Bab V Teori Efektif Energi Rendah dan Kosmologi Braneworld

V.1 Pendahuluan

Di dalam Bab IV telah dipelajari bahwa persamaan-persamaan induksi pada brane

mengandung sebuah tensor Weyl terproyeksi yang membawa informasi medan-

medan gravitasional pada bulk. Agar persamaan gravitasional pada brane menjadi

tertutup, maka persamaan Einstein 5-dimensi pada bulk harus diselesaikan melalui

informasi yang ada pada bulk. Secara prinsip, bagi pengamat yang terlokalisasi

pada brane sangat sulit untuk mengetahui geometri bulk. Zen, dkk., (2006) telah

mengkaji bahwa jika solusi vakum brane telah diketahui maka perturbasi terhadap

solusi vakum dapat dipandang sebagai penambahan materi pada brane dan

persamaan tensor Weyl terproyeksi dapat diselesaikan melalui pendekatan

perturbatif. Bab ini bertujuan untuk mencari teori efektif energi rendah untuk

sistem satu dan dua buah brane dengan menggunakan skema gradien ekspansi

serta meninjau aspek kosmologi brane. Tanpa mengetahui geometri dari bulk,

keberadaan tensor Weyl dapat diselesaikan secara aljabar melalui eleminasi

langsung sehingga persamaan Einstein pada brane secara utuh ditentukan oleh

besaran-besaran pada brane. Sehingga efek dari dimensi ekstra dalam teori efektif

4-dimensi dapat diamati secara langsung melalui persamaan-persamaan

gravitasional pada brane yang diselesaikan untuk masing-masing orde ekspansi.

Sistematika pembahasan pada bab ini adalah sebagai berikut: Sub Bab V.2

membahas model untuk sistem satu buah brane dan persamaan persamaan pada

bulk diturunkan dari aksi melalui variasi terhadap metrik. Sub Bab V.3 diturunkan

persamaan-persamaan efektif pada brane serta aplikasi kosmologi braneworld

dalam model kosmologi FRW. Persamaan Friedmann termodifikasi diturunkan

untuk orde-2 dan mengkonfirmasi hasilnya dengan solusi eksak yang diperoleh

oleh Charmousis dan Dufaux (2002) serta Maeda, dkk., (2004). Sub Bab V.4

persamaan efektif 4-dimensi diperoleh untuk sistem dua buah brane. Dengan

asumsi bahwa metrik pada masing-masing brane dihubungan secara konformal,

penurunan persamaan medan gravitasional dapat diperoleh secara serempak.

89

Implikasi kosmologi dan dinamika radion dibahas pada Sub Bab V.5. Sub Bab

V.6 merangkum hasil-hasil yang diperoleh.

V.2 Sistem Satu Buah 3-brane

V.2.1 Model

Model satu buah 3-brane dengan tegangan σ dan dimasukan dalam ruang-waktu

AdS5 yang memiliki sebuah skala kurvatur bulk l, dapat digambarkan melalui aksi

berikut

( )5 42 2

1 122 matS d x g R d x h L

lσ

κ⎛ ⎞= − + + −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ − , (V.1)

di mana R dan berturut-turut adalah skalar Ricci dan konstanta gravitasional

dalam 5-dimensi. Diasumsikan pula ada simetri Z2 dalam ruang-waktu AdS5 dan

brane ditempakan di y = 0 dalam sistem koordinat yang diberikan oleh persamaan

(V.2). Medan-medan materi, Lmat, adalah terlokalisasi pada brane. Metrik induksi

pada brane dinyatakan oleh h

2κ

μν . Aksi 5-dimensi (V.1) selanjutnya diselesaikan

melalui metode ekspansi gradien untuk memperoleh aksi efektif braneworld

energi rendah. Dengan memilih sistem koordinat Gaussian sebagai latar belakang

solusinya,

( )2 2 ,ds dy g y x dx dxμ νμν= + , (V.2)

maka persamaan-persamaan medan pada bulk diberikan oleh

(4) (4)14y K Rν ν ν ν

μ μ μ μδ R⎡ ⎤∂ ∑ − ∑ = − −⎢ ⎥⎣ ⎦ , (V.3)

22

14yK K

lμν

μν∂ − ∑ ∑ − = −4 , (V.4)

2 (4)2

34

Kl

μνμν ⎡ ⎤ 12R− ∑ ∑ = +⎣ ⎦ , (V.5)

3 04

Kνν μ μ∇ ∑ − ∇ = . (V.6)

Di dalam persamaan di atas, kurvatur ekstrinsik didekomposisikan menjadi bagian

traceless dan bagian trace sebagai berikut

14

K Kν ν νμ μ μδ= ∑ + , logK

yg∂

= − −∂

. (V.7)

90

Dekomposisi ini bertujuan untuk menyederhanakan persamaan-persamaan dan

memudahkan dalam perhitungan. Syarat junction untuk sistem satu buah 3-brane

diberikan oleh

(25

0 2yK K Tν ν ν )μ μ μ μνκδ σδ=⎡ ⎤− = − +⎣ ⎦ . (V.8)

Persamaan (V.3) adalah sebuah persamaan tensor yang menggambarkan

bagaimana materi-materi pada brane dapat menyebabkan kelengkungan pada

brane, sesuai dengan prinsip relativitas umum. Persamaan tensor ini menentukan

evolusi dari kurvatur ekstrinsik. Persamaan (V.4) dan (V.5) adalah persamaan-

persamaan skalar, bagaimana kelengkungan pada bulk dapat memberikan tekanan

pada brane sebagaimana telah dijelaskan pada bab IV. Hal ini juga

mengakibatkan brane melengkung. Persamaan (V.6) adalah sebuah persamaan

vektor yang memberikan kendala bagi evolusi kurvatur ekstrinsik. Persamaan-

persamaan (V.3) – (V-6) bersama-sama dengan persamaan (V.8) menggambarkan

dinamika evolusi untuk sistem satu buah brane. Aksi efektif 4-dimensi dapat

diperoleh dengan mensubstitusikan solusi dari persamaan (V.3) – (V-6) ke

persamaan aksi (V.1) dan mengintegrasikan terhadap koordinat dimensi ekstra, y.

