BAB VII

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

Pendahuluan

Pada pokok bahasan ini akan dipelajari konsep dari nilai eigen dan vektor eigen beserta

bagaimana cara menentukan vektor eigen jika diketahui suatu matriks bujur sangkar tertentu.

Tujuan Instruksional Umum (TIU)

Mahasiswa mampu menyelesaikan persoalan-persoalan dasar matematika diantaranya

tentang matriks, determinan, vektor, proyeksi, dot product dan cross product, Sistem

Persamaan Linier, Eliminasi Gauss-Jordan, Transformasi Linier, Nilai Karakteristik (nilai eigen)

dan Vektor Eigen.

Tujuan Instruksional Khusus (TIK)

Mahasiswa mampu mendefinisikan nilai eigen, menentukan persamaan karakterisitk dan

menentukan vektor eigen.

7.1 Konsepsi Eigen

Terdapat sebuah operator linier F : V V sehingga dapat ditentukan suatu skalar

dimana berlaku persamaan Fx = x mempunyai pemecahan yang tak nol.

Salah satu arti dari perkataan “eigen” di dalam Bahasa Jerman adalah “asli”,

(“proper”); nilai eigen dinamakan juga “nilai asli” (“proper value”), “nilai karakteristik”

(“characteristic value”) atau “akar laten” (“laten root”).

Definisi :

Jika A suatu matriks bujursangkar yang berordo (nxn), maka sebuah vektor yang tak nol

x di dalam Rn dinamakan sebuah vektor eigen (eigenvector) dari matriks A jika Ax

adalah kelipatan skalar dari vektor x; yaitu : Ax = x, untuk suatu skalar . Skalar

dinamakan nilai eigen (eigen value) dari A dan x dikatakan sebuah vektor eigen yang

bersesuaian dengan .

Contoh :

Diketahui vektor x =

21

adalah vektor eigen dari A =

18

03yang bersesuaian

dengan nilai eigen = 3 karena :

Ax =

18

03

21

=

63

= 3

21

= x.

7.2 Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Nilai eigen dan vektor eigen mempunyai tafsiran geometris yang berguna di dalam

R2 dan R3. Jika adalah nilai eigen dari A yang bersesuaian dengan x maka Ax = x,

sehingga perkalian oleh A akan membesarkan x, mengkontraksi x, atau membalik arah

x yang bergantung pada nilai .

x=Ax x x x

x=Ax

x=Ax

(a) Dilatasi (b) Kontraksi (c) Pembalikan

(pembesaran) >1 0<<1 arah <0

Untuk mencari nilai eigen dari sebuah matriks A yang berordo (nxn) maka dapat

dituliskan kembali Ax = x, sebagai Ax = Inx (karena yang diketahui adalah sebuah

matriks A, maka penyelesaiannya juga harus secara operasi matriks sehingga ruas kiri

adalah suatu perkalian matriks maka ruas kanannya pun juga harus berupa perkalian

matriks sehingga perlu dikalikan dengan sebuah matriks In dimana tidak akan merubah

nilai dari x), sehigga secara ekivalen Ax = Inx dapat dinyatakan sebagai In x - Ax = 0

atau (In – A)x = 0.

Supaya adalah nilai eigen, maka harus ada pemecahan tak nol dari persamaan

(In – A)x = 0, akan tetapi menurut teorema :

Jika A adalah sebuah matriks yang berordo (nxn), maka pernyataan berikut ini ekivalen

satu sama lainnya :

a). A dapat dibalik.

b). Ax = 0 hanya mempunyai satu pemecahan trivial.

c). A ekivalen baris dengan In.

d). Ax = b konsisten untuk tiap-tiap matriks b yang berordo (nx1).

e). det(A) 0.

f). A mempunyai rank n.

g). Vektor-vektor baris dari A bebas linier.

h). Vektor-vektor kolom dari A bebas linier.

maka persamaan (In – A)x = 0 akan mempunyai pemecahan tak nol jika dan hanya

jika : det(In – A) = 0.

