BAB IPENDAHULUANI.1.Latar BelakangDalam mata kuliah analisis real I, matakuliah yang mempelajari dan mengasah intelektual mahasiswa matematika, terdapat sub bab yang bertemakan bentuk biner dan desimal, bentuk desimal, dan himpunan titik pada persekitaran,serta interval yang terdiri atas interval terbatas dan interval tidak terbatas.Bertemakan bentuk biner dan desimal, apa yang menjadi bentuk desimal, bentuk desimal dan apa saja yang dipelajari dalam makalah ini, akan menjadi topik pembahasan yang akan dibahas. Sementara pada bagian interval akan dibahas suatu himpunan bagian dari R yang dikonstruksi berdasarkan sifat terurut dari R . Paparan dari masing-masing topik dalam makalah ini didukung oleh pemahaman-pemahaman dari topik sebelumnya yaitu bilangan real,sifat-sifat bilangan real, ketaksamaan serta nilai mutlak.Memang tak dapat dipungkiri bahwa tuntutan pada topik yang dibahas dalam makalah ini terkadang kontroversi dengan ide ataupun kemauan pikiran,susah mengaplikasikannya,sulit ditelusuri ujung pangkalnya.Tetapi sadar atau tidak sadar,keluhan tersebut sudah menumbuhkan daya nalar untuk menumbuhkan kita menyelesaikan masalah rumit.

I.2.Pembatasan MasalahDari sekian permasalahan yang ada tidak mungkin penulis dapat membahasnya secara keseluruhan, karena mengingat kemampuan yang ada baik intelektual, biaya dan waktu yang dimiliki penulis sangat terbatas. Maka penulis perlu memberikan batasan-batasan masalah. Pembatasan masalah diperlukan untuk memperjelas permasalahan yang ingin dipecahkan. Oleh karena itu, penulis memberikan batasan sebagai berikut :1. Apa pengertian bentuk biner dan desimal?1. Apa pengertian bentuk desimal ?1. Bagaimana himpunan titik pada persekitaran?1. Apa pengertian interval?

I.3.Perumusan MasalahPerumusan masalah yang akan dijabarkan adalah sebagai berikut :1. Bentuk biner dan desimal2. Bentuk desimal3. Himpunan Titik Pada Persekitaran4. Interval terbatas dan interval tak terbatas

I.4.Tujuan Penulisan1. Penulisan bertujuan untuk lebih mengerti tentang bentuk biner dan desimal1. Penulisan bertujuan untuk lebih mengerti tentang bentuk desimal 1. Penulisan bertujuan untuk lebih mengerti tentang himpunan titik dan persekitaran1. Penulisan bertujuan untuk lebih mengerti tentang interval1. Penulisan bertujuan untuk lebih mengerti tentang pengertian interval1. Penulisan bertujuan untuk lebih mengerti tentang pembagian-pembagian interval1. Dan tujuan lainnya adalah agar mahasiswa lainnya yang membutuhkan data tentang materi ini dapat terbantu.

BAB IIPEMBAHASANBENTUK BINER DAN DESIMAL Bentuk biner:Misalkan x [0,1] akan dinyatakan dalam x dalam barisan 0 dan 1 sebagai berikut Proses petama:Interval [0,1] dibagi menjadi dua bagian [0, ] dan [, 1] , jika x [0, ] maka a1=0 dan jika x [, 1] maka a1= 1 sehingga diperoleh pertidaksamaan x atau x Proses kedua :Sub interval kiri dibagi dua menjadi [ 0, ] dan [ , ]Jika x [ 0, ] maka a2 = 0 dan jika x [ , ] maka a2 =1 sehingga diperoleh pertidaksamaan : + x + + Proses ke n Dilanjutkan proses bagi dua seperti di atas, jika x termuat didalam sub interval kiri maka an = 0 dan jika x termuat didalam sub interval kanan an = 1 melalui cara ini didapat barisan a1,a2, a3, a4, .......an, .....yang terdiri 0 dan satu yang berkoresponsi dengan elemensekutu x , untuk setiap n diperoleh ketidak samaan : + + .................+ x + + .............+ + Jika x adalah titik bagi dua pada proses ke n , maka x = m/2n , m ganjil m N. Pada kasus ini dapat dipilih interval kiri tau interval kanan , sehingga an = 0 atau an = 1, namun jika sub intervalnya telah dipilih maka interval berikutnya pada proses berikutnya dapat ditentukan Misalnya dipilih subinterval kiri sehingga ak = 0 dan x adalah titik ujung kanan dari subinterval berikutnya , sehingga ak = 1 untuk k n + 1. Untuk x = maka barisan unuk x yang mungkin adalah 0, 1, 1, 1, ......Atau 1, 0, 0, ..........sehingga reprentasi biner dari x adalah = (0, a1, a2, a3............an-1,10000.....)

Bentuk desimal :Secara geometris bentuk desimal serupa dengan bentuk biner , hanya interval yang dibagi menjadi 10 subinterval . jika x [ 0, 1] maka x termuat didalam interval [b1/10, (b1+1/10] untuk b1 {0, 1, 2, 3, 4, .............9}Jika x adalah satu titik batas maka b1 mempunyai dua nilai dan dipilih hanya satu, sehingga : x + , b1 {0, 1, 2, 3, 4, .............9}Proses dilanjutkan dengan membagi sub interval yang dipilih dibagi menjadi 10 subinterval sehingga didapat : b1, b2, b3,...............................bn.Jika x1 dan b N maka B x B + 1, dapat ditulis x= B,b1 b2 b3.....bn. dengan x- B adalah bentuk desimalBentuk desimal dari x [ 0, 1] adalah tunggal kecuali x adalah titik batas pada setiap subinterval pada suatu proses

HIMPUNAN TITIK PADA PERSEKITARANPersekitaranPertimbangkan salah satu bentuk ilustrasi pada gambar berikut

( ) X1 a x2Titik titik disekitar a diantara x1 diantara x2 tak terhingga banyaknya. Terdapat titik di sebelah kiri a yang jaraknya sama dengan sebuah titik di sebelah kanan a, sehingga selalu dapat dibentuk interval buka yang simetris diantara x1 dan x2 dari a. Perhatikan gambar berikut

DefenisiMisalkan a R dan V Ra. Untuk > 0, persekitaran dari a adalah suatu himpunan yang anggotanya bilangan bilangan real yang jaraknya dari a lebih kecil dari secara simbolik dapat ditulis : semesta, a dan > 0.V (a) = { x d (x,a) 0, persekitaran dari a adalah suatu himpunan yang anggotanya bilangan bilangan real yang jaraknya dari a lebih kecil dari secara simbolik dapat ditulis : semesta, a dan > 0.V (a) = { x d (x,a)