V.2.2 Ekspansi Energi Rendah

Dalam metode iterasi energi rendah atau dinamakan dengan metode ekspansi

gradien, parameter ekspansi didefinisikan pada daerah energi rendah, yaitu rapat

energi pada brane jauh lebih kecil dari tegangan brane,

(V.9)

Ini berarti bahwa rapat energi pada brane dapat diabaikan terhadap tegangan

brane. Kondisi ini berhubungan dengan orde ke-0 dalam perturbasi dan

merupakan solusi vakum. Untuk orde yang lebih tinggi, kondisi vakum ini harus

diganggu dengan menambahkan materi pada brane. Syarat yang diberikan oleh

persamaan (V.9) dapat diterjemahkan sebagai berikut:

(V.10)

Kemudian melalui analisis dimensi persamaan (V.10) menghasilkan

91

(V.11)

di mana adalah skala kurvatur brane. Parameter ekspansi kemudian

didefinisikan oleh

(V.12)

Parameter ekspansi ini dapat diartikan bahwa kurvatur pada brane dapat diabaikan

dibandingkan dengan kurvatur ekstrinsik pada energi rendah. Iterasi kemudian

dilakukan dengan menuliskan metrik sebagai jumlah dari tensor-tensor lokal

yang dibangun oleh metrik induksi pada brane. Metrik sebagai sebuah deret

perturbatif diberikan oleh 2 2 2 (1) (2)( ) ( ) ( , ) ( , )ds dy a y h x g y x g y x dx dxμ μ μ

μν μν μν⎡ ⎤= + + + +⎣ ⎦μ ν

)

. (V.13)

Metrik induksi pada brane diberikan oleh ( 0,h g y xμν μν= = . Dalam perumusan

kurvatur kovarian (Shiromizu dan Koyama, 2003), ekspansi secara langsung

dilakukan pada kurvatur ekstrinsik dan tensor Weyl, kemudian persamaan gerak

diselesaikan pada bulk.

Kuantitas-kuantitas lain yang diekspansi adalah tensor kurvatur ekstrinsik Kμν ,

(0) (1) 2 (2)K K K Kν ν ν νμ μ μ με ε= + + + . (V.14)

Solusi masing-masing orde dari ekspansi kemudian dilakukan sebagai berikut:

untuk orde ke-0, suku kurvatur pada brane diabaikan. Dengan kata lain tidak ada

materi pada brane dan hanya ada tegangan brane. Berikut diselesaikan masing-

masing orde perturbasi.

V.3 Persamaan-Persamaan Efektif pada Brane

V.3.1 Solusi Orde-0

Tanpa keberadaan materi pada brane, solusi orde-0 terkait dengan solusi vakum

dan solusinya diberikan oleh

(0) (0)1 ,Kl l

ν νμ μδ

4K= = . (V.15)

Dengan menggunakan definisi kurvatur ekstrinsik

92

(0) (0)1 ,2

Ky

gμν μν∂

= −∂

(V.16)

diperoleh metrik bulk orde-0 sebagai berikut 2 2 2 ( ) ( )ds dy a y h x dx dxμ μ ν

μν= + . (V.17)

di mana a(y) menyatakan factor kelengkungan yang diberikan oleh

1( ) expa y yl

⎛= −⎜⎝ ⎠

⎞⎟ . (V.18)

Tensor hμν adalah konstanta integrasi yang hanya bergantung pada koordinat

brane xμ dan menyatakan metrik induksi pada brane. Tanpa keberadaan materi

pada brane, solusi orde ke-0 menghasilkan sebuah kendala antara tegangan brane

dan konstanta kosmologi pada bulk. Dari syarat junction, hubungan antara

parameter-parameter tersebut diberikan oleh

2

6l

σκ

= . (V.19)

Sebagaimana diharapkan, persamaan yang diperoleh adalah syarat ketertalaan

untuk model satu buah brane yang memberikan implikasi fisis bahwa konstanta

kosmologi brane menjadi lenyap yaitu berkaitan dengan brane Minkowski.

V.3.2 Solusi Orde-1

Solusi orde-1 diperoleh dengan mengambil perhitungan dari suku-suku yang

diabaikan pada orde-0. Pada orde ini, keberadaan materi pada brane menjadi

relevan dalam persamaan dinamika. Untuk orde-1, persamaan (V-3) – (V-6)

menjadi (1)

(1) (1) (4) (4)4 1( ) ( )4y R g R g

lν ν ν νμ μ μ μδ

⎡ ⎤∂ ∑ − ∑ = − −⎢ ⎥⎣ ⎦ , (V.20)

(1) (1)2 0yK Kl

∂ − = , (V.21)

(1)(1) (4)6 ( )K R gl

⎡= ⎣ ⎤⎦ , (V.22)

(1) (1)3 04

D D Kνν μ μ∑ − = , (V.23)

93

di mana Dμ adalah turunan kovarian terhadap metrik induksi hμν . Kemudian

menyatakan ekspansi orde-1 dengan tensor Ricci diambil untuk

komponen metrik

(1)(4) ( )R gνμ⎡⎣ ⎤⎦

2 ( )a y hμν , sehingga tensor Ricci pada brane terhadap metrik

induksi dapat dituliskan sebagai (4) ( )R hνμ .

Substitusi metrik orde-0 pada skalar Ricci R(g), maka persamaan (V.22)

menghasilkan bagian trace kurvatur ekstrinsik,

(1) (4)2 ( )

6lKa

= R h . (V.24)

Dapat dilihat bahwa persamaan (V.21) secara trivial dipenuhi. Selanjutnya, bagian

traceless kurvatur ekstrinsik diperoleh dengan mengintegrasikan persamaan

(V.20). Hasilnya adalah (1)

(1) (4) (4)2

1( ) ( )2 4

l R h R ha a4

νμν ν ν

μ μ μ

χδ⎛∑ = − +⎜

⎝ ⎠⎞⎟ . (V.25)

Disini (1)νμχ adalah sebuah konstanta integrasi yang memenuhi . Dengan

menggabungkan persamaan (V.25) dan bagian trace kurvatur ekstrinsik (V.24),

solusi tensor kurvatur ekstrinsik orde-1 adalah

(1) 0μμχ =

(1)(1) (4) (4)

2

1( ) ( )2 6

lK R h R ha a4

νμν ν ν

μ μ μ

χδ⎛= −⎜

⎝ ⎠⎞ +⎟ , (V.26)

Tensor kurvatur ektrinsik (V.26) terkait dengan tensor energi-momentum pada

brane melalui syarat junction dan menentukan persamaan dinamika gravitasional

pada brane. Syarat junction pada orde-1 menjadi 2

(1) (1) (4) (4) (1)0

1 ( )2 2 2ylK K R R x Tν ν ν ν ν μ ν

μ μ μ μ μκδ δ χ=

⎛ ⎞⎡ ⎤− = − + =⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠μ . (V.27)

Persamaan evolusi tensor Weyl dengan metrik (V.17) diberikan oleh

2

3y yE K K K K K K

lν ν ν νλ ν αβ νμ μ μ μλ μ αβ μδ δ= ∂ − ∂ − + − δ . (V.28)

Dengan menggunakan ungkapan tensor kurvatur ekstrinsik serta trace-nya yang

dinyatakan oleh persamaan (V.28), maka solusi tensor Weyl untuk orde-1 adalah

(1) (1)2( ) ( )E x xl

ν μ νμ μχ= μ . (V.29)

94

Persamaan (V.27) bersama-sama dengan persamaan (V.29) menghasilkan

persamaan gravitasional pada brane pada orde-1: 2

(4) (4) (1)12

R R T El

ν ν ν νμ μ μ μ

κδ− = − . (V.30)

Konstanta integrasi (1)νμχ terkendala oleh persamaan Codacci (V.23),

(1)(1) (1) (4) (4) (4)

