METODE SEKAN

Apa yang dimaksud dengan metoda secant dalam metoda numerik terapan ?

Metoda secant merupakan salah satu metoda yang digunakan untuk mencari nilai akar dari persamaan y=f(x). Metoda ini dapat dipahami dengan menggunakan bantuan model segitiga dalam penyelesainnya seperti berikut, dengan X0 dan X1 merupakan batas yang dijadikan acuan awal untuk mencari nilai X yang sebenarnya :

Misalkan dengan menggunakan gambar ilustrasi di atas kita dapat mengambil persamaan dari sifat segitiga sebangun sebagai berikut :

dimana :

BD = f(x1)

BA = x1-x0

CD = f(x1)

CE = x1-x2

Dan jika dirubah, rumusnya akan menjadi :

Dari rumus di atas bisa kita lihat bahwa yang dicari adalah Xn+1,( Xn+1) ini merupakan nilai X yang dicari sebagai pendekatan terhadap nilai X yang sebenarnya seperti untuk nilai X2 kemudian X3 pada gambar dibawah, semakin lama nilai Xn+1 akan mendekati titik X yang sebenarnya.

Jika perhitungan di atas terus dilakukan maka pada akhirnya akan di dapat nilai X yang paling mendekati dengan jumlah eror dan iterasi yang bisa kita tentukan sesuai dengan flowchart algoritma di bawah.

Untuk lebih memahaminya mari kita coba dengan contoh soal :

gambar dibawah merupakan grafik yang terbentuk dari persamaan Y = f(x), maka untuk mencari titik X pada titik  Y=0 rumus secant yang telah kita turunkan tadi bisa langsung digunakan disini.

jika kita melihat grafik diatas kita dapat memperkirakan bahwa X yang akan kita cari berada di antara titik X=0,8 dan X=0,9. maka dua titik ini bisa dijadikan batas untuk mencari nilai X yang kita cari.

setelah melakukan iterasi sebanyak tiga kali maka kita akhirnya menemukan nilai X = 0882543 yang merupakan pendekatan terhadap akar dari Y=f(x).

Metode Regula Falsi

Kategori: DPK & AnumDiposting oleh Chemeng Sai pada Kamis, 15 April 2010 [536 Dibaca] [0 Komentar]

Pada metode bisection, sebuah akar dihampiri dengan membagi dua nilai tebakan [a,b], hal ini dilakukan terus menerus sehingga nilai bagi tersebut mendekati nilai akar sejati ( dengan error yang ditentukan ). Pembagian itu terus menerus dilakukan tanpa adanya suatu pertimbangan apakah nilai fungsi dari kedua buah range tersebut F(a) atau F(b) lebih dekat nol, hal tersebut dapat membuat kecepatan konvergensi menjadi cukup lambat walaupun hasil yang didapat selalu konvergen. Cara lain yang dapat dilakukan untuk menghampiri akar adalah dengan menarik suatu garis lurus yang memotong sumbu x dengan memanfaatkan nilai F(a) dan F(b) atau nilai range. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada gambar dibawah ini :

Gambar 1

Alternatif akar Hampiran

Dari gambar 1 di atas tersebut terlihat bahwa dengan membuat garis lurus dengan titik 1 yaitu [a, F(a)] dan titik 3 yaitu [b, F(b)], garis lurus tersebut seolah sebagai pengganti kurva F(x) dan perpotongannya yaitu c memberikan akar palsu atau posisi salah, dalam

bahasa latinyna disebut dengan Regula Falsi. Nilai c tersebut didapat diturunkan sebagai berikut :

Dengan memanfaatkan gradien garis lurus tersebut maka :

Gradien 1-3  = gradien 2-3

 

Persamaan diatas dapat disusun lagi menjadi :

 

Algoritma Metode Regula Falsi tetap sama dengan metode Bisection, namun pada saat perhitungan nilai c, maka digunakan persamaan diatas. Dengan menggunakan Fortran77 kita dapat membuat listing code nya sebagai berikut :

C PROGRAM MENGHITUNG AKAR HAMPIRAN SUATU PERSAMAAN NON LINER

C DENGAN MENGGUNAKAN METODE BAGI DUA / BISECTION

C BY SAI/ARIANA

C----------------------------------------------------------------------

      OPEN(UNIT=6,FILE='RF.TXT',STATUS='NEW')

      WRITE(*,'(1X,A\)')'HARGA a (BATAS BAWAH) ='

      READ(*,*)a

      WRITE(*,'(1X,A\)')'HARGA b (BATAS ATAS)  ='

      READ(*,*)b

      WRITE(*,'(1X,A\)')'HARGA TOLERANSI       ='

      READ(*,*)EPSILON

      WRITE(6,*)' r     a      c      b         Fa        Fc        Fb

     $    [a-b]'

      WRITE(6,*)'-------------------------------------------------------

     $------------'

      DO 2 I=0,50

      c=b-((F(b)*(b-a))/(F(b)-F(a)))

      ER=(a-b)

      Fa=F(a)

      Fb=F(b)

      Fc=F(c)

      IF((Fa*Fb).GT.0)STOP'BATAS TIDAK MEMILIKI AKAR'

      WRITE(6,7)I,a,c,b,Fa,Fc,Fb,ABS(ER)

    7 FORMAT(1X,I2,2X,F8.4,1X,F6.4,1X,F6.4,1X,4F10.5)

      IF((Fa*Fc).LT.0)THEN

         b=c

      ELSE

         a=c

      ENDIF

 

      IF((ABS(ER).LT.EPSILON).OR.(ABS(Fc).LT.0.000001)) GOTO 4

    2 CONTINUE

    4 WRITE(6,*)'-------------------------------------------------------

     $------------'

      WRITE(6,5)c

    5 FORMAT(1X,'AKAR HAMPIRAN=',F10.5)

      END

 

C TULIS FUNGSI

      FUNCTION F(X)

      F=X**2-4*X-4

 

Contoh Soal :

Misalkan kita memiliki fungsi, F(x) = x2-4x-4, diminta untuk mencari nilai akar yang memenuhi F(x) = 0, dengan tebakan awal x = 0 , nilai tebakan awal a = -1 dan b = 3, serta  epsilon, ε  = 0.0001

Penyelesaian :

Guanakan Listing Code diatas, copykan pada notepad lalu simpan dengan nama misalkan RF.FOR. Setelah itu compile code tersebut dengan data – data diatas, hasil perhitungan dengan metode Regula Falsi adalah sebagai berikut :