dapatkah anda melengkapi kalimat terbuka berikut dengan

tanda operasi ,,, agar diperoleh pernyataan yang benar?

4 ….. 2 = 6

4 ….. 2 = 8

Sekarang perhatikan kesamaan (**). Dapatkah anda melengkapi kalimat terbuka berikut

dengan tanda operasi ,,, agar diperoleh pernyataan yang benar?

3 ….. 2 = 5

3 ….. 2 = 6

Dengan mengamati kesamaan (*) dan kesamaan (**) dengan saksama dan hasil pada

langkah 2. Dapatkah anda menyatakan rumus untuk menyederhanakan bentuk

ba 2 ke dalam bentuk jumlah atau selisih dari dua bentuk akar?

Kesimpulan:

Untuk 02 ba , berlaku qpba 2 ; dengan 0 qp jika dan

hanya jika aqp dan bqp

Latihan

1. Sederhanakanlah

a) 2102426 c) 12520282

b) 80202 d) 22223

2. Sederhanakan bentuk berikut

a) 632465 c) 22532253

b) 2632 d) 22372

3. Sederhanakanlah penyebut dari bentuk akar berikut

a) 23

4 c)

22

33

b) 73

73

d)

623

24

4. Sederhanakan bentuk berikut

a) 54215

b) 31020

5. Jika diketahui sebuah persegipanjang PQRSdengan panjang

32

2 cm dan lebar

325

2 cm. Tentukan:

a) keliling persegi panjang tersebut

b) luas persegi panjang tersebut

i. Persamaan Pangkat Sederhana

Persamaan yang berbentuk ba x disebut persamaan pangkat. Misalnya 273 x , 5

552 x

dan 123 42 xx

1) Bentuk cxf aa )( ; c konstanta dan ,1,0 aa maka cxf )(

Contoh

Tentukan nilai x jika:

a) 273 x c) 5

552 x

b) 1282 1 x

Penyelesaian:

a) 273 x 333 x

Jadi, 3x

b) 1282 1 x 71 22 x

71 x

Jadi, 6x

c) 5

552 x

12

12 55

x

12

12 x

2

12 x

Jadi, 4

1x

2) Bentuk )()( xgxf aa ; ,1,0 aa maka )()( xgxf

Contoh

Tentukan nilai x yang memenuhi:

a) 123 42 xx b) 425 93 xx

Penyelesaian:

a) 123 42 xx

1223 22

xx

243 xx

Jadi, 2x

b) 425 93 xx

4225 33

xx

8225 xx

63 x

Jadi, 2x

3) Bentuk )()( xfxf ba ; ,1,,0, baba maka 0)( xf

Contoh:

Tentukan nilai x yang memenuhi

a) 22 23 xx

b) 22

52 xxxx

Penyelesaian:

a) 22 23 xx maka 0)( xf sehingga 02 x

Jadi, 2x

b) 22

52 xxxx maka 02 xx sehingga 01 xx

Jadi, 0x atau 1x

Latihan

Kerjakanlah soal-soal berikut

1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut

a) 25623 x c) 1,0001,0 x

b) 28 x d) 16

14

22

x

2. Tentukan nilai x yang memenuhi

a) 52

23

3

19

x

x

b) 3 53 84 xx

C. LOGARITMA

1. Logaritma sebagai Invers dari Pangkat

Pada pembahasan sebelumnya, Anda telah mempelajari mengenai bilangan berpangkat, misalnya

1624 , 2 disebut sebagai basis, 4 sebagai pangkat (eksponen), dan 16 sebagai hasil pemangkatan 2

oleh 4. Jika pertanyaannya dibalik, 2 pangkat berapa menghasilkan nilai 16, Anda akan menjawab 4.

Operasi kebalikan dari menentukan nilai pemangkatan menjadi menentukan pangkatnya disebut

sebagai operasi logartima, yang dapat ditulis:

416log162 24

Secara umum:

Jika nax maka nxa log dan sebaliknya jika nxa log maka nax .

Hubungan antara bilangan berpangkat dan logaritma dapat dinyatakan sebagai berikut:

na axnx log

dengan: a = bilangan pokok atau basis, a> 0; a≠ 1;

x = numerus(yang dicari nilai logaritmanya), x > 0

n= hasil logaritma.

( xa log dibaca"logaritma x dengan basis a")

Bentuk logaritma dapat dinyatakan dalam bentuk pangkat dan sebaliknya, bentuk pangkat dapat

dinyatakan dalam bentuk logaritma.

Contoh:

1. Nyatakan logaritma berikut dalam bentuk pangkat atau sebaliknya

a) 29log3 c) 49

17 2

b) p232log2 d) 1623 a

2. Tentukan nilai dari:

a) 32log2 c) 64

1log2

1

b) 125log5

Penyelesaian:

1. a) 9329log 23

b) 322232log 22 pp

c) 249

1log

49

17 72

d) aa 316log162 23

2. a) Misalkan x32log2

322 x

522 x

Jadi, 5x

b) Misalkan p125log5

1255 p

355 p

Jadi, 3p

c) Misalkan m64

1log2

1

64

1

2

1

m

6

2

1

2

1

m

Jadi, 6m

2. Sifat-Sifat Logaritma

Untuk menemukan sifat-sifat logaritma lakukan kegiatan berikut secara berpasangan dan kemukakan

hasilnya di depan kelas.