2 4

3 14 2 4 8

Dl l2D D K D R R D R

a a

νν μν ν ν

ν μ μ ν μ μ μ

χδ⎛ ⎞∑ − = − + −⎜ ⎟

⎝ ⎠ a

(4) (4)2 4

( )12 2

D xl D R Ra a

ν μν μν ν

ν μ μ

χδ⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦

(4)2 4

( )2

D xl D Ga a

ν μν μν

ν μ

χ= +

0=

Sehingga diperoleh (1) (1)0, 0D ν

ν μ μχ χ μ= = . (V.31)

Jadi konstanta integrasi memiliki sifat transversal dan traceless terhadap geometri

brane. Dapat dilihat bahwa persamaan Einstein dalam relativitas umum diperoleh

pada solusi orde ke-1 dengan suku tambahan yaitu tensor Weyl

terproyeksi pada brane. Pada bab IV telah dibahas bahwa proyeksi tensor Weyl

memberikan efek non-lokal yang mengakibatkan persamaan pada brane menjadi

tidak tertutup. Namun pada penurunan di atas

(1) 2 /E ν νμ μχ= l

(1)νμχ adalah konstanta integrasi

yang hanya bergantung pada koordinat brane, yang berarti pula .

Efek dari bulk dibawa oleh proyeksi tensor Weyl melalui kuantitas skala kurvatur

bulk, l, diberikan oleh persamaan (V.29). Dalam kosmologi Friedmann-

Robertson-Walker, suku ini berhubungan dengan radiasi gelap karena berbanding

terbalik dengan faktor skala pangkat empat.

(1) (1) ( )E Eν νμ μ= x

V.3.3 Solusi Orde-2

Untuk melihat koreksi lain dari relativitas umum dalam teori efektif 4-dimensi

selain konstanta integrasi (1)νμχ , dihitung solusi orde-2. Di dalam perhitungan

95

berikut ini kontanta integrasi diambil (1) 0νμχ = . Untuk solusi orde-2, persamaan

(V.3) – (V.6) menjadi (2)

(2) (2) (4) (4) (1) (1)4 1( ) ( )4y R g R g K

lν ν ν ν νμ μ μ μδ

⎡ ⎤∂ ∑ − ∑ = − − + ∑⎢ ⎥⎣ ⎦μ , (V.32)

2(2) (2) (1) (1) (1)2 14yK K K

lα ββ α∂ − = + ∑ ∑ , (V.33)

(2)(2) (1)2 (1) (1) (4)6 3 ( )4

K K R gl

α ββ α ⎡ ⎤=− + ∑ ∑ +⎣ ⎦ , (V.34)

(2) (2) (1) (1) (1) (1)3 04

D D Kν α ν νν μ μ να μ αμ ν∑ − + Γ ∑ −Γ ∑ =α

μ +

, (V.35)

Tensor Ricci dan skalar Ricci orde-2 dihitung dengan menggunakan metrik bulk

sampai pada orde-1, yaitu

2 (1)( , ) ( ) ( ) ( ,g y x a y h x g y xμ μμν μν μν⎡ ⎤= +⎣ ⎦

( )2

(4)2 2 (4)( ) ( ) 1 ( ) ( )2 6l la y h x a R h h R hμ

μν μν μν⎛ ⎞= + − −⎜ ⎟⎝ ⎠

. (V.36)

Sehingga diperoleh

( ) ( )(2) 2

(4) (4) 4 2 (4) (4)1 14 2 2

lR R a a D D R D Dν ν σ ν σ ν Rμ μ μ σδ − −⎡ ⎤ ⎡− = − − +⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣μσ

(4) (4) (4)1 1 13 2 12

D D R D D R D D Rν σ ν ν σμ σ μ μδ+ + − σ

(4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) 21 1 16 4 6

R R R R R R Rνα ν ν αβμα μ μ αβδ ⎤⎛ ⎞+ − − −⎜ ⎟⎥⎝ ⎠⎦

( ) ( )2

4 2 (4) (4)1 12 6 4l a a S x R R Rν μ ν ν

μ μ μδ− − ⎡ ⎤⎛ ⎞≡ − + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

, (V.37)

di mana

( )2(4) (4) (4) (4) (4) (4) (4)1 1 13 4 12

S R R R R R R Rν β ν ν αβ νμ ν μβ μ μ αβ μδ δ= − − +

( )(4) (4) (4)1 22 3

D D R D D R D D Rσν ν σ νμ σ σ μ μ

⎡ ⎤− + −⎢ ⎥⎣ ⎦

(4) (4)1 12 6

D D R D D Rσ ν ν ασ μ μ αδ⎡− − −⎢⎣ ⎦

⎤⎥ . (V.38)

96

Sifa-sifat dari tensor ini dapat dilihat dari persamaan (V.37) dan memenuhi

hubungan

0, 0S Dμμ = Sν

ν μ = . (V.39)

Dengan menggunakan persamaan (V.37) dan hasil dari orde-1 dapat diperoleh 2

(1) (1) (4) (4) (4)4

1 112 4lK R R

aν νμ μ δ⎛∑ = −⎜

⎝ ⎠Rν

μ⎞⎟ , (V.40)

dan integrasi persamaan evolusi (V.32) menghasilkan (2)2 3

(2) (4) (4) (4)4 2 2 4

12 2 24 4l y l lS R R R

a a a a

νμν ν ν ν

μ μ μ μ

χδ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∑ = − + − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠, (V.41)

di mana (2)νμχ adalah konstanta integrasi yang hanya bergantung pada koordinat

brane xμ . Untuk memahami arti fisis dari konstanta integrasi ini, didefinisikan

3

(2) (2)

4l Sν ν ν

μ μ μχ χ= +

3(4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) 21 1 1

8 3 4 3l R R R R R R Rα ν ν ν α β

μ α μ μ β αδ⎡ ⎤⎛+ − − −⎜⎞⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

. (V.42)

Sehingga persamaan tensor Weyl terproyeksi orde-2 pada brane dapat ditulis

serupa dengan persamaan (V.29), (2)

(2) 2( )E x

l

νμν μ

μ

χ= , (V.43)

Dalam ungkapan (2)νμχ , kurvatur ekstrisik pada brane adalah

3

(2) (4) (4) (4) (4) (4) 2 (4) (4)

0

5 12 324 12 2y

lK R R R R R R Rν ν α ν ν ν αμ μ μ α μ μδ δ

=

⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟⎝ ⎠

ββ α

(2)νμχ+ . (V.44)

Dengan mengambil trace persamaan ini, dapat disusun sebuah persamaan 3

(2) (2) (2)

2lK K Pν ν ν ν

μ μ μ μδ χ− = + , (V.45)

dengan

(4) (4) (4) 2 (4) (4) (4) (4)1 1 1 18 2 6 4

P R R R R R R Rν ν αβ ν α νμ μ αβ μ μδ ⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟

⎝ ⎠α

Z

. (V.46)

Secara formal persamaan Codacci dapat diintegrasi untuk memperoleh (2) (2)

1 2K K c S cν ν ν ν νμ μ μ μδ τ− = + + μ . (V.47)

97

Di sini νμτ adalah tensor yang tidak dapat dinyatakan dalam ungkapan kuantitas-

kuantitas lokal, Kuantitas-kuantitas dan adalah koefisien-koefisien konstan.