Ini dinamakan persamaan karakteristik dari A; skalar yang memenuhi

persamaan ini adalah nilai eigen dari A. Jika diekspansikan, maka determinan dari (In

– A) adalah sebuah polinomial di dalam yang dinamakan polinomial karakteristik

dari A.

Teorema :

Jika A adalah sebuah matriks yang berordo (nxn), maka pernyataan-pernyataan berikut

ini ekivalen satu dengan lainnya :

a. adalah nilai eigen dari A.

b. Sistem Persamaan (In – A)x = 0 mempunyai pemecahan yang tak trivial.

c. Ada sebuah vektor tak nol x di dalam Rn sehingga Ax = x.

d. adalah pemecahan riel dari persamaan karakteristik det(In – A) = 0.

Setelah dapat menentukan nilai karakteristik (nilai eigen) maka timbul persoalan

untuk menentukan vektor eigennya. Vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan

sebuah nilai eigen adalah vektor tak nol yang memenuhi Ax = x. Secara ekivalen

maka vektor eigen yang bersesuaian dengan adalah vektor tak nol di dalam ruang

pemecahan dari (In – A) x = 0. Dapat dikatakan ruang pemecahan ini sebagai ruang

eigen (eigen space) yang bersesuaian dengan .

Contoh :

Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari matriks A =

01

23 !

Jawab :

Diketahui : (In – A) =

1001

–

01

23 =

0

0 –

01

23=

12)3(

maka polinomial karakteristik dari A adalah :

det(In – A) = det

12)3(

= (-3). - (-2).1 = 2 - 3 + 2.

Sedangkan persamaan karakteristik dari A adalah : 2 - 3 + 2 = 0, dan pemecahan

dari persamaan karakteristik ini adalah 1 = 1 dan 2 = 2 yang merupakan nilai

karakteristik atau nilai eigen.

Menurut definisi x =

2

1

xx adalah vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan

jika dan hanya jika x adalah pemecahan tak trivial dari (In – A) x = 0, sehingga

diperoleh :

12)3(

2

1

xx =

00 .

*) Untuk = 1, akan diperoleh :

1122

2

1

xx =

00 , dan jika dilakukan perkalian matriks diperoleh Sistem

Persamaan Linier Homogen sebagai berikut :

-2x1 – 2x2 = 0

x1 + x2 = 0

Pemecahan yang tak trivial dari SPL Homogen diatas adalah :

x1 = - x2, misalkan x2= a , maka x1 = -a .

Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan = 1 adalah vektor-vektor x =

2

1

xx =

aa

= a

11

, sehingga

11

adalah sebuah basis untuk ruang eigen yang

bersesuaian dengan = 1.

*) Dengan cara yang sama untuk = 2, akan diperoleh :

2121

2

1

xx

=

00

, dan jika dilakukan perkalian matriks diperoleh Sistem

Persamaan Linier Homogen sebagai berikut :

– x1 – 2x2 = 0

x1 + 2x2 = 0

Pemecahan yang tak trivial dari SPL Homogen diatas adalah : x1 = –2x2,

misalkan x2= t , maka x1 = –2t . Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan = 2

adalah vektor-vektor x =

2

1

xx

=

t

t2 = t

12

, sehingga

12

adalah

sebuah basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan = 2.

Soal-soal Latihan :

1. Tentukanlah persamaan karakteristik dari matriks-matriks berikut ini :

a).

18

03 b).

24910

c).

0430

d). `2172

e).

102012104

f).

4519026102

g).

017011105

h).

201810265

2. Carilah nilai eigen dari matriks-matriks di dalam soal nomor 1 !

3. Carilah basis-basis untuk ruang eigen dari matriks-matriks di dalam soal nomor 1 !

4. Carilah akar-akar karakteristik dan vektor-vektor karakteristik yang bersesuauaian

dengan matriks berikut ini :

a).

3241

b).

3132

5. Carilah semua akar karakteristik dari

466353331

dan basis dari masing-masing

ruang eigen dari matriks tersebut !