Sifat 1

Misalkan:

map log maka .....a

nbp log maka .....b

Kalikan a dan b sehingga diperoleh ............... pppba …(*)

Tulis persamaan (*) dalam bentuk logaritma

..........log bap …(**)

Substitusikan kembali map log dan nbp log ke persamaan (**)

.....log.....loglog ppp ba …(***)

Jika a dan b bilangan real positif 0p dan 1p , berlaku

baba ppp logloglog

Contoh:

Jika p3log4 , q5log4 , dan r8log4 , hitunglah:

a) 64log15log 44

b) 120log4

Penyelesaian:

a) 88log53log64log15log 4444

8log8log5log3log 4444

rrqp

rqp 2

b) 8log5log3log853log120log 44444

rqp

Sifat 2

Misalkan:

map log maka .....a

nbp log maka .....b

Bagilah a dan b sehingga diperoleh

.........

.....

..... p

p

p

b

a …(*)

Tulis persamaan (*) dalam bentuk logaritma

..........log

b

ap …(**)

Substitusikan kembali map log dan nbp log ke persamaan (**)

.....log.....loglog ppp

b

a

…(***)


bab

a ppp logloglog

Contoh:

a) Jika log 2 = 0,3010, hitunglh log 5

b) Sederhanakan dan hitung log 21 – log 210

Penyelesaian:

a) 6990,03010,012log10log2

10log5log

b) 11010log1log10

1log

210

21log210log21log

Sifat 3

Misalkan:

map log maka .....a …(*)

Kedua ruas dalam (*) dipangkatkan n , sehingga diperoleh

.......... ppann …(**)

Tulis persamaan (**) dalam bentuk logaritma

.....log np a …(***)

Substitusikan kembali map log ke persamaan (***)


ana pnp loglog

Jika pa maka npnp log

Contoh:

Nyatakan dahulu sebagai logaritma tunggal dan hitunglah

a) 2log2

112log 55

b) 2

5log25log

Penyelesaian:

a) 25log25log22

112log2log

2

112log 255555

b) 110log

2

5

25log

2

5log25log

Sifat 4

Misalkan:

yap log maka .....a …(*)

Kedua ruas dalam (*) diambil logaritmanya dengan bilangan pokok baru (misalnya q) , sehingga

diperoleh

.....loglog qq a

.....log.....log qq a

.....

logay

q

…(**)

Substitusikan kembali yap log ke persamaan (**) sehingga diperoleh

.....

loglog

aa

qp …(***)

Jika 0a , 0p , 1p , 0q , dan 1q berlaku

p

aa

q

qp

log

loglog

Jika diambil aq maka diperoleh

pa

a

p

log

1log

Contoh

Jika p5log3 , tunjukkan bahwa:

a) p

13log5

b) p4

15log9

Penyelesaian:

a) p

1

5log

3log3log

3

35

b) 5log2

15log5log 92

1

99

pp

4

1

22

1

3log

5log

2

1

9log

5log

2

123

3

3

3

Sifat 5

Dengan menuliskan p

aap

log

loglog dan

a

baa

log

loglog akan diperoleh sifat sebagai berikut:

Jika ba, , dan 0p , 1a , 1p berlaku

bba pap logloglog

Contoh:

Kerjakan soal-soal berikut

a) Hitunglah 16log5log 52

b) Sederhanakan dcb cba logloglog

Penyelesaian:

a) 42log16log16log5log 42252

b) ddcdcb acacba loglogloglogloglog

Sifat 6

Dengan menuliskan p

aa

mmp n

log

loglog (Sifat 4a) dan sifat 3a buktikan bahwa

an

ma pmp n

loglog …(*)