Sedangkan bagian lokal

1c 2c

Zνμ adalah tensor bebas divergensi yang didefinisikan

oleh

(4) (4) (4) 2 (4) (4)14

Z R R R D D R D D Rν ν ν ν ν αμ μ μ μ μ αδ δ= − − + . (V.48)

Tensor Sνμ dan Zν

μ adalah bebas linear, sehingga kombinasinya menghasilkan

sebuah tensor bebas divergensi,

13

H S Zν ν νμ μ= + μ . (V.49)

Masing-masing dari tensor ini dapat diperoleh melalui variasi terhadap metrik dari

aksi-aksi berikut ini

4 2 41 23

d x R R R d x S gαβαβ μνδ ⎛ ⎞− =⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ μνδ , (V.50)

4 2 42d x R d x Z g μνμνδ =∫ ∫ δ , (V.51)

( )4 42d x R R d x H gαβαβ μνδ =∫ ∫ μνδ . (V.52)

Dengan mensubstitusikan persamaan (V.47) ke persamaan (V.45) maka diperoleh 3

(2)1 22

l P c S c Zν ν ν ν νμ μ μ μ μτ χ= + − − , (V.53)

Persamaan ini menghubungan konstanta integrasi (2)νμχ dengan bagian tensor non

lokal νμτ dan parameter-parameter bebas dan . Syarat traceless 1c 2c (2) 0μ

μχ =

menghasilkan 3

(4)(4) (4) (4) 22

1 38 3l R R R c D Dμ αβ α

μ αβτ ⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟⎝ ⎠

Rα . (V.54)

Jadi μμτ menyatakan anomali trace dalam konteks korespondensi AdS/CFT

(Maldacena, 1998) serta dalam braneworld (Gidding, dkk., 2000, Hawking, dkk.,

2000, Gubser, 2001, Shiromizu dan Ida, 2001; Koyama dan Soda, 2001, Padilla,

2006). Sifat non lokal tensor μντ menunjukan bahwa tensor ini berhubungan

dengan energi-momentum dari CFT holografik pada brane.

98

Dengan memasukkan solusi-solusi orde-2 ke dalam syarat junction maka dapat

diperoleh persamaan efektif pada brane yang meliputi koreksi untuk persamaan

gravitasional 4-dimensi relativitas umum. Syarat junction kemudian menjadi

2

(1) (1) (2) (2)

2K K K K Tν ν ν ν ν

μ μ μ μ μκδ δ− + − = . (V.55)

Substitusi hasil-hasil perhitungan sebelumnya ke persamaan (V.55) maka

diperoleh

(2

(4)1 2

2G T c S c Zl l

)ν ν ν ν νμ μ μ μ μ

κ τ= − + + . (V.56)

Atau 2

(4) 2 (2)2G T l Pl l

ν ν ν νμ μ μ μ

κ χ= + − . (V.57)

Tensor Pνμ dapat ditentukan secara lokal dan mengandung suku kuadratik energi-

momentum tensor sehingga persamaan (V.57) menjadi tertutup.

Untuk memperoleh orde ke-n dapat digunakan formula rekursif berikut ini, ( ) 1

( ) 4 (4) (4) ( ) ( 1)4

1

1 14

n nn p

p

dy a R R Ka

pν ν ν νμ μ μ μδ

−−

=

⎛ ⎞⎡ ⎤∑ = − − − ∑⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠∑∫ , (V.58a)

1 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (4)

1

36 4

n nn p n p p n p

p

lK K K α ββ α

−− −

=

⎛ ⎞R⎡ ⎤= − + ∑ ∑ +⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠∑ , (V.58b)

1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

2 14

nn n p n p p n p

yp

K K K Kl

α ββ α

−− −

=

⎛ ⎞∂ − = + ∑ ∑⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ , (V.59a)

( )1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

34

nn n p n p p n

pD D K pν α ν νν μ μ να μ αμ ν

−− −

=

∑ − + Γ ∑ −Γ ∑∑ α

oleh

. (V.59b)

Bagian traceless dan trace kurvatur ekstrinsik didefinisikan oleh persamaan (V.7).

V.3.4 Implikasi Kosmologi Sistem Satu Buah Brane

Sebagai aplikasi kosmologi 1 ), tinjau kosmologi homogen dan isotropik pada

brane dengan metrik induksi diberikan

1) Aplikasi kosmologi untuk orde-1 dapat dilihat pada paper Zen, dkk., (2006) di mana persamaan

Friedmann dengan koreksi radiasi gelap diberikan oleh 2 44

83G CH

aπ ρ= + .

99

2 2 ( ) iijh dx dx dt a t dx dxμ ν

μν γ= − + j . (V.60)

Disini adalah sebuah faktor skala. Komponen yang tidak lenyap dari

tensor

( )a t

Pνμ adalah

4 43 3,4 4

t jt iP H P H H H2 j

iδ⎛= − = − +⎜⎝ ⎠

⎞⎟ , (V.61)

Perhitungan secara langsung menghasilkan bahwa tensor Pνμ memenuhi

0D Pνν μ = . (V.62)

Sehingga dari persamaan (V.57) diperoleh (2) 0D ν

ν μχ = . (V.63)

Jadi (2)νμχ adalah komponen pada kosmologi brane yang berperilaku sebagai suku

radiasi gelap. Komponen-(tt) dari persamaan (V.57), dengan mengabaikan suku

radiasi, menghasilkan persamaan Friedmann termodifikasi 2 2

2

3 4lH

lκ ρ= + 4H . (V.64)

Charmousis dan Dufaux (2002) serta Maeda dan Torii (2004) telah memperoleh

bentuk solusi eksak dari persamaan Friedmaan termodifikasi dalam braneworld

Gauss-Bonnet tanpa suku radiasi gelap, hasil ringkasnya dapat ditulis sebagai

berikut

( ) (2 2 22

42 3 1 2H l l Hlακ ρ σ − ⎛+ = + − +⎜

⎝ ⎠)2 2 ⎞⎟ . (V.65)

Disini α adalan parameter konstan, kontribusi dari suku Gauss-Bonnet. Dalam

kasus yang diturunkan di atas maka untuk α = 0,

( )2 6 H lκ ρ σ 2 2−+ = + . (V.66)

Jika ruas kanan persamaan (66) diekspansi untuk parameter ekspansi yang kecil

, 2 2l Hε =

2 2 2 2 4 41 11 12 8

l H l H l H+ = + − + , (V.67)

maka diperoleh persamaan yang sama seperti persamaan (V.64). Jadi dapat

dikonfirmasi validitas dari ekspansi gradien. Sehingga menarik juga untuk dikaji

jika aksi (V.1) ditambahkan suku Gauss-Bonnet dalam skema ini.

100

V.4 Sistem Dua Buah Brane

Pada pasal sebelumnya, model dengan satu buah brane dapat digambarkan oleh

sebuah teori efektif 4-dimensi dalam energi rendah. Berikut ini dikaji sebuah

sistem dengan dua buah brane pada limit energi rendah. Dinamika untuk sistem

dua buah brane sedikit lebih rumit dari sistem dengan satu buah brane. Jarak

antara kedua brane dapat mempengaruhi dinamika kedua brane dan dinamika dari

sistem secara keseluruhan. Sebagaimana diperlihatkan di bawah ini, jika ada dua

buah brane dimasukan dalam ruang-waktu bulk, teori 4-dimensi efektif

berperilaku seperti teori Brans-Dicke (secara umum adalah teori skalar-tensor)

dan medan skalar Brans-Dicke bekerja sebagai sebuah radion. Asumsi yang sama

seperti pasal sebelumnya bahwa tegangan-tegangan brane ( )σ + dan ( )σ − jauh

lebih besar dari rapat energi ( )ρ + dan ( )ρ − . Untuk sistem dua buah brane, ada satu

buah derajat kebebasan tambahan yaitu radion yang juga harus diambil dalam

perhitungan dan memodifikasi skema ekspansi.

V.4.1 Model

Aksi untuk sistem dengan dua buah brane diberikan oleh

52 2

1 12

S d x g Rlκ

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫

2

( ) ( )4 ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( )d x h L d x h Lσ σ+ + + − − −+ − − + − −∫ ∫ . (V.68)

Metrik 5-dimensi dapat dipilih dalam suatu bentuk di mana radion secara eksplisit

ada dalam metrik, 2 ( , ) 2 ( , )y xds e dy g y x dx dx

μφ μ μμν= + ν . (V.69)

Brane yang memiliki tegangan positif ditempatkan di y = 0 sedangkan brane

yang memiliki tegangan negatif di y = l. Dalam kasus ini ( , )y xμφ menentukan

jarak wajar antara kedua brane (Lihat Gambar V.1),

( ', )

0

( ) 'l

y xd x e dyφ= ∫ . (V.70)

Dalam sistem koordinat (V.69), persamaan-persamaan medan bulk dapat

diperoleh melalui variasi aksi (V.68):

101

(4) (4)14ye Q R Rφ ν ν ν ν ν

μ μ μ μ μ μνδ φ φ− ⎡∂ ∑ − ∑ = − − −∇ ∇ −∇ ∇⎢⎣φ

( )14

ν α αμ α αδ φ φ φ ⎤+ ∇ ∇ +∇ ∇ ⎥⎦

, (V.71)

2 (2

3 124

Q Rl

α ββ α

4)⎡ ⎤− ∑ ∑ = + ⎣ ⎦ , (V.72)

22

1 44ye Q Q

lφ αβ α

αβ α αφ φ φ− ∂ − − ∑ ∑ = ∇ ∇ +∇ ∇ −α , (V.73)

3 04

Qνν μ μ∇ ∑ − ∇ = , (V.74)

Dan syarat junction diberikan oleh

(2

( ) ( )

0

34 2y

Q )Tν ν ν νμ μ μ μ

κδ σ δ+ +

=

⎡ ⎤∑ − = − +⎢ ⎥⎣ ⎦ , (V.75)

(2

( ) ( )34 2y l

Q )Tν ν ν νμ μ μ μ

κδ σ δ− −

=

⎡ ⎤∑ − = − − +⎢ ⎥⎣ ⎦. (V.76)

Bagian traceless dan trace dari kurvatur ekstrinsik didefinisikan

14

e K g Kφμν μν μν

− = ∑ + , logQ e gy

φ− ∂= −

∂− . (V.77)

d(x)

y=0 y=ly

Gambar V.1 Radion sebagai jarak antara dua brane.

102

Dengan menggunakan prosedur yang sama seperti pada sub bab sebelumnya,

persamaan-persamaan Einstein pada masing-masing brane, sampai pada orde-1,

dapat ditulis secara serempak sebagai berikut 2

( ) ( ) ( )2G Tl lμν μνκ

μνχ± ±= ± − ± , (V.78)

di mana ( )μνχ ± adalah konstanta integrasi. Tanda ± di dalam persamaan (V.78)

masing-masing berhubungan dengan brane yang memiliki tegangan positif dan

negatif. Metrik induksi pada masing-masing brane dihubungkan melalui

transformasi konformal ( ) 2 ( )h hμν μν− += Ω , (V.79)

dengan faktor konformal diberikan oleh

( )exp eφΩ = − . (V.80)

Untuk sistem dua buah brane adalah mungkin mengeleminasi kuantitas non lokal, ( )μνχ ± , di dalam persamaan (V.78) sehingga diperoleh persamaan Einstein lokal

pada masing-masing brane. Hal ini dapat dilakukan jika hubungan antara ( )μνχ + dan

( )μνχ − diketahui. Dengan menggunakan persamaan evolusi dari tensor Weyl

terproyeksi (IV.75) untuk orde-1 dan persamaan (V.79), tensor Weyl terproyeksi

adalah dihubungan secara konformal, ( )(1) 2 ( )(1)E Eν ν

μ μ− − += Ω . (V.81)

Berikut ini diturunkan persamaan Einstein pada masing-masing brane dalam

bentuk tertutup.

V.4.2 Teori Efektif pada Brane

Dengan menggunakan persamaan (A.10) pada lampiran A, persamaan Einstein

pada brane yang memiliki tegangan negatif dapat dinyatakan dalam ungkapan

kuantitas-kuantitas pada brane yang memilki tegangan positif,

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2G G D D h D D αμν μν μ ν μν α− + + + + + += − Ω − Ω

Ω

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

4 14

D D h D D αμ ν μν α+ + + + +⎛ ⎞+ Ω Ω − Ω⎜ ⎟Ω ⎝ ⎠

Ω , (V.82)

103

Persamaan (V.81) bersama-sama dengan persamaan (V.29) untuk kasus dua brane,

suku non lokal ( )μνχ ± dihubungakan secara konformal sebagai berikut

( ) 2 ( )μν μνχ χ− − += Ω . (V.83)

Eleminasi ( )μνχ ± pada persamaan (V.78) mengimplikasikan bahwa

(2

( ) 2 ( ) ( ) 2 ( )G G T Tlμν μν μν μνκ+ − += Ω + + Ω )− . (V.84)

Suku pertama pada ruas kanan persamaan (V.84), ( )Gμν− , dapat dieleminasi dengan

menggunakan persamaan (V.82). Dengan mendefinisikan sebuah medan skalar Ψ

oleh 21Ψ = −Ω , (V.85)

persamaan Eintein pada brane yang memiliki tegangan positif diperoleh

( )( ) ( )2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11G T T D D h D Dl

αμν μν μν μ ν μν α

κ+ + − + + + + += + −Ψ + Ψ −Ψ Ψ

Ψ

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 1

2 1 2D D h D D α

μ ν μν α+ + + + +⎛ ⎞+ Ψ Ψ − Ψ⎜ ⎟Ψ −Ψ ⎝ ⎠

Ψ . (V.86)

Dengan hasil ini, kuantitas non lokal dapat dinyatakan dalam ungkapan kuantitas-

kuantitas pada brane,

( )( ) ( )2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )12 2

lT T D D h D D αμν μν μν μ ν μν α

κχ + + − + + + += − −Ψ + − Ψ − ΨΨ Ψ

+

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 1

4 1 2l D D h D D α

μ ν μν α+ + + + +⎛ ⎞− Ψ Ψ − Ψ Ψ⎜ ⎟Ψ −Ψ ⎝ ⎠

. (V.87)

Karena Ω (atau ekuivalen dengan Ψ ) mengandung informasi jarak antara kedua

brane, (atau ) dinamakan radion. Persamaan gerak untuk medan skalar

radion diperoleh dengan mengambil trace persamaan (V.87),

Ω Ψ

( ) ( ) ( )2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 12 1 3

D D D D T Tl

α αα α

κ+ + + + + −⎡ ⎤Ψ + Ψ Ψ = −Ψ + −Ψ⎣ ⎦− Ψ, (V.88)

di mana ( ) ( ) ( ) .T h T μν

μν− − −= (V.89)

Persamaan-persamaan (V.86) dan (V.88) merepresentasikan sebuah teori gravitasi

skalar-tensor pada brane yang memiliki tegangan positif dan dapat diturunkan

dari aksi efektif 4-dimensi:

104

( )

( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( )2

32 2 1

lS d h R D D αακ

+ + + +⎛ ⎞= − Ψ − Ψ⎜ ⎟⎜ ⎟− Ψ⎝ ⎠

∫ + Ψ

( )24 ( ) ( ) 4 ( ) (1d h L d h L )+ + ++ − + − − Ψ∫ ∫ − . (V.90)

Prosedur yang sama juga dapat digunakan untuk memperoleh persamaan-

persamaan efektif pada brane yang memiliki tegangan negatif dan diperoleh:

( )( ) ( )2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11G T T D D h D Dl

αμν μν μν μ ν μν α

κ− − + − − − − −= + + Φ + Φ −Φ Φ

Φ

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 1

2 1 2D D h D D α

μ ν μν α− − − − −⎛ ⎞− Φ Φ − Φ⎜ ⎟Φ +Φ ⎝ ⎠

Φ . (V.91)

( ) ( ) ( )2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 12 1 3

D D D D T Tl

α αα α

κ− − − − − +⎡ ⎤Φ − Φ Φ = +Φ + +Φ⎣ ⎦+ Φ, (V.92)

( )( ) ( )2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )12 2

lT T D D h D D αμν μν μν μ ν μν α

κχ − − + − − − −= − + Φ + − Φ − ΦΦ Φ

−

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 1

4 1 2l D D h D D α

μ ν μν α− − − − −⎛ ⎞+ Φ Φ − Φ Φ⎜ ⎟Φ +Φ ⎝ ⎠

. (V.93)

Aksi efektif 4-dimensi untuk brane yang memiliki tegangan negatif diberikan oleh

( )

( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( )2

32 2 1

lS d h R D D αακ

− − − −⎛ ⎞= − Φ + Φ⎜ ⎟⎜ ⎟+ Φ⎝ ⎠

∫ − Φ

( )24 ( ) ( ) 4 ( ) (1d h L d h L )− − −+ − + − + Φ∫ ∫ + , (V.94)

di mana 2 1−Φ = Ω − . (V.95)

Hasil-hasil di atas memperlihatkan bahwa jika dinamika dari sebuah brane

diketahui maka dinamika pada brane yang lain juga dapat diperoleh.

Ketidakbebasan dinamika pada kedua brane dapat dinyatakan melalui hubungan

berikut:

1Ψ

Φ =−Ψ

. (V.96)

Persamaan-persamaan Einstein dan persamaan-persamaan gerak untuk medan

skalar pada brane adalah tertutup, yang dapat direpresentasikan melalui kekekalan

materi pada masing-masing brane,

105

( ) ( ) 0D T μμ ν± ± = . (V.97)

Terhadap metrik pada brane yang memiliki tegangan positif, ( )hμν+ , persamaan

kekekalan (V.97) dapat dituliskan menjadi ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )10,1 2 1D DD T D T T Tμμ μ μ ν

μ ν μ ν ν

+ ++ + + − − −Ψ Ψ

= = −− Ψ −Ψ

. (V.98)

Jadi terhadap metrik ( )hμν+ , tensor energi-momentum pada brane yang memiliki

tegangan positif memenuhi hukum kekekalan sedangkan divergensi tensor energi-

momentum pada brane yang lain ditentukan oleh jarak antara kedua brane.

Aksi-aksi efektif yang digambarkan oleh persamaan-persamaan (V.90) dan (V.94)

tidak lain adalah aksi gravitasi skalar-tensor di mana kopling gravitasional pada

masing-masing brane ditentukan oleh medan skalar Brans-Dicke Φ untuk brane

yang memiliki tegangan negatif dan Ψ untuk brane yang memiliki tegangan

positif. Gravitasi skalar-tensor pada masing-masing brane dibedakan oleh

ungkapan parameter kopling ( )( ) 3 / 2 1ω Φ = − + ΦΦ untuk brane yang memiliki

tegangan negatif dan ( )( ) 3 / 2 1ω Ψ = Ψ −Ψ untuk brane yang memiliki tegangan

positif.

V.5 Implikasi Kosmologi Sistem Dua Buah Brane

Pada sub bab ini dibahas implikasi kosmologi untuk sistem dua buah brane.

Persamaan-persamaan efektif 4-dimensi untuk brane yang memiliki tegangan

positif dapat dinyatakan kembali dalam bentuk persamaan dinamika berikut:

( )22( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 1

2 2R T T T T

l lν ν ν ν νμ μ μ μ μ

κκ δ δ+ + + −− Ψ⎛ ⎞ ⎛= − + −⎜ ⎟ ⎜Ψ Ψ⎝ ⎠ ⎝− ⎞⎟⎠

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

1 12

D D D D D Dν α νμ α μ μ

ωδ + + + + + +Ψ

+ Ψ + Ψ + ΨΨ Ψ Ψ

νΨ , (V.99)

2 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1

2 3 2 3dD D D Dd l

α αα α

ω κω ω

T T+ −+ + + + +

Ψ + Ψ Ψ =+ Ψ +

, (V.100)

dengan parameter kopling ( )ω Ψ didefinisikan oleh

( ) 32 1

ω ΨΨ =

−Ψ, (V.101)

106

Medan skalarΨ dalam ungkapan medan φ adalah

( )1 exp 2eφΨ = − − , (V.102)

yang mengimplikasikan [ ]0,1Ψ∈ . Dalam limit 1Ψ → berhubungan dengan

gravitasi dalam relativitas umum dan terkait dengan keadaan di mana kedua brane

terpisah pada jarak yang sangat besar,

( )( ) ln 1 ,2ld x leφ φ= = − −Ψ →∞ → +∞ . (V.103)

Sedangkan dalam limit berhubungan dengan sebuah keadaan di mana

kedua brane bertumbukan: ,

0Ψ →

0d → φ →−∞ .

Materi fluida pada brane yang memilki tegangan positif adalah fluida ideal,

( ) ( )( ) ,T P U U Pg Pμν μ ν μνρ+ = + + = Γ −1

t

, (V.104)

di mana Γ adalah indeks barotropik. Misalnya, Γ = 4/3 menyatakan materi radiasi

dan Γ = 0 berhubungan dengan konstanta kosmologi. Pada brane yang memilki

tegangan negatif, tensor energi-momentumnya diberikan oleh ( ) ( ) ( )T ν νμ μλ δ− −= , (V.105)

Jika metrik induksi pada brane diberikan oleh metrik FRW, persamaan (V.62),

maka menghasilkan hukum kekekalan untuk fluida ideal,

303 ,a a

aρ ρ ρ ρ − Γ= − Γ ⇒ = , (V.106)

dan persaman untuk ( )λ − adalah ( )

( ) 1λλ

−

−

Ψ= −

−Ψ. (V.107)

Solusi persamaan ini adalah

( ) ( )( ) ( ) ( )0 01 exp e2 φλ λ λ− − −= − Ψ = − . (V.108)

Jadi evolusi dari materi pada brane yang memilki tegangan negatif

diparameterisasi oleh jarak wajar antara kedua brane. Jika φ adalah besar (jarak

antara brane menjadi besar) materi pada brane yang memilki tegangan negatif

menjadi lenyap . Sebaliknya, jika jarak antara brane menjadi kecil, maka

materi pada brane yang memilki tegangan negatif, nilainya tidak nol.

( ) 0λ − →

107

Dengan metrik FRW, persamaan medan 4-dimesi (V.99) dan (V.100) dapat

diperoleh sebagai berikut:

( )( )( ) ( ) ( )22 22

( )0

1 4 3 4 1 4 33

2 1 3 3H

l lκ κ

ρ λ −− Ψ − Γ −Ψ − ΓΨΨ + Ψ + = −

−Ψ, (V.109)

( )22 4 3

26

H Hl

κρ

− Γ+ = , (V.110)

( ) ( )(2 2

22 (0

1 14 1 3

H Hlκ ρ −Ψ Ψ

+ − = − −ΨΨ Ψ −Ψ Ψ ))λ . (V.111)

Persamaan (V.109) dan (V.110) berturut-turut adalah persamaan dinamika untuk

Ψ dan H dan persamaan (V.111) adalah persamaan Friedmann. Persamaan

(V.110) tidak mengandung suku tambahan yang menggambarkan pengaruh dari

brane yang memilki tegangan negatif dan medan skalar. Sedangkan persamaan

(V.109) mengandung suku tambahan pada ruas kanan persamaannya yang

menunjukan ketidaklinearan persamaan. Berikut ini dikaji solusi-solusi khusus

dari persamaan-persamaan tersebut.

V.5.1 Dinamika Radion

Pertama tinjau kasus Γ = 0 (konstanta kosmologi). Hukum kekekalan (V.106)

menghasilkan 0 konstanρ ρ= = , dan persamaan (V.110) menjadi

22

0223

H Hlκ ρ+ = , (V.112)

Solusi trivial dari persamaan ini diberikan oleh parameter Hubble konstan, 2 2

0( / 3 )H lκ= ρ tetapi ini bukan solusi umum (lihat pasal V.5.4). Untuk solusi

trivial menghasilkan evolusi faktor skala dalam bentuk eksponensial:

2

0 exp3

a a tl

κ ρ⎛ ⎞

= ⎜⎜⎝ ⎠

0 ⎟⎟. (V.113)

Persamaan (V.111) dapat diselesaikan secara aljabar dan menghasilkan solusi 2

2( )

0 0 0 01 exp3

A tl

κρ ρ ρ λ

−

−⎡ ⎤⎛ ⎞⎢Ψ = − ±⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎥ , (V.114)

108

di mana A adalah konstanta integrasi. Dengan memilih kontanta integrasi

( )1/ 2( )0 0/A ρ λ −= maka

22

00( )

0

1 exp 13

tl

ρ κ ρλ

−

−

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥Ψ = − ±⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

, (V.115)

Solusi persamaan (V.114) menentukan jarak wajar antara kedua brane

2 (( ) 0

00

( ) ln exp3

td t le l A tl

φ κ λρρ

−)⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= = ±⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

, (V.116)

Untuk t → + ∞ maka d → + ∞ dan juga diperoleh sebuah solusi

( )1 ( )0 02

0

3 ln 1 / , 0clt t A dλ ρ

κ ρ± − −⎡ ⎤= = =⎢ ⎥⎣ ⎦

∓ . (V.117)

Solusi persamaan (V.114) tidak memiliki singularitas ketika brane bertumbukan

dan dapat diteruskan untuk daerah di mana Ini dapat

diinterpretasikan sebagai suatu perubahan kedudukan kedua brane sepanjang

sumbu-y: untuk perubahan kedudukan (

0d = ( ) 0.d t <

( ) ( ),σ σ+ − ) berhubungan dengan

dan untuk arah sebaliknya (

( ) 0d t >

( ) 0d t < ( ) ( ),σ σ− + ). Kanno, dkk., (2003)

memperkenalkan skenario kosmologi BAB (Born-Again-Braneworld) bahwa

tanda dari tegangan brane dapat berubah setelah tumbukan, ( ) ( )σ σ− ↔ + . Dari

pembahasan di atas mekanisma ini muncul secara alamiah. Misalnya untuk kasus

( )12ld 0= − −Ψ ≤ , (V.118)

berhubungan dengan perluasan domain Ψ yaitu [ , 0]Ψ∈ −∞ . Berikut ditinjau

evolusi dari jarak wajar untuk ( ) 0d t < untuk masing-masing tanda yang

diberikan oleh solusi persamaan (V.115).

Untuk solusi ”negatif”, jika 0t− = maka . Kemudian jarak wajar antara

brane memiliki domain pada seluruh sumbu riil

d → −∞

[ ,d ]∈ −∞ ∞ untuk dan

faktor skala tidak pernah lenyap. Sedangkan untuk solusi ”positif”

[0, ]t∈ +∞

( )a t

( )0

0

, lnt d l λρ

−+ → −∞ = < 0 , (V.119)

109

Gambar V.2 Jarak wajar antara dua buah brane untuk Γ = 0, tanpa pengaruh

radiasi gelap. Warna merah adalah kurva untuk log(0.25(exp(0.4 t)-1)) dan kurva warna biru untuk log(0.25(exp(0.4 t)-1)).

Dalam hal ini dua buah brane dipisahkan pada jarak berhingga dan faktor skala

eksponensial (V.113) pada brane yang memiliki tegangan positif cenderung

menuju nol (alam semesta memiliki singularitas t ). Situasi ini

diperlihatkan pada Gambar V.2. Konstanta-konstanta ditetapkan sebagai berikut :

dan .

+ → −∞

( )1/ 2( )0 0/ 0.25,A ρ λ −= = 2 ( ) 1/ 2

0( / 3 ) 0.1lκ λ − = .4

Γ

2 1/ 20( / 3 ) 0lκ ρ =

Berikutnya tinjau untuk faktor skala pada brane yang memiliki tegangan positif

yang digambarkan oleh sebuah fungsi pangkat . Dari persamaan (V.110)

dan hukum kekekalan, solusi untuk indek pangkatnya adalah , Γ ≠ 0,

dan sebuah kendala untuk nilai awal adalah

0ma a t=

2 / 3m =

( )2

30 2

43 9

al

κ ρ 0Γ=

Γ. (V.120)

Sehingga evolusi untuk faktor skala dan parameter Hubble diberikan oleh

110

2 / 3 10

2( ) ,3

a t a t H tΓ= −=Γ

. (V.121)

Persamaan-persamaan evolusi ini terkait dengan jarak wajar yang diberikan oleh

2 ( )02 / 3

1

3 /3 2( ) ln ,3 2 3

ld t l A t t

κ λ −Γ

⎛ ⎞Γ⎜ ⎟= Γ⎜ ⎟Γ −⎝ ⎠

∓ ≠ , (V.122)

2( )

2 02( ) ln ln ,

3 3d t l A t t

lκ λ −

⎛ ⎞= Γ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∓ = , (V.123)

Gambar V.3 Jarak wajar antara dua buah brane untuk Γ = 4/3, Γ = 2/3 dan Γ =

1/3. Kurva warna merah, biru, hitam, kuning dan hijau masing-masing untuk kurva: log(0.2(t0.5+t)), log(0.1(t2-t)), log(0.1(t2+t)), log(0.1(t-log(t))) dan log(0.1(t+log(t))).

di mana 1A dan 2A adalah konstanta integrasi. Dari ungkapan ini dapat ditentukan

waktu terjadi tumbukan, , antara kedua brane. Dalam hal ini diperoleh .

Berarti bahwa faktor skala adalah regular pada saat terjadi tumbukan dan bagi

pengamat yang berada pada brane yang memiliki tegangan positif tumbukan ini

tidak diamati, karena tidak ada pengaruh evolusi dari faktor skala. Pada saat t = 0

ct 0ct ≠

111

adalah singular, jarak antara kedua brane cenderung menuju −∞ dan faktor skala

menuju nol (singularitas). Jika konstanta integrasi 1A dipilih sebagai berikut

2 ( )0

1

3 /3 2

lA

κ λ −Γ=

3Γ −

, (V.124)

maka diperoleh

(2

22 / 3( )0

3 2 313

l t tκ λ

)−Γ−

Γ −⎛ ⎞Ψ = − ⎜ ⎟Γ⎝ ⎠∓ , (V.125)

Dapat dilihat bahwa untuk t (late times) maka →∞ 1Ψ → dan solusinya

mendekati solusi relativitas umum. Situasi ini ditunjukan pada Gambar V.3.

V.5.2 Pengaruh Radiasi Gelap

Secara umum persamaan (V.110) adalah persamaan diferensial orde dua untuk

factor skala:

( ) ( )2 2 2

2 302 4 3

3

d aa

dt lκ ρ − Γ= − Γ . (V.112)

Integrasi pertama terhadap waktu menghasilkan

( )2 20

4 32

0

233

d adt

lla C

κ ρ

κ ρ− Γ

=+

, (V.113)

di mana C adalah konstanta integrasi sebagai suku radiasi gelap yang membawa

informasi pengaruh bulk pada brane. Persamaan (V.113) menghasilkan persamaan

Friedmann 2

243

CHl a

κ ρ= + , (V.114)

Berikut ini ditinjau untuk berbagai nilai dari indeks barotropikΓ :

• 0Γ = . Solusi dari persamaan (V.113) adalah

( )( )

22 0

0 22 0

0 0

1 3exp 22 3

2 exp 23

lCa t tl

t tl

κ ρ

κ ρκ ρ

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠ −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

, (V.115)

• 4 / 3Γ = .

112

( )( )

22 0

00

12 ,3 2

a C t t Hl t t

κ ρ= + − =

−, (V.116)

Jadi untuk kasus materi radiasi, radiasi gelap tidak berpengaruh pada

parameter Hubble dari brane yang memilki tegangan positif.

• 2 / 3Γ = .

( ) ( )2 22 02 0 0

0 2 20

3 ,3 3

t tlCa t t Hl l

κ ρ κ ρκ ρ

−= − − =

a. (V.117)

• 1 Γ =

1/ 3 2 1/ 31 22

a Cβ β − C= + + , (V.118)

di mana

( )42

2 300 8

3t t C

lκ ρβ⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

−

( ) ( )8 42 2

4 230 00 03 9 16

3 3t t C t t

l lκ ρ κ ρ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− . (V.119)

Persamaan (V.111) dapat digunakan untuk mencari solusi numerik dari medan Ψ

dengan bentuk sebagai berikut

( )2 2 2 ( )

0 03 4

(1 ) (1 )3 4 1 3

CHla l aκ ρ κ λ −

Γ

− Ψ Ψ Ψ −Ψ− + − =

Ψ Ψ Ψ −Ψ Ψ

2

<

, (V.120)

dengan H dan a ditentukan dari persamaan (V.113).

V.6 Rangkuman

Pada bab ini telah diperoleh persamaan-persamaan gravitasional energi rendah

pada brane untuk sistem satu buah brane dan dua buah brane. Persamaan-

persamaan evolusi bulk diselesaikan secara iteratif dengan mengekspansi

persamaan-persamaan yang relevan dalam parameter ekspansi ,

dengan l adalah skala kurvatur bulk dan L adalah skala kurvatur brane. Ekspansi

orde-0 menghasilkan ketertalaan antara tegangan brane dan konstanta kosmologi

bulk. Persamaan relativitas umum dengan suku-suku koreksi diperoleh untuk

ekspansi orde-1 dan seterusnya. Untuk sistem satu buah brane, terdapat suku non

lokal

2( / ) 1l Lε = <

μντ dan dua buah parameter bebas yang berhubungan dengan derajat

113

kebebasan bulk. Disamping itu pula, persamaan medan gravitasional menjadi

tertutup, yaitu dapat ditentukan melalui besaran-besaran pada brane.

Aspek kosmologi untuk masing-masing konfigurasi menghasilkan persamaan

Friedmaan termodifikasi oleh keberadaan tensor Weyl terproyeksi yang

diinterpretasikan sebagai radiasi gelap dalam model kosmologi FRW. Ditinjau

pula sebuah skenario kosmologi di mana dua buah brane bergerak dan

bertumbukan di dalam ruang-waktu bulk 5-dimensi. Materi pada brane yang

memiliki tegangan positif digambarkan oleh fluida ideal dan pada brane yang

memiliki tegangan negatif adalah konstanta kosmologi bergantung waktu.

Diperoleh solusi-solusi khusus untuk faktor skala pada brane yang memiliki

tegangan positif dan radion yang menentukan jarak wajar antara kedua brane.

Dari solusi analitik juga menunjukkan bahwa evolusi dari faktor skala adalah

berbeda untuk latar belakang materi dengan indeks barotropik berbeda.

114