Jika diambil nm buktikan pula aa pnp n

loglog

Contoh

Hitunglah

a) 16log8

b) Jika a5log3 , hitung 27log25

Penyelesaian

a) 428 2log16log3

2log3

4 2

3

41

3

4

b) a

a1

5log

13log5log

3

53

aa 2

31

2

33log

2

33log27log 53525 2

Sifat 7

Perhatikan uraian berikut

Misalkan an p log , maka npa

Karena an p log , maka an p

ppa log

Jika p dan a bilangan real positif 1p maka ap ap

log

Contoh

Sederhanakan

a) 2log10 x

b) blog9

27

Penyelesaian

a) 2102 loglog 1010 xx

2x

b) bb

blog

2

13

log

2

1log

999

32727

bb log

4

32

log

2

399

33

43

log9

9 b

4 34

3

bb

Latihan

Kerjakanlah soal-soal berikut

1. Nyatakan bentuk pangkat berikut ke dalam bentuk logaritma.

a) 2

1

77 c) qp 53

b) 4

122 q d) 84 1 x

2. Nyatakan bentuk logaritma berikut ke dalam bentuk pangkat

a) 532

1log2 c) 4log 22 a

b) qp 12log5 d) 24log4 3 r

3. Tentukan nilai x dari logaritma berikut.

a) 362log2 x

b) 2log 23 x

c) 2222log 25 xx

4. Sederhanakan bentuk logaritma berikut

a) 4log3log 1212 c) 36

25log

6

5log7log 3

1

3

1

2

1

3

1

b) 4log5log16log 333 d) 2

1log3log125log

243

1log 168133

5. Sederhanakan bentuk logaritma berikut

a) 5log3log4log 925

b) 2

1log

3log2log2log

3

5

43

3

5169

6. Jika 1log5a ; 01,0log10b ; 2,0log5c ; dan 8log2

1

d . Tentukan nilai dari d

cba2

!

7. Jika 412log2 x ; 3125,0log y ; 2log2 z . Tentukan nilai zyx !

8. Jika x2log dan y3log , tentukan nilai dari 24log5 !

9. Jika a3log5 dan b4log3 , tentukan nilai dari 75log12 !

10. Jika a3log2 , tentukan nilai dari

4

1log

12log4log

3

273 .

Evaluasi

1. Bentuk sederhana dari 417

643

84

7

zyx

zyx = …

a. 3

1010

12y

zx d.

4

23

12x

zy

b. 34

2

12 yx

z e.

23

10

12 zy

x

c. 2

510

12z

yx


27

6

24

cba

cba = …

a. 53

54

ba

c d.

5

74

a

bc

b. 55

4

ca

b e.

ba

c3

74

c. ca

b3

4

3. Bentuk sederhana dari

1

575

35

3

27

ba

ba adalah

…

a. (3 ab)2 d. 2)(

3

ab

b. 3 (ab)2 e. 2)(

9

ab

c. 9 (ab)2


423

)5(

)5(

ba

ba adalah …

a. 56 a4 b–18 d. 56 ab–1

b. 56 a4 b2 e. 56 a9 b–1

c. 52 a4 b2

5. Diketahui a = 2 + 5 dan b = 2 – 5 . Nilai

dari a2 – b2 = …

a. –3 b. –1

c. 2 5

d. 4 5

e. 8 5


325

= …

a. 22

15520 d.

22

15520

b. 22

15523 e.

22

15523

c. 22

15520


233

= …

a. )6313(23

1

b. )6313(23

1

c. )611(23

1

d. )6311(23

1

e. )6313(23

1


a. )53(

)32)(32(4

= …

b. –(3 – 5 )

c. –4

1(3 – 5 )

d. 4

1 (3 – 5 )

e. (3 – 5 )

f. (3 + 5 )

9. 62

)53)(53(6

=…

a. 24 + 12 6

b. –24 + 12 6

c. 24 – 12 6

d. –24 – 6

e. –24 – 12 6

10. Hasil dari 32712 adalah …

a. 6

b. 4 3

c. 5 3

d. 6 3

e. 12 3


24332758 adalah …

a. 2 2 + 14 3

b. –2 2 – 4 3

c. –2 2 + 4 3

d. –2 2 + 4 3

e. 2 2 – 4 3


= …

a. – 6 – 6

b. 6 – 6

c. – 6 + 6

d. 24 – 6

e. 18 + 6


24

adalah …

a. 18 – 24 7

b. 18 – 6 7

c. 12 + 4 7

d. 18 + 6 7

e. 36 + 12 7

14. Diketahui a = 9; b = 16; dan c = 36. Nilai dari

321

31

cba = …

a. 1 b. 3 c. 9 d. 12 e. 18

15. Nilai dari 2323

3

2log18log

6log

= …

a. 81 d. 2

b. 21 e. 8

c. 1

16. Nilai dari 18log2log

4log3log9log33

3227

= …

a. 3

14 d. 6

14

b. 6

14 e. 3

14

c. 6

10

17. Jika 7log 2 = a dan 2log3 = b, maka 6log 14 = …

a. ba

a

d.

1

1

a

b

b. 1

1

b

a e.

)1(

1

ab

b

c. )1(

1

ba

a

18. Jika diketahui 3log 5 = m dan 7log 5 = n, maka 35log 15 = …

a. n

m

1

1 d.

)1(

1

nm

mn

b. m

n

1

1 e.

1

1

m

mn

d. m

nm

1

)1(

19. Nilai dari qrp

pqr 1log

1log

1log

35 = …

a. 15 b. 5 c. –3

d. 151

e. 5

20. Diketahui 2log5 = x dan 2log3 = y. Nilai

43

300log2 = …

a. 23

43

32 yx

b. 223

23 yx

c. 2x + y + 2

d. 23

432 yx

e. 2223 yx

MODUL / BUKU SISWA MATEMATIKA KELAS X · PDF fileMenemukan Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat...

Documents

Transcript of MODUL / BUKU SISWA MATEMATIKA KELAS X · PDF fileMenemukan Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat...